实数的有关概念练习题
专题01 实数的概念及运算(共50题)(学生版)
专题01实数的概念及运算(50题)一、单选题1(2023·四川德阳·统考中考真题)下列各数中，是无理数的是()A.-2023B.2023C.0D.120232(2023·山东·统考中考真题)实数π，0，-13，1.5中无理数是()A.πB.0C.-13D.1.53(2023·贵州·统考中考真题)5的绝对值是()A.±5B.5C.-5D.54(2023·湖北荆州·统考中考真题)在实数-1，3，12，3.14中，无理数是()A.-1 B.3 C.12D.3.145(2023·江苏无锡·统考中考真题)实数9的算术平方根是()A.3B.±3C.19D.-96(2023·湖北恩施·统考中考真题)下列实数：-1，0，2，-12，其中最小的是()A.-1B.0C.2D.-127(2023·江苏徐州·统考中考真题)2023的值介于()A.25与30之间B.30与35之间C.35与40之间D.40与45之间8(2023·湖南·统考中考真题)下列各数中，是无理数的是()A.17B.πC.-1D.09(2023·湖南·统考中考真题)2023的倒数是()A.-2023B.2023C.12023 D.-1202310(2023·浙江杭州·统考中考真题)(-2)2+22=()A.0B.2C.4D.811(2023·湖南常德·统考中考真题)下面算法正确的是()A.-5 +9=-9-5B.7--10 =7-10C.-5 +0=-5D.-8 +-4 =8+412(2023·山西·统考中考真题)计算-1 ×-3 的结果为( )．A.3B.13C.-3D.-413(2023·山东临沂·统考中考真题)计算(-7)-(-5)的结果是()A.-12B.12C.-2D.214(2023·湖北鄂州·统考中考真题)10的相反数是()A.-10B.10C.-110D.11015(2023·宁夏·统考中考真题) -23的绝对值是()A.-32B.32C.23D.-2316(2023·山东东营·统考中考真题)-2的相反数是()A.2B.-2C.12D.-1217(2023·湖南常德·统考中考真题)实数3的相反数是()A.3B.13C.-13D.-318(2023·湖南张家界·统考中考真题)12023的相反数是()A.12023B.-12023C.2023D.-202319(2023·辽宁·统考中考真题)2的绝对值是()A.-12B.12C.-2D.220(2023·江苏苏州·统考中考真题)有理数23的相反数是()A.-23B.32C.-32D.±2321(2023·湖北·统考中考真题)-32的绝对值是()A.-23B.-32C.23D.3222(2023·湖北恩施·统考中考真题)如图，数轴上点A 所表示的数的相反数是()A.9B.-19C.19D.-923(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)2023的相反数是()A.12023B.-2023C.2023D.-1202324(2023·四川雅安·统考中考真题)在0，12，-3，2四个数中，负数是()A.0 B.12C.-3D.225(2023·吉林长春·统考中考真题)实数a、b、c、d伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是()A.aB.bC.cD.d26(2023·四川巴中·统考中考真题)下列各数为无理数的是()A.0.618B.227C.5D.3-2727(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，数轴上表示实数7的点可能是()A.点PB.点QC.点RD.点S28(2023·山东临沂·统考中考真题)在实数a,b,c中，若a+b=0,b-c>c-a>0，则下列结论：①|a| >|b|，②a>0，③b<0，④c<0，正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个29(2023·山东·统考中考真题)面积为9的正方形，其边长等于()A.9的平方根B.9的算术平方根C.9的立方根D.5的算术平方根30(2023·湖南永州·统考中考真题)下列各式计算结果正确的是()A.3x+2x=5x2B.9=±3C.2x2=2x2 D.2-1=1 231(2023·宁夏·统考中考真题)估计23的值应在()A.3.5和4之间B.4和4.5之间C.4.5和5之间D.5和5.5之间32(2023·湖北宜昌·统考中考真题)下列运算正确的个数是( )．①|2023|=2023；②2023°=1；③2023-1=12023；④20232=2023．A.4B.3C.2D.133(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)化简--20的结果是()A.-120B.20 C.120D.-2034(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)计算-5+20的结果是()A.-3B.7C.-4D.635(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，数轴上点A,B,C,D分别对应实数a,b,c,d，下列各式的值最小的是()A.aB.bC.cD.d36(2023·山东·统考中考真题)△ABC的三边长a，b，c满足(a-b)2+2a-b-3+|c-32|=0，则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形37(2023·山东·统考中考真题)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是()A.c(b-a)<0B.b(c-a)<0C.a(b-c)>0D.a(c+b)>038(2023·浙江杭州·统考中考真题)已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中-1<a<0，0<b<1．若a×b=c，数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是()A.B.C.D.二、填空题39(2023·湖北武汉·统考中考真题)写出一个小于4的正无理数是．40(2023·山东滨州·统考中考真题)一块面积为5m2的正方形桌布，其边长为．41(2023·湖北黄冈·统考中考真题)计算；-12+130=．42(2023·四川巴中·统考中考真题)在0,-1 32,-π,-2四个数中，最小的实数是．43(2023·内蒙古·统考中考真题)若a,b为两个连续整数，且a<3<b，则a+b=．44(2023·湖南·统考中考真题)数轴上到原点的距离小于5的点所表示的整数有．(写出一个即可)45(2023·山东滨州·统考中考真题)计算2--3的结果为．46(2023·湖南永州·统考中考真题)-0.5，3，-2三个数中最小的数为．47(2023·湖北荆州·统考中考真题)若a-1+(b-3)2=0，则a+b=．48(2023·湖南·统考中考真题)已知实数a，b满足a-22+b+1=0，则a b=．49(2023·四川内江·统考中考真题)若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b-c=．50(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是．。
