吉林省数学高三上学期理数第五次月考试卷
吉林省五校联考2021-2022学年高三上学期联合模拟考试数学(理科)试题及答案
18．
（1）
（2） ，
（3） ，
（1）首先根据题意得到制作一次视频合格的概率 ，再求进行3次制作，恰有一次合格作品的概率即可.
（2）根据二项分布求解数学期望与方差即可.
A．第一象限B．第三象限C．直线 上D．直线 上
3．在二项式 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A． B． C． D．
4．数列 为等差数列，且 ，则 （ ）
A．1B．3C．6D．12
5．长春54路有轨电车建成于上个世纪30年代，大概是现存最美的电车路线了，见证着这座城市的历史与发展.学生甲和学生乙同时在长影站上了开往西安大路方向的电车，甲将在创业大街站之前任何一站下车，乙将在景阳大路站之前任何一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ）
故选：A
4．D
根据定积分的几何意义求 ，再应用等差中项的性质求目标式的值.
解：∵ 表示半径为2的四分之一圆面积(处于第一象限)，
∴ ，又 为等差数列，
∴ ，则 .
故选：D.
5．B
先求出甲、乙下车的情况共有 种可能，再求出甲比乙后下车共有15种可能，最后利用几何概型公式求解即可.
解：甲将在长影站上车，将在创业大街站之前任何一站下车,可能在6个站下车，
（1）
由ADEF为正方形，则ED⊥AD，
∵面 面 ，ED⊂面ADEF，面 面 ，
∴ED⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，则ED⊥BC，
在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，则 ，|BD|＝2 ，
在△BCD中， ，则BC⊥BD，
∵DE∩BD＝D，DE、BD面BDE，
∴BC⊥BDE，又BC⊂面BEC，
17．
辽宁点石联考2024-2025学年高三上学期10月月考(二模)数学试题(原卷版)
2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷命题人：孙方辉 校对人：王立冉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知12i i z −=，则z =（ ） A. 1 B. 2C. D. 32. 为了得到函数sin(2)3yx π−的图像，只需把函数sin(2)6y x π+的图像 A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位 3. ABC 中，点M 、N 在边BC 上，BM MN NC ==，设AM m = ，AN n = ，则AB = （ ） A. 2m n −B. 2n m −C. 2m n −D. 2n m −4. 设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是（ ） A. ()01f =B. ()00f =C. ()01f ′=D. ()00f ′=5. 已知函数()112,02,0x x x f x x +− ≥= −< ，则不等式()()2f x f x −>解集为（ ）A. (),1∞−−B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞6. 已知函数()()2cos 1f x x a x =−+，若()f x 在()1,1−有唯一的零点，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4 7. 已知函数()()2f x x x c =⋅−在1x =处有极大值，则c =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数()()()sin ,,0f x A x A ωϕωϕ=+>最小正周期为π，当6074π3x =时，函数()f x 取最小在的的值，则下列结论正确的是（ ）A. ()()()220f f f <−<B. ()()()202f f f −<<C. ()()()022f f f <<−D. ()()()202f f f <<− 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知O 为坐标原点，()2,1A −，()1,2B ，()1,2C −−，则（ ）A. AB方向的单位向量为B. 若2AP PB = ，则点P 坐标为4,13 C. π4ACB ∠=D. CA 在CB10. 设函数()πsin 2sin23f x x x=++ ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最大值为2B. ()f x 区间π11π,1212− 有两个极值点C. ()5π06f x f x +−=D.直线3y x =+()y f x =的切线11. ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A. ()2222a b c ab bc ca ++<++B. 1a a +，1b b +，1cc +不能构成三角形C. 若333a b c +=，则ABC 为锐角三角形D. 若a ，b ，c 均为有理数，则()cos A B −为有理数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的在12. 已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，则()12R e te t −∈ 的最小值为______.13. 函数y =[)0,+∞，则实数a 的取值范围是______.14. 如图，圆内接四边形ABCD 中，BD 为直径，AB AC ==，1AD =.则BC 的长度为______；AC BD ⋅=______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 等差数列{aa nn }的前n 项和为n S ，已知60a =，126S =.（1）求数列{aa nn }的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .16. 已知函数()22x x f x a −−⋅. （1）若()f x 为偶函数，求()f x 的最小值；（2）当0a >时，判断()f x 的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于x 的不等式()()22log 20f a x f x −+−>的解集.17. 在ABC 中，D 为BC 的中点，π2BCA BAD ∠+∠=，记ABC α∠=，ACB β∠=. （1）证明：αβ=或π2αβ+=；（2）若3AB =，且3BC AC ≥，求AD 的最大值.18. 如图，函数()()πsin 0,02f x x ωθωθ =+>≤≤的图象与y 轴相交于点10,2 ，且在y 轴右侧的第一个零点为5π12.（1）求θ和ω的值；（2）已知π0π2αβ<<<<，π12123f α −= ，π26f αβ+ + cos β的值. 19. 已知函数()e e cos x x f x k x −=++.（1）若2k =−，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求正实数k 的取值范围；（3）π0,2x ∈ 时，证明：ππ22π1e e e 4x x x − ++≥+ .。
吉林省长春市高三数学上学期第五次月考(一模)试题理
