四边形复习

四边形复习

（一）平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2．特征：∵平行四边形ABCD

∴1）AB∥CD且AB=CD ；AD∥BC 且AD=BC；

2）∠A=∠C；∠B=∠D；

3）∠A+∠B=1800；∠A+∠D=1800；

∠C+∠B=1800；∠C+∠D=1800；

4）AO=CO，BO=DO；

5）中心对称图形

3．面积：

4．平行线的性质

1）平行线间的距离都相等

2）面积相等（等底等高）利用平行线的距离是图形的高

5．识别：边：1）AB∥CD 且AD∥BC

2）AB＝CD 且AD＝BC

3）AB∥CD且AB＝CD 或AD∥BC且AD＝BC

角：4）且

5）且

一边一角：6）AB∥CD且或AB∥CD且

或AD∥BC且或AD∥BC且

7）AO＝OC且BO＝OD

∴四边形ABCD为平行四边形.

6．取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边

如：已知平行四边形ABCD两对角线的长分别为6和8，则较短边长x的取值范围为1＜x＜7. （二）矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2．特征：∵矩形ABCD

∴1）AB∥CD且AB=CD ；AD∥BC 且AD=BC；

2）∠A=∠C＝∠B=∠D＝900；

3）∠A+∠B=1800；∠A+∠D=1800；

∠C+∠B=1800；∠C+∠D=1800；

4）AO=CO，BO=DO，AC＝BD；

5）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．由矩形得直角三角形的性质：

1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.

5．识别：1)先证明它是平行四边形

2）再加：有一个角是直角或者对角线相等即可.

（三）菱形

2．特征：∵菱形ABCD

∴1）AB∥CD，AD∥BC，AB=CD＝AD=BC；

2）∠BAD=∠BCD；∠ABC=∠ADC；

3）∠BAD+∠ABC=1800；∠BAD+∠ADC=1800；

∠BCD+∠ABC=1800；∠BCD+∠ADC=1800；

4）AO=CO，BO=DO，，对角线平分对角；

5) ∠BAO＝∠DAO；∠BCO＝∠DCO；∠ABO＝∠CBO；∠ADO＝∠CDO.

6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．识别：1）先证明它是平行四边形

2）再加：有一组邻边相等或对角线互相垂直即可

（四）正方形

1．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2．特征：∵正方形ABCD

∴1）AB∥CD，AD∥BC，AB=CD＝AD=BC；

2）∠BAD＝∠BCD＝∠ABC=∠ADC＝900；

3）∠BAD+∠ABC=1800；∠BAD+∠ADC=1800；

∠BCD+∠ABC=1800；∠BCD+∠ADC=1800；

4）AO=CO，BO=DO，AC=BD，，对角线平分对角；

5) ∠BAO＝∠DAO＝∠BCO＝∠DCO＝∠ABO＝∠CBO＝∠ADO＝∠CDO＝450

6）中心对称图形，轴对称图形

3．面积：

4．识别：1）先证是平行四边形；

2）再证是矩形或菱形；

3）再加菱形或矩形的特征

（五）梯形

1．定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；

有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.

2．特征（等腰梯形）：在等腰梯形ABCD中

1）AD∥BC，AB＝CD；

2）∠ABC=∠BCD，∠BAD=∠CDA；

3）AC＝BD；4）轴对称图形

3．面积：

4．识别：1）若AD∥BC且AD≠BC，则四边形ABCD为梯形；

2）若AB＝CD或∠ABC=∠BCD或AC＝BD，则梯形ABCD为等腰梯形ABCD.

3）等腰梯形的性质和判定：

①性质：等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图

形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．

②判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等

的梯形是等腰梯形．

5.解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．

②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．

③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形．

④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．

综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋

转来实现．

四、规律方法指导

1 、转化思想（又叫化归思想）

转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：

（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．

（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．

2 、代数法（计算法）

代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．

3 、变换思想

即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．

4、应注意的几个问题

（1）不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．

（2）在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．（3）判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．（4）纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．

（5）复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结．

四边形常用辅助线做法

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。