对数函数的定义
解：（1）
1 5
x
y
2
∴ f1(x)log1(x2)
；(x>-2)
（2）
1 2
x2 1
y
-2
5
∴ f1(x)log1(x2)1 (2<x<5/2)
2
对数函数的定义
【变形训练】
1、下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y=㏒x2; ④ y=㏑x; ⑥y=2㏒4x; A．1个
②y=㏒ax(a∈R);
⑤ y=㏒x(x+2)
⑦y=㏒2(x+1)
B．2个
C．3个
③y=㏒8x D．4个
[分析] 根据对数函数定义判定． [解析] 形如y=㏒ax (a>0，a≠1)的函数即为对数 函数，符合此形式的有③，④，其他的不符合．
【指数函数与对数函数的概念对比】
名称 一般形式 定义域 值域
指数函数
对数函数
y=ax(a﹥0,a≠1) y=㏒ax (a﹥0,a≠1)
（-∞，+∞） （0，+∞） （0，+∞） （-∞，+∞）
注：指数函数y=ax (a>0,a≠1)与对数函数 y=㏒ax （a>0，a≠1)互为反函数.
对数函数的定义
【典型例题】
1、计算对数函数y=㏒2x对应于x取1，2，4时 的函数值. 解： 当x=1时，y=㏒2x=㏒21=0；
当x=2时，y=㏒2x=㏒22=1； 当x=4时，y=㏒2x=㏒24=2.
对数函数的定义
【典型例题】
2、求函数 反函数.
y
(1)x 5
2
和函数
y(1)x21 2(x0) 的
知识点——
对数函数的定义
对数函数的定义
【定义】
我们把函数y=㏒ax(a﹥0,a≠1)叫做对数函 数, a做对数函数y=㏒ax的底数.函数的定义 域是(0,+∞) ,值域是R.
特别地,我们称以10为底的对数函数 y lg x为常用对数,称以理数e为底的对 数函数y=㏑x 为自然对数.
对数函数的定义
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
loge对数函数
loge对数函数loge对数函数是指以e（自然对数的底数）为底的对数函数。
在数学中，对数函数是指满足指数运算的逆运算关系的函数。
而loge对数函数则是其中一种特殊的对数函数。
我们来了解一下什么是对数。
对数是一种数学运算，用来描述指数运算的逆运算关系。
对于任意正数a和正数x，我们可以将其表示为一个等式：a^x = b。
在这个等式中，a被称为底数，x被称为指数，而b被称为结果。
对于给定的底数和结果，我们通过求解指数可以得到对应的值。
而对数函数则是用来求解指数的函数。
对数函数的定义如下：log_a(b) = x其中，a为底数，b为结果，x为指数。
而loge对数函数则是以e为底的对数函数，其定义如下：loge(b) = x可以看出，loge对数函数就是求解以e为底，结果为b的指数x。
e是一个特殊的数学常数，被称为自然对数的底数。
它的近似值为2.71828。
loge对数函数在很多领域都有广泛的应用，特别是在科学和工程领域。
loge对数函数有一些特殊的性质。
首先，当底数为e时，loge对数函数的结果等于指数。
即loge(e^x) = x。
这个性质可以通过对数的定义进行证明。
另外，loge对数函数是一个递增函数，即随着结果的增加，指数也会增加。
这个性质可以通过对数函数的图像进行观察得出。
在实际应用中，loge对数函数经常用于解决指数增长或衰减的问题。
例如在人口增长模型中，可以使用loge对数函数来描述人口随时间的增长速率。
又例如在金融领域中，loge对数函数常用于计算复利收益。
此外，loge对数函数还可以用于解决一些微积分中的问题，例如求解微分方程等。
除了loge对数函数，我们还常用其他底数的对数函数，如常用对数函数（以10为底）、二进制对数函数（以2为底）等。
这些不同底数的对数函数在不同的领域中有着不同的应用。
总结一下，loge对数函数是以e为底的对数函数，用于求解以e为底的指数。
它在科学和工程领域有着广泛的应用，特别是在指数增长或衰减的问题中。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是指以常数为底的对数函数。
对数函数运算公式如下：1. 对数函数定义：对数函数的定义为 y = logₐ(x)，其中 a 为底数，x 为实数。
2.换底公式：- logₐ(x) = logₑ(x) / logₑ(a)，其中 logₑ表示以自然对数为底的对数。
- logₐ(x) = 1 / logₐ(a)。
- logₐ(b) = logₐ(c) / logₐ(b)，其中 b、c 为任意正数。
3.对数函数的性质：- logₐ(1) = 0，对于任意正数 a。
- logₐ(a) = 1，对于任意正数 a。
- logₐ(a^m) = m，对于任意正数 a 和整数 m。
- logₐ(m * n) = logₐ(m) + logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m / n) = logₐ(m) - logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m^n) = n * logₐ(m)，对于任意正数 a、m，并且 n 为任意实数。
- a^logₐ(x) = x，对于任意正数 a 和实数 x。
4.常用对数函数：- 以底数 10 的对数函数称为常用对数函数，记为 log(x) 或 lg(x)。
- log(x) 的运算规则与对数函数相同。
5.自然对数函数：- 以底数 e(自然常数) 的对数函数称为自然对数函数，记为 ln(x)。
- ln(x) 的运算规则与对数函数相同。
6.对数函数的图像及性质：-对数函数的图像是一个以点(1,0)为对称轴的增函数，即随着x的增大，y也增大。
- 当 x > 1 时，logₐ(x) > 0；当 0 < x < 1 时，logₐ(x) < 0；当 x = 1 时，logₐ(x) = 0。
