多重网格算法
代数多重网格算法库AMGCL
代数多重网格算法库AMGCL代数多重网格算法库（AMGCL）是一个用于求解大规模线性方程组的开源软件库。
它采用了代数多重网格（AMG）方法来加速求解线性方程组的过程。
AMGCL通过自适应网格划分和层次求解的策略，可有效解决大规模线性方程组的求解问题。
AMGCL提供了一个灵活且易于使用的接口，可以与各种线性方程组求解器和迭代求解方法结合使用。
它支持各种稀疏矩阵格式，包括压缩格式和坐标格式。
通过将AMG算法与现有的迭代求解器结合，AMGCL能够并行求解大规模问题，提高求解效率。
AMGCL的主要思想是使用层次结构来逐步逼近解，从而达到加速求解的目的。
在网格层次结构中，每一层都对应着一个粗糙的网格，通过在不同层次上进行求解，可以减少求解的自由度，从而加速计算过程。
AMGCL采用了自适应网格划分的方法，可以根据问题的特点自动选择适合的网格划分策略，从而提高求解效率。
在AMGCL中，网格划分和层次求解是两个关键的步骤。
网格划分是将原始问题划分为不同的网格层次，每个层次对应着一个粗糙的网格。
层次求解是在不同层次上求解问题，通过层次间的插值操作来逼近原始问题的解。
AMGCL还使用了预先计算的插值和限制算子，用于在不同层次间传递信息。
除了网格划分和层次求解，AMGCL还提供了其他功能来提高求解效率。
例如，它支持并行化求解过程，可以利用多核处理器和分布式计算环境来加速求解。
此外，AMGCL还提供了一些用于求解非线性方程组的扩展功能，例如非线性预条件子和非线性层次求解。
AMGCL已经在很多科学和工程领域得到了广泛的应用。
它在计算流体力学、结构力学、电磁学等领域的应用中取得了良好的效果。
由于AMGCL具有高度的可扩展性和灵活性，它可以适应各种求解问题的需求，并能够处理大规模的线性方程组。
总之，代数多重网格算法库AMGCL通过自适应网格划分和层次求解的方法，能够高效地求解大规模线性方程组。
它具有灵活且易于使用的接口，支持各种稀疏矩阵格式和迭代求解器，具有良好的可扩展性和应用性。
三维区域上的多重网格算法
第32卷 第12期 1998年12月 西 安 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF XI′AN J IAO TON G UN IV ERSITY Vo1.32 №12 Dec.1998三维区域上的多重网格算法3刘之行 封卫兵(西安交通大学,710049,西安)摘要 对三维椭圆型偏微分方程边值问题,设定其求解区域为曲边六面体,在非均匀剖分条件下,使用多重网格算法.在规则区域和均匀网格下,多重网格方法的实施有其标准的算法流程.而对工程计算中常见的任意几何区域和非均匀网格剖分、多重网格方法的应用相对困难.此时可施行一坐标变换(等参变换),把物理空间中曲边六面体上的非均匀网格,映射到计算空间中长方体区域上的均匀网格,然后在计算空间中求解相应的偏微分方程边值问题.这种处理,使多重网格算法的使用成为方便可行.关键词 多重网格 任意几何区域 非均匀网格 坐标变换中国图书资料分类法分类号 O241.82Multigrid Method Applied to Three2Dimensional DomainsL i u Zhi xi ng Feng Weibi ng(Xi′an Jiaotong University,710049,Xi′an)Abstract Multigrid method has been used to solve three2dimensional elliptic boundary2value prob2 lems.Assume that the grids for a curved hexahedron domain are nonuniform.For uniform grids there is a standard algorithm for multigrid method.But if the domain adopts a general shape or the grids are nonuniform,application of multigrid methods is relatively difficult.An one2to2one transformation (isoparametric)is used to map the nonunifrom grids on a curved hexahedron in the physical plane to u2 niform grids of right2angled hexahedrion in the computational plane.The governing partial differential equations can thus be solved in the computational plane using a uniform grid by the standard multigrid method.K eyw ords m ultigri d general geomet ry nonunif orm gri d coordi nate t ransf orm ation 多重网格方法是应用于大型科学计算的一类有效的、新的计算方法,它把求解的效率提到前所未有的高度(理论上是最优阶的方法).在正方形区域的均匀网格剖分下实施多重网格算法是最便捷的.不幸的是,在科研和工程计算实践中,任意几何区域和非均匀网格剖分是大量发生的;此时,多重网格方法的各个分量,即松驰过程、限制算子、插值算子都要发生相应改变,从而导致整个多重网格算法技术深度和复杂程度的上升.许多作者做了很好的工作,使得在各种复杂情况之下,适当增加改进措施后,多重收到日期:1997Ο11Ο16. 