高三年级第一次模拟（第五次月考）考试数 学 试 题（理科）第Ⅰ卷一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．）(1)若集合{}1,2lg<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x N x x y x M ，则M N = （A ）)2,0( （B ）()01, （C ）()12, （D ）()1,-∞ （2）在复平面内，复数2i12i z =-+的共轭复数的模为（A （B （C （D ）（3）下列命题中，为真命题的是（A ）0x R ∃∈,使得00x e ≤.（B ）1sin 2(x k ,k Z)sin x xπ+≥≠∈. （C ）2,2x x R x ∀∈>.（D ）若命题p ：0x R ∃∈，使得20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈,210x x -+≥.（4）执行如图所示的程序框图，输出的T ＝（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）62（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++=（A ）12 （B ）8 （C ） 20 （D ）16（6）已知034.a =，0912.b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，622c log = 则,,a b c 的大小关系是（A ）a <b <c （B ）c a b << （C ）c b a << （D ）b c a << （7）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系（A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）231S S S << （D ）321S S S <<（8）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+ 的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 （9）设函数212x f (x)e x =-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 （A ）1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭（C ）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10）若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,点4M(,m)是抛物线上一点,则经过点F 、M 且与l 相切的圆共（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）4个（11）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,14,2AA AB BC === ，动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（A（B（C ）43 （D（12） 已知xf (x)e ax =-有两个零点12x x <，下列说法正确的是（A ）a e < （B ） 122x x +>（C ）121x x ⋅> （D ）有极小值0x 且1202x x x +> 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）（13）若双曲线2212516x y -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且13PF =，则2PF 等于 （14）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则2sin cos θθ+=________ （15）[]22,-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为（16）已知O 是ABC ∆外心，若2154AO AB AC =+，则 cos BAC ∠=三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分） （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知 223cos cos 222C A a c b +=． （Ⅰ）求证：a 、b 、c 成等差数列；（Ⅱ）若,3B S π==b ．（18）（本小题满分12分）如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =． （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．（19）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，()*111,3nn n a a a n N a +==∈+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足()312nn n nnb a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． （20）（本小题满分12分）椭圆C ：）（012222>>=+b a b y a x 的离心率为23，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左右顶点分别为,A B ，点P 是直线2x =上的动点，直线PA 与椭圆另一交点为M ，直线PB 与椭圆另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x)lnx ax =-.（Ⅰ）讨论f (x)的单调性;（Ⅱ）当函数f (x)有两个不相等的零点12x ,x 时,证明: 212x x e ⋅>. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆1C ： ＝4 cos 与直线l ： ＝4( ∈R )交于 ,A B 两点．（Ⅰ）求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程；（Ⅱ）在圆1C 任取一点M ，在圆2C上任取一点N ，求MN 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()221f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()232f x t t ≤-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围．数 学 试 题（理科）答案 一．BADA,CBBC,ADCB二．13. 13 14. 15. 38 16. 12三．17. 【解】（Ⅰ）由正弦定理得：223sin cos sin cos sin 222C A A C B += 即1cos 1cos 3sin sin sin 222C A A C B +++=∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=即sin sin sin()3sin A C A C B +++= ∵sin()sin A C B +=∴sin sin 2sin A C B += 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,3,5,7,8,9A =，{}31,B x x k k ==-∈Z ，则A B =I （ ） A ．{}5,8B ．{}7C ．{}2,5,8D ．{}3,5,7,92．等差数列{}()*n a n ∈N 中，274110,2a a a a =-=，则7a =（ ）A ．40B ．30C ．20D ．103．已知函数()e e 2x xa f x x -+=为偶函数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-4．已知α是第二象限的角，(,8)P x 为其终边上的一点，且4sin 5α=，则x =（ ） A ．6-B ．6±C ．323±D ．323-5．