-当a>1时，对数函数呈现上凸形状；当0<a<1时，对数函数呈现下凸形状。
以上是对数函数运算公式的大致内容，其中包含了对数函数的定义、换底公式、性质以及常用对数函数和自然对数函数的特点。
对数函数公式
对数函数公式对数函数是数学中常见的一类函数。
它在很多领域中都有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
本文将从对数函数的定义、性质及应用方面进行详细介绍。
首先，我们来看一下对数函数的定义。
对数函数通常用符号“log”表示，以及一个底数，如log_a(x)。
其中，a表示底数，x表示函数的自变量，而log_a(x)则表示以a为底数，x为真数的对数。
对数函数的定义要求底数必须为正数且不等于1，而真数必须大于0。
接下来，让我们来了解一些对数函数的基本性质。
首先是对数函数的定义域和值域。
对数函数的定义域是由真数的取值范围决定，即x > 0。
而对数函数的值域则是实数集，即(-∞, +∞)。
其次是对数函数的增减性。
当底数大于1时，随着自变量的增大，对数函数的值会越来越大，从而它是递增的。
反之，当底数在0和1之间时，对数函数是递减的。
此外，对数函数的图像也具有一些特殊的性质，如与直线y=x关于y轴对称等。
对数函数的应用非常广泛。
在物理学中，对数函数常用于描述一些实际问题，如溶液pH值的计算。
生物学中，对数函数用于描述人口增长、细胞分裂等现象。
在经济学中，对数函数则用于描述复利计算、财富分配等问题。
此外，对数函数在计算机科学、信号处理等领域也有着重要的应用。
总结起来，对数函数是数学中常见的一类函数，它的定义、性质和应用非常重要。
对数函数在物理学、生物学、经济学等领域中都有广泛的应用。
通过对对数函数的研究和应用，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
希望读者通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解，并将其灵活应用于实际的问题中。
下一篇文章将介绍指数函数的相关内容。
对数的函数
对数的函数
对数是一种常见的数学函数。
它在数学中被广泛应用，特别是在科学、工程和经济学领域。
对数的定义是：如果b是一个大于0且不等于1的正数，x是任意正数，那么对数函数logb(x)就是使得b的
多少次方等于x的数。
也就是说，logb(x) = y，当且仅当b的y次
方等于x。
对数函数有许多重要的性质，比如：
1. 对于任意正数a、b和c，有下列规律：logb(ac) = logb(a) + logb(c)和logb(a/b) = logb(a) - logb(b)。
2. 对于任意正数a和b，以及任意正整数n，有下列规律：logb(an) = n logb(a)和logb(a) = 1/loga(b)。
3. 对数函数有一些特殊的底数，如e和10。
loge(x)通常写成
ln(x)，称为自然对数。
自然对数在微积分和概率统计等领域中经常
出现。
4. 对数函数在数学中也有广泛的应用。
比如，在指数增长模型中，对数函数可以用来线性化数据，使得数据更易于分析。
在密码学中，对数函数被用来加密和解密数据。
在信号处理中，对数函数被用来压缩和扩展数据范围。
总之，对数函数是一种非常有用的数学函数，应用广泛，对于理解和解决许多实际问题都有帮助。
- 1 -。
对数函数的概念与图象
a>1
y x =1
图
yl oagx(a1)
象
O (1,0)
X
定义域 值域
(0,+) R
性 特殊点 过点（1，0） 单调性 在(0,+)上是增函数
奇偶性 非奇非偶函数
质 最值 无最值
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.
0<a<1
y x =1
我很重要
(1,0)
O
X yl oax g (0a1)
坐标,
求出Y值即为定点 的纵坐标.
联想：求指数函 数的定点坐标方
法是__？
深入探究：函数 y=2X 与y=log2 x 的图象关
系 观察（2）：
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2X y=x
y
2 A● B 1●
11
y=log2 x
●A*
1 0
4
2
●
2
3
4
x
- B*
1- 结论(1)：图象关于直线y=x对称。
2024年11月10日星期日
4
4
5、已知 y函 lo2g数 2xalo2gx2b 当x1时有最 1， 小a求 ,b值 的值
2 例题与练习
2024年11月10日星期日
6、已f知 (x)lg1x,若f(a)1
1x
2
求值 : f(a)例题与练习
2024年11月10日星期日
7、判断下列函数的奇偶 性 (1)f (x) lg1x 1x
202X 对数函数及其性质
对数函数的概念与图象
新课讲解： （一）对数函数的定义：
函数 yloga x (a0且 a1)叫做对数函数；
对数函数
对数函数一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质定义域：(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________． [解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.[答案] (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1[变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (优质试题·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[专题训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12. 