压杆的临界载荷
临界荷载的欧拉公式
临界荷载的欧拉公式临界荷载的欧拉公式是结构力学中的重要概念。
它描述了当柱子或杆件受到轴向压力时，即压杆受到的最大压缩荷载时，突然发生屈曲的情况。
临界荷载是结构工程设计中需要考虑的重要参数，因为了解临界荷载可以帮助工程师设计更安全和稳定的结构。
欧拉公式是描述临界荷载的数学方程，由著名的数学家欧拉在18世纪中期提出。
该公式给出了临界荷载与压杆的几何形状和材料性质之间的关系。
欧拉公式的一般形式可以表示为：Pc = (π^2 * E * I) / (L^2)其中，Pc是临界荷载，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
这个公式适用于理想化的杆件，即杆件的截面形状是均匀的，材料是均匀的，且处于完全压缩状态。
根据欧拉公式，我们可以得出以下几个关键观察点：1. 杆件的临界荷载与其弹性模量成正比。
弹性模量越大，杆件的临界荷载就越大。
这是因为弹性模量反映了材料的刚度，刚度越大，杆件就越能够抵抗压缩荷载。
2. 杆件的临界荷载与其截面惯性矩成正比。
截面惯性矩是描述杆件截面形状和尺寸的参数，它反映了截面抵抗变形和变形的能力。
截面惯性矩越大，杆件的临界荷载就越大。
3. 杆件的临界荷载与其长度的平方成反比。
杆件长度越长，临界荷载就越小。
这是因为较长的杆件更容易发生屈服和屈曲。
根据以上几个观察点，我们可以得出一些结论和设计指导：1. 为了增加杆件的临界荷载，可以选择具有高弹性模量和大截面惯性矩的材料和截面形状。
2. 如果无法改变材料特性或截面形状，可以通过减小杆件的长度来增加其临界荷载。
在设计中，我们通常会选择较短的杆件，以增加其稳定性。
3. 在设计过程中，需要对杆件的临界荷载进行合理的估计和验证。
如果杆件承受的荷载超过了其临界荷载，就需要采取一些稳定措施，以防止结构的崩塌或失效。
综上所述，临界荷载的欧拉公式提供了一种估计杆件稳定性的方法。
通过理解临界荷载与材料特性、截面形状和长度之间的关系，工程师可以更好地设计结构，并确保其在实际使用中的安全和稳定性。
压杆稳定计算公式
压杆稳定计算公式一般而言，压杆的稳定性计算可以分为以下几个步骤：1.确定杆件几何形状：包括杆件的长度、截面形状和尺寸等参数。
这些参数对杆件的承载能力和稳定性有很大影响。
2.确定杆件材料的特性：主要包括弹性模量、截面惯性矩和截面面积等。
这些参数主要用于计算杆件的刚度和强度。
3.确定受力条件：包括受力的方向、大小和位置等参数。
这些参数是计算杆件临界载荷的基础。
4.计算临界载荷：可以使用公式或者数值方法计算出杆件的临界载荷。
压杆的临界载荷一般通过欧拉公式计算得到。
当临界载荷小于或等于实际受力时，杆件保持稳定；当临界载荷大于实际受力时，杆件可能发生屈曲。
欧拉公式是压杆稳定计算中最常用的公式之一，其基本形式为：Pcr = (π²EI) / (KL)²其中，Pcr为杆件的临界载荷，E为材料的弹性模量，I为杆件的截面惯性矩，K为端部条件系数，L为杆件的长度。
端部条件系数K取决于杆件的端部支承情况，常见的取值有：-简支-简支（K=1.0）-固支-固支（K=0.5）-简支-固支（K=0.699）-无端支承（K=π/2）实际工程设计中，常通过杆件的截面形状和尺寸、受力条件等参数来选择合适的端部条件系数。
需要注意的是，以上公式和计算方法适用于理想化的压杆情况，不考虑非理想因素和杆件的浮动性。
在实际工程中，还需要结合具体情况进行综合分析和计算。
总之，压杆稳定计算是工程设计中非常重要的一环，可以通过计算杆件的临界载荷来判断杆件在受压状态下是否能够保持稳定。
通过合理选择杆件的截面形状和尺寸、材料的特性以及受力条件等参数，并结合压杆的端部支承情况，可以进行准确的压杆稳定计算。
不同杆端约束下细长压杆的临界载荷计算
不同杆端约束下细长压杆的临界载荷计算下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
