点到直线的距离 练习题
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线a的距离≤PC，即点P到直线a的距离不大于3cm．故选：D．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A．垂线段B．垂线C．垂线的长度D．垂线段的长度【分析】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．对照定义进行判断．解：根据定义，点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度．故选D．【点评】此题主要考查了点到直线的距离的定义．3．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，则图中表示点A到直线BC的距离的线段是（）A．AD B．AB C．AC D．CD【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案．解：AC⊥BC，垂足为点C，则点A到BC的距离是线段AC的长度，故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度．4．如图，在长方形ABCD中，点E在边BC上．则点A到直线BC的距离是线段（）A．AD的长度B．AC的长度C．AE的长度D．AB的长度【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．解：∵AB⊥BC于B，∴点A到直线BC的距离是线段AB的长度，故选：D．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．。
初三点到直线距离练习题
初三点到直线距离练习题在解初三点到直线距离的练习题之前，我们先来回顾一下相关的几个概念。
在平面几何中，直线是不具有宽度的，它由无数个点组成。
而点到直线的距离是指这个点到直线上最近的点的距离。
设直线的方程为Ax + By + C = 0，某点的坐标为（x0，y0）。
点到直线的距离可以使用以下公式来计算：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)现在，我们通过一些练习题来巩固这个知识点。
练习题1：求点（3，4）到直线2x + 3y - 6 = 0的距离。
首先，我们可以将直线的方程转化为标准形式，即将A、B、C分别代入公式中。
根据公式，我们有：d = |2 * 3 + 3 * 4 - 6| / √(2^2 + 3^2)计算得到：d = |6 + 12 - 6| / √(4 + 9)= 12 / √13所以，点（3，4）到直线2x + 3y - 6 = 0的距离为12 / √13。
练习题2：已知直线过点A(1，2)和B(3，4)，求点C(-1，0)到直线AB的距离。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 计算直线AB的斜率。
斜率可以通过两点间的坐标差来计算，即m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
m = (4 - 2) / (3 - 1)= 2 / 2= 12. 由直线AB的斜率可以知道，直线的方程为y - y1 = m(x - x1)。
将A(1，2)代入方程，可以得到直线的具体方程为y - 2 = 1(x - 1)，即y = x + 1。
3. 将点C(-1，0)代入直线的方程，求得点C到直线AB的距离。
d = |-1 + 1 + 0| / √(1^2 + 1^2)= 0 / √2= 0因此，点C(-1，0)到直线AB的距离为0。
练习题3：已知直线过点A(2，3)和B(4，5)，求点P(1，0)到直线AB的距离。
同样地，我们按照以下步骤求解：1. 计算直线AB的斜率。
点到直线的距离练习题
C. D.
解析：由两直线平行可知 ＝ ≠ ，故m＝4.
又方程6x＋4y＋1＝0可化简为3x＋2y＋ ＝0，
∴平行线间的距离为 ＝ .故选D.
答案：D
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
解析：设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意 ＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.
答案：B
3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()
A．4 B.
C．(－12,0)或(8,0) D．(－6,0)或(6,0)
解析：设P(x,0)，则 ＝6，解得x＝－12或x＝8.
答案：C
4．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．
解析：由题意设P(a,0)，则有 ＝ ，
解得a＝ 或a＝ .
故点P的坐标为 或
(限时：30分钟)
1．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是 ，则实数a为()
A．－1B．5
C．－1或5 D．－3或3
解析：由点到直线距离公式： ＝ ，
∴a＝－1或5，故选C.
