泊松方程的多重网格法(两层)
泊松方程求解
泊松方程求解泊松方程是一种重要的常微分方程，也称作“梯度偏微分方程”，它一般用来描述解析物理场的分布情况，是数学物理学等多个学科的重要工具。
它是1807年由于法国数学家泊松首先提出的，有着深远的历史和文化价值。
由于泊松方程在自然科学中的广泛应用，为了正确地求解这一方程，对于研究者们来说有着特别重要的意义。
二、求解的原理及方法泊松方程的形式一般如下：$frac{partial^2f}{partialx^2}+frac{partial^2f}{partial y^2}=0$它的求解原理可由泊松定理推导得出：泊松定理：若$f(x,y)$满足$frac{partial ^2f}{partialx^2}+frac{partial ^2f}{partial y^2}=0$，则存在实常数$lambda$，使$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$是它的解。
将泊松定理引入泊松方程的求解，易得得出：$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$为它的解，其中$lambda$是函数$f(x,y)$的常数。
三、应用实例(1) 一维泊松方程设电场强度$E$满足一维泊松方程：$frac{partial^2E}{partial x^2}+frac{partial ^2E}{partial y^2}=0$ 根据泊松定理，得出解：$E=Ae^{lambda x}+Be^{lambda y}$其中，$A$和$B$是常数，$lambda$是函数$E$的常数。
(2) 二维泊松方程设温度$T$满足二维泊松方程：$frac{partial ^2T}{partialx^2}+frac{partial ^2T}{partial y^2}=0$根据泊松定理，得出解：$T=Ce^{2lambda x}+De^{2lambda y}$ 其中，$C$和$D$是常数，$lambda$是函数$T$的常数。
四、计算机求解(1)值计算在计算机上，求解泊松方程最常用的方法是对方程进行数值计算，即以格点数值的方式，将求解的区域离散为一系列的小正方形，把每个格点处的函数变量替换为它所在小正方形上的参数，然后基于格点数值技术，穷举出每个格点处的函数变量，从而求解出该方程。
泊松方程
泊松方程泊松方程（英语：Poisson’s equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程"。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。
现在有很多种数值解.像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。
静电学在静电学很容易遇到泊松方程。
对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。
在国际单位制（SI)中:此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米）,而是真空电容率（单位为法拉/米).如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：[编辑]高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度:此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf（x)代表的是误差函数.注意：如果r远大于σ,erf（x)趋近于1，而电场Φ（r）趋近点电荷电场；正如我们所预期的。
[编辑]参阅•离散泊松方程[编辑］参考资料•Poisson Equation at EqWorld： The World of Mathematical Equations.•L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence， 1998。
ISBN 0—8218—0772-2• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists， Chapman & Hall/CRC Press， Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488—299-9。
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
１ 多重网格方法
多重 网 格 法 最 初 来 源 于 差 分 方 程 的 迭 代 求 解 数值解与差分方程精确解之 间 的 误 差 与 傅 立 ． 叶分析中不同频率 分 量 有 关 ， 不同的频率分量具有
［ ４ １］
