江西省南昌市第三中学2020—2021学年度高三第一学期第四次月考考试数学试卷

江西省南昌三中2020—2021学年度第四次月考考试高三数学（文）试卷一、 选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合{}|127A x x =≤≤，(){}2|log 13B x x =+<，则()R AC B =（ ）A.[)1,7B.[]7,27C.[]1,1-D.(]7,272.设复数1i1i-=+z ，则z 的共轭复数为（ ） A. iB. i -C. 1i -D. 1i +3.命题： 0x ∀≥，都有sin x x ≤”的否定为（ ）A.0x ∀<，都有sin x x >B.0x ∀<，都有sin x x ≤C. 0x ∃<，使得sin x x >D.0x ∃≥，使得sin x x > 4.函数()(0xf x a a =>且1)a ≠是增函数的一个充分不必要条件是（ ）A. 102a <<B. 01a <<C. 23a <<D. 1a >5. 曲线f(x)=f′(1)e x −x 2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于（ ）A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D.4−2ee−16.在ABC ∆中，已知2,230==︒=c a A ，，则b =（ ）A.13+ B. 13+或13- C.26+ D.26+或26-7.已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．613-B ．613C ．213- D ．213 8.圆M ：22()4x m y -+=与双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线相切于A 、B 两点，若||2AB =，则C 的离心率为（ ）A. 233B. 3C. 2D. 39.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若2()()23f f ππ=，则（ ）A. =2=6πωϕ，B. 55==318πωϕ，C. =2=3πωϕ，D. 5==36πωϕ，10.函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0，那么a b +的值为( )A. 14B. 40C. 48D. 14或4011.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC =4√3，则△ADC 面积的最大值为( )A. 6√2B. 6√3C. 4√2D. 4√312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()0f x f x --=，且[0,)x ∈+∞时，()2f x x '>．若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,2]-∞D. [2,)+∞二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则sin()______2πα+=． 14.已知函数，）（⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=2),1(2,31)(x x f x x f x则(0)f 的值为 ． 15.设函数231()2sin ([,]3122x x f x x x ππ⋅+=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，则M＋N=___＋16.已知高数()f x 的周期为4＋且(1,3]x ∈-时，21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩＋若方程()mf x x =恰有5个实数解（其中m ＋0），则m 的取值范围为_____________＋三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n b 的公差为2，设n S ，n T 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23S =，53S T =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n M .18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24＋16＋16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.20.已知函数()ln f x x x =，()()21112g x kx k x =-+-+，曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线互相垂直，记()()()F x f x g x =+.（1）求实数k 的值；（2）若方程()f x m =有两个不相等实根，求m 的取值范围； （3）讨论函数()F x 的单调性.21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率为3，以1F 为圆心以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆上顶点A 斜率为k 的直线l 与椭圆的另外一个交点为B ，若2ABF △的面积为534，求直线l 的方程． 选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2s i n c o s θρθ=，曲线2C 的参数方程为2122x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点.（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）求点()1,2M -到A 、B 两点的距离之积. 23．已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =6． （1）当c =5时，求(1a 2−1)(1b 2−1)的最小值；（2）证明：a2+b2−2b+c2−4c≥−2．南昌三中2020—2021学年度第四次考试高三数学（文）答案二、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}|127A x x =≤≤，(){}2|log 13B x x =+<，则()R AC B =（ B ）A.[)1,7B.[]7,27C.[]1,1-D.(]7,272.设复数1i1i-=+z ，则z 的共轭复数为（ A ） A. iB. i -C. 1i -D. 1i +3.命题： 0x ∀≥，都有sin x x ≤”的否定为（ D ）A.0x ∀<，都有sin x x >B.0x ∀<，都有sin x x ≤C. 0x ∃<，使得sin x x >D.0x ∃≥，使得sin x x >4.函数()(0xf x a a =>且1)a ≠是增函数的一个充分不必要条件是（ C ）A. 102a <<B. 01a <<C. 23a <<D. 1a >5. 曲线f(x)=f′(1)e x −x 2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于（ B ）A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D.4−2e e−16.在ABC ∆中，已知2,230==︒=c a A ，，则b =（ B ）A.13+ B. 13+或13- C.26+ D.26+或26-7.已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ D ）A ．613-B ．613C ．213- D ．213 8.圆M ：22()4x m y -+=与双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线相切于A 、B 两点，若||2AB =，则C 的离心率为（ A ）A. 233B. 3C. 2D. 39.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若2()()23f f ππ=，则（ C ）A. =2=6πωϕ，B. 55==318πωϕ，C. =2=3πωϕ，D. 5==36πωϕ，10.函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0，那么a b +的值为( )A. 14B. 40C. 48D. 14或40【详解】函数()32232f x x ax bx a =-+-，()236f x x ax b =-+'，若在2x =时有极值0，可得()()2020f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，则281222012120a b a a b ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得：2a =，12.b =或4a =，36b =， 当4a =，36b =时，()232436f x x x =-+'满足题意函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0．