已知()311sin ,25tan tan αβαβ+=-+=，则sin sin αβ=（ ） A ．310-B ．15C ．15-D ．3106．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，11a =，则8S =（ ） A ．48B ．50C ．52D ．547．正整数1,2,3,,n L 的倒数的和111123n++++L 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n 很大时，1111ln 23n nγ++++≈+L .其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈L ，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数，用上式计算1111232024⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦L 的值为（ ） （参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln10 2.30≈） A ．10B ．9C ．8D ．78．数列 a n 的前n 项和为n S ，满足{}111,3,2n n n a a d a +-=∈=，则10S 可能的不同取值的个数为（ ） A ．45B ．46C ．90D ．91二、多选题9．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论成立的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于直线π2x =对称C ．点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心 D ．()f x 在(0,π)上单调递增10．下列命题正确的（ ）A ．ABC V 中， 角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若cos =c b A ，则ABC V 一定是直角三角形B ．在ABC V 中， 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4,30a c A ===︒时，有两解 C ．命题“()00,x ∞∃∈+，00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∞∀∉+=-”D ．设函数()()()24f x x a x =--定义域为R ，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为{|4x x ≥或1}x =，则点()2,2-是曲线y =f x 的对称中心11．如图，某旅游部门计划在湖中心Q 处建一游览亭，打造一条三角形DEQ 游览路线．已知,AB BC 是湖岸上的两条甬路，120,0.3km,0.5km,60ABC BD BE DQE ∠=︒==∠=︒（观光亭Q 视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）A ．0.7km DE =B ．当45DEQ ∠=︒时，DQ =C ．DEQ V 2D ．游览路线DQ QE +最长为1.4km三、填空题12．已知函数()ln f x x x =，角θ为函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线的倾斜角，则sin 2cos sin cos θθθθ+=-．13．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知14733a a a ++=，25827a a a ++=，若存在正数k ，使得对任意N*n ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为． 14．设a b c ，，是正实数， 且abc a c b ++=，则222111111a b c -++++的最大值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为cos π,,,2sin cos 6A a b c C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． (1)求B ；(2)若ABC VAC 边上的高为1，求ABC V 的周长．16．已知数列{}n a ，{}n b 中，14a =，12b =-，{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n n a b +是公比为2的等比数列. (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .17．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+． (1)若π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a -=有三个连续的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x<<，31223x x x +=，求a 的值．18．已知函数()sin ln(1),R f x x x ax a =++-∈.(1)当0a =时， 求()f x 在区间()1,π-内极值点的个数； (2)若 ()0f x ≤恒成立，求a 的值； (3)求证：2*1121sin2ln ln 2,N 11ni n n n i n =+-<-∈--∑. 19．对于数列{}n a ，若存在常数T ，*00)(,N n T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n T na a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列{}n a 为纯周期数列；当02n ≥时，称数列{}n a 为混周期数列．记[]x 为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列{}n a 满足：[]21log ,212,2n nnn a n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数. (1)若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值； (2)若数列{}n a 是常数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由； (3)证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21m n a =-．。
吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题(含答案)