刘之行:男,1945年5月生,理学院软件研究所,副教授. 3国家自然科学基金资助项目(19671067).网格方法仍可得到实现[1,2].但这些对多重网格方法的深层研究,往往属于计算数学界的专家们,一般工程计算人员,似乎难于问津.本文探索一种使用多重网格算法的途径,希望它能在科研和工程计算的一个广泛领域内找到自己的应用.1 偏微分方程及边界条件考虑在一般曲面六面体区域Ω(如图1)上,求解椭圆偏微分方程边值问题55x (p 5φ5x )+55y (q 5φ5y)+ 55z (r 5φ5z )=F 在Ω上φ|5Ω=g 间中 舼 sf ; x =x (ξ,η,ζ)y =y (ξ,η,ζ)z =z (ξ,η,ζ)an 糯 5ζ[λ25φξ+λ35φη+γ5φζ]=F J(8)其中α=1J(p ξ2x +q ξ2y +r ξ2z )β=1J(p η2x +q η2y +r η2z )γ=1J (p ζ2x +q ζ2y +r ζ2z )λ1=1J (p ξx ηx +q ξy ηy +r ξz ηz )λ2=1J (p ζx ξx +q ζy ξy +r ζz ξz )λ3=1J(p ηx ζx +q ηy ζy +r ηz ζz ) 体,故其上的多重网格方法的实施完全按标准情况进行.4.1 网格剖分如前所述,根据问题的需要,沿ξ,η和ζ方向分别作2l 、2m 和2n 份的等距剖分,这就是最细一层的网格.相邻两层网格,在各个方向上,粗网格的剖分步长是细网格剖分步长的两倍.4.2 求解步骤设离散化后所得线性方程组为L h u =f我们来给出其多重网格算法的核心部分,即二重网格部分,从已有的初值u 出发,做[1]u =S(ν1)(u ,f )d =I 2hh 3(L h 3u -f )v =L -12h 3du =u -I h2h 3vu =S(ν2)(u ,f )+ 121242121 (12)区域Ω是一个边长为1的正方体被“挖”掉一块后所余部分,如图3所示.若用一垂直于z 轴的平面去截它,所得网格剖分截面如图4所示.方程(12)中g (x ,y ,z )=y21+y 2x 2+y21+x2 舼 舼 全险保险费的货币量就会有减少的可能,反映出社会基本养老保险保障水平的高低将通过个人储蓄对商业养老保险产生间接的影响.3 结 论利用消费者选择理论,我们从近期和跨时期横纵两个方面对商业养老保险和社会养老保险之间的关系做了微观层次的分析,再一次说明在建立我国多层次的养老保险制度过程中,必须重视社会基本养老保险保障水平的研究,处理好社会养老保险与商业养老保险之间“度”和“量”的关系,否则,“以基本养老保险为主,商业养老保险为补充”的目标将落不到实处.当然,关于对社会基本养老保险保障水平更深入的研究,比如对社会基本养老保险统筹率以及工资替代率的定量研究,仍需做出更多努力.参考文献1 陈朝先.论社会保障分配与商业保险分配的关系.经济科学,1996,(5):25～302 刘子操.谈谈社会保险与商业保险的协调发展问题.财经问题研究,1995,(6):28～303 Whitmore G A,Yuan Wei,Jin Y ongjin.Attitudes to risk and insurance in China:an analysis of household survey da2 ta.Journal of Chinese Management Issues,1995,1(1):17～354 Cutler D M,Gruber J.Does public insurance crowd out pri2 vate insurance.Journal of Econmics,1996,110(4):391～4305 朱善利.微观经济学.北京:北京大学出版社,1995.106～109(编辑 杜秀杰)(上接第93页)结构参数的设计计算方法.通过对单涡圈、双涡圈和多涡圈的容积特性比较,可以看出,采用双涡圈或多涡圈理论设计涡旋机械,既可以达到减少回转半径、降低滑动面摩擦速度、减小磨损,又可以不减少有效吸气容积,从而充分利用涡旋机械可高速运转的特性.因此,可采用提高转速的方法来提高排气量,从而为大排气量涡旋机械的开发提供了理论基础.参考文献1 森下悦生.涡旋压缩机几何理论.邓立文译.流体工程, 1985,13(10):18～252 荒田信哲.制冷压缩机的现状和发展方向———封闭式涡旋压缩机.任金禄译.流体工程,1989,17(3):54～613 顾兆林.双涡圈涡旋压缩机理论及应用研究:[博士学位论文].西安:西安交通大学能源与动力工程学院,1997(编辑 管咏梅)(上接第97页)参考文献1 Hackbusch W.多重网格方法.林群等译.北京:科学出版社,19882 Brant A.Guid to multigrid development.In:Proceedings, Multigrid Methods.K oln2Proz,1981.233～2713 曹志浩.多格子方法.上海:复旦大学出版社,1988(编辑 杜秀杰)101第12期 马 敏等:社会养老保险与商业养老保险的关系分析。
泊松方程的多重网格法(两层)
求解Poisson 方程y x yx cos sin 2222=∂∂+∂∂ψψ， 10≤≤x ，10≤≤y ，0|0==x ψ，y x ==1|ψ2cos 1sin y -， 0|y ψ==2sin x -，x y ==1|ψ21cos sin x -， :PDE L n n ψ=f ψ=ψ+w ψw 其中为近似解，为误差 L L L L ⇒+=⇒=-=n n ψw f w f ψR离散n ψw 和⎧⇒⎨⎩A ψ=Bf Aw =BR误差和原函数满足相同的PDE本题使用简单的二层网格粗网格修正格式V 循环来求解，具体可分为4个步骤：（1） 在细网格上迭代求解L =ψf迭代1υ步后，计算所得近似值nψ的残差（n 表示在细网格上） n n n n L =-γf ψ（2） 在粗网格上精确求解误差方程（2n 表示在粗网格上）222n n n n n L =w I γ（3） 进行粗网格修正22n n n n n ←+ψψI w（4） 然后回到（1），以新的nψ为初值，开始下一个V 循环，直到达到一定的收敛标准为止。
