在职研究生数值分析复习资料及答案
数值分析期末复习题答案
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
研究生数值分析答案_2
● 当22()3x x ϕ+=时，'12()3x x ϕ=，因此'1(2) 1.3333ϕ=>1，，因此，该迭代格式不收敛。
● 当2()x ϕ='2()x ϕ=，因此'2(2)0.75ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
● 当32()3x x ϕ=-时，'322()x xϕ=，因此'3(2)0.5ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
● 当242()23x x x ϕ-=- 时，2'44224()1213x x x x x ϕ--=-+，因此'4(2)0ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
(2)、● 当22()3x x ϕ+=时，迭代法计算公式是20122.5,3k k x x x ++==，程序如下： >> fi=inline('(x.*x+2)/3');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1end运行结果如下：x0 =2.7500k =1x0 =3.1875k =2x0 =4.0534k =3x0 =6.1433k =x0 =13.2468k =5x0 =59.1589k =6x0 =1.1673e+003 k =7x0 =4.5416e+005 k =8x0 =6.8755e+010 k =9x0 =1.5757e+021 k =10x0 =8.2765e+041 k =11x0 =2.2834e+083 k =12x0 =1.7379e+166 k =13x0 =Infk =14x0 =Infk =15由以上计算结果看，序列是发散的，运行14次已经超出计算机的识别范围，当2()x ϕ迭代法计算公式是1k x +=程序运行结果如下：>> fi=inline('sqrt(3*x-2)');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1;endx0 =2.3452x0 =2.2440x0 =2.1753x0 =2.1274x0 =2.0934x0 =2.0689x0 =2.0510x0 =2.0379x0 =2.0282x0 =2.0211x0 =2.0157x0 =2.0118x0 =2.0088x0 =2.0066x0 =2.0049x0 =2.0037x0 =2.0028x0 =2.0021x0 =2.0016x0 =2.0012x0 =2.0009x0 =2.0007x0 =2.0005x0 =2.0004x0 =2.0003x0 =2.0002x0 =2.0002x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0000x0 =2.0000x0 =2.0000>>由以上计算结果看，序列收敛与2，所以x=2是f(x)= 232x x -+=0的根。
研究生数值分析练习题答案
允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分） 1. 若 2.71828x e ==，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0xx e在0.5x 附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<=，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k xe k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩D 0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-=则在数值计算过程中（ C ）。
数值分析参考答案(第二章)doc资料
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
数值分析参考答案(第二章)
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
哈工大研究生数值分析试题与答案
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题与答案---WORD 格式--可编辑--1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。
（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+2()328f x x x '=--()62f x x ''=-(3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代： 3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+ 2001023634x x x x ++==+ 2112123634x x x x ++==+ 2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ????的Jacobi 迭代法收敛。
解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+ 10210211203203130130J a B a a a -----?????? ? ? ?=--=-- ? ? ? ? ? ???????112a b g a b -???? ? ?= ? ? ? ?a谱半径：()1JBaρ=<时Jacobi迭代收敛故：a>3. 设（1）⽤Crout三⾓分解法求解⽅程组1232325xx?=??；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
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在职研究生数值分析复习资料考试时间：120分钟、单项选择题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为n的近似值时具有(B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)2. 下列条件中，不是分段线性插值函数(A) P(x)在各节点处可导(C) P(x)在各子区间上是线性函数6 P(x)必须满足的条件为(A )。
(B) P(x)在[a，b]上连续(D) P(X k)=y k,(k=0,1, …，n)f [ X-! , x2, x n ] f [ x0 ,x1, x n 1]3. n阶差商递推定义为：f[x°,X1, X n] -- - -- 一一，设X n x-差商表如下：那么差商 f ［1，3，4］= ( A )。
A. (15 —0)/(4 —1) = 5B. (13 —1)/(4 —3)=12C. 4D. —5/42x 4和x ln(4 x)/ln2的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在［1,2］内的实根，下列描述正确的是：(B )(A)前者收敛，后者发散(B)前者发散，后者收敛(C) 两者均收敛发散(D)两者均发散5.区间［a，b］上的三次样条插值函数是(A )。
x4.分别改写方程2 x 4 0为xA. 在［a，b］上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B. 在区间［a，b］上连续的函数C. 在区间［a，b］上每点可微的函数D. 在每个子区间上可微的多项式二、填空题(每空2分，共20分)1. 当 x=1 , -1, 2 时，对应的函数值分别为 f(-1)=0, f(0)=2, f(4)=10，则 f(x) 的拉格朗日插值多项式是F 2(x)—x 2 2 (题目有问题，或许应该是：x= -1，0, 4时…)55552. 求解非线性方程xe x 10的牛顿迭代公式是3. 对任意初始向量X (0)和常数项N ，有迭代公式x (k 1) 序列X (k)收敛的充分必要条件是limX (k) X *。