当2a =，12b =时，()231212f x x x =-+'，不满足题意：函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0．40a b ∴+=．故选B ．11.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC =4√3，则△ADC 面积的最大值为( )A. 6√2B. 6√3C. 4√2D. 4√3【详解】由已知AC =4√3，∠ADC =120°，如图所示；可构造△ADC 的外接圆，其中点D 在劣弧AC 上运动， 当运动到弧中点时，△ADC 面积最大， 此时△ADC 为等腰三角形，其面积为S △ADC =12×12AC ⋅tan30°×AC =14×√33×(4√3)2=4√3．故选：D ．12.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()0f x f x --=，且[0,)x ∈+∞时，()2f x x '>．若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,2]-∞D. [2,)+∞【详解】设()()2G x f x x =-＋ 则()()()2,0,G x f x x x '-∈'=+∞时，()()20G x f x x '-'=>＋()()()()()22G x f x x f x x G x -=---=-=()G x ∴为偶函数，()G x ∴在[)0,+∞上是增函数， (),0x ∈-∞时单调递减.所以()()244,f a f a a --≥-可得()()22244f a a a f a a --+-≥-＋()()()2222f a a f a a ∴---≥-＋即()()2,2,1G a G a a a a -≥∴-≥∴≤＋实数a 的取值范围为(],1-∞＋故选A.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则sin()______2πα+=．答案：45- 14.已知函数，）（⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=2),1(2,31)(x x f x x f x则(0)f 的值为 ．答案：19 15.设函数231()2sin ([,]3122x x f x x x ππ⋅+=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，则M＋N=___＋答案：316.已知高数()f x 的周期为4＋且(1,3]x ∈-时，(1,1]()12,(1,3]x f x x x ∈-=--∈⎪⎩＋若方程()mf x x =恰有5个实数解（其中m ＋0），则m 的取值范围为_____________＋答案：)【详解】()mf x x =有5个解，等价于为()(](]1,112,1,3x y f x x x ∈-==--∈⎪⎩与1y x m =的图象有5个交点＋在同一坐标系内画出函数()y f x =与1y x m=的图象，如图.求出直线1y x m =过点()6,1和直线1y x m =与半圆()2241x y -+=相切时的m的值分别为＋由图可得)m ∈时＋()(](]1,112,1,3x y f x x x ∈-==--∈⎪⎩与1y x m =的图象有5个交点＋故答案为).三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n b 的公差为2，设n S ，n T 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23S =，53S T =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n M .【详解】（1）n a n =，21n b n =+（2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭所以()11111352112231n M n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()221121111n M n n n n n =++-=+-++18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24＋16＋16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2＋由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为1A , 2A , 3A , 4A ,睡眠充足的3人分别记为1B ,2B , 3B ，现从这7人中随机抽取2人的所有情况为：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ， ()33,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()43,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共21种情况.其中至少有1人睡眠充足的情况有：()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ， ()33,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()43,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共15种情况.设所求概率为P ，则155217P ==.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，EC== 在PDE ∆中PE == 在PDC ∆中PC ==故EQ PC ⊥，EQ AF ==12PECS ∆=⨯=112AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=1232d =⋅，解得10d =.20.已知函数()ln f x x x =，()()21112g x kx k x =-+-+，曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线互相垂直，记()()()F x f x g x =+.（1）求实数k 的值；（2）若方程()f x m =有两个不相等实根，求m 的取值范围； （3）讨论函数()F x 的单调性.【详解】（1）()1ln f x x '=+，()11f '=，()1g x kx k '=-+- 由题意得，()11g '=-，即()111g k k '=-+-=-，∴1k =（2）由()1ln f x x '=+，可知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当1x e=时 ，()f x 有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又0x →时，()0f x →；x →+∞时，()f x →+∞∴若方程()f x m =有两个不相等实根，则有10m e-<<.（3）由（1）可知，()21ln 12F x x x x =-+，0x >，()ln 1F x x x '=-+，()111x F x x x-''=-=， 易知，当()0,1x ∈时()0F x ''>，()F x '单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0F x ''<，()F x '单调递减， 所以()()10F x F '≤=即()0F x '≤恒成立，所以()F x 在()0,+∞上单调递减.21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F以1F 为圆心以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆上顶点A 斜率为k 的直线l 与椭圆的另外一个交点为B ，若2ABF △的面积为l 的方程． 【详解】（1）设椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =，由离心率为2，22234a b a -=，得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）因为点A 的坐标为()0,1，所以直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程得到：()()2221141804x kx k x kx ++=⇒++=，因为0A x =， 所以2841B k x k =-+，221441B k y k -=+，又因为直线l 与x 轴的交点坐标为1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭，点2F的坐标为)，所以22111412414k k k ⎛⎫-+⨯-= ⎪+⎝⎭，解得k =k =， 所以，直线l的方程为12y x =+或16y x =+．选考题：共10分。