2024—2025学年度上学期七年级第一次月考试题数学试卷考生须知：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．4．选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）一、选择题（每题3分，计27分，每题只有一个正确的答案）1．的相反数是（）A ．B．C ．D ．20242．下列化简正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在1.5，，，，6，15%中，负分数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．已知，，则的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．6．若，则等于（ ）A ．B ．1C ．0D ．7．若，，则有（ ）A ．，B ．、异号，且正数的绝对值较大C ．，D ．、异号，且负数的绝对值较大8．有理数、对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（）2024-12024-120242024-()22-+=()22-=-()22+-=-22-+=2-52-0.7-3a =-a b =b 3+3-3±210a b -++=a b +1-2-0a b +<0a b >0a >0b >a b 0a <0b <a b a bA ．B ．C ．D ．9．下列说法：①两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③绝对值是它本身的数是正数；④表示的数一定是负数，其中正确的个数有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计27分）11．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上10℃记作，则零下3℃记作______℃．11．比较大小：______（填“＞”，“＜”或“＝”）12．已知有理数1，，，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是______．13．如果与互为倒数，与互为相反数，那么的值是______．14．如果两数的商是，被除数是，则除数是______．15．已知，，且，则的值为______．16．比大而比小的所有整数的和等于______．17．定义：对于一个有理数，我们把称为的有缘数．若，则．若，则．计算的结果为______．18．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．若点从点处向点方向跳动，当点在之间且点到点的距离等于点到点的距离2倍时，点所表示的数是______．三、解答题：（本大题共9小题，共66分）19．（本题6分）把下列各数的序号填在相应的数集内：①2：②；③3.5；④0；⑤；⑥．（1）整数：{__________________…}；（2）分数：{__________________…}；（3）负有理数：{__________________…}．20．计算：（本题7分）b a ->a b -<0ab >0a b -<m -10+℃2- 1.5-8-11+2-a b c d ()2024ab c d -++516-122-3m =5n =m n >2m n +153-335[]x x 0x ≥[]113x x =-0x <[]122x x =-+[][]31+-A B C 5-b 4A B 1.8cm C 5.4cm P C B P BC P C P B P 23-π7-（1）；（2）．21．计算：（本题7分）（1）；（2）22．（本题8分）把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：，0，，，23．（本题5分）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，小明同学的解法如下：原式，根据上面的解法，请你再写一种你认为合适的方法计算．24．（本题6分）有资料表明，某地区高度每增加100米，气温下降0.6℃．登山队由此想出了测量山峰高度的办法：一名队员在山脚，一名队员在山顶，他们在某天上午1时整测得山脚和山顶的气温分别为和．由此可推算出该山峰高多少米？25．（本题8分）若两个有理数，满足，则称，互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”，回答下列问题：（1）求的“吉样数”：（2）若的“吉祥数”是，求的；（3）和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．26．（本题9分）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单位：单）（1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？（2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？()()231410+---531353246767⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13644⎛⎫÷-⨯- ⎪⎝⎭()143669⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭3.5-1- 3.5-()1.5--()2449525⨯-12491249452492555=-⨯=-=-5-℃8.6-℃A B 8A B +=A B 4-3x 4-x a a 3-4+5-14+8-6+12+（3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周的工资收入27．（本题10分）如图所示，在数轴上点表示的数是4，点位于点的左侧，若是最大负整数，点与点的距离是个单位长度．（1）点表示的数是______；（2）动点从点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点与点的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点出发的同时，点也从点出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点到点的距离等于到点的距离的一半？A B A aB A10aBP B P AP Q AP A Q B2024-2025学年度上学期七年级第一次月考试题数学试卷参考答案一、1-5.DCBAD6-9．BCAD ADCDB 二、10．-3 11．< 12．16 13．-1 14．8 15．1或-11 16．-9 17．52 18．0三、19.整数：①④⑥．．．．．．．．．．．．2＇分数：②③．．．．．．．．．．．．2＇ 负有理数：②⑥．．．．．．．．．．．．2＇20．（1）解：原式=23+（-14）+10．．．．．．．．．．．．1＇=19．．．．．．．．．．．．2＇ （2）解：原式=．．．．．．．．．．．．1＇=-8+1．．．．．．．．．．．．2＇ =-7．．．．．．．．．．．．1＇21．（1）解：原式=-9×（-14）．．．．．．．．．．．．1＇ =94．．．．．．．．．．．．2＇（2）解：原式=-16×（-36）+49×（-36）．．．．．．．．．．．．1＇=6+（-16）．．．．．．．．．．．．2＇=-10．．．．．．．．．．．．1＇22．描点正确．．．．．．．．．．．．5＇，-3.5<-1<0<-(-1.5)< ．．．．．．．．．．．．3＇23．法一、解：原式=（49+2425）×（-5）．．．．．．．．．．．．1＇=49×（-5）+2425×（-5）．．．．．．．．．．．．1＇=-245+（-245）．．．．．．．．．．．．1＇=-24945．．．．．．．．．．．．1＇法二、解：原式=（50-125）×（-5）．．．．．．．．．．．．1＇=50×（-5）-125×（-5）．．．．．．．．．．．．1＇=-250+15．．．．．．．．．．．．1＇=-24945．．．．．．．．．．．．1＇24．解：［-5-（-8.6）］÷0.6×100．．．．．．．．．．．．3＇=3.6÷0.6×100．．．．．．．．．．．．1＇)734733(]612(655[+-+-+-5.3-=600（米）．．．．．．．．．．．．1＇答：该山峰高600米．．．．．．．．．．．．．1＇25．解：（1）-4的“吉祥数”是：8-（-4）=12；．．．．．．．．．．．．2＇（2）若3x的“吉祥数”是-4，则3x+（-4）=8，．．．．．．．．．．．．1＇∴3x=8+4，∴3x=12，解得x=4；．．．．．．．．．．．．2＇（3）a和9能互为“吉祥数”，．．．．．．．．．．．．1＇则a+9=8，．．．．．．．．．．．．1＇解得：a=-1．．．．．．．．．．．．．1＇26．解：（1）14-（-8）=14+8=22（单）．．．．．．．．．．．．