犕 狌 犾 狋 犻 狉 犻 犱犳 犻 狀 犻 狋 犲 犲 犾 犲 犿 犲 狀 狋 犪 狀 犪 犾 狊 犻 狊 犳 狅 狉２ 犇犿 狅 犱 犲 犾 犻 狀 犳狆 狅 犻 狊 狊 狅 狀犲 狌 犪 狋 犻 狅 狀 犵 狔 犵狅 狇
， ， ＷＡＮＧ Ｑ ｉ ｎ ｉ ｎ Ａ ＩＷｕ ｍ ｉ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ａ ｎ Ｂ ＷＡＮＧ Ｈ ｇ ｐ ｇ ｇ ｇ ｇ
Ｇ Ｓ Ｇ Ｓ 狉 狌 ｆ －犃 ｆ ｆ ， ｆ ＝犫 Ｇ Ｓ 然后 ， 将残差狉 ） 矩阵 犚 转换到 Ｒ ｅ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ 通过限制 （ Ｇ Ｓ 即狉 而在粗网格上求解犃 粗网格上 ， 狉 狌 ｃ ＝犚 ｆ ． ｃ ｃ ＝
．
多重网格方法通常建立在有限差分方法的基础 本文将多重网格方法引入到 ． 有限元方法中 ， 并以二维的泊松方程为例 ， 对单重网
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
王青平 ， 白武明 ， 王洪亮
（ 中国科学院地质与地球物理研究所 ， 北京 １ ） ０ ０ ０ ２ ９
摘 要 本文简要介绍多重网格 （ 算法的基本原理及基本步骤 ， 然后将多重网 格 算 法 引 入 有 限 单 元 中 ， 对二维泊 ＭＧ） 松方程进行求解 ． 单元数尺度从 ８×８ 逐次增加至 １ 并与单重网格中高斯 赛德尔迭代法 （ 、 共轭梯度法 ０ ２ ４×１ ０ ２ ４， Ｇ Ｓ） （ 结 果 表 明 ＭＧ 在 计 算 速 度 和 迭 代 次 数 都 明 显 优 于 Ｇ Ｃ Ｇ）在程序运行时间以及迭代次数方面进行比较 ． Ｓ、 Ｃ Ｇ 方 法． 在１ 比Ｃ 而且与理论解的误差更小 ． ０ ２ ４×１ ０ ２ ４ 网格中 ， ＭＧ 不仅比 Ｇ Ｓ快 ５ ０ ０ 多倍 ， Ｇ 快６ ０ 多倍 ， 关键词 多重网格 ， 共轭梯度法 ， 高斯 赛德尔迭代法 ， 泊松方程 ， 有限元分析 ： ／ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ４ ２ ９ ０ ３． ２ ０ １ ０． ０ ４． ０ ３ ９ 中图分类号 Ｐ Ｄ Ｏ Ｉ １ ０． ３ ９ ６ ９ ６ ３ １ 文献标识码 Ａ ｊ
三维泊松方程的高精度求解方法
三维泊松方程的高精度求解方法三维泊松方程是一种常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学与工程领域的建模和计算。
解决三维泊松方程的高精度方法是很有挑战性的，因为它涉及到大规模的计算和内存需求。
本文将介绍几种常见的高精度求解三维泊松方程的方法。
一、直接方法直接方法是通过离散化三维泊松方程，并利用线性代数方法求解线性方程组。
其中最常用的方法是基于有限差分法的离散化方法。
具体而言，我们可以将泊松方程转化为一个线性方程组Ax=b的形式，其中A是一个稀疏矩阵，x是未知量，b是常数向量。
对于高精度求解，可以使用稀疏矩阵的特殊性质进行优化，如共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）、预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Method）等。
这些方法可以充分利用矩阵的稀疏性，减少计算复杂度和存储空间。
二、迭代方法迭代方法是通过迭代更新解的数值，直到达到预设的收敛条件。
常见的迭代方法包括雅可比迭代法（Jacobi Method）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Method）和多重网格法（Multigrid Method）等。
对于高精度求解，可以选择迭代方法的高阶或者加速版本，如SOR迭代法（Successive Over-Relaxation Method）、MGCG迭代法（Multigrid Conjugate Gradient Method）等。
这些方法可以加快收敛速度，提高数值精度。
三、谱方法谱方法是基于函数的全局性质进行求解的方法。
将输入函数在一组合适的基函数上展开，并选择合适的权重，然后通过将展开系数带入泊松方程，得到一组线性方程，进而求解出解。
对于高精度求解，可以选择具有较高收敛阶的基函数，如拉格朗日插值基函数和切比雪夫基函数等。
此外，合理地选择基函数的数量和位置，可以进一步提高数值精度。
四、混合方法混合方法是将上述不同的方法结合在一起，以充分发挥各自的优点。
讲稿多重网格算法及平均现象的解释
讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。
而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。