实数的有关概念(含答案)
⎧⎨⎩第1章 数与式第1课 实数的有关概念目的：复习实数有关概念，相反数、绝对值、倒数、数轴、非负数性质、•科学记数法、近似数与有效数字． 中考基础知识1．实数的分类2．相反数：只有_______不同的两个数，叫做互为相反数，a 的相反数为______，a-b 的相反数是_______，x+y 的相反数是________，0的相反数为_______，若a ，b 互为相反数，则a+b=________．3．绝对值：几何意义：数a 的绝对值是数a 在数轴上表示的点到_______的距离． 正数的绝对值等于它________． 代数意义 零的绝对值等于________．负数的绝对值等于它的________．│a │=(0)(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 4．数轴：3-3-1021________与数轴上的点是一一对应的，•数轴上的点表示的数左边的总比右边的_________，数轴是沟通几何与代数的桥梁．5．倒数：a （a ≠0）的倒数为________，0_______•倒数，•若a ，•b•互为倒数，•则ab=_____，若a ，b 互为负倒数，则ab=________．6．非负数：│a│≥0，a2≥0≥0．若│a+1│+（c+3）2=0，则a=_______，b=_______，c=________．7．科学记数法：把一个数记作a×10n形式（其中a是具有一位整数的小数，n为自然数）．8．近似数与有效数字：一个经过________而得到的近似数，最后一个数在哪一位，就说这个近似数是精确到哪一位的近似数，对于一个近似数，•从左边第一个______数字开始，到最末一位数字止，都是这个近似数的有效数字．备考例题指导例1．填空题（1的倒数为_______，绝对值为________，相反数为_______．（2）若│x-1│=1-x，则x的取值范围是_______，若3x+1有倒数，则x的取值范围是_________．（3）在实数18，π，3，0+1，0.303003……中，无理数有________个．（4）绝对值不大于3的非负整数有________．（5=0，则3x-2y=________．（6）用科学记数法表示-168000=_______，0.0002004=_________．（7）0.0304精确到千分位等于_______，有_______个有效数字，它们是_______．（8）2060000保留两个有效数字得到的近似数为________．答案：（1）．-2，，（2）x≤1，x≠-13．（3）5．（4）0，1，2，3．（5）7．（6）-1.68×105，2.004×10-4．（7）0.030；2；3，0 （8）2.1×106．例2．已知1<x<4，化简│x-4│解：∵1<x<4，∴x-4<0，1-x<0．原式=│x-4│-│1-x│=4-x+1-x=5-2x．例3．化简│x-2│+│x+3│．解：令x-2=0得x=2，令x+3=0得x=-3．（1）当x<-3时，原式=2-x-x-3=-2x-1；（2）当-3≤x<2时，原式=2-x+x+3=5；（3）当x≥2时，原式=x-2x+x+3=2x+1．分类讨论思想，零点分段法，一般等号取在大于符号中．备考巩固练习1．（2005，北京）一个数的相反数是3，则这个数是________．2．气温比a℃低3℃记作________．3-a）2与│b-1│互为相反数，则2a b-的值为_______．4．若a2│c-2003│=0，则a b+c=________．5．计算|47-25|+|35-79|-|29-37|=______________．（注意方法）6．计算│1-a│+│2a+1│+│a│，其中a<-2．7．如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图，那么化简│a+b│果是多少？b a8．按要求取下列各数的近似数：（1）6.286（精确到0.1）；（2）1764000（保留三个有效数字）；（3）278160（•精确到万位）．9．近似数7.60×105精确到_______位，有______个有效数字，近似数7.6×105精确到_______位，有________个有效数字．10．已知a、b、c为实数，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，求证a=b=c．答案:1．-3 2．（a-3）℃ 3+1 4．20045．原式=47-25+79-35+29-37=17-1+1=17（先去绝对值符号）6．∵a<-2，∴1-a>0，2a+1<0，a<0∴原式=1-a-2a-1-a=-4a7．-2a8．（1）6.286≈6.3 （2）1764000≈1.76×106（3）278160≈28万9．∵7.60×105=760000 ∴近似数7.60×105精确到千位，有三个有效数字7，6，•0；7.6×105精确到万位，有两个有效数字7，610．用配方法和非负数性质，将一个方程转化为三个方程，a2+b2+c2-ab-bc+ac=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 （a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b=c沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
实数的有关概念练习题(最新整理)
实数的有关概念练习题（1）一、细心选一选 1．下列各式中正确的是（） A． B. C. D. 2. 的平方根是( ) A．4 B. C. 2 D. 3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。
