第六节 线性微分方程解的结构

1 , 对应 x
( 2) 此方程的通解 . 2 p( x )2 x 0, 解 (1) 由题设可得： 2 1 x 3 p( x )( x 2 ) f ( x ),
解此方程组，得
1 p( x ) , x 3 f ( x) 3 . x
1 3 (2) 原方程为 y y 3 . x x 显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方程
解 y1 , y2 , y3 都是微分方程的解,
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 是对应齐次方程的解,
y3 y2 e 2 常数 y2 y1 x
x
所求通解为 y C1 ( y3 y2 ) C 2 ( y2 y1 )
C1e x C 2 x 2 .
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解 取平衡时物体的位置为坐标原点,
如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t).
物体所受的力有: 1. 弹性恢复力
o x
2. 阻力
x
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m d2 x dx 2n k 2 x 0. dt d t2
y C1 cos x C 2 sin x 为方程的通解.
推论 是 n 阶线性齐次微分方程
y2 且 tan x 常数, y1
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (C k 为任意常数)
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3
设 y * ( x ) 是二阶非齐次方程
( Y P ( x )Y Q( x )Y )
f ( x) 0 f ( x)
故 y Y ( x ) y * ( x ) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 是通解 .
例如, 方程 y y x 有特解
对应齐次方程 y y 0 有通解
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关. 例如： 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如：
必需全为 0 ,
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
在任何区间 I 上都线性无关.
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使
第六节 线性微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
二、线性齐次微分方程解的结构
三、线性非齐次微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
n 阶线性齐次微分方程;
当 f ( x) 0 时 , 当 f ( x) 0 时 , /
n 阶线性非齐次微分方程. 复习: 一阶线性方程 y P ( x ) y Q( x ) P ( x )d x P ( x )d x P ( x )d x d x e 通解: y C e Q( x ) e y 非齐次方程特解 齐次方程通解Y
y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )
* y1* y 2 就是原方程的特解. 的特解, 那么
(非齐次方程之解的叠加原理)
n 阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
思考题 2 2 x 已知 y1 3 ， y 2 3 x ， y 3 3 x e 都是微分
方程 ( x 2 2 x ) y ( x 2 2) y ( 2 x 2) y 6( x 1) 的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
故所求方程为: y sin x sin x y Q( x ) y 0 , sin x x cos x sin x x cos x
例4 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为
的齐次方程有一特解为 x 2 , 试求 : (1) p( x ), f ( x ) 的表达式 ;
练习题答案
一、 y (C1 C 2 x )e . x 三、 y C 1e C 2 ( 2 x 1) . 1 四、 y C1 x C 2 x ln x x (ln x ) 2 . 2
x2
2

二阶线性微分方程
y p( x ) y q( x ) y f ( x ).
当 f ( x ) 0 时 , 二阶线性齐次微分方程; 当 f ( x ) 0 时 , 二阶线性非齐次微分方程. /
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
( n)
a1 ( x ) y
( n1)
an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x ).
特解 y e x .
练 习 题
一、验证 y1 e 及 y 2 xe 都是方程 y 4 xy ( 4 x 2 2 ) y 0 的解,并写出该方程的通 解 .
x2 x2
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解: y c 1 x 2 c 2 x 2 ln x ( c 1 , c 2 是任意常数 ) 是方程 1、 x 2 y 3 xy 4 y 0 的通解； 1 ex x x ( c1 , c 2 是任意常数 ) 是 2、 y ( c1 e c 2 e ) x 2 x 方程 xy 2 y xy e 的通解 .
二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:
定理 设 y 是 n 阶非齐次线性方程
*
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn ( x ) y f ( x )
的一个特解,
Y 是与其对应的齐次方程的
y Y y * 是 n 阶非齐次线性微分 通解, 那么
方程的通解.
四、小结
问题: y C1 y1 C 2 y2 一定是通解吗？ 例：设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的解,但 是 , y=C1 y1+C2 y2 不为 (1) 的通解 . 为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关 与线性无关概念.
证 将 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 代入方程左边, 得 [ C1 y1 C 2 y ] P ( x )[ C1 y1 C 2 y ] 2 2
三、已知 y 1 ( x ) e x 是齐次线性方程 ( 2 x 1) y ( 2 x 1) y 2 y 0 的一个解,求此方程 的通解 .
2 四、已知齐次线性方程 x y xy y 0 的通解为 Y ( x ) c1 x c 2 x ln x ,求非齐次线性方程 x 2 y xy y x 的通解 .
补充内容
y P ( x ) y Q( x ) y 0
可观察出一个特解
(1) 若P ( x ) xQ( x ) 0,
特解 y x;
( 2) 若1 P ( x ) Q( x ) 0, ( 3) 若1 P ( x ) Q( x ) 0,
特解 y e x ;
Q( x )[ C1 y1 C 2 y2 ]
C1 [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ]
C 2 [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] 0. 2 2
定义 设 y1 ( x ), y2 ( x ),, yn ( x ) 是定义在区间 I 上的
的两个线性无关的特解, 1 * 又 y 是原方程的一个特解， x 由解的结构定理得方程的通解为 1 2 y C1 C 2 x . x
定理 4
* 1 * 2
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) ②
是非齐次方程的通解 . 证 将 y Y ( x ) y * ( x )代入方程①左端, 得 ( Y y * ) P ( x ) ( Y y * ) Q( x ) ( Y y * )
线性无关 思考:
y1 ( x ) 常数. y2 ( x ) y1 ( x ) 常数 y2 ( x )
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理 2
如果 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关
的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
例如 y y 0, 有解 y1 cos x , y2 sin x ,
Y C1 cos x C2 sin x ,
因此该方程的通解为
例1 已知 e x , e y x 为 y y x 的一个特解 , 求 y y x 的通解.
y x C1e x C2e x
例2 设 y1 , y2 , y3 是二阶线性非齐次方程的三个 线性无关的解，试用 y1 , y2 , y3 表示方程的通解.
y y3 C1 y3 y2 C 2 y3 y1