2020版新高考理科数学专题强化训练：概率与统计

专题强化训练(二十) 概率与统计

1．[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2

3，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；

(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．

解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B ? ????3，23，从而P (X ＝k )＝C k 3? ??

?

?23k ? ??

?

?133－k

，k ＝0,1,2,3.

所以，随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望E (X )＝3×2

3＝2.

(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则Y ～B ? ?

???3，23，且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}．由题意知事件{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且事件{X ＝3}与{Y ＝1}，事件{X ＝2}与{Y ＝0}均相互独立，从而由(1)知

P (M )＝P ({X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0})＝P ({X ＝3，Y ＝1})＋P ({X ＝2，Y ＝0})＝P ({X ＝3})P ({Y ＝1})＋P ({X ＝2})P ({Y ＝0})＝827×29＋49×127＝20243.

2．[2019·合肥质检二]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性

购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案，

方案一：交纳延保金7 000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；

方案二：交纳延保金10 000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．

某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：

以这50率．记X 表示这2台机器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数．

(1)求X 的分布列；

(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. P (X ＝0)＝110×110＝1

100， P (X ＝1)＝110×15×2＝1

25， P (X ＝2)＝15×15＋25×110×2＝3

25， P (X ＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝11

50， P (X ＝4)＝25×25＋310×15×2＝7

25， P (X ＝5)＝25×310×2＝6

25， P (X ＝6)＝310×310＝9

100， ∴X 的分布列为

(2)1

EY1＝17

100×7 000＋

11

50×9 000＋

7

25×11 000＋

6

25×13 000＋

9

100

×15 000＝10 720(元)．

选择延保方案二，所需费用Y2的分布列为

EY2＝67

100×10 000＋

6

25×11 000＋

9

100×12 000＝10 420(元)．

∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．

3．[2019·石家庄一模]东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：

(

(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望．

(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

解：(1)根据题意可得ξ的可能取值为30,31,32,33,34,35,36，

P(ξ＝30)＝1

5×1

5＝1

25，

P (ξ＝31)＝15×310×2＝3

25， P (ξ＝32)＝15×25×2＋310×310＝1

4， P (ξ＝33)＝15×110×2＋310×25×2＝7

25， P (ξ＝34)＝310×110×2＋25×25＝11

50， P (ξ＝35)＝25×110×2＝2

25， P (ξ＝36)＝110×110＝1

100. ξ的分布列如下：

E (ξ)＝30×125＋31×325＋32×14＋33×725＋34×1150＋35×2

25＋36×1

100＝32.8.

(2)当购进32份时，利润为

32×4×2125＋(31×4－8)×325＋(30×4－16)×1

25＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元)．

当购进33份时，利润为

33×4×59100＋(32×4－8)×14＋(31×4－16)×3

25＋(30×4－24)×1

25＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68(元)．

125．6＞124.68，

可见，当购进32份时，利润更大．

4．[2019·长沙一模]某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：

的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．

(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： (ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程； (ⅱ)广告投入量x ＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y

^

＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^＝∑

n

i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n

i ＝1

(x i －x )2

＝∑n

i ＝1x i y i －nx —y —

∑n i ＝1

x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^

x .

解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所

以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．

(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得 x ＝1

5×(7×6－6)＝7.2， y ＝1

5×(30×6－31.8)＝29.64.

∑5

i ＝1x i y i

＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44， ∑5

i ＝1

x 2i ＝364－62＝328. b ^＝∑5

i ＝1x i y i －5x —y —

∑5i ＝1x 2i －5x 2

＝1 273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3，

a ^＝y －

b ^

x ＝29.64－3×7.2＝8.04. 所以y 关于x 的回归方程为y ^

＝3x ＋8.04.

(ⅱ)把x ＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y ^

＝3×18＋8.04＝62.04， 故预报值约为62.04万元．

5．[2019·福州质检]最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[)0，3，

[)3，6，[)6，9，[)9，12，[]12，15

(单位：千元)分组的频率分布直方图如下图：

乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：

小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”．把频率视为概率，求M 的概率；

(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；

(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的

2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.

参考公式：K 2

＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，

其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

解：(1)记A 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B 表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，

甲小区租户的月收入低于6千元的频率为

(0.060＋0.160)×3＝0.66，

故P(A)的估计值为0.66；

乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为

24＋9＋2

100＝0.35，

故P(B)的估计值为0.35；

因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，

事件M的概率的估计值为P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.

(2)设甲小区所抽取的100户的月收入的中位数为t，则0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，

解得t＝5.