不同杆端约束下细长压杆的临界载荷计算该文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document 不同杆端约束下细长压杆的临界载荷计算 can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop providesyou with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to knowdifferent data formats and writing methods, please pay attention!细长压杆在不同的杆端约束条件下会有不同的临界载荷计算方法。
第十一章 压杆失稳解析
例2 压缩机的活塞杆受活塞传来轴向压力F=100kN的作用，活塞杆 的长度L=1000mm，直径d=50mm，材料为45钢，σs=350MPa， σp=280MPa，E=210GPa，a=460MPa，b=2.57MPa，安全系数 [nst]=4，试进行稳定性校核。
•
解：
l
i
l
d
11000 50
80
p
l
i
1、对于粗短杆，属于强度问题，可选用高强度材料 2、对于中柔度杆，选用高强度杆可适当提高压杆的稳定性 3、对于大柔度杆，由于各种钢材的弹性模量差别不大， 选用高强度钢对于提高压杆的稳定性作用不大
压杆稳定
弹性稳定与不稳定的静力学准则
平衡—压杆的两种平衡形式：
F<Fcr : 直线平衡状态
F>Fcr :
弯曲平衡状态 (在扰动作用下)
压杆稳定
FP<FPcr :在扰动作用下，直线平 衡形式转变为弯曲平衡形式，扰 动除去后，能够恢复到直线平衡 形式，则称原来的直线平衡形式 是稳定的。
FP>FPcr :在扰动作用下，直线 平衡形式转变为弯曲平衡形式， 扰动除去后，不能恢复到直线 平衡形式，则称原来的直线平 衡形式是不稳定的。。
粗短杆： 不发生失稳，而发生 屈服(< s ) 强度问题
压杆稳定
稳定性计算
临界应力校核：
cr
nst
安全系数校核：
nst
cr
nst
• 例2 压缩机的活塞杆受活塞传来轴向压力 F=100kN的作用，活塞杆的长度L=1000mm， 直径d=50mm，材料为45钢，σs=350MPa， σp=280MPa，E=210GPa，a=460MPa， b=2.57MPa，规定压缩机活塞杆安全系数 [nst]=4，试进行稳定性校核。
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
能量法求压杆的临界载荷-概述说明以及解释
能量法求压杆的临界载荷-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在工程结构设计中，压杆是一种常见的承载结构，其在受力作用下可能会达到临界载荷而发生屈曲破坏。
为了有效地预测压杆的临界载荷，本文将采用能量法来进行求解。
能量法是一种基于能量守恒原理的力学分析方法，通过建立适当的应变能和外力做功的关系，可以求解出结构的稳定性问题。
本文将针对压杆的临界载荷进行能量法求解，并通过数学推导和实例分析，展示其在工程实践中的应用价值和意义。
通过本文的研究，读者将能够深入了解压杆临界载荷的求解方法，为工程结构设计提供理论支持和指导。
1.2 文章结构：本文将围绕能量法求压杆的临界载荷展开讨论。
首先在引言部分概述了本文的背景和意义，引出了文章的主要内容。
接下来在正文部分，将介绍能量法的基本原理及应用，然后详细讨论如何利用能量法求解压杆的临界载荷。
最后通过具体的应用与实例，展示了该方法在工程实践中的应用。
在结论部分，将对全文进行总结，展望未来可能的研究方向，并给出最终的结论。
整个文章结构清晰、逻辑性强，旨在为读者提供对能量法求解压杆临界载荷的全面理解与应用指导。
1.3 目的本文旨在探讨利用能量法求解压杆的临界载荷的方法。
通过引入能量法这一新的分析工具，我们可以更加深入地理解压杆在承受外载荷时的力学性质。
通过对压杆的临界载荷进行研究和求解，我们可以揭示压杆在受力状态下可能出现的失稳现象，从而为压杆结构设计和工程实践提供重要的参考依据。
同时，本文还将通过具体的应用与实例，验证能量法在解决压杆问题中的有效性和可行性，为读者提供实用的参考信息。
通过本文的深入分析，旨在推动工程领域对压杆问题的探讨和研究，在理论和实践上取得新的突破和进展。