答案：C
2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()
高一数学必修二《点到直线的距离》经典例题
3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离一、基础达标1．(2014·济宁高一检测)两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.75 B.715C.415 D.23答案 C解析l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|92＋122＝415.2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0答案 B解析设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为() A．a>7 B．a<－3C．a>7或a<－3 D．a>7或－3<a<7答案 C解析根据题意，得|3a－6|32＋42>3，解得a>7或a<－3.4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝()A．0或12 B.12或－6C．－12或12D．0或－12答案 B解析由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，所以m＝12或m＝－6.5．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________．答案3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0解析因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y＝3x＋b，化为一般式得3x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b|(3)2＋(－1)2＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0.6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．答案2 2解析|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离．d＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.7．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程．解由题意可知，直线l的斜率一定存在．又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.由点(2,1)到l的距离为1，得|2k－1|k2＋1＝1.解得k＝0或k＝4 3.∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0.二、能力提升8．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是() A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0答案 D解析 法一 设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0， 由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋C |22＋32. ∴C ＝－6(舍)或C ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.法二 令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.9．两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0<d ≤5 B ．0<d ≤13 C ．0<d <12 D ．5≤d ≤12答案 B解析 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB |＝13，所以0<d ≤13.10．两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋my －1＝0的距离为________． 答案 110解析 由l 1∥l 2知m ＝83，将直线l 2：2x ＋83y －1＝0变形为3x ＋4y －32＝0， 由两平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232＋42＝110.11．求与两平行线l 1：3x ＋4y －10＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0距离相等的直线l 的方程．解 设P (x ，y )是所求直线上任一点，则|3x ＋4y －10|32＋42＝|3x ＋4y －12|32＋42，化简得3x ＋4y －11＝0，即为所求直线的方程． 三、探究与创新12．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解 由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )则|PQ|＝(a＋2)2＋(b＋2)2，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A、B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.则Q点到直线AB的距离d＝|－2＋(－2)－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.13．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．解(1)若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程y ＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|－1－5k|(－1)2＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝12 5，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.(2)若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.。
高中数学最短距离练习题及讲解
高中数学最短距离练习题及讲解### 高中数学最短距离练习题及讲解#### 练习题一：点到直线的距离题目：已知点A(3, -1)，求点A到直线x + 2y = 6的最短距离。
解答：1. 首先，将直线方程化为标准形式：\( x + 2y - 6 = 0 \)。
2. 使用点到直线距离公式：\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 +C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，其中A、B、C是直线方程的系数，\( (x_1, y_1) \)是点的坐标。
3. 代入数值：\( A = 1, B = 2, C = -6, x_1 = 3, y_1 = -1 \)。
4. 计算得到：\( d = \frac{|1\cdot3 + 2\cdot(-1) -6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 - 2 - 6|}{\sqrt{5}} =\frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \)。
#### 练习题二：直线与直线的最短距离题目：求直线x - 2y + 4 = 0与直线x + y - 5 = 0之间的最短距离。
解答：1. 将两直线方程化为标准形式：\( x - 2y + 4 = 0 \) 和 \( x + y - 5 = 0 \)。
2. 两直线平行，因此最短距离为它们之间的垂直距离。
3. 求出两直线的斜率：\( m_1 = \frac{1}{2}, m_2 = -1 \)。
4. 垂直距离公式：\( d = \frac{|A_1 - A_2|}{\sqrt{1 + m_1^2}} \)，其中\( A_1 \)和\( A_2 \)分别是两直线方程的常数项。
