圆锥曲线583
圆锥曲线知识点总结数学喵
圆锥曲线知识点总结数学喵圆锥曲线是数学中的一个重要概念，主要研究平面与圆锥面相交形成的各种曲线的性质。
以下是圆锥曲线知识点总结：1. 圆的标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中圆心为$(a,b)$，半径为$r$。
2. 圆的一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中圆心为$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径为$\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$。
3. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中长轴为$2a$，短轴为$2b$。
焦点在y轴上：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，其中长轴为$2a$，短轴为$2b$。
4. 椭圆的性质：长轴和短轴的关系：$c^2=a^2-b^2$焦点到椭圆上任一点的距离和为定值：$2a$5. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中实轴为$2a$，虚轴为$2b$。
焦点在y轴上：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，其中实轴为$2a$，虚轴为$2b$。
6. 双曲线的性质：实轴和虚轴的关系：$c^2=a^2+b^2$焦点到双曲线上任一点的距离差为定值：$2a$7. 抛物线的标准方程：开口向右或向上：$y^2=2px$，其中焦距为$p$。
开口向左或向下：$-y^2=2px$。
8. 抛物线的性质：焦距与开口方向的关系：对于开口向右或向上的抛物线，焦距为正；对于开口向左或向下的抛物线，焦距为负。
9. 圆锥曲线的共同性质：离心率：是描述圆锥曲线形状的重要参数。
对于椭圆和双曲线，离心率范围是$(0,1)$；对于抛物线，离心率是1。
离心率与焦距和主轴长度的关系对于椭圆和双曲线有公式$c/a=e$，其中$c$是焦距，$a$是主轴长度的一半。
圆锥曲线 知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面与圆锥相交而得到的曲线。
在平面几何中，圆锥曲线可以用数学方程来进行描述。
一般来说，圆锥曲线的数学方程可以由二次方程来表示，它们的一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0（其中A、B、C、D、E和F是常数，且A和C不同时为0）。
根据二次方程的系数A、B和C的取值，我们可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是圆锥曲线的一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 + By^2 + C = 0（其中A和B不同时为0）。
椭圆在平面上呈现出闭合的轨迹，且其长度和宽度不同，这种特性使得椭圆在几何学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道就可以用椭圆来描述。
双曲线是圆锥曲线的另一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 - By^2 + C = 0（其中A和B不同时为0）。
双曲线在平面上表现出两个分离的开口，它的形状类似于一个倒置的U形。
双曲线在数学和物理学中有着丰富的应用，例如在电磁学中，电场和磁场的分布就可以用双曲线来描述。
抛物线是圆锥曲线的最后一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 + By = 0（其中A不为0）。
抛物线在平面上呈现出开口向上或向下的曲线轨迹，其特性在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在抛物线运动中，抛出的物体会沿着抛物线轨迹移动。
圆锥曲线的性质和特点除了不同类型的圆锥曲线有着各自不同的数学方程之外，它们还有许多共同的性质和特点。
在本节中，我们将分别对椭圆、双曲线和抛物线的性质进行探讨。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种类型，它具有许多重要的性质。
首先，椭圆在平面上呈现出闭合的轨迹，且其长度和宽度不同。
其次，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还满足反射定律，即光线从一个焦点射到椭圆上的一个点，然后被反射到另一个焦点。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。
定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。
①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。
知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，焦点，顶点、，长轴长= ，短轴长= ，焦距＝，2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 .(3)双曲线的简单几何性质范围：，；焦点，顶点，实轴长= ，虚轴长= ，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线： .3．抛物线(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。
(3)抛物线标准方程的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称顶点：坐标原点离心率： .知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。
(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点)；(3)若Δ＜0，则直线和椭圆相离，无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。
圆锥曲线的基本概念与图像
确定圆锥曲线的类型和参数
绘制圆锥曲线的常用方法
极坐标法：将圆锥曲线转换为极坐标形式，然后绘制出曲线的图像。
数值法：通过数值计算的方法，近似地绘制出圆锥曲线的图像。
直接法：根据圆锥曲线的定义和性质，直接绘制出曲线的图像。
参数法：通过引入参数方程，将圆锥曲线表示为参数方程，然后绘制出曲线的图像。
绘制圆锥曲线的注意事项
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的点到曲线的两个焦点的距离之和等于常数
准线：与圆锥曲线的母线平行的直线，与曲线相交于焦点
圆锥曲线的离心率
定义：圆锥曲线的离心率是用来描述圆锥曲线形状的一个重要参数，定义为焦距与轴线长度之比。
单击此处添加标题
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计算方法：离心率可以通过圆锥曲线的标准方程进行计算，也可以通过图形直观地测量得出。
圆锥曲线在三维空间中的形态和性质
圆锥曲线在解决实际问题中的应用
圆锥曲线在解决几何问题中的优势和局限性
05
圆锥曲线在物理中的应用
圆锥曲线在光学中的应用
椭圆和抛物线的光学性质
双曲线的光学性质
圆锥曲线在光学仪器中的应用
圆锥曲线在光波导中的应用
圆锥曲线在力学中的应用
抛物线在射程运动中的应用
圆锥曲线在碰撞与动量守恒定律中的应用
特性：渐近线的斜率等于圆锥曲线在顶点处的切线斜锥曲线的类型，渐近线可分为水平渐近线、竖直渐近线、斜渐近线等
03
圆锥曲线的图像绘制
绘制圆锥曲线的基本步骤
使用绘图软件或手动画图，连接点形成曲线
