第1讲集合的含义

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(精校版讲义)高中数学必修一第1章第1讲集合的概念(可直接打印)

目录第一章集合与函数概念 (2)1.1 集合 (2)1.1.1集合的含义与表示 (2)1.1.2集合间的基本关系 (5)1·1·3 集合的基本运算............................... 错误!未定义书签。

1·2 函数及其表示....................................... 错误!未定义书签。

1·3 函数的基本性质..................................... 错误!未定义书签。

1·3·1 单调性与最大（小）值......................... 错误!未定义书签。

1·3·2 奇偶性....................................... 错误!未定义书签。

第二章基本初等函数（I）.................................... 错误!未定义书签。

2·1 指数函数........................................... 错误!未定义书签。

2·1·1指数与指数幂的运算........................... 错误!未定义书签。

2·1·2 指数函数及其性质............................. 错误!未定义书签。

2·2 对数函数........................................... 错误!未定义书签。

2·2·1 对数与对数运算............................... 错误!未定义书签。

2·2·2 对数函数及其性质............................. 错误!未定义书签。

第1讲集合的概念和运算

第1讲集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：、、． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集：，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集：则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是的子集，是的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝． (2)交集：A ∩B ＝．(3)补集：∁U A ＝，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若，则f (x )在区间D 上是增函数；②若，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是或，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于对称;偶函数的图象关于对称．考向一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。

20180709高一第一讲集合概念和表示方法

第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。

（2）集合是一个“整体。

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

集合的含义与表示

集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。

集合及运算章节复习

第1讲：集合及运算1.1集合的概念一．基本概念1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．二．典例分析考点1：集合的基本概念例1.下列各组对象能构成集合的有：①平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点；②的近似值；③高一年级中年龄比较大的学生；④1，2，3，1．A．1组B．2组C．3组D．4组考点2：元素和集合的关系例2.（1）下列说法正确的是（）A．B．C．D．（2）.已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4考点3：用列举法表示集合例3.方程组的解构成的集合为（）A．B．C．D．练习1.用列举法表示集合10|,1M m Z m Zm⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________．2.用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集；（3）方程x2+2x–15=0的解．1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．考点4：用描述法表示集合例4.集合是指（）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点练习1.平面直角坐标系中纵轴上的点的坐标组成的集合为________．2.用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x ∈R.考点5：忽略集合中元素的互异性例5.若，则a =（）A ．B ．0C ．1D ．0或1练习1.已知，且，则实数的取值集合是______．2.设集合，{}23,21,1B a a a =--+，，求的值．1.2集合间的基本关系一．基本概念1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．二．典例分析考点1：集合间关系的判定例题1.已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则A．B．C．D．【练习】1.设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（）A．B．C．D．2.已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．小结：判断集合关系的方法有三种：(1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．考点2：有限集合的子集确定问题例题2.已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．16 B．15 C．8 D．7【练习】1.已知集合，则的真子集共有（）个A．3 B．4 C．6 D．72.集合的真子集的个数是．小结1．求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．考点3：由集合间的关系求参数的值和范围例题3.已知集合，若，则实数的取值集合为（）A ．B ．C ．D ．{0,2}【练习】1.集合，若，则a 的取值范围为________.2.已知集合，，.是否存在a ，使？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.小结：(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．【练习题】1已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若，则等于（）A ．或3B ．0或C ．3D ．2.设，，，则A ，B 的关系是________.3.已知集合，，则集合与集合的关系是__________． 4.集合，，若，则实数a 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．5.已知集合，，求满足的实数的取值范围.6.设集合，或，若，求实数p 的取值范围．1.3集合的基本运算一．基本概念1．并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言2．并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A3．全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集4.补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言二．典例分析考点1.并集的概念及运算例题1已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【练习】1.已知集合，，则________．2.已知集合{0,1}A =，，则中的元素个数为________.【小结】并集运算应注意的问题(1)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． (2)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．考点2.交集的概念及其运算例题2.已知集合，，则为（） A ．或B ．或C ．或D ．或【练习】1.已知集合，则________.2.已知集合，{}2,3B a a =+，若则实数的值为________考点3.集合交集、并集运算的性质及应用例题3.已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若，则（） A ．或B ．或C ．或D ．或【练习】1.设集合，．若，则 ( )A ．B ．C ．D ．2.已知若,则实数的值为( )A ．0或1或2B ．1或2C ．0D ．0或1【小结】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A ∪B ＝B ，A ∩B ＝A 等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ．(2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解．练习题 1.集合，{|}B x x a =<．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．2.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.3.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________ 4.设集合，，则（） A ． B ． C ．D ．或考点4.补集的基本运算例题4.设，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则（） A ．B ．C ．D ．【练习】1.已知集合，则_____2. 设全集，集合，则=__________．考点5. 交集、并集、补集的综合运算例题5.已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．练习.1设全集U =R ，A ={x |﹣3＜x -1＜3}，B ={x |﹣2≤x +1≤3} （1）求A ∩B ；（2）求（C U A ）∪B ．2.已知集合R B C A x x B a x x A R =⋃<<=<=)(},31|{},|{若,求实数a 的取值范围.3.已知集合},,|{}12|{a x a x x B a x x A ≥-≤=+<<-=或，若R B A =⋃,求实数a 的取值范围.总练习题.1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．12．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4} 3．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤< 4．设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤5．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （） A ．∅ B ．S C ．T D ．Z 6．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．07．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（） A ．9 B ．8 C ．5 D ．48．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．49．设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.10．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.11．若集合{}5|3A x x =-≤≤和{}232|B x m x m =-+≤≤. （1）当3m =-时，求集合A B ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值集合.12．已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =．（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．。

