向量的距离与夹角余弦
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
向量的相似度计算常用方法9个
向量的相似度计算常用方法9个在计算机科学领域，向量的相似度计算是一种常见的任务。
向量相似度计算的目的是根据两个向量之间的相似程度来衡量它们之间的关系。
常见的向量相似度计算方法有以下9种。
1. 余弦相似度（Cosine Similarity）：余弦相似度是衡量两个向量之间的夹角余弦值。
通过计算两个向量的内积和各自的模长，可以得到余弦相似度。
余弦相似度越接近1，表示两个向量越相似。
2. 欧氏距离（Euclidean Distance）：欧氏距离是计算两个向量之间的直线距离。
欧氏距离越小，表示两个向量越相似。
3. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离是计算两个向量之间的距离，即两个向量对应元素差的绝对值之和。
曼哈顿距离越小，表示两个向量越相似。
4. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是计算两个向量之间的最大差值。
切比雪夫距离越小，表示两个向量越相似。
5. 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）：皮尔逊相关系数是衡量两个向量之间线性相关性的度量。
它通过计算两个向量之间的协方差和各自的标准差来得到。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，值越接近1，表示两个向量越相似。
6. Jaccard相似系数（Jaccard Similarity Coefficient）：Jaccard相似系数用于计算两个向量之间的相似度。
它通过计算两个向量的交集和并集之间的比值得到。
Jaccard相似系数越大，表示两个向量越相似。
7. 杰卡德相似系数（Jaccard Similarity）：杰卡德相似系数是衡量两个向量之间相似度的度量。
它通过计算两个向量的交集和并集的大小之间的比值得到。
杰卡德相似系数越大，表示两个向量越相似。
8. 汉明距离（Hamming Distance）：汉明距离用于计算两个等长向量之间的不同位数。
汉明距离越小，表示两个向量越相似。
用空间向量研究距离、夹角问题全文
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
A
F
B
B(1,1,1), A(1, 0,1), C1(0,1, 0).
EF=l，求公垂线AA′的长.
A′ m E
a
解：∵ EF =EA+ AA+ AF， ∴EF 2 =(EA+ AA+ AF )2
A
n
Fb
2
2
2
=EA + AA + AF +2(EA AA+AA AF +AF AA)
m2 d 2 n2 2mncos .
∴d l2 m2 n2 2mncos .
(1, 0,
1 ), 2
A1 A
(0, 0, 1).
设平面AB1E的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
y z 0
∴
x
1 2
z
0
,
取z
2, 则x
1,
y
2.
D
A x
F
C
y
B
∴平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2).
点A1到平面AB1E 的距离为 |
A1 A n |n|
|
2 3
.
D1
∴AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1).
A1
直线AC1 的单位方向向量为u
空间向量的夹角和距离公式(讲课)
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R ) ;
a 1/b 1a 2/b 2a 2/b 2 . a b a1b 1a2b2a3b30;
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(x2 , y2 ,z2)，则
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
| AM| 5 30 6.故 点 A到 直 线 EF的 距 离 为6.
