2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四十四) 双 曲 线
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五十二) 排列、组合 Word版含解析
课时达标检测（五十二）排列、组合[小题对点练——点点落实]对点练(一)两个计数原理1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，因此满足条件的点的个数是7＋7＝14.2．(2018·云南调研)设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B因为集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2×5＝10(个)．3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种解析：选B赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有4＋6＝10(种)．4．(2018·绍兴模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252C．261 D．279解析：选B0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24 B．14C．10 D．9解析：选B第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理，共有12＋2＝14种选择方式．6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．解析：先染顶点S，有5种染法，再染顶点A有4种染法，染顶点B有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420种染色方法．答案：420对点练(二)排列、组合问题1．(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12·A44·A22＝96种排法，故选C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10 B．20C．30 D．40解析：选B将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为()A．13 B．24C．18 D．72解析：选D可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有A13种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A33种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.4．(2017·舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23A33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C13A33＋C23A33＝36(种)．5．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有()A．72种B．36种C．24种D．18种解析：选B A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．6．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20.答案：207．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4种情况，再对应到4个人，有A44＝24种情况，则共有4×24＝96种情况．答案：968．若把英语单调“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．解析：把g，o，o，d 4个字母排一行，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：11[大题综合练——迁移贯通]1．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)解：(1)从4名男生中选出2人，有C24种选法，从6名女生中选出3人，有C36种选法，根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列共有C24C36A55＝14 400(种)．(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有C24C36A33A24＝8 640(种)．2．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种情况，后排有A55种情况，则符合条件的选法数为(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400.(2)除去该女生后，先选后排，则符合条件的选法数为C47·A44＝840.(3)先选后排，但先安排该男生，则符合条件的选法数为C47·C14·A44＝3 360.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种情况，再安排该男生有C13种情况，选出的3人全排有A33种情况，则符合条件的选法数为C36·C13·A33＝360.3．有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)∵1号球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2,3,4号小球也各有4种放法，∴共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,2. 先从4个小球中任选2个放在一起，有C 24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 34种放法．∴由分步乘法计数原理知共有C 24A 34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 14种分法，再放到2个盒子内，有A 24种放法，共有C 14A 24种放法；②把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 242种分法，放入2个盒子内，有A 24种放法，共有12C 24A 24种放法． ∴由分类加法计数原理知共有C 14A 24＋12C 24A 24＝84种不同的放法．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测 三角函数的图象与性质 Word版含解析
课时达标检测（二十） 三角函数的图象与性质[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的定义域和值域) (是的值a －b ，则]b ，a [，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 已知函数)考安徽联·(2018．1 A ．2 B ．3 2＋3C.3－2．D －b ，所以2,1]－[的值域为x 2cos ＝y ，所以函数⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 因为函数 B 选解析：a ＝1－(－2)＝3，故选B.)(为的最大值与最小值分别x 2sin －x 2cos ＝y ．函数2 A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2 ＝y ，1,1]－[∈t ，则x sin ＝t ，令1＋x 2sin －x 2sin －＝x 2sin －x 2sin －1＝x 2sin －x 2cos ＝y D 选解析： 2.－，最小值为2为，所以最大值2＋21)＋t (－＝1＋t 2－2t － )(为的值ab ，则[5,8]的值域是)x (f 时，函数]π，0[∈x ，若b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2x 2＋sin x a ＝)x (f ．已知函数3 224－42或51－215．A 15－215．B 224－42．C 224＋42或51＋215．D .b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin a 2＝b ＋)x sin ＋x cos ＋1(a ＝)x (f A 选解析： ，5π4≤π4＋x ≤π4∴，π≤x ≤0∵ 0.≠a ，依题意知1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ≤22－∴ 5.＝b ，3－23＝a ∴⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，时，0>a 当① 8.＝b ，23－3＝a ∴⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝5，b ＝8，时，0<a 当② 8.＝b ，23－3＝a 或5＝b ，3－23＝a 综上所述， .224－42或51－215＝ab 所以)(1]如例⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.＝b *a 定义运算：)考湖南衡阳八中月·(2018．4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22A. 1,1]－[．B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22D. 解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，，x >sin x cos ，时π2≤x <5π4或π4<x ≤0当，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22∈)x (f ，x cos ＝)x (f ，x cos ≥x sin ，时5π4≤x ≤π4当.