【水力机械水动力学】2-湍流流动的数学模型
湍流模型
第六章湍流模型湍流模型湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度涡的影响湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier-stokes 方程对于瞬时运动仍然是使用的。
对不可压流动：=01+=-+(grad )1+=-+(grad )1+=-+(grad )u p u v u t x v p v v t y w p w v w t zρρρ∇∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂u u u u ()(v )()一、“雷诺平均”模式（RANS)根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压强都可以分解为平均量和脉动量'i i iu u u=+p p p '=+其中，,i u p 为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为:1()t ttt dt t φφ+∆=∆⎰,i u p ''为脉动量一、“雷诺平均”模式（RANS)对N-S 方程做系综平均()0i iu x ∂=∂遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性项可直接写出:i iu u t t∂∂=∂∂21()i i i j i j i j ju u pu u f t x x x x νρ∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂一、“雷诺平均”模式（RANS)对非线性对流项()()(()())()()i j i j j i i j i j i j i j i j j j j j i j i j ju u u u u u u u u u u u u u u u x x x x u u u u x ∂∂∂∂''''''==++=+++∂∂∂∂∂''=+∂将以上方程代入N-S 方程的系综平均中:'2'''''''2'''''''2=01+=-+(grad )+[---]1+=-+(grad )[---]1+=-+(grad )[---]u p u u v u w u v u t x x y z v p u v v v w v v v t y x y z w p u w v w w w v w t zx y z ρρρ∇∂∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂u u u u ()()()()0i iu x ∂=∂21()()i i i j i j iji j j i u p u u u v u u f t x x x x x ρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂∂()ij i j R u u ρ''=-为雷诺应力项一、“雷诺平均”模式（RANS)()0i iu t x ρρ∂∂+=∂∂()1()[()]i i i j i j i ji j j u p u u u u u s t x x x x ρρμρρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂()()[()]j i j j i ju u s t x x x φρφρφρφ∂∂∂∂''+=Γ-+∂∂∂∂RANS方程和原N-S方程在形式上很相似，只是多了雷诺应力项（6个）。
《湍流流动模型》课件
• 混合模型：结合基于方程的模型 和基于统计的模型的特点，通过 混合这两种方法来描述湍流流动 。如SST k-ω模型和修正后的k-ε 模型等。计算量适中，精度较高 ，适用于多种工程应用场景。
03 湍流流动模型的建立与求解
湍流流动模型的建立
湍流现象的描述
湍流是流体的一种复杂流动状态，具有高度的不规则性和 随机性。为了理解和模拟湍流，需要建立一个数学模型来 描述其基本特征和规律。
3
纳维-斯托克斯方程的满足度
检验模型是否满足纳维-斯托克斯方程，以评估 模型的物理意义和准确性。
湍流流动模型的应用Байду номын сангаас例
航空航天领域
湍流流动模型用于研究飞行器在高速飞行时 产生的湍流流动现象，以提高飞行器的性能 和安全性。
能源与环境领域
湍流流动模型用于模拟燃烧过程、流体机械内部流 动等复杂湍流现象，以提高能源利用效率和环境保 护水平。
化工与制药领域
湍流流动模型用于研究化学反应过程中产生 的湍流流动现象，以提高化学反应效率和制 药工艺水平。
05
湍流流动模型的发展趋势与展 望
湍流流动模型的发展趋势
多尺度模拟
随着计算能力的提升，湍流流动模型正朝着多尺度模拟的方向发 展，以更准确地模拟湍流在不同尺度上的行为。
非线性模型
传统的线性模型在处理复杂湍流时显得力不从心，非线性模型的研 发和应用成为新的趋势。