其中正确的说法有（） A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 4．和数轴上的点一一对应的是（） A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数 5．对于来说（） A．有平方根 B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定 6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（） A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（） A． B. C. D. 8．下列各组数中，互为相反数的是（） A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与 9．-8的立方根与4的平方根之和是（） A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4 10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（） A． B. C. D. 二、耐心填一填 11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．__ __的平方根等于它本身，__ __的立方根等于它本身，__ __的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。
16．大于，小于的整数有______个。
17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
1实数的有关概念
1.实数的有关概念复习目标1.实数的相关概念2.比较实数的大小3.有效数字和科学记数法Ⅰ.题组练习一（问题习题化）1.（2013•梅州）四个数﹣1，0，，中为无理数的是（）A．﹣1 B． 0 C．D．2.下列说法正确的是（）A.(-3)2 的平方根是-3B. -1的立方根是-1C.0的立方根是0D. -1的算术平方根是13.下列各组数中，互为相反数的一组是（）A.3与-3B.(-1)2与1C.-12与1D.5与5-4.下列说法正确的是（）A.任何数的绝对值都是正数B.任何数的零次幂都是1C.互为倒数的两数和为零D.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大5.（2013•淮安）如图，数轴上A.B两点表示的数分别为和5.1，则A.B两点之间表示整数的点共有（）A．6个 B.5个C．4个D． 3个6.（2013•大庆）若实数a满足a﹣|a|=2a，则（）A. a＞0B. a＜0C.a≥0D.a≤07.（2013•山西）起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）（）A．1.3×106J B．13×105JC．13×104J D．1.3×105JⅡ.知识梳理Ⅲ.题组练习二（知识网络化）8.（2013•淄博）9的算术平方根是（）A.B ．C．3 D．±39.26.在－7，cos45°，sin60°,()27,9,3---π这六个实数中，有理数的个数有（）A1个B．2个C．3个 D．4个10.甲乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身。
乙说一个数b的倒数也等于它本身。
请你猜一猜︳a-b︳= .11.…将这个数用四舍五入法精确到0.001的近似数是12.已知a，b互为相反数，c.d互为倒数，x的绝对值等于2，则代数式x 2-(a+b+cd)x+(a+b)2010+(-cd)2011= .13.大家知道，5=05-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离。
中考《数学》实数的有关概念与计算专题练习题(共53题)
实数的有关概念与计算专题练习题（53题）一、单选题12．（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷）12-的倒数是（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．213．（2023·浙江宁波·统考中考真题）在2,1,0,π--这四个数中，最小的数是( ) A ．2-B ．1-C ．0D ．π14．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ） A ．3B ．2.1C ．0D ．2-15．（2023·新疆·统考中考真题）﹣5的绝对值是（ ） A ．5B ．﹣5C ．15-D ．1516．（2023·甘肃武威·统考中考真题）9的算术平方根是（ ） A ．3±B ．9±C ．3D ．3-17．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，比数轴上点A 表示的数大3的数是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．218．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，数轴上点A 表示的数是2023，OA=OB ，则点B 表示的数是（ ）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．12023-19．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）计算23-的结果是（ ） A ．1-B ．3-C ．1D ．320．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知523a b c ===，，，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>21．（2023·江苏扬州·统考中考真题）3-的绝对值是（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．3±22．（2023·重庆·统考中考真题）4的相反数是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-23．（2023·四川凉山·统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）二、填空题39．