上述循环叫做二层网格V 循环。
2nn I 是把细网格上的残差限制到粗网格上的算子，称之为“限制算子”。
2n n I 是把粗网格上的结果差值到细网格上的算子，称之为“差值算子”。
下面是C++代码//多重网格法求解泊松方程void CFDtest::solveByMG(Matrix &psi,Matrix f)//多重网格法{double step3 = step2 * boBox_stepRatio->currentText().toInt();int n1 = (int)(1.0/step2+0.5);int n2 = (int)(1.0/step3+0.5);Matrix gama1(n1,n1);//细网格残差Matrix w(n2+1,n2+1);//粗网格节点误差Matrix psi_old(psi);bool isOK = false;bool isOK2 = false;while (!isOK){//细网格上G-S迭代3步for (int k=0;k<3;k++){isOK = true;intNum++;for (int i=1;i<n1;i++){for (int j=1;j<n1;j++){double old_data = psi[i][j];psi[i][j] = 0.25*(psi[i-1][j] + psi[i+1][j] + psi[i][j-1] + psi[i][j+1] - step2*step2*f[i][j]);if (abs(psi[i][j] - old_data) > intError){isOK = false;}}if (isOK)//如果达到允许误差范围，跳出for循环{break;}}}。
讲稿多重网格算法及平均现象的解释
讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。
而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。
多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。
在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。
在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。
而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。
通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。
在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。
在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。
这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。
通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。
平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。
通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。
这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。
2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。
通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。
这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。
通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。
多重网格法的代数理论
多重网格法的代数理论多重网格法是求解偏微分方程大规模离散代数系统最有效的数值方法之一，它可以看作是一些传统松弛迭代法的加速。
多重网格法大致可分为几何多重网格法和代数多重网格法。
由于几何多重网格法的构造是基于具有分层结构的网格，这限制了其在很多实际问题中的应用。
对于无结构网格上的离散问题，代数多重网格法显示出了很强的潜力，它已被广泛应用于计算流体力学、结构力学、汽车工程仿真等实际问题的数值模拟。
作为一种迭代法，多重网格法的收敛理论无疑是人们非常关心的问题，文献中已有丰富的研究成果。
本文系统地建立了多重网格法的代数理论，并给出了一些核心理论的新证明。
全文分为六章：第一章，我们介绍多重网格法的基本思想、算法原理和发展状况，并简单介绍本文的主要研究成果。
第二章，我们讨论两层网格法的代数理论。
对于精确两层网格法，我们以新的分析方法证明其收敛率等式和误差传播算子谱的性质。
对于非精确两层网格法，我们利用矩阵分析技巧和特征值不等式建立非精确两层网格法的收敛理论，并给出误差传播算子能量范数的上下界估计。
特别地，当粗网格问题被精确求解时，我们的收敛性估计与精确两层网格法的收敛率等式一致。
第三章，我们研究多重网格法的代数理论。
利用V－循环多重网格法误差传播算子的显示表达和预条件子的极小化性质，我们得到XZ－恒等式的一个新证明，并给出对应的“最优”向量分解。