基于本征方程的模型
本征方程模型
通过求解湍流的本征方程来描述湍流 流动。本征方程基于湍流的物理特性 ，能够更准确地描述湍流流动。但计 算量大，对计算机性能要求高。
简化的本征方程模型
为了减小计算量，对基本的本征方程 进行简化处理，如忽略某些项或采用 近似解。计算量相对较小，精度有所 降低。
2湍流流动的数学模型
3）经验常数的适应性：每种模型所包括的经验常数有一定的适
用范围。（c1,c2,cμ)
4）在近壁区域内的适用性：低雷诺数时，系数cμ与湍流雷诺数有 关， Κ及ε方程要做相应修改。因为Κ-ε模型适合于高雷诺数模型 。采用高雷诺数Κ-ε模型计算流体与固体表面换热时，对壁面附 近的区域可采用壁面函数法。
思考题
K 是单位质量流体湍流脉动动能 k 1 (u2 v2 w2 ) 2
3）为确定μt，则必须求出脉动动能k（引出一方程模型）及长度标 尺l（引出Κ-ε两方程模型）。
2、湍流脉动动能方程（k方程）
思路：根据k的定义
1 2
uiui
出发，通过瞬态N-S方程及其
时均形式作一系列的运算而得出。经过一系列的近似处理，
2）雷诺时均方程法 雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺应力的封闭模
型才可能解出平均流场。雷诺应力的主要贡献来自大尺度脉 动，而大尺度脉动的性质和流动的边界条件密切相关。因此， 雷诺应力的封闭模式不可能是普遍适应的，就是说不存在对 一切复杂流动都适用的统一封闭模式。
3）大涡模拟 该方法是介于以上两种方法之间的模拟方法。其基本思
使方程封闭，简化后可得k的偏微分方程，即：kt Nhomakorabeauj
k x j
x
j
[(
t k
)
k x j
]
t
u j ( ui xi xj
u j xi
)
CD
k3/2 l
非稳态项
对流项
扩散项
产生项
耗散项
其中：
k 称为脉动动能的Prandtl数。 （一般为常数，取为1.0） （2）
注：耗散过程是分子粘性起作用的过程，它直接耗散的是湍流动能而非均流动能，故耗散项不应与均 流场有直接联系。
湍流流动模型
示雷诺应力：
vivj t( xvij vxij)2 3kij
（35）
式中k称为湍流功能，t称为湍流粘性系数。
k1 2vi21 2(u2v2w2)
按照类似的方法 v j 可用下式表示:
vj
,t
xj
式中
称为热量或质量的湍流扩散系数。
,t
,
t
与
（36） t 的关系是：
,t
t t
(37)
式中 t 称为湍流普朗特数Pr或施密特数Sc，其值由实验确定，一般
（42）
以上两式中， k 表示湍流脉动动能扩散的有效普朗特数，在边界层中
常取k==0.9～1.0。
在近壁面处，对流和扩散的湍流动能k互相平衡。上式变为
t
(u)2 y
CDk3l/2
代入湍流应力表达式，有
（43）
x 2 y t2 ( u y )2 (C k 1 /2/l)(C Dk 3 l/2 ) C C D2 k 2
式中C1和C2是两个常数； 是脉动动能耗散率 的普朗特数。
表2 k 方程中各常数的值
符号
C
CD
C1
C2k数值 0.0源自 1.0 1.44 1.92 1.0 1.3
双方程模型特点： 形式简单、计算量不太大；
能较好地反映大多数工程实际的湍流运动；
基于Boussinesq的湍流应力公式以及认为湍流输运可以用湍流动能和长度 尺度这两个标量来表征，无法体现出湍流输运的各相异性；
根据量纲分析，湍流粘性系数的最简单的形式如下:
t Ck1/2l
（38）
式中C 为比例常数；为流体密度，kg/m3；k的单位为m2/s2；l的单
位为m。
为了确定 t ，需要求解k及l ;
湍流模型方程
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
湍流模型
T k xk
由量纲分析 S 方程的源项可模拟为 S k k 方程 S (c1Gk c2 )
k
( ) ( k ) ( ) (c1Gk c2 ) t xk xk xk k
YM 2 M t
2
（25）
其中，Mt是湍流Mach数， M t k / a 2 ; a是声速，a RT
标准k- 模型中的系数
在标准的k-ε模型中，根据Launder等的推荐值及 后来的实验验证，模型常数 C1、C2、C、 k、 的取值为：
C1 1.44，C2 1.92，C 0.09， k 1.0， 1.3 （26）
对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数 C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主 流方向与重力方向垂直时，有C3=0。
根据以上分析，当流体为不可压，且不考虑用户自定义源 G 项时， b 0，YM 0，Sk 0，S 0，这时，标准k-ε模型变为：
k kui t xi x j
标准k- 模型的适用性
1）模型中的有关系数，主要根据一些特殊条件下的试验
结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值