（2023·江苏连云港·统考中考真题）计算：2(5)=__________．三、解答题40．（2023·浙江金华·统考中考真题）计算：0(2023)42sin305-+-︒+-．41．（2023·四川自贡·统考中考真题）计算：02|3|(71)2--+-．42．（2023·四川泸州·统考中考真题）计算：()0123212sin 303-⎛⎫+-+︒-- ⎪⎝⎭．43．（2023·浙江·统考中考真题）计算：011(2023)22--+-+．44．（2023·四川广安·统考中考真题）计算：02024212cos60532⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭︒45．（2023·江苏连云港·统考中考真题）计算()11422π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．。
人教版七年级下册《6.3第1课时实数的概念》同步练习(含答案)
6.3实数第1课时实数的有关概念关键问答①无理数有几种常见的表现形式？②数轴上的每一点都可以表示一个什么样的数？1．①2017·滨州下列各数中是无理数的是()A. 2B．0 C.12017D．－12．②如图6－3－1，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合(提示：圆的周长C＝2πr)，把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是________，属于__________(填“有理数”或“无理数”)．图6－3－1命题点1无理数[热度：90%]3．③下列说法正确的是()A．无理数就是无限小数B．无理数就是带根号的数C．无理数都是无限不循环小数D．无理数包括正无理数、0和负无理数易错警示③(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限且不循环，不能表示成分数的形式．(2)常见的无理数有三种表现形式：化简后含π的数；有规律的无限不循环小数，如：1.3131131113…；含有根号且开方开不尽的数，如5，36.4．④在下列各数：0.51525354…，0，0.2，3π，227，9，39，13111，27中，是无理数的有________________________．方法点拨④一个数不是有理数就是无理数，识别一个数是不是有理数，只需看其是不是整数或分数即可．5．有一个数值转换器，原理如图6－3－2所示：当输入的x 为256时，输出的y 是________．图6－3－26．⑤在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有多 少个？方法点拨⑤分别找出1～100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，即可得出无理数的个数．命题点 2 实数的概念与分类 [热度：95%] 7．⑥下列说法中，正确的是( ) A ．正整数、负整数统称整数 B ．正数、0、负数统称有理数C ．实数包括无限小数与无限不循环小数D ．实数包括有理数与无理数 易错警示⑥实数包括有理数和无理数，即有限小数、无限循环小数、无限不循环小数． 8．⑦有下列说法：①两个无理数的和还是无理数；②无理数与有理数的积是无理数；③有理数与有理数的和不可能是无理数；④无限小数是无理数；⑤不是有限小数的数不是有理数．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 解题突破⑦两个无理数的和或差不一定是无理数．9.⑧实数13，24，π6中，分数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 方法点拨⑧分数是两个整数作商，不能整除的数. 10．下列说法错误的是( ) A.14是有理数 B.2是无理数 C ．－3－27是正实数 D.22是分数11．在数轴上，表示实数2与10的点之间的整数点有________个；表示实数2与10之间的实数点有________个．12．将下列各数填在相应的集合里： 3512，π，3.1415926，－0.456，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，0，511，－321，（－13）2，0.1.有理数集合：{_____________________________________________…}；无理数集合：{_____________________________________________…}；正实数集合：{_____________________________________________…}；整数集合：{_______________________________________________…}．命题点3实数与数轴[热度：98%]13．下列说法中正确的是()A．每一个整数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个整数B．每一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个有理数C．每一个无理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个无理数D．每一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数14．⑨如图6－3－3，数轴上的A，B，C，D四个点表示的数中，与－3最接近的是()图6－3－3A．点A B．点B C．点C D．点D解题突破⑨－3介于哪两个连续的整数之间？这两个连续的整数中哪个整数的平方与3的差的绝对值小？15．2018·宁晋县期中如图6－3－4，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是()图6－3－4A．π－1 B．－π－1C．－π－1或π－1 D．－π－1或π＋116.⑩在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是________．方法点拨⑩数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数.17.⑪如图6－3－5所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2)上．