2＇答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单；．．．．．．．．．．．．1＇（2）50×7+（-3+4-5+14-8+6+12）．．．．．．．．．．．．2＇=350+20=370（单）．．．．．．．．．．．．1＇答：该外卖小哥这一周一共送餐370单；（3）（50×7-3-5-8）×2+（4+6+10×2）×4+（4+2）×6+60×7．．．．．．．．．．．．2＇=668+120+36+420=1244（元）．．．．．．．．．．．．．1＇答：该外卖小哥这一周的工资收入是1244元27．解：（1）由题意得，点B表示的数为4-10=-6，．．．．．．．．．．．．2＇（2）设运动的时间是x秒，则点P表示的数是-6+2x.根据题意，当点P在点A的左侧时，4-（-6+2x）=2 ．．．．．．．．．．．．1＇解得x=4．．．．．．．．．．．．1＇当点P在点A的右侧时-6+2x-4=2．．．．．．．．．．．．．1＇解得x=6．．．．．．．．．．．．1＇．答：经过4秒或6秒，点P，A之间的距离是2个单位长度．（3）设运动时间为t秒，由题意得，．．．．．．．．．．．1＇．．．．．．．．．．．1＇．．．．．．．．．．．1＇解得t=6．．．．．．．．．．．．．．1＇经过103秒或6秒，点P到点A的距离等于Q到点B的距离的一半。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
2021-2022学年吉林省某校高三(上)月考数学试卷(含答案解析考点)073415
2021-2022学年吉林省某校高三（上）月考数学试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）A.B.C.D.2. 已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 命题“ ， ”的否定是 A.，B.，C.，D.，4. 不等式的解集是（ ）A.B.C.D.5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）A ={0,1,2}B ={1,2}C ={x|x =ab,a ∈A,b ∈B}C 3456x −2y +a =0O :+=2x 2y 2A B O a =5–√⋅=0OA −→−OB −→−∀x ≥1−2x +1≥0x 2()∃≥1x 0−2+1<0x 20x 0∃<1x 0−2+1<0x 20x 0∃≥1x 0−2+1≤0x 20x 0∃<1x 0−2+1≤0x 20x 0(−1)(−6x +8)≥0x 2x 2{x |x ≤−1}∪{x |x ≥4}{x |1≤x ≤2}∪{x |x ≥4}{x |x ≤−1}∪{x |1≤x ≤2}{x |x ≤−1或1≤x ≤2或x ≥4}(0,+∞)B.C.D.6. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是奇函数7. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A.B.C.D.8. 已知是偶函数，且当时，，若，，则，，的大小关系为（ ）A.B.C.D.9. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是( )A.B.C.y =2xy =log 21|x |y =cos xf(x)g(x)R f(x)+|g(x)|f(x)−|g(x)||f(x)|+g(x)|f(x)|−g(x)f(x)=(12)|x|f(−3)<f(2x −1)x (−∞,−1)∪(2,+∞)(−1,2)(−1,+∞)(−∞,−1)f (x)x ∈(0,+∞)f (x)=e x 3a =f (5),b =f ()log 13log 513c =f ()512a b c c <a <ba <b <cc <b <ab <a <cx ∈R <1m +2mx +mx 24+6x +3x 2m (1,3)(−∞,+∞)(−∞,1)∪(2,+∞)10. 函数在的图象大致为 A. B. C. D.11. 已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则 A.B.C.D.12. 已知函数是定义在上的偶函数，时，，那么的值是（ ）A.B.y =x sin x [−π,π]()R f (x)x f (x +3)=−f (x)x ∈(0,]32f (x)=−6x +8x 2f (0)+f (1)+f (2)+⋯+f (2020)=()63−3f(x)R x <0f(x)=x 3f(2)8−8C.D.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知集合，则________.14. 已知是偶函数，且，则________．15. 设正实数，，满足，则当 取得最大值时，取最大值时的值为________.16. 已知函数①若，则不等式的解集为________；②若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知集合，．求：；．18. 已知函数 解：画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：18−18A ={x ∈N|1≤x ≤4},B ={x|x >2}A ∩(B)=∁R f (x)f (x)=g(x)−2x ，g(3)=3g(−3)=x y z −3xy +4−z =0x 2y 2xy z +−2x 1y 2zy f (x)={，x ≤a,2x ，x >a.x 2a =1f (x)≤1b g(x)=f (x)−b a A ={x |−4≤x ≤−2}B ={x |x +3≥0}(1)A ∪B (2)(A ∩B)∁R y = (x ≤−1)3x3x(−1<x <1)(x ≥1)3x (1)x ⋯⋯y ⋯⋯该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；设是函数图象上的点，若 ，证明：．19. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？若使用的篱笆总长度为，求的最小值．20. 已知函数，且的解集为．对任意的，都有成立，则的取值范围；解关于的不等式. 21. 已知．（1）若＝，证明在递增，若在区间递增，求实数的范围；（2）设关于的方程的两个非零实根为，，试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？如果存在，求出的范围，如果不存在，请说明理由．22. 已知函数.讨论的单调性；当时，，求的取值范围.(2)(3)(,),(,)x 1y 1x 2y 2+=0x 1x 2+=0y 1y 2xm ym (1)72m 2x y (2)30m +1x 2y f (x)=+bx +c (b,c ∈R)x 2f (x)≤0[−1,2](1)x ∈[2,3]f (x)≤ax −a a (2)x mf (x)>2(x −m −1)a 0f(x)f(x)(1−2m,m −1)m x x 1x 2m +tm +1≥|−|m 2x 1x 2a ∈[−1,1]t ∈[−1,1]m f (x)=−ax e 2x (1)f (x)(2)x >0f (x)>a +1x 2a参考答案与试题解析2021-2022学年吉林省某校高三（上）月考数学试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】设，．联立，化为：，，由，可得，把根与系数的关系代入解出，即可判断出关系．【解答】解：设，．由题意，联立整理，得，直线与圆相交于，两点（为坐标原点），则，A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2{x −2y +a =0+=2x 2y 25−4ay +−2=0y 2a 2△>0∗=0⇔+=0OA →OB →x 1x 2y 1y 25−2a(+)+=0y 1y 2y 1y 2a 2a A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2{ x −2y +a =0，+=2，x 2y 25−4ay +−2=0y 2a 2x −2y +a =0O :+=2x 2y 2A B O Δ=16−20(−2)>0a 2a 2解得．∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选.3.【答案】A【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：∵命题"，" 是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得该命题的否定是：“，”．故选．4.【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】先把原不等式转化为；再借助于数轴标根法画出图象 即可得出结论．【解答】<10a 2+=y 1y 24a 5=y 1y 2−2a 25⋅=0OA −→−OB −→−+=0x 1x 2y 1y 2(2−a)(2−a)+=0y 1y 2y 1y 25−2a(+)+=0y 1y 2y 1y 2a 25×−2a ×+=0−2a 254a 5a 2a =±5–√a =5–√⋅=0OA −→−OB −→−A ∀x ≥1−2x +1≥0x 2∃≥1x 0−2+1<0x 20x 0A (x −1)(x +1)(x −2)(x −4)≥0解：原不等式转化为：．借助于数轴标根法可得：或或故选：．5.【答案】C【考点】函数单调性的性质【解析】在中，在上单调递增；在中，是非奇非偶函数，在上单调递增；在中，既是偶函数又在上单调递减；在中，在上不是减函数．【解答】在中，是偶函数，在上单调递增，故错误；在中，是非奇非偶函数，在上单调递增，故错误；在中，既是偶函数又在上单调递减，故正确；在中，是偶函数，在上不是减函数，故错误．6.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断【解析】根据函数奇偶性的性质以及奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：∵和分别是上的偶函数和奇函数，∴，，则，，则为偶函数，故正确；，，(x −1)(x +1)(x −2)(x −4)≥0x ≤−11≤x ≤2x ≥4D A y =x 2(0,+∞)B y =2x (0,+∞)C y =log 21|x |(0,+∞)D y =cos x (0,+∞)A y =x 2(0,+∞)A B y =2x (0,+∞)B C y =log 21|x |(0,+∞)C D y =cos x (0,+∞)D f(x)g(x)R f(−x)=f(x)g(−x)=−g(x)A f(−x)+|g(−x)|=f(x)+|−g(x)|=f(x)+|g(x)|f(x)+|g(x)|A B f(−x)−|g(−x)|=f(x)−|−g(x)|=f(x)−|g(x)|则为偶函数，故错误；，，则为非奇非偶函数，故错误；，，则为非奇非偶函数，故错误.故选.7.【答案】B【考点】函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：∵是偶函数，∴，当时，单调递增，，，，，，f(x)−|g(x)|B C |f(−x)|+g(−x)=|f(x)|−g(x)|f(x)|+g(x)C D |f(−x)|−g(−x)=|f(x)|+g(x)|f(x)|−g(x)D A f(x)f(−x)=f(x)x >0f (x)=e x 35=−5log 13log 3=−3log 513log 51=3<5<=2log 3log 3log 3320<3<5=1log 5log 5>=2512412∴，，，∵，∴.故选.9.【答案】B【考点】函数恒成立问题不等式恒成立问题【解析】略【解答】解：由成立，又 恒成立，∴，整理可得，或立，①当时，，可得成立；②时，时，存在使得成立，符合题意， 时，则解可得，，综上可得，的范围为．故选．10.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的图象变换【解析】>5>3512log 3log 5a =f(5)=f(−5)=f(5)log 13log 3log 3b =f()=f(−3)=f(3)log 513log 5log 5>5>3512log 3log 5b <a <c D <1m +2mx +mx 24+6x +3x 24+6x +3>0x 2m +2mx +m <4+6x +3x 2x 2(m −4)+(2m −6)x +m −3<0x 2m =42x +1<0x <−12m ≠4m <4x ∈R (m −4)+(2m −6)x +m −3<0x 2m >4{m >4,Δ=−4(m −4)(m −3)>0,(2m −6)2m >4m R B根据函数的解析式，分析出函数的性质及特殊点的函数值，是解答的关键．本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和的值，排除不满足条件的答案，可得结论．【解答】解：，∴，∴为偶函数，排除;当时，，排除.∵，∴排除.故选.11.【答案】B【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】【解答】解：∵对任意实数，恒有，∴，∴函数是周期为的周期函数.∵为定义在上的奇函数，∴，则.∵当时，，∴，,,,∴.∵函数是周期为的周期函数，∴.故选．12.【答案】f ()π2f (π)f(x)=y =xsinx f(−x)=−xsin(−x)=xsinx =f(x)f(x)D 0<x < π2y =x sin x >0C f()=⋅sin =<2π2π2π2π2A B x f (x +3)=−f (x)f (x +6)=−f (x +3)=f (x)f (x)6f(x)R f (0)=0f (3)=−f (0)=0x ∈(0,]32f (x)=−6x +8x 2f (1)=3f (2)=f (−1+3)=−f (−1)=f (1)=3f (4)=f (1+3)=−f (1)=−3f (5)=f (2+3)=−f (2)=−3f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=0f (x)6f (0)+f (1)+f (2)+⋯+f (2020)=[f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)]×336+f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=3BB【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，．又是定义在上的偶函数，．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】无【解答】解：因为，，所以．故答案为：．14.【答案】【考点】函数奇偶性的性质【解析】∵x <0f(x)=x 3∴f(−2)=−8∵f(x)R ∴f(2)=f(−2)=−8B {1,2}A ={1,2,3,4}B ={x|x ≤2}∁R A ∩(B)={1,2}∁R {1,2}−9此题暂无解析【解答】解：∵是偶函数，且，∴又，则故答案为：.15.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，故，根据基本不等式可得当且仅当，即 时取得最大值，此时，所以，当 时取得最大值故答案为：.16.【答案】【考点】分段函数的应用函数的零点【解析】y =f (x)f (x)=g(x)−2xf (−3)=g(−3)+6,f (3)=g(3)−6f (−3)=f (−3)，g(3)=3g(−3)=−9−91−3xy +4−z =0x 2y 2z =−3xy +4x 2y 2==xy z xy −3xy +4x 2y 21−3xy +4x 2y 2xy =1+−3x y 4y x =≤=1,xy z 1+−3x y 4y x 12−3⋅x y 4y x−−−−−−√=x y 4y x x =2y z =2y 2+−=−=−(−1+1≤12x 1y 2z 2y 22y 21y)2y =1 1.1(−∞,0](−∞,2)∪(4,+∞)f (x)f (x)≤1①将代入可得 解析式，进而可解得的解集．