三角方程与三角不等式的解法
相似三角形的数学方程与不等式
相似三角形的数学方程与不等式相似三角形是高中数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。
相似三角形的数学方程与不等式可以帮助我们解决一系列关于三角形的问题，如确定边长比例、角度关系等。
本文将介绍相似三角形的数学方程与不等式，并探讨其应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
若三角形ABC与三角形DEF相似，可以表示为∆ABC ∼ ∆DEF。
相似三角形具有以下性质：1. 边长比例在相似三角形中，对应边的长度成比例。
假设∆ABC ∼∆DEF，则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度关系在相似三角形中，对应角的度数相等。
也就是说，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
二、相似三角形的数学方程相似三角形的数学方程可以帮助我们推导出边长比例和角度关系。
下面是一些常见的相似三角形数学方程：1. 边长比例的方程若已知两个相似三角形的边长比例，可以构建如下方程：AB/DE = BC/EF = AC/DF通过这个方程，我们可以根据已知条件解出未知的边长。
2. 角度关系的方程若已知两个相似三角形的一个角度关系，可以利用以下方程：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F这个方程可用于求解相似三角形中未知的角度。
三、相似三角形的数学不等式相似三角形的数学不等式在解决三角形问题时发挥着重要的作用。
下面是一些常见的相似三角形数学不等式：1. 边长之比的不等式对于∆ABC和∆DEF两个相似三角形，若对应边长之间的比例关系为AB/DE > BC/EF > AC/DF，则可以推导出以下不等式：∠A > ∠D，∠B > ∠E，∠C > ∠F这个不等式告诉我们，若两个三角形的边长比例逐渐增大，则对应角度也逐渐增大。
2. 角度之比的不等式对于∆ABC和∆DEF两个相似三角形，若对应角度之间的关系为∠A > ∠D，∠B > ∠E，∠C > ∠F，则可以推导出以下不等式：AB/DE > BC/EF > AC/DF这个不等式告诉我们，若两个三角形的角度逐渐增大，则对应边长比例也逐渐增大。
探究三角函数与三角变换的不等式与恒等式
探究三角函数与三角变换的不等式与恒等式三角函数与三角变换的不等式与恒等式三角函数与三角变换在数学中具有广泛的应用。
通过研究三角函数与三角变换的不等式与恒等式，我们可以深入理解它们的性质和特点。
本文将探究三角函数与三角变换的不等式与恒等式，并分析其应用。
一、不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数的值域在[-1,1]之间，因此对于任意实数x，有-1≤sin(x)≤1。
根据这一性质，我们可以推导出正弦函数的不等式。
1.1 正弦函数的单调性正弦函数在区间[-π/2,π/2]上是严格递增的，在区间[π/2,3π/2]上是严格递减的。
基于这一性质，我们可以得到以下不等式：（1）当0≤a≤b≤π/2时，有sin(a)≤sin(b)；（2）当π/2≤a≤b≤3π/2时，有sin(a)≥sin(b)。
1.2 正弦函数的周期性正弦函数的周期为2π。
对于任意实数x，在正弦函数的周期上添加任意整数倍的2π，函数值保持不变。
因此，我们可以得到以下不等式：（1）sin(x)≤sin(x+2kπ)≤1，其中k为整数；（2）-1≤sin(x+2kπ)≤s in(x)，其中k为整数。
2. 余弦函数的不等式余弦函数的值域也在[-1,1]之间，因此对于任意实数x，有-1≤cos(x)≤1。
根据这一性质，我们可以推导出余弦函数的不等式。
2.1 余弦函数的单调性余弦函数在区间[0,π]上是严格递减的，在区间[-π,0]上是严格递增的。
基于这一性质，我们可以得到以下不等式：（1）当0≤a≤b≤π时，有cos(b)≤cos(a)；（2）当-π≤a≤b≤0时，有cos(b)≥cos(a)。
2.2 余弦函数的周期性余弦函数的周期也为2π。
对于任意实数x，在余弦函数的周期上添加任意整数倍的2π，函数值保持不变。
因此，我们可以得到以下不等式：（1）-1≤cos(x)≤cos(x+2kπ)≤1，其中k为整数；（2）cos(x)≥cos(x+2kπ)≥-1，其中k为整数。
掌握高考数学中的三角函数方程与不等式求解方法
掌握高考数学中的三角函数方程与不等式求解方法在高考数学中，三角函数方程与不等式求解是一项重要的内容。
掌握这些方法可以帮助我们解决各种与三角函数相关的问题。
本文将详细介绍三角函数方程与不等式的基本概念，并提供一些常见的求解方法。
一、三角函数方程的基本概念三角函数方程是指含有三角函数的数学方程。
在高考数学中，我们通常会遇到包括正弦、余弦、正切等三角函数的方程。
我们首先来了解下三角函数的基本性质：1. 正弦函数（sin）：正弦函数是指以单位圆上某个角对应点的纵坐标作为函数值的函数。
其定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数是指以单位圆上某个角对应点的横坐标作为函数值的函数。
其定义域为实数集，值域为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）：正切函数是指以单位圆上某个角的正切值作为函数值的函数。
其定义域为实数集，值域为(-∞,+∞)。
了解了三角函数的基本性质后，我们可以开始介绍三角函数方程的求解方法。
二、三角函数方程的求解方法在高考考查的三角函数方程中，一般会出现如下几种类型：1. 正弦函数方程：形如sin(x) = a 的方程。
其中a为已知实数。
对于这类方程，我们可以通过反函数sin^-1来求解。
即，如果sin(x) = a，则x = sin^-1(a)。
2. 余弦函数方程：形如cos(x) = a的方程。
其中a为已知实数。
和正弦函数方程一样，我们可以通过反函数cos^-1来求解。
3. 正切函数方程：形如tan(x) = a的方程。
其中a为已知实数。