多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。
在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。
在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。
而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。
通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。
在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。
在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。
这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。
通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。
平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。
通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。
这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。
2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。
通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。
这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。
通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。
樊洪明泊松方程
樊洪明泊松方程
樊洪明泊松方程是一个在物理学和工程学中非常重要的数学方程，它描述了物体内部的应力分布。
泊松方程的数学形式为：div(σ) = -p，其中σ是应力张量，p是压力场，div表示散度算子。
樊洪明泊松方程的提出，对于解决一系列实际问题具有重要的意义。
例如，在固体力学中，泊松方程可以用于描述弹性体的应力分布；在流体力学中，它可以用于描述不可压缩流体的压力场分布。
通过求解泊松方程，可以获得物体内部的应力分布情况，从而进一步分析物体的稳定性、变形和破裂等问题。
在应用樊洪明泊松方程时，需要特别注意其适用范围和边界条件。
例如，在处理非均匀介质或考虑惯性力时，需要采用更复杂的数学模型。
此外，泊松方程的求解过程通常涉及到数值计算方法，如有限元分析、有限差分法等。
这些方法需要根据具体问题选择合适的网格划分、边界条件和求解算法，以保证求解精度和稳定性。
除了在物理学和工程学中的应用，樊洪明泊松方程还在其他领域有所应用。
例如，在生物学中，它可以用于描述细胞或组织的应力分布；在经济学中，它可以用于分析市场压力和竞争态势。
在这些领域中，樊洪明泊松方程的适用性和重要性可能会因具体问题的不同而有所差异，但其在数学建模和科学分析中的基础作用是相似的。
总之，樊洪明泊松方程是一个重要的数学方程，它在物理学、工程学和其他领域中都有广泛的应用。
通过理解和掌握这个方程，我们可以更好地分析物体的应力分布和解决一系列实际问题。
泊松方程的解法及应用
泊松方程的解法及应用泊松方程是关于无限大区域内的某个标量势函数的二阶偏微分方程。
它在物理学和工程学中广泛应用，例如在电场、热传导、流体力学和弹性力学等领域。
本文将介绍泊松方程的解法及其在实践中的应用。
一、泊松方程的定义与基本性质泊松方程是具有如下形式的偏微分方程：∇²u = -ρ其中u是标量势函数，ρ是源项，∇²是拉普拉斯算子。
这个方程可以通过库伦定律推导出电力学中的几乎所有问题，是许多物理学领域研究的基础。
泊松方程有一些基本性质。
首先，它是线性的，也就是说，如果两个不同的源项ρ₁和ρ₂产生的标量势函数分别是u₁和u₂，那么对于常数a和b，它们的线性组合a u₁ + b u₂是对应于线性组合aρ₁ + bρ₂的标量势函数。
其次，它是反演对称的，也就是说，如果标量势函数u满足泊松方程，那么-u也满足泊松方程。
二、泊松方程的解法在实际应用中，我们需要求解泊松方程，以便计算出场的分布。
泊松方程的解法通常可以分为两种：1. 分离变量法分离变量法是将u(x, y, z)表示为三个独立变量x, y, z的函数的积的形式，即u(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)，然后将泊松方程代入并对每个独立变量进行求导，最终得到连个常微分方程和一个初值问题，可由此得到标量势函数u的解析解。