此外，基于子空间校正的思想，我们得到V－循环多重网格法收敛率的一个新上界。
通过比较可知：文献中已有的最好上界是新上界的一种特殊情形。
第四章，我们建立代数多重网格法中理想插值算子的新理论。
具体来说，我们给出理想插值算子的充分条件、必要条件以及等价条件。
传统观点普遍认为理想插值算子是唯一且稠密的，而新理论显示：理想插值算子具有多种取法，且可以设计出具有稀疏结构的理想插值算子。
另外，我们给出一类理想插值算子的显示表达，它可以将一些常用的代数多重网格法纳入统一的框架下进行分析。
图像融合中代数多重网格算法的研究的开题报告
图像融合中代数多重网格算法的研究的开题报告题目：图像融合中代数多重网格算法的研究一、研究背景与意义随着计算机技术的不断发展，图像处理技术也越来越成熟。
图像融合是图像处理技术中的一个重要的分支，它可以将不同传感器、不同波段、不同时间等多源图像的信息融合在一起，生成更精确、更完整、更有意义的图像，从而提高了图像的质量和可用性。
图像融合在遥感、医学影像、军事等领域有着广泛的应用。
在图像融合中，多重网格算法是一种非常有效的算法。
其优点为高效、通用性强、容易实现、可并行，已得到广泛应用。
代数多重网格算法是多重网格算法中的一种，能够有效地解决线性方程组的求解问题，是实现高效图像融合的有效算法。
因此，本课题拟研究图像融合中的代数多重网格算法，探究其在图像融合中的应用，为提高图像融合的精度和效率提供技术支持。
二、研究内容和目标本课题拟研究以下内容：1. 代数多重网格算法的原理以及在图像融合中的应用。
2. 探究代数多重网格算法在图像融合中的优化策略，提高融合图像的质量和效率。
3. 设计算法实验，验证代数多重网格算法在图像融合中的应用效果。
通过以上研究，达到以下目标：1. 理解代数多重网格算法的原理和应用，掌握其优化策略。
2. 能够利用代数多重网格算法进行图像融合，并提高融合图像的质量和效率。
3. 实现算法，并进行实验验证，评估算法性能。
三、研究方法和步骤本课题的研究方法主要包括：文献调研、算法分析、算法设计、实验评估等。
具体步骤如下：1. 对代数多重网格算法进行文献调研和算法分析，掌握其原理和在图像融合中的应用。
2. 根据代数多重网格算法在图像融合中的应用特点，设计优化策略。
2.1 针对图像融合中的特定问题，优化代数多重网格算法的求解模型。
2.2 设计算法操作流程，使算法实现更高效和准确。
3. 实现算法，并利用现有图像数据集进行实验评估，分析算法性能和结果。
4. 评估算法性能并总结优缺点，提出改进方向和未来研究方向。
多重网格方法范文
多重网格方法范文多重网格方法的基本思想是通过在较粗的网格上求解一个近似解，然后使用这个近似解作为初始猜测，在较细的网格上进一步求解。
这样的迭代过程在每一级网格上都执行，直到达到最精细的网格上。
在每一级网格上进行求解时，可以使用任意一种迭代方法，如Jacobi、Gauss-Seidel 或SOR等。
多重网格方法的核心思想是通过在不同层次上使用不同的网格和迭代方法来解决不同长度尺度上的问题。
较粗的网格可以更好地处理长波长成分，而较细的网格则可以更好地处理短波长成分。
通过多级（多层次）的迭代过程，算法可以同时考虑并处理不同长度尺度上的特征，从而提高求解的效率。
多重网格方法的层次结构通常是通过划分网格来实现的，将原始问题划分为多个独立的子问题。
每个子问题对应于一个网格层次，从最粗的网格到最细的网格。
在迭代过程中，先在最粗的网格上求解，然后将解差（残差）转移到下一级网格上。
这个解差表示了当前层次中的误差，并且根据误差的显著性选择适当的迭代方法和相关参数。
通过从粗糙网格到细网格递归求解，最终可以得到一个高精度的解。
多重网格方法的优点是它减少了计算量，提高了求解的速度。
通过使用更粗的网格来处理长尺度成分，减少了单次迭代的计算量。
同时，通过将误差在不同精度的网格间传递，多重网格方法能更好地处理细节，并减少了求解中的振荡现象。
这使得多重网格方法在求解大规模问题时特别有优势。
然而，多重网格方法也存在一些挑战。
首先，构建层次结构需要很好的划分网格，并且不同层次的网格之间需要满足特定的关系。
这可能需要一些领域知识和经验来确定合适的层次结构。
其次，选择适当的迭代方法和参数也是一个挑战，需要根据问题的特性进行调整。
此外，多重网格方法在高维空间中的应用比较困难，因为细化空间的成本较高。
总结起来，多重网格方法是一种高效求解偏微分方程数值问题的算法，通过迭代的方式在不同层次的网格上进行求解，从而提高解的精度和计算速度。
它可以处理不同长度尺度上的特征，并并行化计算。
多重网格算法
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法经过近20年的研究，在经典 应用领域—线性和非线性、标量和非标量 椭圆型问题取得了丰硕的成果。
1 2
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• 即： Lqin,j1 f
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多重网格方法的计算步骤
M M-1 M-2 M-3 M-4
两层“V”循环 多重网格方法
多层“V”循环 多重网格方法
完全多重网 格方法
三基本思想三大支柱套迭代技术四多重网格方法的计算步骤多层v循环多重网格方法两层v循环多重网格方法m1m2m3m4完全多重网格方法多重网格方法的计算步骤两层v循环多重网格方法的计算步骤h2h求解的方程为
多重网格算法
全广艳 2012年5月10日
一、发展过程 二、已取得的成果和待扩充领域 三、基本思想 四、多重网格方法的计算步骤
a.计算细网格上的亏损量：
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b.从细网格到粗网格转移亏损量：