对于这类方程，我们同样可以通过反函数tan^-1来求解。
在实际求解中，可以将三角函数方程转化为代数方程，然后再通过代数方程的求解方法来解答。
这样可以简化计算，提高解题效率。
三、三角函数不等式的基本概念除了三角函数方程外，我们还经常会遇到三角函数不等式。
三角函数不等式的解集是满足不等式的实数的集合。
下面我们来了解一些常见的三角函数不等式。
高中数学中的三角函数利用三角函数性质解决三角方程与三角不等式的技巧
高中数学中的三角函数利用三角函数性质解决三角方程与三角不等式的技巧三角函数在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到三角方程和三角不等式的解决方法。
通过运用三角函数的性质，我们可以更加灵活地解决这些问题。
本文将介绍一些利用三角函数性质解决三角方程与三角不等式的技巧。
一、三角方程1. 利用函数周期当我们遇到含有三角函数的方程时，可以利用函数的周期性来简化问题。
例如，对于形如sin(x) = a的方程，可以将其转化为sin(x) =sin(b)的形式，其中b = arcsin(a)。
由于sin函数的周期为2π，所以除了sin(b) = a本身的解外，还有无数个解，可以表示为x = b + 2πn，其中n为整数。
2. 利用函数对称性三角函数有一些对称性质，例如sin函数是奇函数，cos函数是偶函数。
当我们面对形如cos(x) = a的方程时，可以利用cos函数的偶性质将其转化为cos(x) = cos(b)的形式，其中b = arccos(a)。
同样地，由于cos函数的周期为2π，所以除了cos(b) = a本身的解外，还有无数个解，可以表示为x = ±b + 2πn，其中n为整数。
3. 利用三角函数的平方性质对于一些特殊的三角方程，我们可以利用三角函数的平方性质来解决。
例如，对于形如sin^2(x) = a^2的方程，我们可以将其转化为sin(x) = ±a的形式。
同样地，对于形如cos^2(x) = a^2的方程，我们可以将其转化为cos(x) = ±a的形式。
这样一来，我们就可以采用之前介绍的方法来求解方程。
二、三角不等式1. 利用三角函数的单调性三角函数在特定区间上是单调递增或递减的，可以利用这一性质来解决三角不等式。
例如，对于形如sin(x) > a的不等式，我们可以找到sin函数的单调递增区间，并找到满足条件的解。
2. 利用三角函数的周期性类似于解三角方程时的处理方法，我们可以利用三角函数的周期性来解决三角不等式。
初中数学知识点三角函数的方程与不等式
初中数学知识点三角函数的方程与不等式初中数学知识点：三角函数的方程与不等式三角函数在初中数学中是一个重要的知识点，它不仅应用广泛，而且在解方程和不等式中起到了关键作用。
本文将介绍三角函数方程和不等式的基本概念、解法和一些常见的例题。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数和余弦函数在解析几何中，正弦函数和余弦函数描述了一个单位圆上一点的坐标。
对于角度θ，正弦函数sin(θ)等于y坐标，余弦函数cos(θ)等于x坐标。
它们的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
2. 正切函数和余切函数正切函数tan(θ)等于正弦函数除以余弦函数，余切函数cot(θ)等于余弦函数除以正弦函数。
它们的定义域是实数集，但在θ为90°的倍数时，正切函数和余切函数的值不存在。
3. 反三角函数为了解决三角函数方程和不等式，我们需要借助反三角函数。
反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)分别表示对应三角函数的角度值。
它们的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
二、三角函数方程的解法1. 根据定义法解方程当三角函数方程中出现特定角度值时，可以直接利用三角函数的定义求解。
例如，对于sin(θ) = 0，解为θ = 0°，180°，360°，...2. 利用三角函数的周期性解方程由于三角函数具有周期性，对于形如sin(θ) = sin(α)或cos(θ) = cos(α)的方程，可利用周期性求解。
例如，对于sin(θ) = sin(α)，解为θ = α +2kπ或θ = π - α + 2kπ，其中k为整数。
3. 利用反三角函数解方程当三角函数方程中出现反三角函数时，可以利用反三角函数解方程。
例如，对于sin(θ) = a，解为θ = arcsin(a) + 2kπ或θ = π - arcsin(a) + 2kπ，其中k为整数。
三、三角函数不等式的解法1. 利用图像法解不等式通过绘制三角函数的图像，并根据其递增递减性质，可以解决一些简单的三角函数不等式。
第23讲 三角不等式
第23讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos31cos21cos>n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用x x <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<< n n所以.11sin 0kk<<又.)1)(1(111sin 11cos2222k k k kkk+-=->-= 所以)11()3432)(2321()1cos31cos 21(cos2nn nn n +∙-∙∙>.)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=nn nn nn即.321cos31cos21cos>n点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sin x x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++62cos64sin22cos2sin23213212121αααααααααα-++++-+=3sin462cos3sin 464sin22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤所以.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