②分类讨论的情况即可．【解答】解：①当时，则令，即有或解得：，故的解集为.故答案为：.②当函数只有一个零点时，即当时，解得或.当时，此时只有一个零点；当时，有个零点；同理当时，此时只有一个零点；当时，有个零点.综上所述，的取值范围是.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由已知得：，∵，∴；由知：，，∴，∴或．【考点】交、并、补集的混合运算并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得：，∵，∴；a =1f (x)f (x)≤1a a =1f (x)={，x ≤1，2x ，x >1.x 2f (x)≤1{≤1，2x x ≤1{≤1，x 2x >1，x ≤0f (x)≤1(−∞,0](−∞,0]g(x)=f (x)−b =2x x 2x =2x =4a =2f (x)={，x ≤2，2x ，x >2，x 2g(x)=f (x)−b a <2g(x)2a =4f (x)={，x ≤4，2x ，x >4，x 2g(x)=f (x)−b a >42a (−∞,2)∪(4,+∞)(−∞,2)∪(4,+∞)(1)B ={x |x ≥−3}A ={x |−4≤x ≤−2}A ∪B ={x |x ≥−4}(2)(1)B ={x |x ≥−3}A ={x |−4≤x ≤−2}A ∩B ={x|−3≤x ≤−2}(A ∩B)={x |x <−3∁R x >−2}(1)B ={x |x ≥−3}A ={x |−4≤x ≤−2}A ∪B ={x |x ≥−4}(2)(1)B ={x |x ≥−3}A ={x |−4≤x ≤−2}由知：，，∴，∴或．18.【答案】解：列表如下：函数图像如图所示：根据图像可知：当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；∵是函数图象上的点，，∴和互为相反数，当时，，∴，，∴，当时，，则同理：当时，，，综上：．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：列表如下：(2)(1)B ={x |x ≥−3}A ={x |−4≤x ≤−2}A ∩B ={x|−3≤x ≤−2}(A ∩B)={x |x <−3∁R x >−2}(1)x ⋯−3−2−101234⋯y ⋯−1−32−30332134⋯(2)x =13x =−1−3(3)(,),(,)x 1y 1x 2y 2+=0x 1x 2x 1x 2−1<<1x 1−1<<1x 2=3y 1x 1=3y 2x 2+=3+3=3(−)=0y 1y 2x 1x 2x 1x 2≤−1x 1≥1x 2+=−==0y 1y 23x 23x 23(+)x 1x 2x 1x 2≥1x 1≤−1x 2+=+==0y 1y 23x 13x 23(−)x 1x 2x 1x 2+=0y 1y 2(1)函数图像如图所示：根据图像可知：当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；∵是函数图象上的点，，∴和互为相反数，当时，，∴，，∴，当时，，则同理：当时，，，综上：．19.【答案】解：由已知可得，而篱笆总长为．又∵，当且仅当，即，时等号成立．∴菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．由已知得，又∵，∴，当且仅当，即，时等号成立．∴的最小值是．【考点】基本不等式及其应用x ⋯−3−2−101234⋯y ⋯−1−32−30332134⋯(2)x =13x =−1−3(3)(,),(,)x 1y 1x 2y 2+=0x 1x 2x 1x 2−1<<1x 1−1<<1x 2=3y 1x 1=3y 2x 2+=3+3=3(−)=0y 1y 2x 1x 2x 1x 2≤−1x 1≥1x 2+=−==0y 1y 23x 23x 23(+)x 1x 2x 1x 2≥1x 1≤−1x 2+=+==0y 1y 23x 13x 23(−)x 1x 2x 1x 2+=0y 1y 2(1)xy =72x +2y x +2y ≥2=242xy −−−√x =2y x =12y =6x 12m y 6m (2)x +2y =30(+)⋅(x +2y)=5++≥5+2=91x 2y 2y x 2x y ⋅2y x 2x y−−−−−−−√+≥1x 2y 310x =y x =10y =10+1x 2y 310基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）由已知可得，而篱笆总长为．利用基本不等式即可得出；（2）由已知得，利用基本不等式，进而得出．【解答】解：由已知可得，而篱笆总长为．又∵，当且仅当，即，时等号成立．∴菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．由已知得，又∵，∴，当且仅当，即，时等号成立．∴的最小值是．20.【答案】解：∵的解集为，∴的根为，，，，即，，.∵，∴．∵，∴.令，则.∵是区间上的单调递增函数，所以在区间上的最大值为，即．∵，∴，化简得：，时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；xy =72x +2y x +2y ≥22xy −−−√x +2y =30(+)⋅(x +2y)=5++≥5+21x 2y 2y x 2x y ⋅2y x 2x y−−−−−−−√(1)xy =72x +2y x +2y ≥2=242xy −−−√x =2y x =12y =6x 12m y 6m (2)x +2y =30(+)⋅(x +2y)=5++≥5+2=91x 2y 2y x 2x y ⋅2y x 2x y −−−−−−−√+≥1x 2y 310x =y x =10y =10+1x 2y 310(1)f (x)≤0[−1,2]+bx +c =0x 2−12∴−b =1c =−2b =−1c =−2∴f (x)=−x −2x 2f (x)≤ax −a −x −2≤ax −a x 2x −1>0≤a −x −2x 2x −1t =x −1∈[1,2]=t ++1≤a −x −2x 2x −1−2t t +−2t [1,2]t ++1−2t[1,2]2a ≥2(2)mf(x)>2(x −m −1)m(−x −2)>2(x −m −1)x 2(mx −2)(x −1)>0∴m <0(,1)2m m =0(−∞,1)−∞,1)∪(,+∞)2当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当是，不等式的解集为．【考点】函数恒成立问题一元二次不等式的解法【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：∵的解集为，∴的根为，，，，即，，.∵，∴．∵，∴.令，则.∵是区间上的单调递增函数，所以在区间上的最大值为，即．∵，∴，化简得：，时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当是，不等式的解集为．21.【答案】当＝时，任取，，0<m <2(−∞,1)∪(,+∞)2mm =2(−∞,1)∪(1,+∞)m >2(−∞,)∪(1,+∞)2m(1)f (x)≤0[−1,2]+bx +c =0x 2−12∴−b =1c =−2b =−1c =−2∴f (x)=−x −2x 2f (x)≤ax −a −x −2≤ax −a x 2x −1>0≤a −x −2x 2x −1t =x −1∈[1,2]=t ++1≤a −x −2x 2x −1−2tt +−2t [1,2]t ++1−2t[1,2]2a ≥2(2)mf(x)>2(x −m −1)m(−x −2)>2(x −m −1)x 2(mx −2)(x −1)>0∴m <0(,1)2m m =0(−∞,1)0<m <2(−∞,1)∪(,+∞)2m m =2(−∞,1)∪(1,+∞)m >2(−∞,)∪(1,+∞)2m a 0<x 3x 2则，∵，，∴，，∴，∴，即，则在递增；∵为奇函数，∴在；∴在区间递增，则，解得；由得＝，此时＝，由于，是方程＝的两实根，所以，从而，∵，∴，不等式对任意及，当且仅当对任意恒成立，即对任意恒成立，设＝＝，则对任意恒成立，∴即，即为，解得或．