集合的含义-高中数学知识点讲解

集合的含义1．集合的含义【知识点的认识】1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．【典型例题分析】题型一：判断能否构成集合典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于 5 的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．（3）由 2x+1＞7 得x＞3，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．1/ 3典例 2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D 四个选项进行一一判断．解答：A、M＝{（3，2）}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N 表示数集，故不是同一集合，故A 错误；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N 表示直线x+y＝1 的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B 错误；C、M＝{（4，5）} 集合M 的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N 的元素是点（5，4），故C 错误；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N 表示同一集合，故D 正确；故选D．点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．题型二：集合表示的含义典例 3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A 为数集，B 为数集，C 为点集．解答：A 是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B 是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C 为点集，是由抛物线y＝x2+1 上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．【解题方法点拨】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．2/ 32．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8的最小值，有 2x +푥8푥≥ 2 2푥⋅8푥= 8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x 在（0，+∞）的值域解：f′（x）=1푥― 1=1―푥푥∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主3/ 3。

北师大版高中数学必修一第一章第一节集合的含义课件 (共15张PPT)

第一章集合
§1 集合的含义与表示
第1课时集合的含义
高中数学必修1
学习目标
1．通过实例理解集合的有关概念. 2．初步理解集合中元素的三个特性. 3．体会元素与集合的属于关系. 4．了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．
预习清单集合与元素的概念
1.集合与元素的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总
提示：①“本班全体同学”构成一个集合，每一个同学都是集合中的元素；
②“直线AB上所有点”构成一个集合，集合中的元素是：直线AB 上每一个点.
合作探究探究点2 集合中元素的特征
【问题2】任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？请思考下列问题：
1. 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？不能
A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦
B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
课堂练习
2.判断正误： (1){(1,2)}={(2,1)}
(2){(1,2)，(2,1)}={(2,1)，(1,2)}
课堂练习
解析：由元素的互异性可知：
归纳小结
1. 集合的概念
确定性
2. 集合中元素的性质互异性
知识点
无序性
3. 元素与集合的关系 a∈A aA
4. 常用的数集（N,Z,Q,R）
思想方法：分类讨论思想
体叫做集合 (简称集).
2.集合与元素的字母表示
通常用大写拉丁字母A，B，C，…
表示集合，
用小写拉丁字母a，b，c，…
表示集合中的元
素.
预习清单集合与元素的概念
3.元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记

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宗老师讲高考
第1讲集合的含义
教学目标:
⑴初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“ € ”关系的意义
(2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合.
(3)观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语
言在描述客观现实和数学对象中的意义•
(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).
⑸在学习运用集合语言的过程中，增强认识事物的能力，初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度•
学习重点：集合概念的形成。

学习难点：
理解集合的元素的确定性和互异性
学习过程
（一）自主学习
1集合特点:
2、一般地，我们把研究对象称为_____________ ，把一些元素组成的总体叫
做__________ 。

3、集合的元素必须是____________ 不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如___________ 。

元素通常用小写的拉丁字
母表示，女口_______ 。

6、如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作______________ ，读
作”___________ ”。

如果a不是集合A的元素,就说a不属于A ,记作________________ ，读
作”_______ ”。

7、非负整数集（或自然数集）__________ ，正整数集 __________ ，整数集________ 有理数集________,
有理数集_________ ，实数集 _________ 。

（二）合作探讨
1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由（1）世界上最高的山
（2）世界上的高山。

（3）「2的近似值
（4）爱好唱歌的人
（5）本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员（6）本届奥运会我国参加的所有运动项目。

2、结合具体例子，请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解
3、如果用A表示高一（3）班全体学生组成的集合，用a表示高一（3）班的一位同学，b 是高一（4）班的一位同学，那么a, b与集合A有什么关系？由此可见元素与集合间有什么关系？
4、请你指出下列集合中的元素。

(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；
(3)由1〜20以内的所有素数组成的集合；
(4)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；
(5)由大于10小于20的所有整数组成的集合
(三)巩固练习
1、用“”或“”符号填空：
(1)32____ .Q (2 )32—N ; (3 ) ____ Q (4 ) 2 ____________ R ； ( 5) 9
Z (6 ) (、5)2 ___ N
2、集合A :比3的倍数小1的所有的数
(1)5 ___ , (2 )7 __ A , (3 )-10 __ A.。