根据参数方程计算曲线上点的坐标
建立坐标系，确定坐标轴
抛物线在几何问题中的应用：抛物线的性质，如所有从焦点出发的线段都与抛物线相切，使得它在解决与焦点、准线和切线相关的问题中非常有用。
圆锥曲线
圆圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0ab >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。
本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。
其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。
根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。
1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。
圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。
2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。
椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。
抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。
4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。
双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。
而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。
2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。
对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。
3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。
例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。
4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
圆锥曲线总结
圆锥曲线总结圆锥曲线是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及具体的类型进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用圆锥曲线。
一、圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和到该点距离与到一条固定直线（直枝）的距离成比例的点的集合。
根据焦点和直枝的相对位置，可以将圆锥曲线分为三类：椭圆、抛物线和双曲线。
椭圆是焦点在直枝上的圆锥曲线。
它的特点是所有点到焦点和直枝的距离之和等于一个常数。
这个常数被称为椭圆的离心率，离心率小于1时，椭圆是闭合的，离心率等于1时，椭圆是一个圆。
抛物线是焦点在直枝上方或下方的圆锥曲线。
它的特点是所有点到焦点和直线的距离之差等于一个常数。
抛物线具有对称性，焦点和顶点之间的距离等于顶点到直线的距离。
双曲线是焦点在直枝的两侧的圆锥曲线。
它的特点是所有点到焦点和直枝的距离之差绝对值等于一个常数。
双曲线具有两个分支，分别向外延伸并无限趋近于两个渐近线。
除了这些基本性质之外，圆锥曲线还有许多重要的特点。
例如，椭圆和双曲线都被称为轴对称曲线，因为它们关于某个轴对称；而抛物线则被称为对称曲线，因为它关于焦点所在的直线对称。
二、具体类型的圆锥曲线1. 椭圆椭圆是一个常见的圆锥曲线。
它在几何学中有许多重要应用，例如描述行星的轨道、研究天文学中的天体运动等。
此外，椭圆还在物理学中有着广泛的应用，例如电子绕核的运动轨迹就是一个简单的椭圆。
2. 抛物线抛物线是另一个常见的圆锥曲线。
它的形状像一个开口向上或向下的弧线，它具有焦点和顶点，且具有对称性质。
抛物线在物理学中有广泛的应用，例如抛物面反射器的设计和抛物面反射式天线等。
3. 双曲线双曲线是一种对称性较强的圆锥曲线。
由于它的形状特点，双曲线广泛应用于物理学、工程学和天文学等领域。
例如，在天体力学中，双曲线被用来描述两个物体之间的引力作用；在光学中，双曲线被用来描述光线的折射和反射等。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线（conic section）是指将圆锥面截出的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线
和环状曲线。
圆锥曲线特征定义为一组相关的高等几何概念，它来源于几何表示椭圆，半
直径和圆周上的某些点，以及另一些几何学概念，比如两个椭圆相交等。
圆锥曲线在椭圆定律中有重要作用，它可以帮助我们计算椭圆的长短轴，还可以用来
寻找圆锥面上指定位置上的点，或者求解和椭圆方程有关的各种参数。
圆锥曲线还可以用来解决和相关物理问题，比如光的反射和折射现象，因为光的反射
和折射都可以用椭圆方程和圆锥曲线来找出解决方案。
结合圆锥曲线的几何性质，将圆锥曲线的描述定义为：圆锥曲线的两个基本特性是椭
圆形和整体对称性，它是由圆锥面截出来的，而这些曲线的性质依赖于特定的参数，比如
切锥面圆锥上的面积、长短轴、偏离角、椭圆长宽比等。
圆锥曲线可以利用椭圆方程作出精确的数学模拟，关于不同参数的变化对椭圆的影响，进而推导出圆锥曲线的椭圆上的将要交汇的点，可以解释出椭圆形的特性和关系。
同时，圆锥曲线还可以用来发现几何学中的相关概念，像直线到椭圆交点、椭圆面上
点到椭圆上一定点的最短距离等，这些概念可以帮助我们理解圆锥曲线。
总之，圆锥曲线是圆锥及其数学特性的几何结果，它不仅能帮助我们理解光的反射和
折射，也可以用来理解几何学中的概念，具有十分重要的意义。
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高考数学练习 （583）
圆锥曲线
1.若直线2ax －b y +2=0 （a >0, b>0） 被圆x 2+y 2+2x －4y +1=0截得的弦长为4，则
b
a 11+的最小值（ ）
A ．
2
1 B ．
4
1 C ．
2 D ．4
2.椭圆13
42
2=+y x 的离心率为e ，则过点（1，e ）且被圆044422=+--+y x y x 截得的最长弦所在的直线的方程是（ ）
A ．0423=-+y x
B ．0764=-+y x
C ．0223=--y x
D ．0164=--y x
3. 若椭圆mx 2+ny 2
=1与直线x+y-1=0交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
2
2则n m
=（ ） A 2 B
22 C 23 D 9
2
4.过双曲线2222b
y a x -=1（a >0，b >0）的左焦点F （-c ，0）（c >0），作圆422
2a y x =+的
切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若()
OP OF OE +=2
1
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．10
B ．
5
10
C ．
2
10
D ．2
5.设1x 、2x 是关于x 的方程2
2
0x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点
211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2
211x y -+=的位置关系是（ ）
（A ）相离. （B ） 相切. （C ）相交. （D ）随m 的变化而变化.