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22的值域为)x (f 综上知．]1,0－[∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∈)x (f ，x sin ＝)x (f ________________.＝x ，此时________为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y ．函数5 ．)Z ∈k (πk 2＋3π4＝x ，即πk 2＋π＝π4＋x ，此时5＝2＋3为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y 函数解析： )Z ∈k (πk 2＋3π45答案： 对点练(二) 三角函数的性质) (为的单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 2sin ＝y )考安徽六安一中月·(2018．1 )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋5π12，kπ＋11π12B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3D. 5π12＋πk ，即)Z ∈k (3π2＋πk 2≤π3－x 2≤π2＋πk 2∴，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin －＝y 函数可化为∵ B 选解析：．)Z ∈k (11π12＋πk ≤x ≤ 2．(2018·云南检测)下列函数中，存在最小正周期的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x | |x tan|＝y ．C01)＋2x (＝y ．D ＝T ，最小正周期x cos ＝|x cos|＝y ：B ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，＝|x sin|＝y ：A B 选解析：，无最小正周期．1＝01)＋2x (＝y ：D ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x≥0，－tan x ，x<0，＝|x tan|＝y ：C ；π2 π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f 若函数)模辽宁抚顺一·(2018．3对称，则ω＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9 ，即Z ∈k ，πk ＝π4－ωπ12∴对称，π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f ∵ B 选解析：ω＝12k ＋3，k ∈Z .∵1<ω<14，∴ω＝3.故选B.)(＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ，则)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 若函数)考福建六校联·(2018．4 A ．2或0 B ．0 C ．－2或0D ．－2或2 ，可知函数图象的一条对称轴为)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 由函数 D 选解析：－或2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ∴时，函数取得最大值或者最小值．π6＝x 根据三角函数的性质可知，当.π6＝π3×12＝x 直线 2.故选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x f，都有x 对任意实数②是偶函数；)x (f ①同时具有以下两个性质：)x (f ．若函数5)(是的解析式可以)x (f 则.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x f ＝ xcos ＝)x (f ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f ．B ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f ．Cx cos 6＝)x (f ．D 是偶函x cos ＝)x (f ∵对称，π4＝x 数，且它的图象关于直线是偶函)x (f 由题意可得，函数 C 选解析：sin －＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f 函数∵A.除对称，故排π4＝x ，不是最值，故不满足图象关于直线22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 数，，是最小值，1－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数，x cos 4＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f 函数∵B.除是奇函数，不满足条件，故排x 2，不是最值，故0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数．x cos 6＝)x (f 函数∵满足条件．C 故对称，π4＝x 故满足图象关于直线 D.除对称，故排π4＝x 不满足图象关于直线∈x 对一切⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f 若.0≠ab ，R ∈b ，a ，其中x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f 已知)考洛阳统·(2018．6) (是的单调递增区间)x (f ，则0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 恒成立，且R ) Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，kπ＋π2C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π2，kπD. 是π6＝x ∴，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f ∵.b a ＝φtan 中，其)φ＋x sin(2a2＋b2＝x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f B 选解析：的取值可以φ∴，0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ．又)Z ∈k (πk ＋π6＝φ，)Z ∈k (πk ＋π2＝φ＋π3的图象的一条对称轴，即)x (f 函数k (2π3＋πk ≤x ≤π6＋πk 得)Z ∈k (π2＋πk 2≤5π6－x 2≤π2－πk 2由，⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6sin a2＋b2＝)x (f ∴，5π6是－∈Z )，故选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0的图象关于)π<θ)(0<θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f 若函数)检河北石家庄一·(2018．7) (是上的最小值⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 对称，则函数 1－．A 3．－B 12．－C 32．－D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ，则由题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋θ＋π62sin ＝)θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f B 选解析：上是减函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在)x (f ，x 2sin 2－＝)x (f ，所以5π6＝θ，所以π<θ0<又，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π62sin B.选，故3＝－π32sin －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f 上的最小值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 函数[大题综合练——迁移贯通].⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π222sin ＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ＝)x (f 设函数)模湖南岳阳二·(2017．1 (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；的值域．)x (f 时，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4∈x 当)(2)π＋x cos(2－1＋x sin 232＋x cos 212＝)x (f (1)解： ，1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin 3＝1＋x sin 232＋x cos 232＝ 所以f (x )的最小正周期T ＝π. ，Z ∈k ，π2＋πk ＝π3＋x 2由 .Z ∈k ，π12＋kπ2＝x 得对称轴方程为 ，5π6≤π3＋x 2≤π3，所以－π4≤x ≤π3因为－)(2 .