人教版八年级数学下册第17章勾股定理中最短路径问题专题
人教版八年级数学下册 17.1勾股定理的应用——最短路径问题 教学设计
《17.1勾股定理的应用——最短路径问题》教学设计教学目标：【知识与技能】1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题；2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.【过程与方法】经历运用勾股定理解决实际为题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感、态度与价值观】1.培养学生运用所学只是解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识；2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其它方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，形成积极参与数学活动的意识. 教学重点：1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题；2.探索空间与平面图形之间的关系.教学难点：熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题，增强学生的数学应用能力。
课前准备：制作圆柱、正方体、长方体等教具教学方法：互动式教学、合作探究学习教学过程：一、抛砖引玉一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们：（1）人们为什么要走“斜路”呢？（2）经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？学生会想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空：少走___米，践踏何忍？如果我们每步可以跨0.5米，那么这样可以少走几步？这么几步近路，值得吗？[设计意图]：本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义.二、初露锋芒有一只小昆虫——森迪，来到了高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱体的A5处，嗅到B 处的面包，可是它沿着圆柱体的表面怎样爬行才能很快地吃到面包？它爬行的最短路径长是多少呢？ （π的值取3 ）学生活动（一）：（1）森迪可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？（2） 自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱表面画出几条路线，你觉得那 条路最短呢？（3） 将圆柱侧面展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线长是什么？[设计意图]：“森迪觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神.三|、小试牛刀森迪爬呀爬，它来到了单位长度为1的正方体A 处，嗅到了放置在B 处的食物，这次它沿着怎样的路线爬行才能很快地吃到食物呢？爬行的最短路径长又是多少呢？同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿棱展开，把点A 及点B 所在的两个面放在同一个平面内，显然，从A 到B 的最短路线一定是从A 出发，经过正方体两个面到达B. 根据“两点之间，线段最短”，以便发现最短路线，因展法不同，路线有多种，但因为这是一个正方体，所以构造直角三角形，得到森迪爬行的最短路径都为[设计意图]：从不同情况的分析，学生可以感受到数学的学习需要全面的考虑问题，反过来，数学的学习又能帮助我们全面的考虑问题。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用-最短路径问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
八年级数学人教版下册第十七章数学活动勾股定理的应用—求最短距离问题教学设计
2.在解决实际问题时，学生可能难以将问题抽象为求最短距离的数学模型。
3.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，可能影响到解题过程中的图形分析和推理。
4.学生在以上情况，教师应关注学生的个体差异，因材施教，采用多样化的教学手段，帮助学生克服困难，提高学习效果。同时，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续数学学习打下坚实基础。
随后，我会对勾股定理的应用进行系统性总结，强调其解决问题的步骤和关键点。我会再次强调勾股定理的几何意义，以及它在解决实际问题中的重要性。最后，我会鼓励学生在课后继续思考和探索，将所学知识应用到更广泛的领域中去。通过这样的总结，我希望学生能够对勾股定理有一个全面而深入的理解。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理应用的理解，以及提高学生解决实际问题的能力，我将在课后布置以下作业：
接着，我会引导学生回顾直角三角形的定义和特征，以及勾股定理的基本概念。通过这个回顾，我希望学生能够将新旧知识联系起来，为接下来学习勾股定理的应用打下基础。我会用幻灯片或黑板展示勾股定理的公式，并简要解释其几何意义，为学生讲授新知做好准备。
（二）讲授新知，500字
在导入新课的基础上，我会正式开始讲授新知。首先，我会详细解释勾股定理在直角三角形中的应用，通过具体的图形示例，让学生直观地理解定理的使用方法。我会强调勾股定理不仅是一个数学公式，更是一种解决问题的工具。
4.小组合作作业：布置一道小组合作题目，要求学生在小组内部分工合作，共同完成。这样的作业旨在培养学生的团队合作精神和沟通能力。
例如：某学校计划在一块长方形的地面上建立一个旗杆，旗杆需位于长方形对角线的中点。已知长方形的长为20米，宽为15米，求旗杆距离长方形某一角的距离。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理求最短路径问题优秀教学案例
4.教师针对学生的评价结果，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
本章节的教学策略立足于情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价四个方面，旨在全面提高学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，灵活运用教学策略，让每个学生在课堂中都能得到充分的发展。
3.培养学生关爱生活、关注社会的情怀，使学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生诚实守信、团结协作的品质，提高学生的人际沟通能力。
本章节的教学目标立足于知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度，全面培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的证明方法及其应用，能运用勾股定理解决简单的实际问题。
2.引导学生了解最短路径问题的背景，掌握利用勾股定理求解最短路径的方法，并能应用于实际情境。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
（二）过程与方法
1.通过情境创设、问题引导，让学生经历探索、发现、总结的过程，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
2.运用讨论、探究、实践等教学方法，引导学生动手操作、动脑思考，提高学生解决问题的能力。
3.注重培养学生团队协作能力和沟通能力，让学生在讨论和合作中发现问题、分析问题、解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极的学习态度，树立学生自信心。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，让学生体验到成功的喜悦。
人教版初中数学八下(RJ)第十七章 勾股定理 方法技巧专题 利用勾股定理解决最短路径问题
C.3 第1题图
A.9 cm C.11 cm
B.10 cm D.12 cm
B 第2题图
3.如图是一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为9，3，1，A，B是这个
台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处吃可口的食物，则这只蚂蚁
沿着台阶表面爬行的最短路程为（ B ）
A.18
B.15C.12源自D.8第4题图
5.如图，长方体底面的长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P出发， 经过4个侧面爬行一圈到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长.