可能有出入。在数值计算的过程中，针对特定的问题，参 考相关文献，寻求更合理的取值。
2）上述k- 模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建
例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动
i j k 2i 2 2 2( ) xk xi x j xk x j
– 左端第一，第二项分别为时间变化率及对流，右端第 一、第二、第三、第四项分别为湍流扩散、分子扩散、 产生项（涡旋拉伸）及粘性耗散项
工学湍流的数学模型
连续性方程 运动方程
t xi
ui
0
tu i x j
u iu j fi x p i x j x u i j
' i
' j
能量方程 T
t x u jj xj x j ''j S
湍流模型
○标准 两方程模型常数取值
湍流两方程模型
▼标准 两方程模型
○不可压缩流体流动，且不考虑用户定义的源项时
▼二方程模型
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭 的一类处理方法。
两方程模型中标准 模型及各种改进模型在工程中获得了
最广泛的应用 。
湍流两方程模型
▼标准 两方程模型
☆湍动能耗散率（Turbulent Dissipation Rate）
ui ui
xk xk
☆湍动粘度
t
C
2
相对应的输运方程
湍动粘度类模型
▼一方程模型
零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响 。 为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程的基 础上，再建立一个湍动能的输运方程 ，从而使方程组封闭。
湍动能输运方程
t x i u i x j k t x j t x u i j u x i j x u i j C D 3 l /2
t x i u i x j k t x j G k G b Y M S k
t x i u i x j t x j C 1 G k C 3 G b C 2 2 S
湍流两方程模型 ▼标准 两方程模型
i''jt x uij u xij 3 2 u xii ij
湍流模型简述ppt课件
湍流模型比较
模型
SpalartAllmaras
标准 k-ε
优点
计算量小，对一定复杂程度的 边界层问题有较好效果
应用多，计算量合适，有较多 数据积累和相当精度
缺点
计算结果没有被广泛测试，缺少 子模型，如考虑燃烧或浮力问题
对于流向有曲率变化，较强压力 梯度有旋问题等复杂流动模拟效 果欠缺
RNG k-ε 能模拟射流撞击，分离流，二 次流，旋流等中等复杂流动
t C/ k1/ 2l
零方程模型和单方程模型适用于简单的流动；对于复杂流
动，系数很难给定，无通用性，故应用较少。
10
两方程模型
由求解湍流特征参数的微分方程来确定湍流粘性。包括k-ε 、 k-ω、 kτ、 k-l 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
湍流粘性系数 表达式为：
11
模型参数
RANS-based models
Increase in Computational
Cost Per Iteration
Available in FLUENT 6.2
Direct Numerical Simulation
17
Fluent中湍流模型面板
Define Models Viscous...
选择了能反映湍流各向异性的代数应力模型（ASM），用数值计 算与实验研究相结合的方法对旋流器内的湍流场进行了模拟
采用RNG k-ε模型分析了旋流场内部湍流度及相对湍流度对湍流 场流动分布、湍流脉动和分离介质所产生的影响，其预报结果是有 限的。
从文献报道来看，LES大涡模型模拟的结果更可靠，更相信。 但RSM目前是工程应用中比较有效的湍流模型。
Spalart-Allmaras
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12 流体湍流运动的数学模型湍流是粘性流体在雷诺数相当大（至少大于临界雷诺数）时产生的一种流动现象。
湍流不是流体的特性而是流动的一种型态。
在湍流运动中各种流动的特征量均随时间和空间坐标而呈现随机的脉动。
由于其随机性，可以用统计的办法处理，得到湍流中各种物理量的统计平均值及其它的统计特性，但却很难用确定性的方法解决湍流运动问题。
湍流具有的扩散性使它可以更为有效地将动量、能量、含有物质的浓度、温度等向各个方向扩散、混掺和传输。
湍流是三维的有涡流动而且伴随着涡的强烈的脉动。
通过三维涡量场中旋涡的拉伸和变形，形成湍流中各种不同尺度的旋涡。
而这些不同尺度的旋涡在湍流运动中起着不同的作用。
大尺度旋涡从时均流动中取得能量，能量由大尺度旋涡向小尺度旋涡逐级传递，并最后在小尺度旋涡中通过流体的粘性将能量耗散。
因此维持湍流运动必须要消耗相当的能量，这就是所谓湍流的耗散性。