k3 22 4 .设A,X2 13，II A II x = _5_, II A II 仁5 , I X 35. 已知a=3.201, b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值， 则a b 有 ____ 2— 位 有效数字，a+b 有 ____ 1 ____ 位有效数字。
6. 若 f(x)=x 7-x 3 + 1,则 f[20,2II ,22,23,24,25,26,27]= _____ 1 ______ 。
三、 利用100, 121, 144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求.115的近似值。
要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。
四、已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式hn 11(T nh[f(a) 2 f(xQ f (b)])，计算积分 I 0exdx ，并估计误差2 k 1(R n (f)b a h 2f"( ), (a,b))。
12x0 0.125 0.250.3750.50.6250.750.8751xe1 1.1331481.2840251.4549911.6487211.8682462.1170002.3988752.718282II 35X kxkX kX k 1,(k 0,1,2...)Mx (k) N 产生的向量 17.求积公式°f(x)dx3瞪)寸磴)3呻具有—3_次代数精度a 2 1 为1 五、已知方程组2 a 2 X 22 1 2 a x 31（1） 写出解此方程组的雅可比法迭代公式; （2） 证明当a 4时，雅可比迭代法收敛;⑶取a 5，X （0）（总却，求出X"六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题 至0.5处的y 值，保留小数点后四位）。
, 2x y' y(0 y y(0) 12x ! x 2 x 3 11八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数10x 1 2x 2 x 3 3 2x 1 10x 2 x 315 人 2x 2 5x 3102（1）计算o f （x ）dx ，（2）估计截断误差的大小1 III IV V VI十、设有线性方程组 Ax b ，其中 A 3 10 15 , b5 15 30（1 ）求A LU 分解；（2）求方程组的解 （3）判断矩阵A 的正定性I ^一、用牛顿迭代法求方程 x e x 0的根。
（迭代三步即可）七.用列主元高斯消元法解线性方程组。
（计算时小数点后保留5位）X !X2X 3 4 5x 1 4X 2 3X 3 12 （取步长为0.1,只要求给出x=0.1X 1)九、设 f(0) 1, f(0.5)5, f(1) 6, f(1.5) 3, f(2)2，(k)M (k 2,3,4)，十二、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据，若用插值法计算,x约为多少时参考答案三、解利用抛物插值，这里 xO=1OO , yO=1O , x1=121, y 仁11, x2=144, y2=12, 令x=115代入抛物插值多项式求得.115近似值为10.7228 四、解 T 8 -[f(O) 16 f (x k ) f (1)] 1.720519 11[f(O) 24(f (O.25)S 4f(O.5) |R 8(f )| R(f)|(f (O.125) f(O.375) f (O.625) f (O.875)) 2 f (O.75)) f(1)] 1.71828b a | 2 12 b a t 4 h 28802 1 12 1h f"( )| (―) e 0.003594296875 12 8 (4)( ) | 1($4e 4.7272 10 5 2880 4解（1） 对i 1,2,3 , 从第i 个方程解出 (m 1) %1 -(1 2x 2m)(m)x 3 )a(m 1)X 2丄(2 2X T 2x 3m)),m 0,1,ax 3m° 丄(1 a x 1m) 2x 2m))(2)当 a 4时，A 人，得雅可比法迭代公式为:为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
(3)取 a 5 , X (O)1 1 1 ( ------------ 1O‘5‘1O由迭代公式计算得X1⑴(2) X11 10，13 2508⑴25，x3旦X (2) 25， x3丄10 13 25013 2508 2513 ) T 250六、解 改进的欧拉公式为y n 1y n hf(X n ,y n )y n1 yn1)]七、解(1, 5, 2)最大元5在第二行，交换第一与第二行:5x 1 4X 2 3X 3 12 N X 2 X 342x 1x 2 x 3 11L 2i =1/5=0.2,l 3i =2/5=0.4 方程化为：5x 1 4x 2 3x 3 12 0.2x 2 0.4 x 31.62.6X 20.2x 3 15.8(-022.6)最大元在第三行，交换第二与第三行：5x 1 4x 2 3x 3 12 2.6x 2 0.2x 3 15.80.2x 20.4 x 31.6L32=-0.2/2.6=-0.076923，方程化为:5x 1 4x 2 3x 312 2.6X 2 0.2x 3 15.80.38462X 30.38466回代得：x 1 3.00005 x 2 5.99999 x 31.00010 八•解答：x k 111—(3 2x k10 2 x k )k 1X 2 — (15 2x k 10 11k、x 3)k 1x3〔(10 x k 15 12x k 1)k 1x 10.3 0.2x ： 0.1x ：) x k 121.5 0.2x k 1 10.1x k )k 1x32 0.2x k 110.4x k 1)2 /取 x0=(0,0,0)x1=(0.3,1.56,2.684)x2=(0.8804,1.9445,2.9539) x3=(0.9843,1.9923,2.9938) x4=(0.9978,1.9989,2.9991) x5=(0.9997,1.9999,2.9999) x6=(1.0000,2.0000,3.0000) x7=(1.0000,2.0000,3.0000)九、根据给定数据点的个数应该用复化 simps on 公式计算由公式得2 hf(x)dxh3(f(0) 4(®5)心5))2f(1)f(2))47 6h 丄2R(f0)b ah ；f (4)()28802 0 M2880 M 1440 Jh 1 2h 1 3 5 21 3 52 十、因为[A,b]3 10 15 8 3l 1 0 2 5 15 3055 0l5 51 0 0 1 3 5 X1 1 (1) A=LU= 3 1 0 0 1 0 (2方程组的解为；X2 2)5 0 1 0 0 5 X3 11 0 0 1 3 5 1 0 0 1 1 3 5 (3) 由于A= 3 1 0 0 1 0 = =3 1 0 1 0 1 05 0 1 0 0 5 5 0 1 5 0 0 1 所以矩阵A是对称正定的十二、(y 1)(y 0)(y 3) ( (y 4)(y 0)(y 3) i(y)(4 1)( 4)( 4 3) () ( 1 4)( 1)( 1 3)(y 4)(y 1)(y 3) 2 (y 4)( y 1)(y 0) 3(0 4)(0 1)(0 3) (3 4)(3 1)31 1 1y(y 1)( y 3) -(y 4)( y 1)( y 3) y( y 4)(y 1)84 6 281(0.5)=2.91667。