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•多次重复1、2过程直至结果收敛。
谢 谢。
三、基本思想—三大支柱
• 细网格松弛 • 粗网格校正 • 套迭代技术
四、多重网格方法的计算步骤
• 二维扩散方程：
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• 差分格式：
qn1 i, j
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i, j
i, j
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• 将上式变形得：
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• 八十年代开始已深入到计算流体力学 （CFD），时间相关问题、波动方程、积 分方程等领域。
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法也其他领域也取得大量成果， 如统计物理中的快速Monte-Carlo方法、 积分变换、图象处理等等。
• 多重网格技术与别的领域中高效方法结合， 产生了许多新方法，如高精度谱多重网格 算法、处理非规则问题的代数多重网格方 法等等。
a.计算细网格上的亏损量：
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Lhuh
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b.从细网格到粗网格转移亏损量：
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H h
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两层V循环多重网格方法的计算步骤
c.在粗网格上精确求解修正量：
LHVHn
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e.计算细网格修正后的量：
1 2
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j
qin,
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1 s
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j
qin,
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• 即： Lqin,j1 f
•其中：
L
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1 2
2
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n i,
j
f
1 s
1 2
2
1 2
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j
qin,
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多重网格方法的计算步骤
M M-1 M-2 M-3 M-4
两层“V”循环 多重网格方法
多层“V”循环 多重网格方法
完全多重网 格方法
一、发展过程
• 参考文献：
[1]J.Bramble , J.Pasciak ,J.Xu . Parallel Multilevel put.,1990,55(191):1-22.
[2]A.Brandt . Multilevel adaptive solutions to boundary value put.,1997,31.
[3] J.Xu . Iternative methods by space decomposition and subspace correction，SIAM Reveiem,1992,34(4):581-613
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法经过近20年的研究，在经典 应用领域—线性和非线性、标量和非标量 椭圆型问题取得了丰硕的成果。
• 进入70年代中期，A.Brandt和W.Hackbusch 的工作才标志着多重网格算法研究的全面 开始。
一、发展过程
• 80年代，多重网格算法基本成熟，只是收 敛性证明远远落后于实际计算的效果，尤 其对于比较复杂的问题。
• 进入90年代后，由于O.Widlund，J.Bramble 等人的努力，视所有迭代方法为子空间校 正，将多重网格算法融入新的理论框架中， 从而使得传统多重网格技术焕发出强大生 命力和应用前景。
多重网格算法
全广艳 2012年5月10日
一、发展过程 二、已取得的成果和待扩充领域 三、基本思想 四、多重网格方法的计算步骤
一、发展过程
• 多重网格算法是一种迭代方法。它兴起于最 近20年，最初可追溯到Southwell的两层网格 松驰方法，然后Fedorenko和Bachvalov将其 推广到多层，并指出潜在的快速收敛性。
两层V循环多重网格方法的计算步骤
• 设网格步长分布为H和h 且 H=2h, 求解的方程为： Lhuh=fh
h H
两层V循环多重网格方法的计算步骤
•
1、设定初值
u (n) h
(n)
对 Lhuh=fh作1～2次迭代，得近似解：u h
h
H
两层“V”循环多重网格方法
两层V循环多重网格方法的计算步骤
2、粗网格修正： Lhuh=fh