材料力学-- 弯曲应力
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材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学《第五章》弯曲应力
上海交通大学
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
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M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
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c
O1
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a
1 1 2
b
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M
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O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
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O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
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M
y
(dA) z
A
E yzdA y轴为对称轴 0 dA A
M
1
z
(dA) y
A
Ey 2
A
dA E
A
y dA
2
EI z
M
M EI z
(6 - 1)
EIz－梁的抗弯刚度
E
y
(2)
z
M
x y
1 M EI z
(3)
My Iz
30
1
q=60kN/m B
2m
120 180 20
x 1
1 2
z y
A
1m
1
M
解：画 M 图： +
ql2/ 8
qlx qx 2 M1 ( ) 2 2 60kNm
M max ql 2 / 8 67.5kNm
1
30
q=60kN/m B
2m
120 20 180 1
z
2
求应力
bh3 0.12 0.183 Iz 12 12 5.832 10 5 m 4
bh 2 Wz 6.48 10 4 m 3 6
194.4m
M1 60 1max 107 92.6MPa W z 6.48 M max 67.5 max 107 104.2MPa Wz 6.48
[例6-2-2] 钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量 E=200GPa。求当钢板尺弯成π /3圆弧时，钢板尺内的最 大正应力。 解： s 3 s
63
21.2 cm3
A 400 RA
5kN C
3kN υ60 B 300 RB 0.90kNm υ43
(3)计算最大正应力 C截面的最大正应力：
1000
max C
M C 1.17 103 W z 21.2 10 6 55.2 MPa
M
B截面的最大正应力：
[例6-3-1] T形截面铸铁梁，许用拉应力[]+=30MPa， 许用压应力为[]-=60MPa。已知中性轴位置 y1=52mm， 截面对z轴的惯性矩 Iz ＝764cm4 。试校核梁的强度。并 说明 T 字梁怎样放置更合理？
9kN
4kN Ⅰ
z y1 y2
80
A 1m RA M
C
B Ⅰ 1m 1m RB
1000
F2 250
20
A
F1F1 F2B NhomakorabeaC
F2
b( h 3 d 3 ) WZ b (h3 d 3 ) / h 12 2 6h 20 (60 3 30 3 ) 9 10 10.5 10 6 m3 6 60
F1 1 F2 0.25
M max F1 max Wz Wz F1 Wz 10.5 137 1.44 kN
3s
max
1 M max ymax Iz
/3
M max EI z max Eymax Eymax 3 s
2 1011 0.4 103 3 252 10 3 332.4 MPa
A 400 RA
5kN C
[例6-2-3]如图所示圆轴， 3kN 在A、B两处的轴承可简 B υ60 υ43 化为铰支座，轴的外伸部 分是空心圆轴。试求轴内 1000 300 的最大正应力。 RB 0.90kNm 解：(1)求支反力，并画弯矩图
M max Wz
则
max
若
则 max 且 max
强度校核: 截面设计:
M max max [ ] Wz
M max Wz [ ]
载荷设计:
M max [ ]Wz
(6 - 2)
σ符号：拉为正，压为负。
★ 适用条件：①平面假设；②单向受力假设； ③服 从虎克定律； ④拉伸与压缩时的弹性模量相等。 ★ 只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内， 公式 (3)、 (4) 就可适用。
（四）最大正应力：
M max ymax M max max Iz Wz
平面弯曲的分类：
纯弯曲(CD段)： Fs=0，M =常量≠0 横力（剪切）弯曲 (AC、DB段) ： Fs、M同时存在。
Fs
Fa
§6-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲时的正应力
m
n
a
a
横线（mm、nn）：仍为直 线，发生了相对转动，仍与 变形之后的梁轴线垂直。 纵线（aa、bb）：互相平行的 直线变为互相平行的曲线，凹 侧缩短，凸侧伸长。
A
F1
60
B
C
(2)销钉设计：
1000
F2 250
A
F1
F1 F2
B
C
F2
F1 1 F2 0.25
F1 F2 5F1 A A 30 2 98 A 4 F1 13.85kN 5 5
取F1 1.44kN、F2 5.76kN
[例6-3-4] 简支梁的荷载、尺寸如图示。求梁下边缘的 总伸长。 解：(1)求约束反力
q
h
ql RA RB 2
B
A
（2）求x 截面下边缘的正应力
x dx
RA
b
l
RB
（3）求梁下边缘的总伸长
ql q x x 2 3q (lx x 2 ) M x 2 2 W b h2 bh2 6
（一）变形几何关系
纵向对称面 O b dx 曲率半径 M y O b
O 曲率 中心
M 中性层
O
中性轴(位 z 置待定）
O b y
x y 对称轴
dx OO OO d
d 曲率 K dx 1
d
M
O b
bb dx d
bb y d
4kNm + 2.5kNm
解：(1) 绘制弯矩图 RA＝2.5 kN RB ＝ 10.5 kN 危险截面可能在B 、C截面。
y 20
120
20
M
C + 2.5kNm
4kNm -
B
(2)强度校核 M B y1 校核B： max )B （ 27.2 MPa
27.2MPa
y1 y2
28.8MPa
y2 y1
( max ) ( max ) B 46.1 MPa [ ]-
(×) 27.2MPa (3)本T形梁形心偏上放置合理
故满足强度条件。
M
C + 2.5kNm
4kNm B
讨论：其它条件不变，若改变下面任一条件，则危险 截面有几个？是那几个？ （1）铸铁梁改为钢梁。 （2）T形截面改为关于中性轴对称的截面。 （3）整根梁上M不变号。 一个，均为弯矩最大截面。 若（1）材料的[σ]+≠ [σ]-；（2）截面不关于中性轴 对称；（3）同时有最大正弯矩和最大负弯矩，三条 件同时满足，则两个极值弯矩所在截面均为危险截 20 面，均需校核。
A
1m
M (kNm) 60
1
y
+
67.5
求曲率半径
1
EI z 200 5.832 10 M1 60
M 1 y1 60 60 1 105 61.7MPa Iz 5.832 M1 y2 60 70 2 105 72MPa Iz 5.832
第六章
弯曲应力
第六章 弯曲应力
§6.1
§6.2
概述
平面弯曲时梁横截面上的正应力
§6.3
§6.4 §6.5 §6.6 §6.7
弯曲正应力的强度条件
弯曲剪应力 梁的剪应力强度校核 非对称截面梁的平面弯曲 提高弯曲强度的措施 弯曲中心
§6-1
F A a F + F + M C
概述
F D a l-2a
B
C
RA
2m
RB F
1m
140
52
[例6-3-2] T形截面铸铁梁，许用拉应力[]+=35MPa， 许用压应力为[]-=80MPa。截面对形心轴z轴的惯性矩 Iz＝763cm4。试确定梁的许可载荷[F]。 F A
B z (2) 求许可载荷
( ) max
M max y 上 F 52 10 3 Iz 763 10 8 [ ] 35 10 6
Wz ymax 抗弯截面模量
y
Iz
Wz
Iz ymax
Iz ymax
bh3 12 bh2 h2 6
b
C
h
z
Wz
D 4 64
D2
D3
32
D
Wz
Iz ymax
D 3
32
(1 4 )
d D
d d D D
梁的横截面不对称于 z 轴(中性轴)：
max
RA=2.93kN; RB=5.07kN
M
+ 1.17kNm
危险截面可能在 C、B 截面 (2)计算抗弯截面模量
Wz
实心圆轴Wz ：
D3
空心圆轴Wz’：
32 32 4 4 D 3 d 63 43 Wz 1 1 15.6 cm3 32 D 32 60