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3＋1的值域为)x (f 所以 1.－x 2 cos ＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f 已知函数)拟北京怀柔区模·(2018．2 (1)求函数f (x )的最小正周期；上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 求函数)(2 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝x cos2＋x sin 2＝x cos2＋x cos x 2sin ＝1－x cos 2＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f ∵(1)解： .π＝2π2＝T 的最小正周期)x (f 函数∴ .⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝)x (f 可知，)(1由)(2 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4∈π4＋x 2∴，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4∈x ∵ 1.－，2上的最大值和最小值分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 故函数.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1∈⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin ∴ ．)R ∈x (x cos 23－x cos x 2sin ＝)x (f 已知函数)模辽宁葫芦岛普通高中二·(2017．3 的值；αcos 2求，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α且12＝)α(f 若)(1 的最小值．a 上单调递增，求实数)b <a (]πb ，πa [在)x (f ，且函数b 上的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2在)x (f 记函数)(2 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin ＝x cos 23－x sin 2＝)x (f (1)解： .14＝⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3sin ∴，12＝)α(f ∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α∵，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π∈π3－α2∴ .154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3cos ∴ 32×14－12×154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3cos ＝α2 cos ∴ .3＋158＝－∈k ，πk 2＋π2≤π3－x 2≤πk 2＋π2由－.2＝b ∴，[1,2]∈)x (f ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3∈π3－x 2，时⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∈x 当)(2Z ，.Z ∈k ，πk ＋5π12≤x ≤πk ＋π12得－ 又∵函数f (x )在[a π，2π](a <2)上单调递增，，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋2π，5π12＋2π⊆]π2，πa [∴ ，π2<πa ≤π2＋π12－∴ .2312的最小值是a 实数∴，2<a ≤2312∴。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第八章 立体几何 Word版含解析 (64)
课时达标检测（五）函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一)函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y＝x 12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B①y＝x 12在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y＝log12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝e xC．f(x)＝1x D．f(x)＝ln(x＋1)解析：选C根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于C，f(x)＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C正确；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f(x)＝log3(3－4x＋x2)的单调递减区间为()A．(－∞，2) B．(－∞，1)，(3，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C由3－4x＋x2>0得x<1或x>3.易知函数y＝3－4x＋x2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y＝log3x在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝－2x＋1 B．y＝1 xC．y＝lg x D．y＝x3解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a ＋1＝4 034.2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a >1，∴a ∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－36．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0，∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四十三) 椭 圆
课时达标检测（四十三） 椭 圆[小题对点练——点点落实]对点练(一) 椭圆的定义和标准方程1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选B 设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2，因为F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，所以F 1D 是△MAN 的中位线，则|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)，因为D 在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝4，所以|AN |＋|BN |＝8.3．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选B 因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.4.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y210＝1 D.x 245＋y225＝1 解析：选B 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在R t △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.5．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．解析：M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.答案：86．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1>a ＋3>0，解得－3<a <－2.答案：(－3，－2)对点练(二) 椭圆的几何性质1.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.53D.33解析：选B 由题意知|OA |＝|AP |＝b ，|OP |＝a ，OA ⊥AP ，所以2b 2＝a 2，即b 2a 2＝12，故e ＝1－b 2a 2＝22，故选B. 2．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，EF 1―→·EF 2―→的最大值、最小值分别为( )A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8解析：选B 由题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )，则EF 1―→＝(－1－x ，－y )，EF 2―→＝(1－x ，－y )，所以EF 1―→·EF 2―→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝19x 2＋7(－3≤x ≤3)，所以当x ＝0时，EF 1―→·EF 2―→有最小值7；当x ＝±3时，EF 1―→·EF 2―→有最大值8.故选B.3．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则该椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S ＝12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，整理得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12.