(3)设H0：幸福指数高低与租住的小区无关，

根据

得到K2的观测值k＝200(66×62－38×34)2

104×96×100×100

≈15.705>10.828，

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关．

6．[2019·广州调研]某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．

图1：设备改造前样本的频率分布直方图

表1：设备改造后样本的频数分布表

(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价为120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望．

解：(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下，

＝3 020.

样本产品的质量指标平均值为3 020

100＝30.2.

根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2. (2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，1

6，

故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为1

2，13，16.

随机变量X 的取值为240,300,360,420,480. P (X ＝240)＝16×16＝1

36， P (X ＝300)＝C 12

×13×16＝1

9， P (X ＝360)＝C 1

2×12×16＋13×13＝5

18，

P (X ＝420)＝C 12

×12×13＝1

3， P (X ＝480)＝12×12＝1

4， 所以随机变量X 的分布列为

所以E (X )＝240×36＋300×9＋360×18＋420×13＋480×

1

4＝400.

7．[2019·福州质检]“工资条里显红利，个税新政人民心” .随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．

新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：

经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24 000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2∶1∶1∶1.此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1 000元/月，子女教育每孩1 000元/月，赡养老人2 000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

(1)设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X 的分布列和期望；

(2)根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的月收入？

解：(1)既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000＝18 000(元)，

月缴个税X ＝3 000×3%＋9 000×10%＋6 000×20%＝2 190； 只符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000－1 000＝17 000(元)，

月缴个税X ＝3 000×3%＋9 000×10%＋5 000×20%＝1 990； 只符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000－2 000＝16 000(元)，

月缴个税X ＝3 000×3%＋9 000×10%＋4 000×20%＝1 790； 既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000－1 000－2 000＝15 000(元)，

月缴个税X ＝3 000×3%＋9 000×10%＋3 000×20%＝1 590. 所以X 的可能值为2 190,1 990,1 790,1 590. 依题意，上述四类人群的人数之比是2∶1∶1∶1， 所以P (X ＝2 190)＝25，P (X ＝1 990)＝15， P (X ＝1 790)＝15，P (X ＝1 590)＝1

5. 所以X 的分布列为

所以E (X )＝2 190×25＋1 990×15＋1 790×15＋1 590×1

5＝1 950.

(2)因为在旧个税政策下该市该收入层级的IT从业者2019年每月应纳税所得额(含税)为24 000－3 500＝20 500(元)，

所以其月缴个税为1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋11 500×25%＝4 120(元)．

因为在新个税政策下该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税的均值为1 950元．

所以该收入层级的IT从业者每月少缴纳的个税为4 120－1 950＝2 170(元)．

设经过x个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税的总和就超过24 000元，

则2 170x>24 000，因为x∈N，所以x≥12.

所以经过12个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税的总和就超过2019年的月收入．

8．[2019·太原一模]为方便市民出行，倡导低碳出行．某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车．该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x(单位：天)表示活动推出的天数，y(单位：十人次)表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图．

表1：

期使用扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次(精确到

整数)．

表2：

其中z ＝ln y

，z ＝17∑i ＝1

7

z i .

(2)推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.

表3：

统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为1

3，享受7折支付的频率为12，享受9折支付的频率为1

6.

已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入(单位：元)，求ξ的分布列和期望．

参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^

u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为

β^＝

∑i ＝1

n

u i v i －n u v

∑i ＝1

n

u 2i －n u 2

，α^＝v －β^u .

参考数据：e 5.3≈200.34，e 5.5≈244.69，e 5.7≈298.87.

解：(1)由题意得z ＝ln y ＝lne bx ＋a ＝bx ＋a ，

∴b ^＝

∑i ＝1

7

x i z i －7x z

∑i ＝1

7

x 2i －7x 2

＝112－7×4×3.5

140－7×42

＝0.5，

∴a ^＝z －b ^

x ＝3.5－0.5×4＝1.5， ∴z 关于x 的线性回归方程为z ^

＝0.5x ＋1.5， ∴y 关于x 的回归方程为y ＝e 0.5x ＋1.5， 当x ＝8时，y ^

＝e 5.5≈244.69，

∴预报第8天使用扫码支付的人次为2 447. (2)由题意得ξ的所有可能取值为0.5,0.7,0.9,1， P (ξ＝0.5)＝1

3×30%＝0.10， P (ξ＝0.7)＝60%＋1

2×30%＝0.75， P (ξ＝0.9)＝1

6×30%＝0.05， P (ξ＝1)＝10%＝0.10， ∴ξ的分布列为

∴E (ξ)＝0.5×0.10＝0.72.