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将数轴的正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样数轴的正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．图6－3－5(1)圆周上数字a与数轴上的数字5对应，则a＝__________；(2)数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是________．模型建立⑪数轴绕过圆周n圈(n为正整数)后，一个整数落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是3n＋2.18．阅读下面的文字，解答问题．大家都知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，所以将2减去其整数部分，差就是其小数部分．(1)你能求出5＋2的整数部分和小数部分吗？(2)已知10＋3＝x ＋y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，请求出x －y 的相反数．19.⑫定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作是分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．可以这样证明：设2＝a b ，a 与b 是互质的两个整数，且b ≠0，则2＝a 2b 2，a 2＝2b 2.因为b 是整数且不为0，所以a 是不为0的偶数．设a ＝2n (n 是整数)，所以b 2＝2n 2，所以b 也是偶数，这与a ，b 是互质的两个整数矛盾，所以2是无理数．仔细阅读上文，求证：5是无理数．方法点拨⑫从结论的反向出发，经推理，推得与基本事实、定义、定理或已知条件相矛盾的结果，这样的方法称为反证法.典题讲评与答案详析1．A 2.－2π无理数 3.C4．0.51525354…，3π，39，27[解析] 因为0是整数，0.2可化成分数，9＝3，是整数，13111，227是分数，所以这五个数都是有理数.0.51525354…，3π，39，27都是无理数．5.2[解析] 由题图中所给的程序可知，把256取算术平方根，结果为16，因为16是有理数，所以再取算术平方根，结果为4，是有理数．再取4的算术平方根，结果为2，是有理数．再取算术平方根，结果为2，2是无理数，所以y＝ 2.6．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，…，102＝100，∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，∴无理数有90个．∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，且64<100，125>100，∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，∴无理数有96个，∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90＋96＝186(个)．7．D[解析] 正整数、负整数、0统称为整数；有理数分为正有理数、0和负有理数；有理数包括无限循环小数和有限小数；实数包括有理数和无理数．8．B[解析] 两个无理数的和不一定是无理数，如2和－2；无理数与有理数的积也不一定是无理数，如2和0；有理数与有理数的和一定是有理数；无限不循环小数是无理数；有限小数和无限循环小数是有理数．9．B [解析] 分数是两个整数作商，不能整除的数，因此只有13是分数．10．D [解析]A 项，14＝12是有理数，故选项正确；B 项，2是无理数，故选项正确；C 项，－3－27＝3是正实数，故选项正确；D 项，22是无理数，故选项错误．故选D.11．2 无数12．有理数集合：{3512，3.1415926，－0.456，0，511，（－13）2，…}；无理数集合：{π，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，－321，0.1，…}；正实数集合：{3512，π，3.1415926，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，511，（－13）2，0.1，…}；整数集合：{3512，0，（－13）2，…}．13．D [解析] 实数与数轴上的点具有一一对应的关系． 14．B15．C [解析]∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点A ′表示的数是－1－π；当圆向右滚动时点A ′表示的数是π－1.16．2＋3 [解析] 在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是2＋||－3＝2＋ 3.17．(1)2 (2)302 [解析] (1)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字a 与数轴上的数字5对应时，a ＝2.(2)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字0，1，2与数轴的正半轴上的整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，…每3个一组分别对应，∴数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是302.18．解：(1)∵4＜5<9，∴2＜5<3，∴5的整数部分是2，小数部分是5－2，∴5＋2的整数部分是2＋2＝4，小数部分是5－2.(2)∵3的整数部分是1，小数部分是3－1，∴10＋3的整数部分是10＋1＝11，小数部分是3－1，∴x＝11，y＝3－1，∴x－y的相反数是y－x＝3－12.19．证明：设5＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝a2b2，a2＝5b2.因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以5是无理数．【关键问答】①无理数有三种常见的表现形式：一是含有根号且开方开不尽的数；二是化简后含π的数；三是人为创造的一些无限不循环小数．②数轴上的每一点都可以表示一个实数．。