6.已知AB 是过抛物线2
2y x =焦点的弦，||4AB =，则AB 中点的横坐标是 .
7. 给出以下4个命题，其中所有正确结论的序号是________
⑴当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过定点P ，则焦点在y 轴上且过点P
的抛物线的标准方程是y x 3
4
2
=
． ⑵若直线12(1)10l kx k y ++++=与直线2:20l x ky -+=垂直，则实数k=1；
⑶已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若11
9
a =
，则36a =4 ⑷对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，例如： 5
[3.05]3,[]13
==，则函数
()=[]f x x 称为高斯函数或取整函数，若()()n n
a f n N*3
=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，
则30S =145
8. 一条斜率为1的直线l 与离心率e=22
的椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 交于P 、Q
两点，直线l 与y 轴交于点R ，且RQ PR OQ OP 3,3=-=，求直线l 和椭圆C 的方程；
9. 如图，F 是抛物线24y x =的焦点，Q 是准线与x 轴的交点，直线l 经过点Q 。
（Ⅰ）直线l 与抛物线有唯一公共点，求l 方程； （Ⅱ）直线l 与抛物线交于A 、B 两点；
（i ）设FA 、FB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值； （ii ）若点R 在线段AB 上，且满足AR AQ
RB QB
=
，求点R 的轨迹方程。
10.在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的左、右顶点分别为
1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角
的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11
A B 对称．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．
附参考答案(583)
1. D
2.C
3. B
4. C
5.D
6.
2
3
7. ⑴⑶⑷ 8.解： ∵e ＝22，∴c a ＝22，a 2＝2b 2
，则椭圆方程为x 2
2b 2＋y 2
b
2＝1，设l 方程为：y ＝x ＋m ，
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 22b 2＋y 2
b
2＝1y ＝x ＋m
消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2b 2
＝0，
故有Δ＝16m 2
－4×3(2m 2
－2b 2
)＝8(－m 2
＋3b 2
)＞0 ∴3b 2＞m 2
(*)
x 1＋x 2＝－4
3m (1)
x 1x 2＝2
3(m 2－b 2)(2)
又OP →·OQ →
＝－3得x 1x 2＋y 1y 2＝－3，
而y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2
，
所以2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝－3⇒43(m 2－b 2)－43m 2＋m 2＝－3，∴3m 2－4b 2
＝－9(3)
又R (0，m )，PR →＝3RQ →
，(－x 1，m －y 1)＝3(x 2，y 2－m ) 从而－x 1＝3x 2(4)
由(1)(2)(4)得3m 2＝b 2
(5)
由(3)(5)解得b 2
＝3，m ＝±1适合(*)，
∴所求直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －1；椭圆C 的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
9.解：
22
2124k k x x -=+，121=x x ，
k
y y 421=
+，4)1(21212
21=+++=x x x x k y y
（i ）0)
1)(1()
1(2112121221121=---=-⋅-=
+x x x x k x y x y k k （ii ）设点R 的坐标为（x ，y ）
QB
AQ RB
AR =
，0
21
21--=--∴
y y y y y y ， k k
y y y y y 244
222
121=⨯=+=
∴，
11211
=-=-=
y k
x ， 由0>∆得，
11<<-k ，又0≠k ，)2,0()0,2(⋃-∈∴y ，
综上所述，点R 的轨迹为1=x ，)2,0()0,2(⋃-∈∴y 10.解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），
因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，所以2213
b a b =+，
于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率22
147.84c e a =
==
（2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =，
于是11A B 的方程为：2240x y k -+=，
故2OA 的中点()20k ,
到11A B 的距离d =2423
k k
k +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，
所以直线11A B 与圆C 相切． （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =，
设2OA 的中点()10,
关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪
-⎨+⎪-⋅+=⎩． 解得42133m n ==, ．
所以，圆C 的方程为(
)(
)
2
2
42
1
133
x y -+=-．。