基于外推公式的瀑布型多重网格法

第33卷第9期 西南大学学报(自然科学版) 2011年9月V o l .33 N o .9J o u r n a l o f S o u t h w e s tU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )S e p. 2011文章编号:16739868(2011)09002203基于外推公式的瀑布型多重网格法①李 明1, 李郴良2, 李 灿11.红河学院数学学院,云南蒙自661100;2.桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004摘要:将新外推公式㊁经典外推公式和三次样条插值相结合,作为插值算子为细层提供较好的初始值,并构造了一种瀑布型多重网格法,数值实验表明,该算法效率更高.关 键 词:新外推公式;经典外推公式;三次样条;瀑布型多重网格法中图分类号:O 241.6文献标志码:A上个世纪90年代初,文献[1]提出了瀑布型多重网格(C MG )法.这种算法具有结构简单㊁计算效率高的优点.一般地,C MG 法采用自然延拓的方式(线性插值)得到下一层迭代的初始值,然后在该层上采用相应的迭代法.文献[2]通过构造一个较好的插值算子来得到下一层迭代的初始值,提高了收敛速度.文献[3-5]提出了新外推公式,并提出了新外推瀑布型多重网格法.基于文献[2-5]的思想,为了给细层提供精度更好的初始值,本文将新外推公式㊁经典外推公式和三次样条插值相结合,作为插值算子为细层提供较好的初始值,即在最粗层到次细层之间采用新外推公式和三次样条插值作为插值算子,为下一层提供初始值,而在次细层到最细层之间使用经典外推公式和三次样条插值,为最细层提供初始值,并构造了一种瀑布型多重网格法.数值实验表明,新算法的计算效率优于文献[3-5]中的算法,能更快求出有限元方程的高精度近似解.本文考虑如下一维椭圆型问题:-Δu +αu ᶄ+βu =f ,i n Ωu =p ,o n∂{Ω(1)其中:α,β,f ,p 为已知函数;Ω为一维有界凸区域.对问题(1)采用线性L ag r a n g e 有限元离散,设Zh j是区域Ω的有限元均匀剖分,h j =h 02j 为剖分步长.将剖分Z h j 中的单元取中点,产生细网格剖分Z h j +1.为了便于描述,用下标1,2, ,M 来表示网格层由细到粗.记网格Z h j对应的有限元方程为A j u j =F jj =1,2, ,M (2)其中:u j 中分量不对应Di r i c h l e t 边界的节点,M 表示粗细网格的层数.1 经典的外推公式和新外推公式文献[6]指出,要提高有限元解的精度,大致分为3种途径:采用高次元㊁加密网格㊁使用外推法.前两种方法都会导致节点数的增加,从而增加方程(2)的求解难度,比较好的做法是使用外推法.早在上个世纪70年代后期,陈传淼㊁林群等开始对外推法进行深入研究[6-8].这里简单介绍经典的外推公式和新外推①收稿日期:20100308基金项目:红河学院硕博项目(X J 1S 0925);广西科学研究与技术开发计划项目(桂科基0731018).作者简介:李 明(1983),男,湖南长沙人,讲师,硕士,主要从事偏微分方程数值解的研究.公式.假设已知Z h ,Z h /2网格上对应的有限元方程的高精度近似解如下Z h :{u h i ,u h i +1} Z h /2:{u h /2i ,u h /2i +1/2,u h /2i +1}利用这5个节点值,可以构造出Z h /2网格上更逼近有限元解的近似解.O E u h /2l =(4u h /2l -u hl )/3 l =i ,i +1O E u h /2i +1/2=u h /2i +1/2+12(u h i +u h i +1)-(u h /2i +u h /2i +1[])(3)近两年,陈传淼教授指出,用传统的外推值为瀑布型多重网格法中的细网格Z h /2提供初值过分精确,过于靠近问题真解,却和该层上的有限元解有一定误差,这需要使用多次迭代来磨光这种误差.基于这种考虑,文献[3-5]提出新外推公式,使得新的外推值更接近有限元解u h /4,具体公式如下:N E u h /2l =u h /2l +(u h /2l -u hl )/4 l =i ,i +1N E u h /2i +1/2=u h /2i +1/2+18(u h /2i -u h i +u h /2i +1-u hi +1)(4)由上式可求得Z h /2上的高精度近似解{N E u h /2i ,N E u h /2i +1/2,N E u h /2i +1}.这里O E u ,N E u 分别表示采用经典外推公式和新外推公式得到的近似解.2 基于外推公式的瀑布型多重网格法文献[3-5]结合新外推公式和二次插值作为插值算子,即先由Z h 上的{u h i ,u hi +1}和Z h /2上的{u h /2i ,u h /2i +1/2,u h /2i +1},采用新外推公式得到Z h /2上的更逼近于该层有限元解的近似解{N E u h /2i ,N E u h /2i +1/2,N E u h /2i +1},接着利用二次插值,由{N E u h /2i ,N E u h /2i +1/2,N E u h /2i +1}插值得到Z h /4上的初始值.不过,二次插值只能得到O (h3)的插值精度,因此还需要对细层上的数值解进行多次磨光,以弥补二次插值精度偏低的不足.本文设计的算法过程如下:算法1 改进的瀑布型多重网格(C C MG )法步骤1 最粗层上精确求解:u *M =A M \F M ;步骤2 次粗层上精确求解:u *M -1=A M -1\F M -1;步骤3 f o r j =M -2, ,2使用新外推:u ɡj +1=N E (u *j +1,u *j+2);使用三次样条插值得到第j 层上的初始值:u 0j =S ju ɡj +1,磨光:u *j =C G (u 0j );e n d步骤4 使用经典外推:u ɡ2=O E (u *2,u *3),使用三次样条插值得到第j 层上的初始值:u 01=S 1u ɡ2,磨光:u *1=C G (u 01).注:O E 为经典外推公式(见式(3)),N E 为新外推公式(见式(4)),S j 为第j 层上的三次样条插值算子,C G 为共轭梯度算子,磨光终止条件可取为相邻两次迭代值的2范数误差小于等于10-6.3 数值实验为了验证本文算法的有效性,给出如下数值实验.算例1[3,6]-u ᵡ(x )+u (x )=1,x ɪ(0,1),u (0)=u ᶄ(1)=0,其中,真解u =1-c o s h (1-x )/c o s h 1.对算例1,采用线性有限元一致网格离散.