故选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b ＜2，而e ＝c a ＝1－b 2a2＝ 1－b 24，所以0＜e ≤32.5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________．解析：由题意可知b 2＋c 2＝4，则△ABF 的面积为12×2bc ＝bc ≤b 2＋c 22＝2，当且仅当b＝c ＝2时取等号．答案：26．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b 2a 2＝14， 从而e ＝ 1－b 2a 2＝32. 答案：327．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆．若点P 是圆O 上的动点，则|PF 1|2＋|PF 2|2的值是________．解析：由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，a ＝2，b ＝1.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝[(x 0＋3)2＋y 20]＋[(x 0－3)2＋y 20]＝2(x 20＋y 20)＋6＝8.答案：88.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1[大题综合练——迁移贯通]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→， AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.2．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 在第一象限上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，由k MN ＝kMF 1＝34，得b 2a －0c －(－c )＝34，即2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2ca 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝1－b 2a2＝ 1－12＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c 3.由|PA|＝|PB|，得k PN＝－1，即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测44 含
课时跟踪检测(四十四)1．点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6,1) D ．(－8，－6,1)答案：A解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．2．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断 答案：B解析：因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．3．在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直 答案：B 解析：由题意得， AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点，∴AB ∥CD .4．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案：B解析：由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．5．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案：C解析：∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0， ∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．6．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 答案：C解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，所以AE →·CD →＜0. 又因为AE →·BC →＝0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →.7．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．43 C.53 D ．75答案：D解析：由题意，得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.8．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．答案：(0，2，3) 解析：由题意知，点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)．9．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|＝________. 答案：773解析：设P (x ，y ，z )， ∴AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773.10．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案：60°解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10， 即2a·c ＋b·c ＝－10. 又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.1．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2 C.14a 2 D ．34a 2 答案：C解析： 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a·c ＋b·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，∵A 1M ＝AN ＝23a ， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，23a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．答案：解析：由题意，设BP →＝λBD 1→， 其中λ∈，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →) ＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→ ＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →) ＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈． 因此DC →·AP →的取值范围是．4.已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.5．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝ 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.6．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解：假设存在满足条件的点G ，设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十四) 导数与函数的单调性 含解析
课时达标检测（十四） 导数与函数的单调性[小题对点练——点点落实]对点练(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1.(2018·福建龙岩期中)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－2) B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题图可以看出－2,3是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3可化为y ＝log 2(x 2－x －6)．解x 2－x －6>0得x <－2或x >3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图象开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A.2．(2017·焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，故选B. 3．(2018·湖北荆州质检)函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 对点练(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题1．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：选B f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意知，f ′(x )≤0在R 上恒成立，则Δ＝(2a )2－4×(－1)×(－3)≤0恒成立，解得－3≤a ≤ 3.2．