2.正文2.1 能量法介绍能量法是一种通过考虑结构内部潜在能量的分布情况，来求解结构受力状态的方法。
在力学领域中，能量法经常被用来分析和计算结构的稳定性和承载能力。
在应用能量法求解压杆的临界载荷时，我们首先需要建立压杆的应变能和外部载荷对其做功的关系。
压杆稳定的概念
稳定性
• 稳定性是指构件保持其原有 平衡状态的能力。 • 承受压力作用的杆件，当压 力超过一定限度时就会发生弯 曲失稳现象。
• 由于构件失稳后將丧失继续 承受原设计载荷的能力，其后 果往往是很严重的。因此在设 计受压构件时，必须保证其有 足够的稳定性。
Hale Waihona Puke 桁架吊索式公路桥塔式吊索式公路桥
压杆稳定的概念
稳定的平衡： 能保持原有的 直线平衡状态的平衡；
不稳定的平衡： 不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。
压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界载荷。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发
生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象 也称为屈曲。
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的 平衡时所对应的轴向压力， 称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示
材料力学压杆稳定第2节 细长压杆的临界载荷
y
h
z
（1）截面对 y、z 轴的惯性矩分别为
b
Iy
hb3 12
100 643 12
m4
2.18106 m4
（1）截面对 y、z 轴的惯性矩分别为：
Iy
hb3 12
2.18106 m4
Iy
bh3 12
5.33106 m4
由于 I y Iz ，故应该将 I y 代入公式，得到
7
N
107 kN
例7-4 有一矩形截面压杆如图所示，两端固定， 但一端可沿轴向相对移动，材料为钢，已知弹性模量
E 200GPa，杆长 l 8m。 （1）当截面尺寸为b 64mm、h
100mm时，试计算压杆的临界载荷；
（2）若截面尺寸为h b 80mm，
此时压杆的临界载荷为多少？
压杆的横截面为圆形，其直径 d 60mm。
Fcr
求该压杆的临界载荷 。
解：查表 7-1 得 0.7
压杆截面 的惯性矩
Iy
d 4
64
0.064 64
m4
6.36107 m4
Fcr
2EI (l)2
3.14
2
210 109 6.36 (0.7 5)2
10
y
A (D2 d 2 ) bh 2b2
(20 2 16 2 ) mm 2 2b2
h
z
b 7.5 mm, h 15 mm
压杆横截面的惯性矩为
b
Iy
hb3 12
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
细长压杆的临界载荷——欧拉公式
确定临界力可以从研究杆的微弯曲变形的挠曲线着手。对两端为铰支座的 细长杆，当它处于弯曲平衡的临界状态时，若杆内应力不超过材料的比例极 限，则压杆任一截面 m-n 处的弯曲变形与截面弯矩的关系仍为
其弯矩 M(x)是在轴向力 P 作用下因有弯曲变形 y 而产生的，即
最后可以推得欧拉（Euler）公式：
式中 Pcr 一压杆的临界力；E 一压杆材料的弹性模量；I 一压杆横截面的最小惯 矩；l 一压杆的长度。依此式可计算两端铰支压杆的临界力。 杆端约束对临界力的影响
在工程实践中，压杆除两端铰支的约束形式外，还存在其他各种不同的端 部约束情况，这些压杆的临界力计算公式，可以仿照上述方法，由挠曲线近似 微分方程式及边界条件求得，也可利用挠曲线相似的特点将两端铰支压杆的结 果推广得到： Pcr =
π 2 EI ( μl ) 2
F
F
F
F
F
μl=l
μl=0.5l
μl=0.7l μl=2l μl=l
F
F 两端固支
F 一端铰支 一端固定 μ=0.7 一端自由 一端固定 μ=2.0 二端不能转动 但可相对移动 μ=1.0
பைடு நூலகம்两端铰支
μ=1.0
μ=0.5