第十七章 勾股定理
方法技巧专题 利用勾股定理解决最短路径问题
方法指导：几何体中最短路径基本模型如下表. 图例
圆柱
长方 形
图例 阶梯 问题 基本思路：将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最 短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
1.如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它爬过的最短 路程为（ D ）
第3题图
4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤 自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”大意是：如图，把枯木看 作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺.有葛藤 自点A处缠绕而上，若绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长 度为 25 尺.
人教版八年级数学下册17.1勾股定理与平面展开图—最短路径问题教学设计
（二）讲授新知
1.勾股定理的概念：教师通过动画演示，让学生直观地理解直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明：引导学生通过几何图形的拼接，如正方形和长方形的面积关系，来证明勾股定理。
4.学会运用数形结合的思想，将实际问题转化为数学问题，并运用数学方法解决问题。
（二）过程与方法
在学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过实际操作，观察和发现勾股定理及其在直角三角形中的应用，培养观察能力和动手能力。
2.通过小组合作、讨论与交流，培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
3.运用数形结合的方法，将实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模能力。
3.勾股定理的应用：讲解如何运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长、计算斜边上的高等。
4.平面展开图的概念：介绍平面展开图的基本概念，展示如何将立体图形展开为平面图形。
5.最短路径问题：讲解如何运用勾股定理和平面展开图解决最短路径问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：将学生分成若干小组，每组分配一个实际问题，要求运用勾股定理和平面展开图解决最短路径问题。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理与平面展开图—最短路径问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解勾股定理的概念及其在直角三角形中的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.学会使用平面展开图，能够将立体图形展开成平面图形，并利用展开图求解最短路径问题。
3.能够运用数学推理和证明方法，证明勾股定理的正确性，提高逻辑思维能力。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理的应用+最短路径问题+教学设计
（2）注重启发式教学，引导学生主动发现问题、解决问题。
（3）鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力。
（4）关注学生的情感态度，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦中学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节，我将通过一个贴近生活的实际问题来导入新课。我会向学生展示一张地图，上面标注了两地之间的直线距离无法直接测量。然后提问：“同学们，你们知道如何计算地图上两点之间的直线距离吗？”这个问题将激发学生的思考，他们可能会联想到之前学过的勾股定理。接着，我会简要回顾一下勾股定理的定义和公式，为新课的学习做好铺垫。
2.在坐标系中，给出两个点的坐标，计算它们之间的距离。请同学们尝试使用两种不同的方法进行计算，并比较结果。
3.设计一道关于最短路径问题的题目，要求包含直角三角形和坐标系元素。请同学们自行解答，并在下节课与同学们分享解题思路和答案。
4.请同学们撰写一篇关于勾股定理应用的小论文，可以从历史、生活、科技等角度展开论述，不少于500字。
（1）导入：通过一个实际问题，如计算两地之间的直线距离，引出勾股定理。
（2）新课：讲解勾股定理的证明和应用，结合实际问题，让学生感受勾股定理的价值。
（3）探究：引导学生运用勾股定理解决最短路径问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（4）巩固：设计不同类型的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.完成课后练习册中与勾股定理和最短路径问题相关的内容，巩固所学知识。
作业要求：
1.书写规范，保持卷面整洁。
2.解题过程要求步骤清晰，逻辑性强。
3.小论文要有自己的观点，论述充分，可以适当引用资料。
(完整版)人教版八年级下册《第十七章勾股定理》专题训练含答案,推荐文档
最短路径问题：第17 章勾股定理专题训练（含答案）1.用对称法求平面中最短问题例 1．高速公路的同一侧有 A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口 P，使 A、B 两城镇到 P 的距离之和最小．求这个最短距离．2.用计算法求平面中最短问题例2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2 步为1 m)，却踩伤了花草．3.用展开法求立体图形中最短问题2例 3．如图，已知圆柱体底面圆的半径为π，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号)．巧用勾股定理解折叠问题1.巧用对称法求折叠中图形的面积例 1．如图所示，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点C′处，BC′交 AD 于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．2.巧用方程思想求折叠中线段的长例2．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长 EF 交 BC 于点 G，连接 AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG 的长．构造直角三角形，利用勾股定理解题例1．