(2018·河北正定中学月考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选B 由f (x )＝f (2－x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称．根据题意知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以f (3)＝f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .故选B.3．(2018·河北唐山期末)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：选D 因为f (－x )＝ln(e －x ＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．通过导函数可知函数y ＝e x ＋e－x在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e－x)＋x 2在(0，＋∞)上也是增函数，所以不等式f (2x )>f (x ＋3)等价于|2x |>|x ＋3|，解得x <－1或x >3.故选D.4．(2018·云南大理州统测)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 017为奇函数，则不等式f (x )＋2 017e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选B 设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以h (x )是定义在R 上的减函数．因为f (x )＋2 017为奇函数，所以f (0)＝－2 017，h (0)＝－2 017.因为f (x )＋2 017e x <0，所以f (x )e x <－2 017，即h (x )<h (0)，结合函数h (x )的单调性可知x >0，所以不等式f (x )＋2 017e x <0的解集是(0，＋∞)．故选B.5．若函数f (x )＝x ＋4mx －m ln x 在[1,2]上为减函数，则m 的最小值为( ) A.32 B.34 C.23D.43解析：选C 因为f (x )＝x ＋4m x －m ln x 在[1,2]上为减函数，所以f ′(x )＝1－4m x2－m x ＝x 2－mx －4mx2≤0在[1,2]上恒成立，所以x 2－mx －4m ≤0在[1,2]上恒成立．令g (x )＝x 2－mx －4m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝1－m －4m ≤0，g (2)＝4－2m －4m ≤0，所以m ≥23，故m 的最小值为23，故选C.6．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x 得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，因而f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.7．已知函数f (x )＝－ln x ＋ax ，g (x )＝(x ＋a )e x ，a <0，若存在区间D ，使函数f (x )和g (x )在区间D 上的单调性相同，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－1，－12 D ．(－∞，－1)解析：选D f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x ＋a ＝ax －1x ，由a <0可得f ′(x )<0，即f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减．g ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝－(a ＋1)，当x ∈(－∞，－a －1)时，g ′(x )<0，当x ∈(－a －1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )的单调递减区间为(－∞，－a －1)，单调递增区间为(－a －1，＋∞)．因为存在区间D ，使f (x )和g (x )在区间D 上的单调性相同，所以－a －1>0，即a <－1，故a 的取值范围是(－∞，－1)，故选D.8．(2018·宁夏育才中学月考)若函数f (x )＝a ln x －x 在区间(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝ax －1＝a －x x ≥0得a －x ≥0，即a ≥x ，又x ∈(1,2)，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)[大题综合练——迁移贯通]1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )．若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 2．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调递减函数， 则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，得m ＞－373.∴－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时
课时达标检测(四）1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________．解析：依题意可得，M＝{5,6,7,8}，所以集合M中共有4个元素．答案：42．(2018·苏北四市联考)设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z|0＜x＜2.5}，B＝{x∈Z|(x－1)(x－4)＜0}，则∁U(A∪B)＝____________.解析：∵A＝{x∈Z|0＜x＜2.5}＝{1,2}，B＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∵全集U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,4,5}．答案：{0,4,5}3．(2018·甘肃会宁一中月考)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为________________．解析：命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定为∃x＞0，使得(x＋1)e x≤1.答案：∃x＞0，使得(x＋1)e x≤14．(2018·盐城中学月考)若命题p：“x＜1”，命题q：“log2x＜0”，则p是q的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析：由log2x＜0得0＜x＜1，则p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分5．(2018·湖北百所重点学校联考)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x，命题q：∃x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的序号是________．①p∧q；②綈p∧綈q；③p∧綈q；④綈p∧q.解析：对于命题p：当x＝1时，log4x＝log8x＝0，所以命题p是假命题；对于命题q：当x＝0时，tan x＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以綈p∧q是真命题．答案：④6．设集合A＝{x|y＝ln(x－a)}，集合B＝{－1,1,2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|y＝ln(x－a)}，所以A＝{x|x＞a}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，因为B＝{－1,1,2}，所以a＜－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)7．已知命题p：x2＋4x－5＞0；命题q：x＜a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋4x－5＞0，得x＜－5或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≤－5.答案：(－∞，－5]8．(2018·南通模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩(∁R B)＝____________.解析：∵B ＝{x |x ＞4或x ＜－2}，∴∁R B ＝{x |－2≤x ≤4}，∴A ∩(∁R B )＝{－1,2}．答案：{－1,2}9．(2018·南京调研)下列说法中正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”；②“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件；③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题；④“tan x ＝3”是“x ＝π3”的充分不必要条件． 解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即①不正确；因为x 2－x －2＝0，所以x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即②不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故③正确；由x ＝π3能推出tan x ＝3，但由tan x ＝3推不出x ＝π3，所以“tan x ＝3”是“x ＝π3”的必要不充分条件，即④不正确． 答案：③10．