3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎨⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A．log2x B.1 2xC．log12x D．2x－2解析：选A由题意知f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)．∵f(2)＝1，∴log a2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．如果log12x<log12y<0，那么()A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：选D∵log12x<log12y<log121，∴x>y>1.4．(优质试题·海南三市联考)函数f(x)＝|log a(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致图象是()解析：选C函数f(x)＝|log a(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(优质试题·惠州调研)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则a，b，c的大小关系为()A．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a>b>c解析：选D依题意，得a>1,0<b＝logπ3<logππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c<0，故a>b>c.6．设函数f(x)＝log a|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(优质试题·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________．解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)。
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y＝1来切，自左到右a变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝log a x的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()在xA．log2x B．2xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为() A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( ) A ．(5,1) B ．(1,5) C ．(1,1) D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1n am =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b ＝123=5．对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝log 5(1－x )；(2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y=．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪U (1，＋∞)． f (log a ∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]． 令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)②； 如图③图④(1)log 31.9，log 32；(2)log 23，log 0.32；(3)log a π，log a 3.141．分析：(1)构造函数y ＝log 3x ，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围． 解：(1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (1.9)＜f (2)．所以log 31.9＜log 32．(2)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜log 0.31＝0， 所以log 23＞log 0.32．(3)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数， 则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数， 则有log a π＜log a 3.141．综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141； 当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141．【例8－2】若a 2＞b ＞a ＞1，试比较log aa b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小． 分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断． 解：∵b ＞a ＞1，∴0＜ab＜1． ∴log aab＜0，log a b ＞log a a ＝1，log b 1＜log b a ＜log b b ，即0＜log b a ＜1． 