专题12.1 实数的概念(解析版)
第十二章实数专题12.1 实数的概念基础巩固一、单选题（共6小题）1.下列各数中是无理数的是（）A．﹣3B．πC．9D．﹣0.11【答案】B【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进而得出答案．【解答】解：A、﹣3，是有理数，不合题意；B、π，是无理数，符合题意；C、9，是有理数，不合题意；D、﹣0.11，是有理数，不合题意；故选：B．【知识点】无理数2.在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；无理数有，π共2个．故选：B．【知识点】算术平方根、立方根、无理数3.在实数，0，，3.1415926，，4.，3π中，有理数的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【分析】根据有理数的定义判断即可得到结果．【解答】解：在实数，0，＝﹣1，3.1415926，＝4，4.，3π中，有理数有，0，，3.1415926，，4.，有理数的个数为6个．故选：D．【知识点】实数4.下列实数中，无理数是（）A．0B．C．D．0.1010010001【答案】C【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；B、是有理数，故本选项不符合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、0.1010010001是有理数，故本选项不符合题意．故选：C．【知识点】算术平方根、无理数5.关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为10的正方形边长是C．是无限不循环小数D．在数轴上可以找到表示的点【答案】A【分析】根据无理数的定义、无理数的估算、算术平方根、实数与数轴的知识进行判断．【解答】解：A、是无理数，原说法错误；B、面积为10的正方形边长是，原说法正确；C、是无理数，是无限不循环小数，原说法正确；D、在数轴上可以找到对应的点，原说法正确；故选：A．【知识点】实数、实数与数轴6.下列说法正确的是（）A．实数与数轴上的点一一对应B．无理数与数轴上的点一一对应C．整数与数轴上的点一一对应D．有理数与数轴上的点一一对应【答案】A【分析】将无理数在数轴上表示出来，进而说明数轴上的点与实数一一对应．【解答】解：数轴不仅表示有理数，也可以表示无理数，例如：如图，矩形OABC，OA＝1，OC＝2，则OB＝，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点D，则点D所表示的数为：，同理，可以在数轴上表示其它的无理数，因此数轴上的点与实数一一对应，故选：A．【知识点】实数与数轴、无理数二、填空题（共6小题）7.﹣+2的绝对值是．【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．【解答】解：﹣+2的绝对值是：|﹣+2|＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】实数的性质8.﹣绝对值是，2﹣的相反数是．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答；根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣绝对值是，2﹣的相反数是﹣2，故答案为：，﹣2．【知识点】实数的性质、算术平方根9.下列各数中0.102 030 405…，，π，，，0.56，，其中无理数有个．【答案】3【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【解答】解：，∴在0.102 030 405…，，π，，，0.56，中，无理数有0.102 030 405…，π，共3个．故答案为：3【知识点】立方根、无理数、算术平方根10.若a是一个含有根号的无理数，且3＜a＜4．写出任意一个符合条件的值．【分析】根据无理数的定义以及二次根式的性质解答即可．【解答】解：由a是一个含有根号的无理数，且3＜a＜4，可得符合条件的值可以是、等．故答案为：（答案不唯一）．【知识点】无理数11.在，，，3.10100100001个数中，无理数是．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，故在，，，3.10100100001个数中，，，3.10100100001是有理数，是无理数．故答案为：【知识点】算术平方根、立方根、无理数12.在|﹣3|，﹣2，0，π这4个数中，其中属于无理数的是．【答案】π【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【解答】解：|﹣3|＝3，在|﹣3|＝3，﹣2，0，π这4个数中，属于无理数的是π．故答案为：π．【知识点】无理数拓展提升三、解答题（共6小题）13.把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，，，，0，，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：；（2）分数：；（3）无理数：．【分析】根据整数、分数、无理数的定义判断即可．【解答】解：（1）整数：2020，0，；（2）分数：1.4，，；（3）无理数：，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．故答案为：2020，0，；1.4，，；，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．【知识点】实数14.把下列数按照要求填入相应的集合内：+8.5，﹣3，0.35，0，3.14，12，0.3，π，10%，﹣2.626626662…无理数集合：{…}；负数集合：{…}．【分析】根据实数的定义及其分类求解可得．【解答】解：无理数集合：{π，﹣2.626626662……}；负数集合：{﹣3，﹣2.626626662……}．故答案为：π，﹣2.626626662…；﹣3，﹣2.626626662…．【知识点】实数15.把下列各数填入相应的集合中：3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；正数集合：{}；负数集合：{﹣﹣﹣}；实数集合：{﹣﹣﹣}；分数集合：{﹣﹣}．【分析】根据实数的分类进行归类即可．【解答】解：正数有：3，5.