(2018·如东中学月考)“p ∨q 是真命题”是“綈p 为真命题”的______________条件．解析：若“p ∨q 是真命题”成立，则p 、q 中至少一个为真，“綈p 为真命题”不一定成立；若“綈p 为真命题”成立，则命题p 为假命题，所以“p ∨q 是真命题”不一定成立；所以“p ∨q 是真命题”是“綈p 为真命题”的既不充分又不必要条件．答案：既不充分又不必要11．(2018·江苏如皋中学月考)若“数列a n ＝－n 2＋2λn (n ∈N *)是递减数列”为假命题，则λ的取值范围是________．解析：若数列a n ＝－n 2＋2λn (n ∈N *)为递减数列，则有a n ＋1－a n ＜0，即2λ＜ 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立，于是可得2λ＜3，即λ＜32，故所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ y ＝1－x 2＋4x －3，B ＝{y |y ＝4x －1，x ≥0}，则A ∩B ＝______. 解析：由题意得，集合A ＝{x |－x 2＋4x －3＞0}＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}．答案：{x |1＜x ＜3}13．(2018·北京海淀区期中考试)已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(ⅰ)A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6}，A ∩B ＝∅；(ⅱ)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(A ，B )的个数为________．解析：由题意得：①若A 中只有1个元素，B 中5个元素，所以5∈A,1∈B ，则A ＝{5}，B ＝{1,2,3,4,6},1对；②若A 中有2个元素，B 中4个元素，所以4∈A,2∈B ，此时有序集合对(A ，B )有4对，即({1,4}，{2,3,5,6})，({3,4}，{1,2,5,6})，({5,4}，{1,2,3,6})，({6,4}，{1,2,3,5})；③若A 中有3个元素，B 中3个元素，所以3∉A,3∉B ，与条件A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6}矛盾；④若A 中有4个元素，B 中2个元素，所以2∈A,4∈B ，此时有序集合对(A ，B )有4对，即({2,3,5,6}，{1,4})，({1,2,5,6}，{3,4})，({1,2,3,6}，{5,4})，({1,2,3,5}，{6,4})；⑤若A 中有5个元素，B 中只有1个元素，所以5∈B,1∈A ，则A ＝{1,2,3,4,6}，B ＝{5},1对；综上有序集合对(A ，B )的个数为10.答案：1014．已知命题p ：f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式x 2－2x ＞m －1的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：对于命题p ，由f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m ＞0，解得m ＜12；对于命题q ，不等式x 2－2x ＞m －1的解集为R 等价于不等式(x －1)2＞m 的解集为R ，因为(x －1)2≥0恒成立，所以m ＜0，因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以命题p和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜12，m ≥0，得0≤m ＜12；当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥12，m ＜0，此时m 不存在，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，12. 答案：⎣⎡⎭⎫0，12。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测 集 合 Word版含解析
课时达标检测（一） 集 合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析： ．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案： ．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为 即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． ，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得 ，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． ．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． ，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四) 函数及其表示 Word版含解析
课时达标检测（四） 函数及其表示[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的定义域1．(2018·吉林省实验中学模拟)下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }；y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0}．故选D.2．(2018·河南南阳一中月考)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1]D ．(－4,0)∪(0,1]解析：选A要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1.故选A.3．(2018·山东枣庄期末)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,3]解析：选A 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1.故选A.4．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选B f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0的解集，解得－9<x <1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.5．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________． 解析：由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－14 对点练(二) 函数的表示方法1．设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的解析式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：选A 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A.2．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x－1 解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1. 3．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.答案：2x ＋74．(2018·洛阳质检)若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的解析式为________________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3, g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t－2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的解析式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －1对点练(三) 分段函数1．(2018·湖北襄阳四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝( )A.12 B ．－12C ．－3D ．3解析：选D f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2×0＋2＝1＋2＝3.故选D.2．(2017·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.3．(2018·江西师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．综上，f (a )＝－2.故选A.4．(2018·福建泉州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D 根据题意，当a >0时，f (a )－f (－a )>0，即a 2＋a －[－3(－a )]>0，∴a 2－2a >0，解得a >2；当a <0时，f (a )－f (－a )<0，即－3a －[(－a )2＋(－a )]<0，∴a 2＋2a >0，解得a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)[大题综合练——迁移贯通]1．(1)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以f (t )＝4⎣⎡⎦⎤12(t －1)2＋2×12(t －1)＋1＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.(2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， 所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