2 10 4
4
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
D1
F A1
C1 B1
E
2021/3/11
D A
C B
9
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
向量的夹角与距离计算
向量的夹角与距离计算在数学和计算机科学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以用于表示方向和大小，是许多问题中的基本元素。
本文将探讨向量之间的夹角和距离计算，这在许多领域中都有广泛的应用，比如机器学习、物理学和工程领域等。
向量的夹角计算在二维空间中，可以用余弦定理计算两个向量之间的夹角。
设存在两个向量a 和b，它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的夹角θ可以由以下公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2))其中，sqrt代表平方根。
通过计算这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角。
在三维空间中，向量a和b的夹角可以通过余弦公式来计算。
同样，设a和b 的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的夹角θ可以通过下面的公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) * s qrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的夹角，这在许多领域中都有广泛的应用。
向量的距离计算向量之间的距离计算也是一个常见的问题。
在二维空间中，两个向量a和b之间的距离可以通过欧氏距离来计算。
设a和b的坐标为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2)这个公式可以帮助我们计算二维空间中任意两个向量之间的距离。
在三维空间中，同样可以使用欧氏距离来计算两个向量之间的距离。
设a和b 的坐标为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 + (a3 - b3)^2)这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的距离，这在许多问题中都有重要的应用。
向量余弦角公式
向量余弦角公式是向量计算中的重要公式之一，它用于计算两个向量之间的夹角的余弦值。
公式为：cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)，其中A和B是两个向量，·表示点乘，||A||和||B||分别表示向量A和B的模长。
这个公式可以用于计算两个向量的夹角的余弦值，进而可以用于判断两个向量之间的相似度或相关性。
在机器学习和数据挖掘等领域中，这个公式被广泛应用于向量的相似度计算和聚类分析等任务。
值得注意的是，向量余弦角公式只适用于两个非零向量的夹角计算，如果两个向量中有零向量，需要特别处理。
另外，向量余弦角公式也不能用于判断向量之间的方向关系，因为余弦函数在0度到180度之间是单调递增的，而在180度到360度之间是单调递减的，所以无法通过余弦值来判断两个向量的方向关系。
高二数学(人教A版)《用空间向量研究距离、夹角问题(3)》【教案匹配版】最新国家中小学课程
两个平面的夹角等于
相应二面角或其补角
高中数学
l
α
高中数学高二上册
问题2 类比两条直线夹角的求法，如何用向量方法
求两个平面的夹角？
高中数学
高中数学高二上册
两条直线的夹角
定义
范围
向量
求法
高中数学
1
1
两个平面的夹角
2
2
将直线的方向向量表示，
转化为求向量的夹角
β
l
α
高中数学高二上册
2 ∙ ＝0，
2 − − ＝0，
又 ൝
所以ቊ
− 2＝0 .
2 ∙ ＝0，
高中数学
z
C
P
B
R
Q
C1
A1
x
B1 y
高中数学高二上册
3
＝ ，
2
所以 ቐ
取 2 = (3，4，2),
＝2.
1 ∙ 2
则cos 1 ，2 =
|1 | ∙ |2 |
=
C
0，0，1 ∙ 3，4，2
A1
x
高中数学
B1 y
高中数学高二上册
因为1 ⊥平面111，
所以平面111的一个法向量为1＝(0，0，1) ．
设平面的法向量为2 = ，， ，
因为(0，1，3)，(2，0，2)，
(0，2，1) ，
A
所以＝(2， − 1， − 1)，
＝(0，1， − 2) ．
高中数学
①转化为求平面，的法向量
， 的夹角
∙
∙
进行向量运算
②计算cos ， =
向量间夹角计算公式
向量间夹角计算公式
向量是数学中常见的概念，它们可以用来表示物理量的大小和方向。
当我们需要计算两个向量之间的夹角时，我们可以使用以下公式： cosθ = (ab) / (|a||b|)
其中，a和b分别代表两个向量，ab表示它们的点积，|a|和|b|分别表示它们的模长。
利用这个公式，我们可以轻松地计算两个向量之间的夹角θ的余弦值cosθ。
最终的夹角θ可以通过反余弦函数求得：
θ = arccos(cosθ)
需要注意的是，这个公式只适用于二维和三维向量。
如果需要计算更高维度的向量夹角，需要使用其他公式。
总之，向量间夹角计算公式是数学和物理学中常用的公式，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用向量概念。
- 1 -。
用空间向量研究距离、夹角问题(一)(人教A版2019选修一)高二数学
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1， 3 )，A( B(0,2,0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3)， O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
3 ，0,0)，A1(
3 ，1，
3 )，
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||
系？
条件
平面α，β的法向量分别为 u，v，α，β所构成的二面 角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
θ＝π－φ cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等．( × ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面 角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|.( × ) (3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所 成向量A→B的长度．( × ) (4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1， n2，则θ＝〈n1，n2〉．( × )
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则 C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4) ∴A→D＝(0,4,0)，C→D＝(－2,2,0)，C→F＝(0，－2,4) 设n＝(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则
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i,j=1
Matlab实验（二）