由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2a b＞1．a ＞1与0解．x 的(2)当x ＞1时，有21>0,3>0,x x ⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．x 复合而【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围． 解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2au⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42aaa≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a≤12．∴满足条件的a的取值范围是112a a⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于由1log1axx+-＞0＝log a1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x＜0．故当a＞1时，x的取值范围是{x|0＜x＜1}；当0＜a＜1时，x的取值范围是{x|－1＜x＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(单位：km/s)关于燃料重量x(单位：吨)的函数关系式为y＝k ln(m＋x)－k)＋4ln 2(k≠0)，其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m吨时，火箭的最大速度是4 km/s．(1)求y＝f(x)；(2)已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8 km/s，求装载的燃料重量(e＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x＝1)m时，y＝4，。
对数函数的定义和性质
对数函数的定义和性质对数函数（logarithmic function）是数学中的一类函数，它作为指数函数（exponential function）的逆运算，广泛应用于代数、几何、微积分、概率论等学科中。
本文将介绍对数函数的定义和性质，以期为读者对这一重要的数学函数有更深入的理解。
一、对数函数的定义在介绍对数函数的定义之前，先给出指数函数的定义。
指数函数以某个正常数a为底数，自变量为x，形式为：y=a^x指数函数具有下列基本性质：1. 当a>1时，指数函数是一个增函数；当0<a<1时，指数函数是一个减函数。
2. 当a=1时，指数函数是常函数y=1。
3. 当x=0时，指数函数的值为1，即a^0=1。
对数函数的定义就是指数函数的逆函数，即对数函数y=loga(x)满足下列条件：1. a^y=x，其中a为某个正常数，称为对数函数的底数。
2. 当y=loga1(x)，则a1^y=x。
由此可见，对数函数与指数函数是密切相关的，它们之间互为逆运算。
我们通常使用自然对数（即底数为e，其中e≈2.71828）和常用对数（即底数为10）。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域对数函数y=loga(x)的定义域是正实数集合R+，即x>0。
对于不同的底数a，对数函数的值域不同。
例如，当底数为e时，自变量趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷大；当自变量趋近于正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大。
而当底数为10时，对数函数的值域为实数集合R。
2. 对数函数的图像对数函数y=loga(x)的图像具有以下特点：当底数a>1时，对数函数是一个增函数，它的图像呈现出从左下向右上的单调上升曲线；当0<a<1时，对数函数是一个减函数，它的图像呈现出从左上向右下的单调下降曲线。
当a=1时，对数函数的图像是一条水平直线y=0。
3. 对数函数的导数和积分对数函数的导数表示为：(d/dx)loga(x)=1/(xlna)对数函数的导数是正比与自变量的倒数，增函数的导数始终是正的，减函数的导数始终是负的。
对数的函数
对数的函数
对数的函数是一种以底数为基准的函数。
对数函数的定义是：对于正实数a和正实数x，a的x次幂的对数为y，即a的y次幂等于x，表示为y=loga(x)。
其中，log表示以a为底数的对数函数，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对于任意正实数a和b以及任意实数x和y，对数函数具有以下性质：
1.对数函数y=loga(x)是单调递增函数，即当x1<x2时，有loga(x1)<loga(x2)；
2.对数函数的反函数是幂函数，即a的y次幂等于x等价于
y=loga(x)，所以loga(x)的反函数为a的x次幂；
3.底数为常数时，对数函数称为常用对数函数，底数为10时，称为以10为底的对数函数，表示为y=log10(x)，常用对数函数在计算中应用广泛；
4.对于任意正实数a和b，有loga(ab)=loga(a)+loga(b)，loga(a/b)=loga(a)-loga(b)，loga(a^n)=nloga(a)；
5.对于任意正实数a、b和c，loga(b)=logc(b)/logc(a)，这是换底公式。
对数函数在数学和科学中有广泛应用，例如在计算复杂度、放射性衰变、声音和光的强度等领域中都有应用。
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