，15，；负数有：﹣7，﹣，﹣8；实数有：3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；分数有：﹣，5.，﹣8，；故答案为3，5.，15，；﹣7，﹣，﹣8；3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；﹣，5.，﹣8，．【知识点】实数16.把下列各数填在相应的大括号内：，﹣0.31，﹣（﹣2），﹣，1.732，，0，，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）正分数：{…}无理数：{…}【分析】根据无限不循环小数是无理数，大于零的分数是正分数，可得答案．【解答】解：正分数：{，1.732…}无理数：{，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：，1.732；，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…．【知识点】实数17.把下列各数填入相应的集合内7.5，，6，，，，﹣π，﹣0.（1）有理数集合{﹣}（2）无理数集合{﹣}（3）正实数集合{}（4）负实数集合{﹣﹣}【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．【解答】解：（1）有理数集合{7.5，6，，，﹣0.}（2）无理数集合{，，﹣π}（3）正实数集合{7.5，，6，，，}（4）负实数集合{﹣π，﹣0.}故答案为：7.5，6，，，﹣0.；，，﹣π；7.5，，6，，，；﹣π，﹣0.．【知识点】实数18.把下列各数的序号分别填入相应的集合里：①﹣1，②，③0.3，④0，⑤﹣1.7，⑥﹣2，⑦1.0101001…，⑧+6，⑨π负数集合{…}分数集合{…}无理数集合{…}整数集合{…}．【答案】【第1空】①⑤⑥【第2空】①②③⑤【第3空】⑦⑨【第4空】④⑥⑧【分析】直接利用负数、分数、无理数、整数的定义分别分析得出答案．【解答】解：负数集合{①⑤⑥…}；分数集合{①②③⑤…}无理数集合{⑦⑨…}；整数集合{④⑥⑧…}．故答案为：①⑤⑥；①②③⑤；⑦⑨；④⑥⑧．【知识点】实数。
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实数的有关概念练习题（1）
一、细心选一选
1．下列各式中正确的是（）
A． B. C. D.
2. 的平方根是( )
A．4 B. C. 2 D.
3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。
其中正确的说法有（）
A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4．和数轴上的点一一对应的是（）
A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数
5．对于来说（）
A．有平方根 B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（）
A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）
A． B. C. D.
8．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与
9．-8的立方根与4的平方根之和是（）
A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A． B. C. D.
二、耐心填一填
11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．__ __的平方根等于它本身，__ __的立方根等于它本身，
__ __的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
15．填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___+___=6。
16．大于，小于的整数有______个。
17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
21．计算
⑴⑵⑶
⑷∣∣+∣∣⑸×+×
22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：
实数的有关概念练习题（2）
一、选择题：
1．的算术平方根是（）
A．B． C．D．
2．的平方根是（）
A．－6 B．36 C．±6 D．±
3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的个数有（）
A．1个B．2个 C．3个D．4个
4．在下列各式中，正确的是（）
A．; B．; C．; D．
5．下列说法正确的是（）
A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数D．是分数
6．下列说法错误的是（）
A．B．
C．2的平方根是D．
7．若，且，则的值为（）
A． B．C．D．8．下列结论中正确的是（）
A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C. 两个无理数之和一定是无理数;
D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9．-27 的立方根与的平方根之和是（）
A．0 B．6 C．0或-6 D．-12或6
10．下列计算结果正确的是（）
A． B． C． D．
二．填空题:
11．下列各数：①、②……、③、④π、⑤、⑥、
⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有_______ ___；无理数的有_______ ___.（填序号）
12．的平方根是__________；的立方根是__________.
13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.
14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题：
16．计算或化简：
(1) (2)
17．已知，且x是正数，求代数式的值。
18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
⑶把边长在数轴上表示出来。