2016届原创§49 三角方程及三角不等式
③通解公式 x0是主值区间上的特解
①0若 sinx=a，则 当|a|＞1时，无解 当a=1时， x 2k (k Z ) 2 当a=－1时， x 2k (k Z )
2 k x k ( 1 ) x0 (k Z ) 当|a|＜1时，
②0若 cosx=a，则 当|a|＞1时，无解 当 ，则 a=1时， ③0若 tanx=a
sin x cos x
sin x＞cosx
sin x＜cosx
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
练习3. 三角不等式
(5)(1998年全国)已知点P（sinα－cosα，tanα）在 第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是 【B】
3 5 3 A. ( ， ) ( ， ) 2 4 4 2 3 5 C. ( ， ) ( ， ) 2 4 4
方程cosx=a
x0
x0
方程tanx=a
x0
y=a x0=arctana
练习2.解三角方程 (3)(1985年全国)方程 2 sin( x ) 1 的解集是_______ 6 1 ,则 1 法1：即解 sin( x ) ,令 t x sin t 6 2 6 2 三法画图象 “代表”+ kT
(2)复式变换法：
2.复式变换法作图
(1).双重变换法 (2).多重变换法 单式变换是基础 和谐函数是代表 一根二序三变量 运算主体纯字母④ 图象变换点变换⑤ 常用结论要熟知⑥ 以点代线是小作 复杂变换用参量
注①：“根”是指要变换的最原始的图象
① ② ③
第24讲_三角不等式
第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二 设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立． 说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )． 解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ） 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠： 令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0． 左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+， 由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π， 所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-； 当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解． 当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。
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三角方程与三角不等式的解法三角方程和三角不等式是在三角函数的基础上建立的方程和不等式，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍三角方程和三角不等式的
解法，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角方程的解法
三角方程是含有三角函数的方程，常见的三角方程类型包括：
sinθ=a、cosθ=b、tanθ=c等。
下面将分别介绍几种常见三角方程的解法。
1. sinθ=a的解法：
当a的取值范围在[-1，1]时，可以利用反三角函数来求解。
即令θ
= arcsin(a) + 2kπ 或θ = π - arcsin(a) + k2π，其中k为整数。
2. cosθ=b的解法：
当b的取值范围在[-1，1]时，可以利用反三角函数来求解。
即令θ
= arccos(b) + 2kπ 或θ = -arccos(b) + k2π，其中k为整数。
3. tanθ=c的解法：
当c没有限制时，可以利用反三角函数来求解。
即令θ = arctan(c) +
kπ，其中k为整数。
二、三角不等式的解法
三角不等式是关于三角函数的不等式，常见形式如：sinθ < a、cosθ > b、tanθ ≠ c等。
下面将介绍几种常见三角不等式的解法。
1. sinθ < a的解法：
首先求解基本解，即sinθ = a的解法，然后根据sinθ的周期性，再
根据周期性解得sinθ < a的解。
2. cosθ > b的解法：
首先求解基本解，即cosθ = b的解法，然后根据cosθ的周期性，再
根据周期性解得cosθ > b的解。
3. tanθ ≠ c的解法：
tanθ ≠ c可以转化为tanθ < c或tanθ > c的形式，再利用反三角函数
求解。
三、三角方程与三角不等式的应用
三角方程与三角不等式在实际问题和计算中有广泛应用。
以下是几
个例子：
1. 三角方程的应用：
在物理学和工程学领域中，三角方程常被用来描述交流电流、振动
系统等的周期性和波动性质。
通过解三角方程，可以求解相位、频率、周期等参数。
2. 三角不等式的应用：
在几何学和物理学中，三角不等式常用于证明和计算，如证明两个
向量的夹角是否为锐角、判断三条边长是否构成三角形等。
3. 应用于函数图像的分析：
三角方程和三角不等式可以帮助我们研究和分析一些函数的周期性和性质，如sin函数、cos函数、tan函数等的图像变化和极值点。
综上所述，三角方程与三角不等式的解法是数学中的重要内容，它们在实际问题的建模和计算中具有重要的意义。
通过掌握三角方程与三角不等式的解法，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念，并将其运用到更广泛的领域中。