4.4.1对数函数的概念(原卷版)
对数函数的概念与计算
对数函数的概念与计算数学中，对数函数是一种非常重要的函数，它与指数函数密切相关。
本文将介绍对数函数的概念及其计算方法。
一、对数函数的概念对数函数是数学中一种常用的函数，它是指数函数的逆运算。
数学中常用的对数函数有自然对数函数 ln(x) 和常用对数函数 log(x)。
1. 自然对数函数 ln(x)自然对数函数 ln(x) 是以常数 e 为底的对数函数。
其中，常数 e 是一个重要的数学常数，它的近似值约为2.71828。
自然对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。
2. 常用对数函数 log(x)常用对数函数 log(x) 是以常数 10 为底的对数函数。
常用对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。
二、对数函数的计算对数函数的计算方法主要涉及对数的性质和运算规则。
1. 对数的性质（1） ln(1) = 0，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = 1 时取值为 0。
（2） ln(e) = 1，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = e 时取值为 1。
（3） log(1) = 0，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 1 时取值为0。
（4） log(10) = 1，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 10 时取值为 1。
2. 对数的运算规则（1） ln(a * b) = ln(a) + ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。
（2） ln(a / b) = ln(a) - ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。
（3） log(a * b) = log(a) + log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。
（4） log(a / b) = log(a) - log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
4.4.1 对数函数的概念
1．若函数 f(x)＝xlg2＋x，1，x>x1≤，1， 则 f(f(10))＝( B )
A．lg 101 B．2 C．1
D．0 f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝ 2.
2．已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)，若 f(3)＝－1，则 a＝ －127 . 解析：f(3)＝log2(9＋a)＝－1，所以 9＋a＝12，所以 a＝－127.
解析：设 f(x)＝logax，则 loga9＝2，解得 a＝3， 所以 f(x)＝log3x，所以 f31＝log331＝－1.
确定对数函数解析式的步骤 (1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式 y＝logax(a>0，且 a≠1)； (2)列：通过已知条件建立关于参数 a 的方程； (3)求：求出 a 的值，代入解析式即可．
D．(0，＋∞)
解析：由二次根式及分式有意义的条件，结合对数函数定义域可得
x－2>0， x>0，
解不等式组可得 x>2，即 x∈(2，＋∞)．
(x∈[0，＋∞))．
二、提出问题 1．上述函数式是指数函数吗？ 2．根据指数式与对数式的互化，你能化成对数式吗？ 3．化成对数式后式子有什么特点？ 4．x 是 y 的函数吗？
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．
2．了解对数函数与指数函数之间的联系，提升学生观察问题、分析 问题和归纳问题的能力以及数学交流能力.
2．若 f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则 a＝ 5 .
a2－4a－5＝0，
解析：由对数函数的定义可知，a＞0， a≠1，
解得 a＝5.
题型 2◆对数函数的解析式及应用 典例 1 已知函数 y＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象过定点 A，函数 y ＝logmx(m>0，且 m≠1)也经过点 A，则 m 的值为 2 .
对数函数的概念
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值； (2)求函数的定义域． 解：(1)将(－1,0)代入 y＝loga(x＋a)(a＞0，且 a≠1)中， 有 0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以 a＝2. (2)由(1)知，y＝log2(x＋2)，由 x＋2＞0，解得 x＞－2， 所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
[方法技巧] 实际问题中对数模型要建模准确，计算时应充分利用对数的运算性质，注意 变量的实际意义．
【对点练清】 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销 售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分 按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：(1)由题意知 y＝01..155＋x，2lo0g≤5xx－≤910，，x＞10. (2)由题意知 1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 即 log5(x－9)＝2，所以 x－9＝52，解得 x＝34. 所以老江的销售利润是 34 万元．
[解析] (1)∵①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；∵②中底数
a∈R 不能保证 a>0，且 a≠1，∴②不是对数函数；∵⑤⑦的真数分别为(x＋2)，
(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；∵⑥中 log4x 的系数为 2，∴⑥也不是对数函 数．只有③④符合对数函数的定义．
(2)∵函数 f(x)＝(a2＋a－5)logax 为对数函数，
解：要使函数 f(x)有意义， 只需ax＋－3a－≥x0>，0， 解得 a≤x<a＋3，即 A＝[a，a＋3)． 由14≤2x≤32，得－2≤x≤5，即 B＝[－2,5]． 选择第②个条件：当 a＝－3 时，A＝[－3,0)， ∴A∩B＝[－2,0)，满足条件． ∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝[－3，－2)． 选择第③个条件： 当 a＝2 时，A＝[2,5)，∴A∩B＝[2,5)，满足条件． ∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅.
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。
本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。
一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。
2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。
4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。
5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。
6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。
二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。
4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。
5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。
三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
4.4.1-2对数函数的概念、对数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册(2ppt)
∵log23<log24=2,∴log23-1<1.
又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
5 | 如何解对数不等式
对数不等式的类型及解题方法 (1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论; (2)形如loga f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借 助函数y=logax的单调性求解; (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图 象求解.
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0, ∴t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a3< .
2
2
2
综上,原不等式的解集为
1 2
,1.
对数函数的概念 对数函数的图象和性质
1 | 对数函数的概念
一般地,函数① y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义 域是② (0,+∞) .
2 |对数函数的图象与性质
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一般地，函数)10(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是），（∞+0。
一、选择题
1.下列函数是对数函数的是（ ）
A ．log (2)a y x =
B ．2log 2x
y =
C ．2log 1y x =+
D ．lg y x =
2.函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )
A ．(0,1)
B ．[0,1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3．若f (x )＝1
log 12
（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1
2，0
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，＋∞ D ．(0，＋∞)
4.已知函数)2(log )(+=x x f a ，若其图象过点（6，3），则)2(f 的值为（ ）
A.-2
B.2
C.21
D.21
-
5.设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,21
),2(log 1)(12x
x x x f x ，则)12(log )2(2f f +-=（ ） A.3 B.6 C.9 D.12
6.如果函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点（8，3），那么a 的值为（ ）
对数函数的概念
同步练习
A ．14
B ．12
C ．3
D ．4 7.已知a=2-13,b=log 213,c=lo g 1213,则( ) A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
8. 已知f (x )为R 上的增函数，且f (log 2x )>f (1)，则x 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)
D ．(0，1)∪(2，＋∞)
二、填空题
1.下列各函数是对数函数的序号是________．
①y ＝log 32x ；②y ＝log 3(x ＋1)；③y ＝log 3x ；④y ＝－log 3x .
2．给出函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f （x ＋1），x <4，
则f (log 23)＝______．
3.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f (12)= .
4.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .
5.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．
6.函数f (x )＝2x ＋log 2x (x ∈[1，2])的值域为________．
三、解答题
1.已知实数x 满足21log 3-2
1-≤≤x .求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4的值域．
2.已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)．
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．
3.已知对数函数y=f (x )的图象经过点P (9,2).
(1)求y=f (x )的解析式;
(2)若x ∈(0,1),求f (x )的取值范围.
(3)若函数y=g (x )的图象与函数y=f (x )的图象关于x 轴对称,求y=g (x )的解析式.。