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3) 方阵的谱半径： 方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的 谱半径 记为： ( A) max{| i |}
6 0 4 3 5 0 的谱半径 例3.求矩阵 A 3 6 1
由eig(A)知矩阵A的特征值分别为1,-2,1。
Matlab实验（二）
i 1
xi
n
2
4/38
计算向量之间夹角的余弦还可以用命令: B=1-pdist(A,’cosine’) 计算矩阵A的行向量之间的夹角余弦 如例1 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b ,c之 间的夹角余弦 解：输入:A=[a;b;c]; B=1-pdist(A, 'cosine') 输出结果为:B = 0.9164 0.7559 0.4490
解： a,b,c 的混合积为：dot(a,cross(b,c))
Matlab实验（二）
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2.矩阵的范数与向量的标准化 1）Matlab 中向量 a 的范数为：norm(a)
若 a ( x1 , x 2 ,..., x n ), 则 norm (a )
事实上，范数的平方=向量 a自身的数量积 例1 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b的范数 解：norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740 练习：对例1计算：a,b夹角的余弦 解法一： dot(a,b)/norm(a)/norm(b) =0.9164 解法二： dot(a/norm(a),b/norm(b)) 思考：a,b,c三个向量那两个更接近？
Matlab实验（二）
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2) 矩阵的范数有以下几种：
(1) n = norm(A)
矩阵A的普范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术
根. (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵 A的Frobenius范数. 2 aij 记为： N ( A)
d ( , ) ( )V 1 ( )T
其中 V是一个实对称正定矩阵，通常取样 本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.
以上距离，在Matlab (6.)中有命令: pdist
具体如下：
Matlab实验（二）
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(1)欧氏距离： 如果A是aⅩm阶矩阵,B是m Ⅹb 阶矩阵.即 A的行向量维数等于B的列向量维数． Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向 量与B中每个列向量之间欧氏距离． dist(A,B)结果是一个a Ⅹb 阶上三角形矩阵 d(i, j)表示A的第i个行向量与B的第j个列向量 之间欧氏距离
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1. 向量的数量积，矢量积 设 ( x1 , x2 ,..., xn ); ( y1 , y2 ,..., yn ) Matlab 中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b) 例如：a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则 dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,-2) 练习：计算a,b,c 的混合积 a (b c )
称为 与 的欧氏距离 称为 与 的绝对距离
d ( , ) | xi yi |
i 1
n
Matlab实验（二）
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闵可夫斯基距离： d ( , ) { | xi yi |r }1 / r
i 1
n
当 r=1,2 时分别为绝对距离和欧氏距离
马氏距离：
Matlab实验（二）
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2.常见的向量距离
n R n维欧氏空间:设 表示n维向量
Байду номын сангаас
( x1 , x2 ,..., xn )
的全体所组成的集合，称为n维欧氏空间 如果 ( x1 , x2 ,..., xn ); ( y1 , y2 ,..., yn )
d ( , )
2 ( x y ) i i i 1 n
Matlab实验（二）
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如果X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有： Pdist(X) — 样本X中各n维向量的欧氏距离
2 C X 是 m n 矩阵 注意： 而pdist(X)是个一行 m 列
矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序 的距离 (1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m) 例4. a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c欧氏距离 解:输入:a1=dist(a,b'),a2=dist(a,c'),a3=dist(c,b')
或者输入:A=[a;b;c];pdist(A)
Matlab实验（二）
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(2)绝对距离： Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每 个行向量与B中每个列向量之间绝对距离， A的行向量维数必须等于B的列向量维数.
设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有： Pdist(X, 'cityblock') — 各n维向量的绝对距离 2 C 注意：X 是m n 矩阵 而pdist(X)是个一行 m 列 矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序 的距离 (1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)
(A) 2
Matlab实验（二）
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4）矩阵的行向量、列向量标准化的命令： normr(A)，normc(A) （normr(A)表示将矩阵每一行除以该行的范数）
1 2 3 例3. 将矩阵A 4 5 6 的行向量与列向量标准化 7 8 0
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A) 也可以输入命令：b(1)=norm(A(1,:)); 求出A矩阵个各行的 b(2)=norm(A(2,:)); 范数,转置后变为3*1 阶矩阵, b(3)=norm(A(3,:)); 什么意思?? c=b’*ones(1,3); B=A./c