实验结果见表1,其中:M 表示多重网格法的重数,m e s h 表示最细层上的有限元单元数,E r r 1为数值解与问题真解之间的能量误差,磨光步中的数值从左到右对应粗层到细层上的磨光步数.32第9期 李 明,等:基于外推公式的瀑布型多重网格法表1 算例1的数值结果M m e s h 文献[5]中的算法E r r 1磨光步/步运行时间/s 算法1E r r 1磨光步/步运行时间/s 31281.8007e -00610.00132.2174e -00810.00102564.4658e -00710.00192.3886e -00910.00135121.1142e -00710.00222.7061e -01010.001510242.7849e -00810.00313.3525e -01110.002741281.9295e -0062,10.00281.4865e -0071,10.00222564.8049e -0071,10.00301.4061e -0081,10.00245121.1363e -0071,10.00361.3607e -0091,10.002510242.7982e -0081,10.00391.3740e -0101,10.003020486.9776e -0091,10.00531.7897e -0111,10.004151283.0350e -0063,2,10.00271.4406e -0061,1,10.00242567.0784e -0072,1,10.00311.3666e -0071,1,10.00305121.7976e -0071,1,10.00411.2854e -0081,1,10.003910243.3019e -0081,1,10.00651.2181e -0091,1,10.0061从表1可以看出,与文献[5]中的算法相比,本文设计的算法1具有计算时间短㊁计算精度高的优点.特别地,剖分每加密一次,计算精度也相应提高一个量级.由于本文设计的插值算子能给细层提供更好的初始值,所以各层上所需的磨光步较少,随着网格的加密,仅通过插值就能得到高精度近似解.因此,本文设计的算法1能更快更精确地求出问题(1)的数值解.参考文献:[1]B O R N E MA N N F ,D E U F HA R D P .T h eC a s c a d i c M u l t i g r i d M e t h o df o rE l l i pt i cP r o b l e m s [J ].N u m e r M a t h ,1996,42(9):917-924.[2] 李郴良,陈传淼,许学军.基于超收敛和外推方法的一类新的瀑布型多重网格方法[J ].计算数学,2007,29(4):439-448.[3] C H E NC h u a n -m i a o ,X I EZ i -q i n g ,L IC h e n -l i a n g ,e t a l .S t u d y o f aN e wE x t r a p o l a t i o n M u l t i g r i d M e t h o d [J ].湖南师范大学学报:自然科学版,2007,30(2):1-5.[4] C H E NC h u a n -m i a o ,HU H o n g -l i n g ,X I EZ i -q i n g ,e t a l .A n a l y s i s o f E x t r a p o l a t i o nC a s c a d i cM u l t i g r i dM e t h o d (E X C MG )[J ].中国科学A 辑,2008,51(8):1349-1360.[5] 胡宏伶,陈传淼,谢资清.外推瀑布多网格法(E X C MG ) 大规模求解椭圆问题的新算法[J ].计算数学,2009,31(3):261-274.[6] 陈传淼.科学计算概论[M ].北京:科学出版社,2007.[7] 陈传淼,黄云清.有限元高精度理论[M ].长沙:湖南科技出版社,1995.[8] 林 群,严宁宁.高效有限元的构造和分析[M ].保定:河北大学出版社,1996.[9] 陈胜兰,方长杰.变分不等式的3步迭代法[J ].西南大学学报:自然科学版,2010,32(12):125-128.[10]万 波,邓 磊.广义集值混合拟变分不等式的迭代算法[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2008,33(3):1-4.AC a s c a d i cM u l t i g r i dM e t h o dB a s e d o nE x t r a po l a t i o nF o r m u l a L I M i n g 1, L IC h e n -l i a n g 2, L I C a n 11.D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s ,H o n g h eU n i v e r s i t y ,M e n gz i Y u n n a n 661100,C h i n a ;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n a l S c i e n c e ,G u i l i nU n i v e r s i t y o f E l e c t r o n i cT e c h n o l o g y ,G u i l i nG u a n gx i 541004,C h i n a A b s t r a c t :An e we x t r a p o l a t i o n f o r m u l a ,t h e c l a s s i c e x t r a p o l a t i o n f o r m u l a a n d c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o na r e c o m -b i n e d a s a n i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r t o p r o v i d e a b e t t e r i n i t i a l v a l u e o n r e f i n e d g r i d ,a n d a c a s c a d i cm u l t i gr i dm e t h o d i s d e s i g n e d i n t h i s p a p e r .T h e n u m e r i c a l e x pe r i m e n t r e s u l t s s h o wt h a t t h em e t h o d i sm o r e ef f i c i e n t .K e y wo r d s :n e we x t r a p o l a t i o n f o r m u l a ;c l a s s i c e x t r a p o l a t i o n f o r m u l a ;c u b i c s p l i n e ;c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d 责任编辑 张 栒42西南大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第33卷。