5. 代入数值：\( A_1 = 4, A_2 = -5 \)。
6. 计算得到：\( d = \frac{|4 + 5|}{\sqrt{1 +\left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{9}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{9}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{5}} =\frac{18\sqrt{5}}{5} \)。
点到直线的距离练习题
点到直线的距离练习题点到直线的距离一、选择题1、点（0，5）到直线y=2x的距离是（）A、5√5B、5C、2√5D、2√22、点p（x，y）在直线x=y-4=0上，O是原点，则op的最小值是（）A、10B、22C、6D、2√53、p点在直线3x+y-5=0上，且p到直线x-y-1=0的距离等于2，则点p坐标为（）A、（1，2）B、（2，1）C、（1，2）或（2，-1）D、（2，1）或（-1，2）4、点p（m-n，－m）到直线x+y=1的距离等于（）A、m2+n2B、m2-n2C、-m2+n2D、m2±n26、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是（）A、4x+y-6=0B、x+4y-6=0C、2x+3y-7=0或x=4-6=0D、3+2y-7=0或4x+y-6=07、两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于（）A、3B、7C、5二、填空题8、点A（m+2，n+2），B（n－4，m－6）关于直线4x+3y－11=0对称，则m=3n-10，n=3m-229、已知点（a,2）(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a=1110、已知直线l与两直线l1：2x-y-1=0和l2：2x-y+3=0的距离相等，则l的方程为______.2x-y+1=011、已知实数x,y满足关系式x+y-4=0，则x+y的最小值是___________.4三、解答题12、求点P（x,y）到直线L：Ax+By+C=0的距离。
解：过P作直线L的垂线PQ交直线L于Q，设Q(a,b)，PQ的方程为：Bx-Ay+C1=0，因为所以C1=Ay-Bx，PQ：Bx-Ay+Ay-Bx=0，即PQ：B(x-x)+A(y-y)=0，由B(x-x)+A(y-y)=Ax+By+C=0得B(x-x)+A(y-y)=-(Ay-Bx+C)，即B(x-x)-A(y-y)=C-Ay+Bx，即13、求点P（2，3）到直线3x+4y+2=0的距离。
点到直线的距离150题及解析
【解析】解：∵OQ⊥PR，
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选：C．
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．
本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键．
9.下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
故选：A．
根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记性质并能灵活过应用是解题关键．
10. 如图，点A到线段BC所在直线的距离是线段（ ）
A.AC的长度
B.AD的长度
C.AE的长度
D.AB的长度
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离有关知识，根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案.
D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直符合垂直的性质，故本选项正确．
故选：D．
根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是点到直线的距离，熟知从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离是解答此题的关键．
14.下列说法正确的是（ ）
A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
12.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
高中数学必修一《点到直线的距离、两平行线间的距离》练习
点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y－4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试能力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013.答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx . 由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。
四年级数学上册第5单元第3课时点到直线的距离练习题
第3课时点到直线的距离(教材例3，P59)
一、我会填。
1．两条平行线间可以画()条垂直线段。
2．下图中，()和()一样长。
二、我会选。
1．如下图，点P到直线所连线段中，()最短。
A．P A B．PB C．PC
2．下面是玲玲跳远成绩图，()是正确的成绩。
3．如图所示，直线m、n互相平行，那么线段AB和CD的长度关系是()。
A．AB＜CD
B．AB＝CD
C．AB＞CD
三、甲、乙两厂要重新修建无污染排水管道，他们分别怎样修，距离最短？(画一画)
四、五个同学一起过马路。
1．分别画出他们过马路所走的最短的路。
2．分别量一量这五个同学所走路线的长度，你有什么发现？
五、聪聪和明明赛跑，他们以相同的速度同时跑向旗杆，你认为谁会赢？
第3课时
一、1.无数 2.③⑤
二、1.B 2.B 3.B
三、略
四、1.略 2.他们五个所走的路线一样长。
五、明明会赢。
人教课标版(B版)高中数学必修2基础练习-点到直线的距离
2.2.4 点到直线的距离一、选择题1．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是() A．(5，－3)B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝03．与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝04．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝05．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝06．到直线3x－4y－1＝0距离为2的点的轨迹方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝07．顺次连结A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)所组成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对8．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a、b的值分别为()A．1,9 B．－1，－9C．1，－9 D．－1,9二、填空题9．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．10．与直线3x＋4y－3＝0平行，并且距离为3的直线方程为________________．11．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为__________．12．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．三、解答题13．(2010·曲师大附中高一期末检测)已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其它三边所在直线方程．14．(2010·山东聊城高一期末检测)已知点A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)，求△ABC 的面积．15．求经过点A(2，－1)且与点B(－1,1)的距离为3的直线方程．