2019年高考数学一轮复习 课时跟踪检测24 文 新人教A版.doc
2019年高考数学一轮复习 课时跟踪检测24 文 新人教A 版1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 答案：C解析：解法一：∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，∴C ＝60°，故选C. 解法二：由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去)．而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33 D.233答案：D解析：由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB＝255，或cos ∠DCB ＝－255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝－255舍去．在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233，故选D. 3．[2017·安徽合肥第一次质检]△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72答案：A解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a＝2，故选A.4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C (△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，然后给出了三种测量方案：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 答案：D解析：由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB .5．[2017·东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考]已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C.3 D ．2 答案：C解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A＝3，故选C.6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是( )A.4003 米 B.40033米C ．200 3 米D ．200 米答案：A解析：如图所示，AB 为山高，CD 为塔高，则由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AB ＝200(米)．则AC ＝ABcos 30°＝40033(米)． 在△ACD 中，∠CAD ＝60°－30°＝30°， ∠ACD ＝30°， ∴∠ADC ＝120°.由正弦定理，得CD sin 30°＝ACsin 120°，∴CD ＝AC sin 30°sin 120°＝4003(米)．7．[2017·海南海口调研]如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64 D.63答案：C解析：∵DE ＝22， ∴BD ＝AD ＝DEsin A ＝22sin A，∵∠BDC ＝2A ，∴在△BCD 中，由正弦定理，可得BC sin ∠BDC ＝BDsin C.∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A， ∴cos A ＝64. 8．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案：B 解析：∵cos 2B 2＝1＋cos B2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．9．[2017·北京海淀模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝4，sinC ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 答案：15解析：∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理，可得c ＝2a ，∵c ＝4，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×4×154＝15. 10．已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，则角A 等于________．答案：7π36解析：在△ABC 中，a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，∴a 2sin B ＋2ab cos C sin A ＝0，a sin B ＋2b cos C sin A ＝0，sin A sin B ＋2sin B cos C sin A ＝0， 又sin A ≠0，sin B ≠0， ∴cos C ＝－12，且0<C <π，∴C ＝2π3，则A ＝π3－B ，又tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－B cos B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B sin B＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， 即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＋B ，∴π3－2B ＝B －π12或π3－2B －π12＋B ＝π，解得B ＝5π36或B ＝－3π4(舍去)，故A ＝π3－5π36＝7π36.11.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．答案： 3解析：sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ， ∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.12．如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点C 到点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．答案：10 6解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°，所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC， AB ＝BC tan 60°＝106(米)．[冲刺名校能力提升练]1．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案：A解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 2．[2017·湖南衡阳一模]如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且B 与D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km 答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即AC 2＝25＋64－2×5×8cos B ＝89－80cos B ．在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D ，即AC 2＝25＋9－2×5×3cos D ＝34－30cos D ．因为B 与D 互补，所以cos B ＝－cos D ，所以－34－AC 230＝89－AC 280，解得AC ＝7(km)，故选A.3．[2017·河北石家庄模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．3 答案：C解析：由c sin A ＝3a cos C ，得 sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中，sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.4．[2017·河南洛阳统考]如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos C ＝________.答案：79解析：由条件，得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，② 联合①②解得a ＝3，b ＝1， 所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC＝32＋32－222×3×3＝79. 5．[2016·北京卷]在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac ，得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.6．如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1)如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝π6，∠ASB ＝π3. 又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3， 即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．在Rt △SCO 中，由SC ＝3，∠CSO ＝π6， 可求得OC ＝ 3.因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米．(2)连接SM ，SN ，设SN ＝a ，SM ＝b .由(1)知，SO ＝23，在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ， 即32＋1－b 22×23×1＝－32＋1－a 22×23×1， 可得a 2＋b 2＝26.在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 又∠MSN ∈(0，π)，则0<∠MSN <π3. 故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．。