2. 数值解法当求解泊松方程的解析解十分困难或不可能时，可以通过求解离散化的差分方程来得到数值解。
一般使用有限差分法、有限元法或谱方法，这些方法分别将无限大区域内的标量势函数划分为有限数量的子域，并在子域内使用数值技巧求解差分方程。
三、泊松方程在工程学中的应用泊松方程在物理学和工程学中的应用广泛，下面将介绍其中两个重要的应用：电势分布和热传导问题。
1. 电势分布在电场问题中，泊松方程描述了电场中的电势分布。
假设我们有一个电荷分布ρ(x, y, z)，根据库伦定律，它产生了电场。
泊松方程可以帮助我们计算出哪些区域具有高电势、低电势以及电压梯度等性质。
多重网格算法
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法经过近20年的研究，在经典 应用领域—线性和非线性、标量和非标量 椭圆型问题取得了丰硕的成果。
1 2
in,
j
qin,
1 j
1 s
1 2
2
1 2
in,
j
qin,
j
• 即： Lqin,j1 f
•其中：
L
1 s
1 2
2
1 2
n i,
j
f
1 s
1 2
2
1 2
in,
j
qin,
j
多重网格方法的计算步骤
M M-1 M-2 M-3 M-4
两层“V”循环 多重网格方法
多层“V”循环 多重网格方法
完全多重网 格方法
三基本思想三大支柱套迭代技术四多重网格方法的计算步骤多层v循环多重网格方法两层v循环多重网格方法m1m2m3m4完全多重网格方法多重网格方法的计算步骤两层v循环多重网格方法的计算步骤h2h求解的方程为
多重网格算法
全广艳 2012年5月10日
一、发展过程 二、已取得的成果和待扩充领域 三、基本思想 四、多重网格方法的计算步骤
a.计算细网格上的亏损量：
dhn
fh
n
Lhuh
n
Lh (uh uh ) LhVh
b.从细网格到粗网格转移亏损量：
d
n H
I
H h
d
n h
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求解Poisson 方程
y x y
x cos sin 2222=∂∂+∂∂ψψ， 10≤≤x ，10≤≤y ，
0|0==x ψ，y x ==1|ψ2cos 1sin y -
， 0|y ψ==2sin x -
，x y ==1|ψ2
1cos sin x -， :PDE L n n ψ=f ψ=ψ+w ψw 其中为近似解，为误差 L L L L ⇒+=⇒=-=n n ψw f w f ψR
离散n ψw 和⎧⇒⎨⎩A ψ=Bf Aw =BR
误差和原函数满足相同的PDE
本题使用简单的二层网格粗网格修正格式V 循环来求解，具体可分为4个步骤：
（1） 在细网格上迭代求解
L =ψf
迭代1υ步后，计算所得近似值n
ψ的残差（n 表示在细网格上） n n n n L =-γf ψ
（2） 在粗网格上精确求解误差方程（2n 表示在粗网格上）
222n n n n n L =w I γ
（3） 进行粗网格修正
22n n n n n ←+ψψI w
（4） 然后回到（1），以新的n
ψ为初值，开始下一个V 循环，直到达到一定的收敛标准为止。
上述循环叫做二层网格V 循环。
2n
n I 是把细网格上的残差限制到粗网格上的算子，称之为“限制算子”。
2
n n I 是把粗网格上的结果差值到细网格上的算子，称之为“差值算子”。
下面是C++代码
//多重网格法求解泊松方程
void CFDtest::solveByMG(Matrix &psi,Matrix f)//多重网格法
{
double step3 = step2 * boBox_stepRatio->currentText().toInt();
int n1 = (int)(1.0/step2+0.5);
int n2 = (int)(1.0/step3+0.5);
Matrix gama1(n1,n1);//细网格残差
Matrix w(n2+1,n2+1);//粗网格节点误差
Matrix psi_old(psi);
bool isOK = false;
bool isOK2 = false;
while (!isOK)
{
//细网格上G-S迭代3步
for (int k=0;k<3;k++)
{
isOK = true;
intNum++;
for (int i=1;i<n1;i++)
{
for (int j=1;j<n1;j++)
{
double old_data = psi[i][j];
psi[i][j] = 0.25*(psi[i-1][j] + psi[i+1][j] + psi[i][j-1] + psi[i][j+1] - step2*step2*f[i][j]);
if (abs(psi[i][j] - old_data) > intError)
{
isOK = false;
}
}
if (isOK)//如果达到允许误差范围，跳出for循环
{
break;
}
}
}。