第二篇动力学第五章 刚体动力学的基本概念

第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。

2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。

3.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。

4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。

5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。

6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。

7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。

二、基本内容1．重要概念1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。

在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。

2）刚体：在力作用下不变形的物体。

刚体是静力学中的理想化力学模型。

3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。

在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。

约束对非自由体施加的力称为约束反力。

约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。

4）力：物体之间的相互机械作用。

其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。

前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。

力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。

5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。

按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。

7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。

8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。

9）力的合成与分解：若力系与一个力FR 等效，则力FR 称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR 的分力。

力系用其合力FR 代替，称为力的合成；反之，一个力FR 用其分力代替，称为力的分解。

10）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力F 在y x ,轴上的投影分别为cos cos sin x y F F F F F αβα=⎫⎪⎬==⎪⎭力的投影是代数量。

2．静力学公理及其推论公理一 力的平行四边形法则与一个力系相等效的力称为该力系的合力。

作用在刚体上同一点的两个力的合力仍作用在该点，合力的大小与方向由这两个力为邻边构成的平行四边形对角线确定，即合力矢等于这两个力矢的矢量和（图5-5a ）。

以数学公式表示为12R =+F F F如果取该平行四边形的一半作为二力合成法则，则称为力的三角形法则（图5-5b,c ）。

公理二二力平衡公理公理三Array用效应。

主要手段。

推理一力对刚体的作用。

公理四作用与反作用公理（定律）作用力与反作用力总是同时出现、同时消失，两力等值、反向、共线，分别作用在两个相互作用的物体上。

此公理概括了任何两个物体间相互作用力之间的关系。

公理五刚化公理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体看作（硬化）为刚体，其平衡状态不变。

此公理说明了变形体平衡时，作用于其上的力系必须满足变形体刚化后刚体的平衡条件。

从而建立了刚体的平衡条件和变形体平衡条件之间的联系，即刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件。

这样，人们就能把刚体的平衡5）光滑球铰链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。

6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。

7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。

8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离③正确画出约束反力。

一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。

④当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。

若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。

当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系。

因此不必画出，只需画出全部外力。

5. 力的投影1）力多边形法则2）力在轴上的投影为N =F cos α式中α为力F 与n 轴间的夹角，投影值为代数量。

3）力在空间直角坐标轴的投影(a)直接投影法：已知力F 和直角坐标轴夹角α、β、γ，则力F 在三个轴上的投影分别为αcos F =Xβcos F =Yγcos F =Z(b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F 和夹角γ、ϕ，则力F 在三个轴上的投影分别为ϕγcos sin F =Xϕγsin sin F =Yγcos F =Z力沿坐标轴分解满足力的平行四边形法则.在直角坐标系下有X =F x ，Y =F y ，Z=F z4）力的解析表达式为F=X i+Y j +Z k5）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

F Rx =ΣXF Ry =ΣYF Rz =ΣZ6.力矩与力偶1）平面内的力对点O 之矩是代数量，记为M o (F )ABO Fh M o ∆±=±=2)(F其中F 为力的大小，h 为力臂，∆ABO 为力矢AB 与矩心O 组成三角形的面积。

一般以逆时针转向为正，反之为负。

2）空间中力对点之矩在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为k j i k j iF r F M )()()()(0yX xY xZ zX zY yZ Z Y X z y x-+-+-==⨯=k j i F k j i r Z Y X z y x ++=++=其中r 为力F 作用点相对于矩心O 的位置矢径3)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即OAB h F M xy Z ∆±=±=2)(F在直角坐标条下有M x (F )=yZ -zY M y (F )=zX -xZ M z (F )=xY -yX4）力矩关系定理力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有M o (F )=M x (F )i +M y (F )j +M z (F )k5）力偶和力偶矩：(a)力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。

力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。

(b)力偶矩平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向，即M=±Fd式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。

空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M 表示。

力偶矩矢M 是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。

6）力偶的性质(a)力偶在任一轴上的投影等于零，它对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。

（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

力偶矩（矢）是力偶作用效果的唯一度量。

三、重点和难点重点：1.力、刚体、平衡和约束等概念。

2.静力学公理及其推论。

3.柔性约束、光滑支承面约束、光滑铰链约束的特征及其反力的画法。

4.单个物体及物体系统的受力分析。

5. 力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。

6.力对点之矩的计算、力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。

难点：光滑铰链的约束特征（尤其是销钉连接二个以上的构件即复合铰），物体系统的受力分析。

四、学习建议1. 本章讲述概念较多，要讲清这些概念的定义，并理解其意义。

例如：属于力的：力系、等效力系、合力、分力、平衡力系、主动力、约束反力、作用力、反作用力、内力、外力等。

属于物体的：变形体、弹性体、刚体、自由体、非自由体等。

属于数学的：代数量、矢量（向量）、单位矢量、定位矢量、滑动矢量等。

2. 静力学公理是最普遍、最基本的客观规律，是静力学基础，要熟记理解。

3. 多练习清楚约束反力的确定方法和受力图的正确画法。

讲清用三力平衡汇交定理确定未知约束反力方向应注意的问题。

4.力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区别。

计算空间力在坐标轴上的投影有两种方法，讲清各自的适用条件，区分力的轴上、平面上的投影。

5.力偶是力学的基本元素之一，将力和力偶从要素、定量描述、在轴上的投影、对点的矩、等效条件、性质等方面进行比较，清楚力偶矩与力矩的异同点。

明确空间力偶矩矢的性质，为什么规定它为自由矢量、如何表示其等效条件，熟悉空间力偶系合成的解析法。

6.力对点之矩是理解空间力系简化与合成的关键，而力对轴之矩是正确列出力矩式平衡方程的基础，故要充分重视力对轴之矩的计算。

计算的方法有4种：（a）当力臂便于确定时，可直接由定义计算；（b）一般情况下，常将力沿坐标轴分解，应用合力矩定理计算；（c）将力沿坐标轴分解之后代入力对轴之矩的分析表达式计算；（d）利用力矩关系定理计算。

在计算力对轴之矩时准确地分析一个力对某轴之矩的正、负或为零也很重要（若一力与某轴共面，则此力对该轴之矩为零）。