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课时达标检测（四十四） 双 曲 线.;[小题对点练——点点落实];对点练(一) 双曲线的定义和标准方程.1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．;2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1 C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 解析：选A 由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P ―→·F 2F 1―→的值为( );A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：选B 由题意得，在△PF 1F 2中，由正弦定理得，sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，结合这两个条件得，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝14，则F 2P ―→·F 2F 1―→＝2，故选B. 4．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎣⎡⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.5．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192 B ．11 C ．12D ．16解析：选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |，显然，当AB 垂直于x 轴时其长度最短，|AB |min ＝2·b 22＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min＝11.6．(2018·河北武邑中学月考)实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________．解析：2a ＝2,2b ＝4.当焦点在x 轴时，双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1；当焦点在y 轴时，双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1.答案：x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为12×22×22＝4.答案：44对点练(二) 双曲线的几何性质1．(2018·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C.62D. 6解析：选B 依题意知b a ＝2，∴双曲线C 的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.故选B.2．(2018·安徽黄山模拟)若圆(x －3)2＋y 2＝1上只有一点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )A.355B.334C. 3D. 5解析：选A 不妨取渐近线为bx ＋ay ＝0，由题意得圆心到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|3b |b 2＋a 2＝2，化简得b ＝23c ，∴b 2＝49c 2，∴c 2＝95a 2，∴e ＝c a ＝355，故选A. 3．(2018·湖北四地七校联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )A.1＋52B.3＋54C.1＋52D.3＋52解析：选D 设虚轴的一个端点为B ，则S △F 1BF 2＝12b ×2c ＝12a ×b 2＋c 2，即b ×2c＝a ×b 2＋c 2，∴4c 2(c 2－a 2)＝a 2(－a 2＋2c 2)，∴4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋54，∴e ＝3＋52(舍负)．故选D. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：选C 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.5．(2018·江西五市部分学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(1,0)，若双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，223B.⎝⎛⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫0，223 解析：选D 法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，可知b a >122，所以8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2，所以0<a <223.法二：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，不妨设P 在第一象限，且P (x 0，y 0)，则y 0＝122x 0，代入双曲线方程得x 20＝8a 2b 28b 2－a2>a 2，可知8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2，所以0<a <223. 6．(2018·山西重点中学联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 设O 为坐标原点，由2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，得4|PO ―→|≤2c (2c 为双曲线的焦距)，∴|PO ―→|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO ―→|≥a ，于是a ≤12c ，∴e ≥2.故选D.7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A ―→＝AB ―→，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋c ，y ＝－b a x 得x ＝－aca ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，y ＝b a x ， 解得x ＝ac b －a ，不妨设x A ＝－ac a ＋b ，x B ＝acb －a，由F 1A ―→＝AB ―→可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b ，整理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝08．(2018·安徽池州模拟)已知椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点F 到双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的距离小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是________．解析：椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点F 为(2,0)，不妨取双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为bx ＋ay ＝0，则焦点F 到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|2b |b 2＋a 2<3， 即有2b <3c ，∴4b 2<3c 2， ∴4(c 2－a 2)<3c 2， ∴e <2， ∵e >1，∴1<e <2. 答案：(1,2)[大题综合练——迁移贯通]1．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等． 则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.2．(2018·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ， 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e >1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.3．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0， ∴k 2＜1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。