2.1雷诺平均方程由于湍流特征量在时间和空间上的剧烈脉动，使得处理一般粘性流动的方法不再适用。
1895年雷诺在他的著名论文中模仿分子运动论的平均思想，引入了两次平均的概念。
按照他的想法，在通常的分子运动论的统计平均之后，就可以得到流体力学的运动方程式， Navier-Stokes 方程和连续方程，即j ij i j i i i x x p x uu t u ∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2σρ （2-1）()0=∂∂+∂∂i ju x t ρρ （2-2）2式中i u 为流体的速度，p 为压力，ρ为密度．2ij σ为除压力以外的应力张量，它的表达式为ij i j j i ijx u x u x u δλμσαα∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=2（2-3） 式中μ为粘性系数，μλ32-=k ，k 称为第二粘性系数或体积（大块）粘性系数．只有对单原子分子的气体，k 的值才为零．一般情况k 的值比μ大好多倍，甚至上万倍。
对于密度为常数的不可压缩流体的情形，有i ij i j i u x Px u u t u 21∇+∂∂-=∂∂+∂∂νρ （2-4）0=∂∂jix u （2-5） 式中ρμν=为运动粘性系数，假定它为常数。
雷诺参照分子运动论的平均方法，对不可压缩流体的运动方程和连续方程再进行一次平均，就得到著名的雷诺方程：()j i ji i j i j i u u x u x p x u u t u ρρνρ∂∂-∇+∂∂=∂∂+∂∂112 （2-6）0=∂∂jj x u （2-7）瞬时量i u 和平均值i u 及脉动量i u 的关系为 i i i u u u +=。
同样，瞬时量p 和平值p 及脉动量p 的关系为 p p p +=；j i u u ρ-为湍流脉动引起的应力，通常称为雷诺应力。
为方便分析问题，雷诺平均N-S 方程还可写为()()()T ij l ij ji j i j i x x p x u u t u ττρρ+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ （2-8） 式中p 为压力的平均值，()ij l ijs μτ2=为分子粘性应力，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂=i j j iij x u x u s 21为应变率张量，μ为分子粘性系数，()''i j T iju u ρτ-= 为湍流脉动引起的雷诺应力张量。
对于三维问题，有六3个雷诺应力分量。
原来的不可压缩流体力学方程组共有4个方程式和4个未知数，所以它是一个封闭的方程组。
而经过平均以后的方程组，方程的个数仍然是4个，但未知函数的个数却增加为6个（加上了雷诺应力），所以是不封闭的方程组。
在雷诺发表这篇著名论文以后的一百多年里，人们一直在寻找封闭这个方程组的方案。
2.2湍流的数学模型及其评述为解决上述问题，工程上计算湍流主要采用两种方法，这些方法构成了湍流模拟的中心思想。
第一种方法为雷诺应力运输模型RSTM ( Reynolds Stress Transport Method )，对每个分量()T ij τ都构造一个方程，称为雷诺应力方程。
为了获得雷诺应力方程，令0''=+Vi j Vj i N u N u通过简单运算，便可获得()T ij τ的方程0=ij N 。
雷诺应力方程又包含一些新的需要模拟的项，只是这些新的模拟不需要很高的精度。
第二种方法为Boussinesgue 涡粘性模型EVM ( Eddy Viscosity Model )，即假设雷诺应力与应变率ij s 存在如下的线性关系式：()ij ij T T ij k s δρμτ322-= （2-9） 式中T μ为湍流粘性系数，''21j i u u k =为湍流动能，ij δ为Kronecker 函数。
最简单的办法就是使用代数模型，即构造T μ与平均量梯度之间的简单代数关系式。
另一种方法就是将T μ与某些湍流参数联系起来，这些湍流参数本身也满足运输方程。
在模式理论中，方程的个数是指除了雷诺运动方程式和连续方程式以外，还需要增加多少个附加方程式才能使这个方程组封闭求解．如果雷诺应力能用平均流速等直接表示出4来，就能够把雷诺应力直接代入到雷诺方程式中去，将其和连续方程式联立，就有４个未知量i u 和P ，同时有４个方程式，成为一个封闭的方程组，而并不需要另外附加任何的方程式。
常用的湍流数学模型有以下几种： （一）零方程模型所谓零方程模型，就是在雷诺方程和连续方程之外，不需要另外附加任何的方程式来使方程组封闭。
换句话说，也就是雷诺应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来。
因为在有的时候，用很多复杂理论得到的结果并不见得一定比用零方程模式所得到的结果好，或者好不了多少，甚至有的时候更糟。
另一种零方程模式就是混合长度理论。
