浙江省富阳市第二中学高中数学 2.3离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修2-3

所以随机变量ξ 的概率分布列为：
ξ
P
2 3 5
3 3 10
4 1 10
(2)随机变量ξ 的数学期望
3 3 1 5 E ( ) 2 3 4 ; 5 10 10 2 随机变量ξ 的方差 5 3 5 3 5 1 D( ) ( 2 ) 2 (3 ) 2 ( 4 ) 2 2 5 2 10 2 10 9 . 20
则E(X)＝np
3、《必修三》75页方差的概念及计算
引例：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击， 射击环数分布列分别如下：
1
8 0.2
9 0.6
10 0.2
2
8 0.4
9 0.2
10 0.4
P
P
（甲） 问题：试评价两射手的射击水平
（乙）
数学期望相等，能否说明他们射 击水平相当呢？
已知离散型随机变量 的分布列：
摸球的次数,求:
(1)随机变量ξ 的概率分布列； (2)随机变量ξ 的数学期望与方差.
解
(1)随机变量ξ 可取的值为2,3,4,
1 1 C1 C 3 2 3C 2 P( 2) 1 1 ; C5 C 4 5 1 2 1 A2 C A 3 2 3 3C2 P( 3) ; 1 1 1 C5 C 4 C3 10 1 A3 C 1 3 2 P( 4) 1 1 1 1 ; C5C 4C3C 2 10
例3 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平。 解：E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 = 9，
1
D1 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 = 0.4，
n(n 1) p 2 np
D E ( E ) n(n 1) p np n p npq
2 2 2 2 2
若 ~ B(n, p), 则E np, D npq
2．随机变量ξ 的方差性质：
D(a b) a 2 D
3. 若ξ~ B(n , p)，则
D npq , 这里 q 1 p . ( E np)
三、解答题 10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ 为此时已
[ax n b E (a b ) 2 ] pn
(ax1 aE )2 p1 (ax2 aE )2 p2 (axn aE )2 pn
a 2[( x1 E )2 p1 ( x2 E )2 p2 ( xn E )2 pn ]
C.3·2-10
D.2-8
解析 E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, 1 p , n 12, 2 1 1 11 10 则P( X 1) C1 ( ) 3 2 . 12 2 2
练习：
1 1、 已 知 h 3 ， 且D 13, 则Dh 117 8
DX (0 2) 0.1 (1 2) 0.2 ( 2 2) 0.4
2 2 2
( 3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
X DX 1.2 1.095
例 随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差. 解 抛掷骰子所得点数X的分布列为
例1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击， 射击环数分布列分别如下：
1
P
8 0.2
9 0.6
10 0.2
2
P
8 0.4
9 0.2
10 0.4
（甲） （乙） 问题：试评价两射手的射击水平 D1 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4

P
x1
x2
p2
2

xn
pn

2
p1
方差：D x1 E p1 ( x2 E )2 p2 xn E pn 标准差： D
意义：反映随机变量取值 的稳定与波动、 集中与离散的程度
注意： 1 平方 2 乘对应的概率
注：１、方差的单位是原数据单位的平方。 ２、标准差与随机变量本身有相同的单位。
若两个随机变量η ,ξ 满足一次关系式
η =aξ +b(a,b为常数),当已知E(ξ )、D(ξ )时,
则有E(η )=aE(ξ )+b,D(η )=a2D(ξ ). 由已知随机变量ξ +η =8,所以有η =8-ξ .
因此,求得E(η )=8-E(ξ )=8-10×0.6=2,
D(η )=(-1)2D(ξ )=10×0.6×0.4=2.4.
例4下面说法中正确的是 (C )
A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取 值的概率的平均值。
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取 值的平均水平。 C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取 值的平均水平。 D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取 值的概率的平均值。
例5、设 是一个离散型随机变量，其分布 列如下表，试求E 、D
E 2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 = 9，
D 2 (8 9)2 0.4 (9 9)2 0.2 (10 9)2 0.4 = 0.8 .
由上可知，E1 E 2 ，D1 D 2 .
所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很 接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得 环数较分散，得8、10环地次数多些 .

P
－1
1 2
0
1
2
q 剖析：应先按分布列的性质，求出 q 的值 后，再计算出E 、D 。
说明：解答本题时，应防止机械地套用期望 和方差的计算公式，出现以下误解： 1 1 2 2 E ＝ (1) 0 (1 2q) 1 q q 。
2 2
1－ 2 q
探究 你能证明下列结论吗 ?
2．方差的性质:
D(a b) a 2 D
若已知E , 则E(a b) aE b 若已知D , 则D(a b) ?
证明：设 P( xi ) pi ， 则 E(a b) aE b
D(a b) [ax1 b E (a b )] 2 p1 [ax 2 b E (a b )] 2 p2
课堂小结：
1．方差的概念与数学意义： 如果 x1 , x2 , x3 , , xn , ，其概率 P( xi ) pi，那么，
D ( x1 E )2 p1 ( x2 E )2 p2 ( xn E )2 pn
2、已知 X～B(n, p)，EX 8, DX 1.6, 则n 10 , p 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
4。已知随机变量ξ +η =8,若ξ ~B(10,0.6),则E(η ), D(η )分别是 A.6和2.4 C.2和5.6 解析 B.2和2.4 D.6和5.6 ( B )
a 2 D
D(a b) a 2 D .
[例3]若随机变量ξ～B(n, p)，求Dξ
k k n k 解：P( k ) Cn p q , 且E np
D (0 np)2 p1 (1 np)2 p2 (n np)2 pn
[02 p1 12 p2 n2 pn ]
1 若 h a b ，则 Eh E a b aE b 2 若 ~ Bn, p ，则 E np
Dh Da b a 2 D
D npq, 其中q 1 p
例6、已知随机变量的分布列
为

-1
0
1
3 6 2 1 3 ， D = E = 8 E h = 3 ，D h =
D2 (8 9)2 0.4 (9 9)2 0.2 (10 9)2 0.4 0.8 D1 D2
甲射击水平较稳定
基础训练
1。已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
求DX和σX。 解： EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2
X P 1
2
34ຫໍສະໝຸດ 561 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 1 1 1 1 1 EX 1 2 3 4 5 6 3.5; 6 6 6 6 6 6 1 1 1 2 2 DX 1 3.5 2 3.5 3 3.5 6 6 6 1 1 1 2 2 2 4 3.5 5 3.5 6 3.5 2.92; 6 6 6 σX DX 1.71.
2 2 n 2 3 3 n3 n n 0 [2 1Cn p q 3 2Cn p q n(n 1)Cn p q ] E
0 0 n 2 1 1 n3 n 2 n 2 0 n(n 1) p2[Cn p q C p q C q ] E 2 n 2 n 2 p
[2np(0 p1 1 p2 n pn ]
[n p ( p1 p2 pn )]
2 2
E 2 2npE n2 p 2 E 2( E ) ( E ) E ( E )
2 2 2 2 2
(2) D E 2 ( E ) 2
E 2 02 p1 12 p2 22 p3 n2 pn