弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
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第四章 结构弹塑性分析
( ≠ 0) ，其余应力为零。
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
w ij ij Eijkl kl 线性关系 各向同性 ij
指标符号表示
ij 2G ij ij kk
E ( ij ij kk ) (1 ) 1
2019/1/3 7
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
X l x m yx n zx n1 11 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n1 12 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n1 13 n2 23 n3 33
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内
力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，
从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）
所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
2019/1/3
1
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题；
当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
2019/1/3
11
§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、 ij 、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界 条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由 物理量所满足的方程组中显示出来）。
2
yz
xy
y yz zx xy ( )2 y x y z zx
2
2 zx z yz xy ( )2 z x y z yx
2019/1/3
6
6弹塑性4_弹性基本问题与解法_2012课件第一部分
第四章一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于线弹性体小变形的线性问题，建立了一组线性方程组可以描述为在S 为边界的域V 上以u ,ε,σ作为求解变量的偏微分方程边值问题：微分提法2变分提法积分提法第四章第四章适定问题：第四章均匀变形状态()()1222111 1d d E c d d E c νν−=−=第四章弹性力学的基本方程和解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 适定问题与非适定问题简例蓝色：边界给定量红色：边界未知量6适定问题例一第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量7适定问题例二第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量8适定问题例三边界全部给定面力时约束刚体位移才能求得确定位移边界全部给定面力时给定面力和体积力必须整体平衡第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量9非适定问题例一有多余边界条件情况一般无解第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量10非适定问题例二边界条件识别（逆问题）复杂！第四章 1.3 界面连续条件第四章弹性力学的基本方程和解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件II I u u =IIIi i u u =位移面力3个条件0t t =+II I 0II II I I =+ji j ji j n n σσIII S IIS +−u3个条件+12∀X ∈S It I I t0)(II I I =−ji ji j n σσ界面连续条件应为边界条件个数的两倍I S第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章。
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)-精品文档42页
ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2
28.09.2019
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
Wijij
——W为
的函数。
ij
28.09.2019
11
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，
所以W 为它的全微分
W
W
ij
ij
28.09.2019
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
时刻达到 t +t：位移有增量 uuiei
应变增量 ijeiej 外力功增量：A Vfu d V S F u d S
28.09.2019
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
A 本构f关u 系d VF u d ：函S 数增量
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
28.09.2019
19
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向
异性线弹性材料。
*对各向异性材料的本构关系可见，剪应 变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性， 利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
V
S
Vfiuid V sF iuid SU V Wd
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
28.09.2019
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
Wijij
——W为
的函数。
ij
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11
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，
所以W 为它的全微分
W
W
ij
ij
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12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
时刻达到 t +t：位移有增量 uuiei
应变增量 ijeiej 外力功增量：A Vfu d V S F u d S
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
A 本构f关u 系d VF u d ：函S 数增量
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向
异性线弹性材料。
*对各向异性材料的本构关系可见，剪应 变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性， 利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
V
S
Vfiuid V sF iuid SU V Wd
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
弹塑性力学第四章
x
y
)
2019/7/26
36
§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
2019/7/26
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
第四章-弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
◇ 位移解法 ◇ 应力解法 弹塑性力学问题的几个基本原理： ◇ 解的唯一性原理 ◇ 圣维南原理 ◇ 线弹性问题的叠加原理
2021/6/9
5
第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——平衡（运动）微分方程（Navier方程）
x
x
xy
y
xz
z
X
0(
2u
t
2
)
yx
x
y
y
yz
以及
xl1 yxl1
xyl2 yl2
xzl3 yzl3
X Y
zxl1
zyl2
zl3
Z
u u,v v,w w
给定面力边界 给定位移边界
2021/6/9
20
第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹性力学问题的基本解法——基本思想
从几何方程和本构方程中可以发现，6个应力分量、6个 应变分量和3个位移分量之间不是彼此无关的。比如说，只要 知道了位移分量，通过Cauchy方程，就可得到应变分量，再 通过本构方程，就可确定应力分量；反之，如果知道了应力 分量，则可通过本构方程求得应变分量，不过这时求得的应 变分量必须满足一组补充方程，即应变协调方程，以保证固 体在变形后的连续性，然后再通过对Cauchy方程的积分求位 移分量。可见，在求解一个弹性力学问题时，并不需要同时 求出所有的未知函数。
⑵ 将上式代入平衡微分方程，可得
若注意到
G(ui, jj
u j,ij ) uk ,kj ij
Xi
0(
2ui t 2
)
则有
u j,ij (u j, j ),i ,i
uk,kj ij uk,ki (uk,k ),i ,i
2021/6/9
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——平衡（运动）微分方程（Navier方程）
x
x
xy
y
xz
z
X
0(
2u
t
2
)
yx
x
y
y
yz
以及
xl1 yxl1
xyl2 yl2
xzl3 yzl3
X Y
zxl1
zyl2
zl3
Z
u u,v v,w w
给定面力边界 给定位移边界
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹性力学问题的基本解法——基本思想
从几何方程和本构方程中可以发现，6个应力分量、6个 应变分量和3个位移分量之间不是彼此无关的。比如说，只要 知道了位移分量，通过Cauchy方程，就可得到应变分量，再 通过本构方程，就可确定应力分量；反之，如果知道了应力 分量，则可通过本构方程求得应变分量，不过这时求得的应 变分量必须满足一组补充方程，即应变协调方程，以保证固 体在变形后的连续性，然后再通过对Cauchy方程的积分求位 移分量。可见，在求解一个弹性力学问题时，并不需要同时 求出所有的未知函数。
⑵ 将上式代入平衡微分方程，可得
若注意到
G(ui, jj
u j,ij ) uk ,kj ij
Xi
0(
2ui t 2
)
则有
u j,ij (u j, j ),i ,i
uk,kj ij uk,ki (uk,k ),i ,i
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
2. 应力解法：将由应力表示的应变本构方程式代 入协调方程式，得应力表示的协调方程（应力控 制方程）。
1 ij kk ,ij 0 1
2
3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方
程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系， 再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到 一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的 控制方程。
§7-2 弹性力学求解方法
• 求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程 3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示——应力函数表示的控制方程。
15个基本方程求解15个未知量，数学上有解。 协调方程是应变解的条件，保证变形前后物体连续。 微分方程求解过程需要积分，积分常数由边界条件确 定。
5. 边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿 x，y，z方向给定位移为 ，则 应力边界条件：给定表面上的面力为
弹性力学问题求解也称为弹性力学边值问题求解
§7-1 弹性力学解的性质
一、解的叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果 直接求所有载荷作用下的弹性力学问题的解，可 能很复杂。而求单一载荷作用下的弹性力学问题 的解，一般更简单。 通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的 解，再用叠加方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。 叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解 等于每一组外力单独作用时对应解的和。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
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