混合长度模型比布辛涅斯克的湍流粘性模型进了一步，能够较好地模拟射流和边界层流动，但对于稍复杂的流动，尤其是有回流的运动，则无能为力。
这是由于混合长度零方程模型的假设中，忽略了湍流动量的对流输运和扩散输运，因此当速度梯度为零时，得到湍流粘性系数为零的错误结论，且上游的湍流对下游的影响也不能很好地体现。
零方程模型缺乏通用性，对不同的情况需确立不同的混合长度，很难满足工程需要。
（二）一方程模型一方程模型是在连续方程和动量方程之外又建立了一个关于湍流特征量的微分输运方程，其中物理意义最明显的是单位质量的湍动能k ，因此一方程模型一般是用来求解k 方程的，以此作为湍流的速度尺度。
湍动能K 方程可写为2/31221)(K L C x K v x u u u x K v x x K u t K jj j j i j t j j j +∂∂+∂∂''-∂∂β∂∂=∂∂+∂∂ （2-10） 由量纲分析知52/1LK C v v t = （2-11）式中：C v 为常数。
L 根据试验和经验确定。
（三）二方程模型二方程模型在湍动能模型的基础上直接用偏微分方程来解湍流的特征长度L ，目前在工程计算中用的最多的是K －ε模型。
湍动能K 方程可写成ε-∂∂''-∂∂∂+∂∂σ∂∂=∂∂+∂∂jj j i j j j K t j j j x u u u x x Kv x K v x x K u t K 22) （2-12） 对湍流耗散方程经过量纲分析简化后得到KC x u u u KC x x Kv x v x x u t jj ji jj j t j j j 2212)(εεεσεεε-∂∂''-∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂ （2-13）式中：C 1、C 2为常数。
由量纲分析可知ε=2K C v v t （2-13）二方程模型适用于高雷诺数湍流。
（四）雷诺应力模型该模型直接从湍流应力方程出发，再作适当简化，使方程封闭。
主要假定是：①湍流应力j i u u ''的扩散与其自身的梯度大小成正比；②K 和ε是湍流量的基本量纲；③小涡各向同性，即当i ≠j 时，0=∂∂'∂'∂jj j i x x v v v。
考虑到i 、j 的对称性等条件，可得到湍流应力模型方程： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂''∂+∂''∂''ε∂∂=∂∂''∂+∂''∂j j i j j i j i K jj j ji j j i x u u v x u u u u K C x x x u u u tu u 26⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂''δ-∂∂''+∂∂''-δ-''ε-εδ-∂∂''+∂∂''-j j j j ij j i j j j j j i ij j i ij j i ji jj ji x u u u x u u u x u u u C K u u K C x u u u x u u u 32)()32(32(21 （2-19）式中：系数C K 、C 1、C 2由试验确定，是常数。
用该模型计算求解工作量大。
2.3湍流的高级模拟基于雷诺平均的湍流模型对于一般湍流问题误差较大，湍流计算很难从根本上获得突破。
平均运算的结果是将脉动运动的全部行为细节一律抹平，丢失了包含在脉动运动中的大量有意义的信息，计算结果反映的是流动在时间历程上的统计平均表现，而无法反映流动的瞬时脉动特性。
同时，当采用涡粘性湍流模型来封闭雷诺时均方程时，将湍流运动中所有大小不同尺度的涡同等对待，且认为都是各向同性的，从而使模型的应用受到一些限制，特别对付强旋涡流等各向异性的问题就显得极不适应。
如果有足够的计算条件，可以在更宽尺度上计算湍流，如直接数值模拟DNS( Direct Numerical Simulation ) 与大涡模拟LES( Large Eddy Simulation ，简称为 LES)。
由于计算机容量和速度的限制，目前计算机所允许采用的计算网格尺度比湍流小涡尺度大得多，所以直接数值模拟（DNS ）方法还无法广泛使用。
作为直接数值模拟的一种变通，大涡模拟（LES ）就成为研究湍流的新方法。
大涡模拟是建立在湍流统计理论和拟序结构认识的基础上的一种新的数值预测方法。
它克服了湍流模式理论的时均处理和普适性方面存在的缺陷。
其基本思想是：首先，把包括脉动在内的湍流瞬时运动通过某种滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动两部分，大尺度量要通过数值求解运动微分方程直接计算出来，小尺度运动对大尺度运动的影响通过建立亚格子模型来模拟（叫作次网格尺度模拟，Subgrid Scale,简称为 SGS ），这样就大大减少了计算工作量和对内存的需求。
与雷诺平均不同，大涡模拟中根据需要直接计算的涡的尺度，对N-S方程采取某种滤波处理，使得对于大涡方程是精确的，而小涡的影响会以某种需要模拟的项出现。