一般三次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式一、历史背景：在数学发展的早期，人们已经研究了一、二次方程的解法。
但是，对于三次方程和四次方程的解法却一直困扰着数学家们。
直到16世纪末，意大利数学家卡尔达诺通过一系列的探索和实践，才找到了求解三次方程的方法。
而求解四次方程更是摆在数学家们面前的一个难题，直到16世纪末，法国天文学家费尔马提出了一个通解。
二、解题思路与方法：对于三次方程和四次方程，我们首先需要将其化为特定的形式。
三次方程可以表示为a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，四次方程可以表示为a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0。
接下来，我们需要找到合适的变量代换，使得原方程可以转化为形如y^3+p*y+q=0或y^4+p*y^2+q=0的方程。
这个变量代换的选取很关键，可以利用一些特殊的性质或条件来进行选取。
然后，我们需要通过一些代数方法，如因式分解、配方法、全平方法等，将原方程转化为一个关于新变量的方程，并进一步进行变量代换。
最后，我们可以采用牛顿迭代、套公式等方法，求得方程的根。
三、三次方程的求根公式：我们首先进行变量代换y=x+p/3，将三次方程转化为y^3+p*y+q=0的形式。
根据维埃塗公式的推导，我们可以得到：y1=C+u+vy2=C+ωu+ω^2vy3=C+ω^2u+ωv其中，C和ω是与p和q相关的常数，u和v是根据原方程的系数经过一些运算得到的。
最后，我们再将y1、y2、y3代入变量代换，即可得到原方程的三个实根。
四、四次方程的求根公式：我们先进行变量代换y = x - b/(4a)，将四次方程转化为y^4 + py^2 + q = 0的形式。
根据费尔马的推导，我们可以得到：y1 = sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y2 = -sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y3 = sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))y4 = -sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))然后，我们再将y1、y2、y3、y4代入变量代换，即可得到原方程的四个实根。
三次方程求根公式卡丹公式
三次方程求根公式卡丹公式卡丹公式，又称三次方程求根公式，是用来求解三次方程的根的一种公式。
在数学中，三次方程是指一个变量的三次多项式方程，通常表示为ax^3+bx^2+cx+d=0。
三次方程的解析解较为复杂，因此卡丹公式的引入使得求解三次方程的过程更加简便和高效。
卡丹公式的形式如下：x = -\frac{b}{3a} + \frac{\sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}} + \frac{\sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}}其中，Q = \frac{3ac - b^2}{9a^2} 和 R = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}。
卡丹公式的推导相对复杂，这里不做详细讨论。
下面我们将通过一个具体的例子来展示卡丹公式的应用。
假设我们要求解方程2x^3 + 3x^2 - x - 1 = 0的根。
我们计算Q和R的值：Q = \frac{3(2)(-1) - (3)^2}{9(2)^2} = -\frac{1}{4}，R = \frac{9(2)(-1)(-1) - 27(2)^2(-1) - 2(3)^3}{54(2)^3} = 0接下来，我们将Q和R的值代入卡丹公式，计算出方程的三个根：x_1 = -\frac{3}{4}，x_2 = \frac{1}{4}，x_3 = -1通过卡丹公式，我们成功求解了该三次方程的根。
卡丹公式的引入极大地简化了求解三次方程的过程。
在没有卡丹公式之前，求解三次方程需要通过复杂的代数运算和因式分解来获得解析解，计算过程繁琐而复杂。
而有了卡丹公式，我们只需要计算出Q和R的值，代入公式即可得到方程的三个根，大大提高了求解的效率。
需要注意的是，卡丹公式只适用于一般的三次方程，对于特殊情况，如方程存在重根或虚根，或者方程的系数不满足一定条件时，卡丹公式的应用可能会有限。
一元三次方程求根公式及韦达定理
⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。
⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
计算方程根的公式
计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
1. 推导过程。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。
- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。
- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。
二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。
令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。
其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
3次方程求根公式
3次方程求根公式三次方程求根公式是一类解决多项式的复杂方程的有效方法，它主要通过分解三次多项式的方程，从而解出方程的根。
下面介绍三次方程求根的常用公式：一、基本公式该型方程为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a≠0。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=–b/ax1x2+x1x3+x2x3=c/ax1x2x3=-d/a二、牛顿迭代法该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=-p/ax1x2+x1x3+x2x3=q/ax1x2x3=r/a三、伽玛函数法该型方程为ax³+px²+qx=0，其中a≠0，其中x1、x2、x3不满足互异性。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=-p/ax1x2+x1x3+x2x3=-q/2a四、贝尔根斯法该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0，其中x1、x2、x3不满足互异性。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=u-p/3ax1x2+x1x3+x2x3=v+2p²/27a³-q/3bx1x2x3=-2u³/27a-qv/6a²+r/a五、拉塞尔根式该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0，且y1、y2、y3分别满足条件：y1+y2+y3=0y1y2+y1y3+y2y3=p/ay1y2y3=q/2a解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=u+q/2ax1x2+x1x3+x2x3=v-pq/4a²+r/ax1x2x3=-u²v/4a²-p³/27a³-pr/6a²+q²/8a³+s/a。