16．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．17．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l的方程．1. [答案] A[解析] 当PQ 与已知直线垂直，垂足为Q 时，点Q (5，－3)即为所求．2. [答案] A[解析] 所求直线与两点A (1,2)，O (0,0)连线垂直时与原点距离最大．3. [答案] D[解析] 验证法：直线2x ＋y ＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为122＋12＝55， 直线2x ＋y ＋2＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为|2－1|22＋12＝55，故选D. 4. [答案] D[解析] 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，∵直线过(1,2)且与A 、B 两点距离相等， 则⎩⎨⎧ A ＋2B ＋C ＝0 ①|2A ＋3B ＋C |A 2＋B 2＝|4A －5B ＋C |A 2＋B 2 ②由②得：A ＝4B 或3A －B ＋C ＝0. 当A ＝4B 时，C ＝－6B ，直线方程4Bx ＋By －6B ＝0即4x ＋y －6＝0.当3A －B ＋C ＝0时，2A ＝3B ，－7A ＝3C ，∴直线方程3Ax ＋2Ay －7A ＝0，即3x ＋2y －7＝0.点评：本题实际解答比较麻烦，作为选择题可用检验淘汰法，由P (1,2)在所求直线上，排除B ，C.故只须检验A 、B 两点到直线3x ＋2y －7＝0的距离是否相等即可，选D.5. [答案] B[解析] 解法一：l 1关于P (2,3)的对称直线l 3，l 2关于P (2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P (2,3)距离分别相等，∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出． 解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B.[解析] 设所求轨迹上任意点P (x ，y )， 由题意，得|3x －4y －1|32＋42＝2， 化简得3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0.7. [答案] B[解析] ∵k AB ＝k CD ＝13，k BC ＝－12，k AD ＝－3，∴AB ∥CD ，AB ⊥AD .8. [答案] B[解析] 设直线ax ＋3y －9＝0关于原点对称的直线方程为－ax －3y －9＝0，又∵直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，∴－a ＝1，b ＝－9，即a ＝－1，b ＝－9.9. [答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A (－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0.10. [答案] 3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0[解析] 设所求直线上任意一点P (x ，y ) 由题意，得|3x ＋4y －3|32＋42＝3， ∴|3x ＋4y －3|＝15，∴3x ＋4y －3＝±15，即3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0.11. [答案] 4[解析] 由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O 的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. 12. [答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0[解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－(－3)|2＝52 2.所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， ∴c ＝0或－10， ∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.13. [解析] 正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610 . 设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7. 故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由|3×(－1)＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3. ∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.14. [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(1－2)2＋(－2－4)2＝37，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －4－2－4＝x －21－2. 即6x －y －8＝0.点C (－2,3)到6x －y －8＝0的距离h ＝|－12－3－8|62＋(－1)2＝233737， 因此，S △ABC ＝12×37×233737＝232.15. [解析] 若所求直线斜率不存在，则它的方程为x ＝2满足要求；若所求直线的斜率存在．设方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由题设B (－1,1)到该直线距离为3， ∴|－k －1－2k －1|k 2＋1＝3，∴k ＝512，∴直线方程为：y ＋1＝512(x －2)即：5x －12y －22＝0，∴所求直线的方程为：x ＝2或5x －12y －22＝0.16. [解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2， 解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎨⎧ y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎨⎧ y －4＝k (x －2)x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1. 又点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.17. [解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得线段A ′B ′的长为|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋1＝0， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋6＝0， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. ∵|AB |＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1.。
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2、画图略。这些点连成一条直线后与已知直线平行。
3、（1）×（2）×ห้องสมุดไป่ตู้3）√
4、（1）A（2）B
5、画图略。（1）从点A画到公路的垂直线段。
（3）长方形相对的两条边互相平行。（）
4、选择。
（1）正方形的相邻两边互相（）。
A、垂直B、平行C、重合
（2）右图中有（）组平行线
A、2 B、3 C. 4
5、画一画。
（1）一个村要从A地修筑一条小道通到公路，小道怎样修筑最短？画一画。
A.
（2）画出已知直线a的平行线b。
a
参考答案
1、（1）5厘米，画图略。
点到直线的距离
1、先画垂线，再量长度。
（1）A点到已知直线的距离大约是（）厘米。
.A
(2)B点到已知直线的距离大约是（）厘米
.B
2、在已知直线的下方，画一些到已知直线的距离1厘米的点，把这些点连起来，你能发现什么。
3、判断。
（1）小芳在纸上画了一条平行线。（）
（2）永不相交的两条直线叫做平行线。（）