如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边的中点，过 D 点作DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长．例 2.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求 BC 的长．系统训练一、选择题（每题3 分，共30 分）1.下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是（）3a -b - 50 A. a 2 -c 2 = b 2 B. (a - b )(a + b ) + c 2 = 0C. ∠A ＝∠B ＝∠CD. ∠A ＝2∠B ＝2∠C2. 在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 7.5 米、10 米，则 10 秒后两车相距（ ）米 A. 55 B. 103 C. 125 D. 1533. 如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米4. 如图，是 2002 年 8 月北京地 24 届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由 4 个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为 52 和 4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ） A. 12B. 20C. 24D. 105. 等边三角形的边长为 6，则它的面积为（）A. 9B. 18C. 36D. 18 6. 若等腰三角形中相等的两边长为 10cm ，第三边长为 16cm ，那么第三边上的高为（）A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm 7. △ABC 的三边满足 a + b - 50 + + (c - 40)2 = 0 ，则△ABC 为（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形8. 如图，一圆柱体的底面周长为 10cm ，高 BD 为 12cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点 D出发沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程为（ ）cm A. 17 B. 13 C. 12 D. 149. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CF 、EFD. GH 、AB 、CD10. 直角三角形的两条直角边长为 a ，b ，斜边上的高为 h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A. ab = h 2B. a 2 + b 2 = 2h 2C. 1 + 1 = 1 a b hD.1+ 1 = 1 a 2 b 2 h 2二、 填空题（每天 4 分，共 20 分） 11. 已知一直角三角形的两边分别为 3 和 4，则第三边长的平方是 。
人教版八年级下册课件 第17章 勾股定理章节复习：最短路线问题 (共50张ppt)
C
B
A
A
B
A
变式
一只蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
B
A
台阶中的最短路线问题 例2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) ∵AB=AC，∴BE=CE
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
17、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速 度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20 分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米
C、1000米
B、800米
D、不能确定
18、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米， 那么斜边上的高是 （ D ）
10
C
长方体中的最短路线问题
例4、如果盒子换成如图长为3cm，
宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁 沿着表面需要爬行的最短路程又是多 少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有 多少种情况？ B
(1)经过前面和上面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上面.
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用最短路径问题教学设计
1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结求解最短路径的方法和技巧。
2.学生分享自己的学习心得，交流在解决问题过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师对本节课的学习内容进行梳理，强调勾股定理在实际问题中的应用价值。
4.教师鼓励学生继续探索数学问题，培养他们的学习兴趣和自主学习能力。
5.教师布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
4.学生通过讨论、交流，形成小组共同的解题策略，解决问题。
5.各小组汇报自己的解题过程和结果，教师进行点评和总结。
（四）课堂练习
1.教师设计具有代表性的练习题，涵盖不同难度层次，供学生练习。
2.学生独立完成练习题，巩固所学知识。
3.教师选取部分学生的解答进行展示和讲解，指出解题过程中的优点和不足。
4.学生通过课堂练习，加深对勾股定理和最短路径问题的理解，提高解题能力。
4.教师总结学生的回答，指出最短路径问题可以通过数学方法进行求解，进而引入本节课的学习内容。
（二）讲授新知
1.教师讲解勾股定理的公式及其应用，强调斜边长度与两条直角边的关系。
2.教师通过示例，演示如何将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理求解最短路径。
3.教师引导学生学习求解最短路径的基本方法，如：作图、列方程、计算等。
2.对勾股定理的应用还不够熟练，需要通过多样化的练习，提高学生运用定理解决问题的能力；
3.学生在解决最短路径问题时，可能会遇到思路不清晰、解题方法不熟练等问题，需要教师耐心引导和指导；
4.部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高，教师应关注个体差异，激发学生的学习兴趣，增强他们的自信心；
5.学生在合作学习中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题，需要教师引导他们学会有效沟通和协作。