【考点】函数单调性的性质与判断函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解： ，当时， 恒成立，在上单调递增；当时，令，解得，因为，，<x 1x 2−>0x 6x 1−2<6x 7x 2(−)(−2)<6x 2x 1x 4x 2f()−f()<2x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)f(x)f(x)f(x)(1−2m,m −6)−ax −2x 70Δ+8>0a 4x 5x 2−ax −6x 20−1≤a ≤4+tm +1≥|−|m 5x 1x 8a ∈[−1,1]t ∈[−5+tm +1≥2m 2t ∈[−1,1]+tm −2≥0m 5t ∈[−2,1]g(t)+tm −4m 2tm +−2m 2g(t)≥4t ∈[−1,1]m ≥2m ≤−2(1)(x)=2−a f ′e 2x a ≤0(x)>0f ′f (x)R a >0(x)=0f ′x =ln 12a 2x ∈(−∞,ln )12a 2(x)<0f ′−∞,ln )1所以在上单调递减；因为，，所以在上单调递增．变形为，令，，令，可得，令，，当时， ，在上单调递增，因为，所以的值域是；当即时，在上没有实数根，所以恒成立，在上单调递增，，符合题意，当即时， 有唯一实数根，时， ，在上单调递减，，不符合题意，综上，的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】(1)讨论单调性则需要对函数求导，然后判断其导函数与的大小关系．因为导函数中含有未知量，则可以借助函数图象来讨论在不同取值时，函数单调性的变化.(2)根据题目所给不等式，可将其移项使不等式右边为，不等式左边转化为一个新的函数．后对函数进行求导并进行单调性分析，因为导函数中含有未知量，讨论在不同取值时函数的单调性和最值，利用的条件，求取的取值范围.【解答】解： ，当时， 恒成立，在上单调递增；当时，令，解得，因为，，所以在上单调递减；f (x)(−∞,ln )12a 2x ∈(ln ,+∞)12a 2(x)>0f ′f (x)(ln ,+∞)12a 2(2)f (x)=−ax >a +1e 2x x 2−a −ax −1>0e 2x x 2g(x)=−a −ax −1e 2x x 2(x)=2−2ax −a g ′e 2x (x)=0g ′a =2e 2x 2x +1h (x)=2e 2x 2x +1(x)=h ′8xe 2x (2x +1)2x >0(x)>0h ′h (x)(0,+∞)h (x)>h (0)==22e 2x 2x +1h (x)(2,+∞)a ≤2≤22e 2x 2x +1(x)=0g ′(0,+∞)(x)>0g ′g(x)(0,+∞)g(x)>g(0)=0a >2>22e 2x 2x +1(x)=0g ′x 0x ∈(0,)x 0(x)<0g ′g(x)(0,)x 0g(x)<g(0)=0a a ≤2f (x)(x)=2−a f ′e 2x 0a αf (x)0h (x)=f (x)−2−1x 2h (x)(x)h ′a αh (x)h (0)=0a (1)(x)=2−a f ′e 2x a ≤0(x)>0f ′f (x)R a >0(x)=0f ′x =ln 12a 2x ∈(−∞,ln )12a 2(x)<0f ′f (x)(−∞,ln )12a 2∈(ln ,+∞)1因为，，所以在上单调递增．变形为，令，，令，可得，令，，当时， ，在上单调递增，因为，所以的值域是；当即时，在上没有实数根，所以恒成立，在上单调递增，，符合题意，当即时， 有唯一实数根，时， ，在上单调递减，，不符合题意，综上，的取值范围是.x ∈(ln ,+∞)12a 2(x)>0f ′f (x)(ln ,+∞)12a 2(2)f (x)=−ax >a +1e 2x x 2−a −ax −1>0e 2x x 2g(x)=−a −ax −1e 2x x 2(x)=2−2ax −a g ′e 2x (x)=0g ′a =2e 2x 2x +1h (x)=2e 2x 2x +1(x)=h ′8xe 2x (2x +1)2x >0(x)>0h ′h (x)(0,+∞)h (x)>h (0)==22e 2x 2x +1h (x)(2,+∞)a ≤2≤22e 2x 2x +1(x)=0g ′(0,+∞)(x)>0g ′g(x)(0,+∞)g(x)>g(0)=0a >2>22e 2x 2x +1(x)=0g ′x 0x ∈(0,)x 0(x)<0g ′g(x)(0,)x 0g(x)<g(0)=0a a ≤2。
吉林省梅河口市第五中学高三第五次月考数学(理)试题Word版含答案
高三数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ={x |x 2 >4}，N ={-3，-2，2，3，4}，则M ?N =(A){3，4}(C){-2，3，4}2．设i 是虚数单位，则复数z =4-3i 的虚部为i(B){-3，3，4}(D){-3，-2，2，3，4}(A) 4i (B)4 (C)3．“x>2”是“1<1”的4i(D) －4x 2(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分又不必要条件4．函数y=sin2x-3cos2x的图象的一条对称轴方程为(A)πx(B)12x π12(C)πx(D)6x =-π65．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 3⋅a 5 =64，a 2 =2，则a 1 =1 (A) 4 (B)2 (C)1(D) 26．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P (m ，-2m )(m ≠0)是角α终 边上的一点．则tan(α+π)的值为41 (A) 3(B)31(C)5- (D) -337．函数y =2|x | -x 2 -2的图象可能是a 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3=2，则S9 =S518(A)512(C)514(B)59(D)59．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为(参考数据：3=1.732，sin15︒≈0.2588，sin7.5︒≈0.1305)(A)12(B)24(C)48(D)9610．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论一定成立的是(A) 若a5>0，则<0 (B)a2017>0，若a6<0则a2018(C) 若a5>0，则>0 (D)S2017>0，若a6>0则S2018????????????????????11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足OA+2OB+4OC=0，则AB⋅OC=(A)-15(B)-716 167(C)1615(D)1612．已知f(x)是定义在区间(0，+∞)上的函数，其导函数为f'(x)，且不等式xf'(x)<2f(x) 恒成立，则(A) 4f(1)<f(2)(B) 4f(1) f(2)(C)f(1) 4f(2)(D)⎨f (1)<4f '(2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
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吉林省数学高三上学期理数第五次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 若z= + i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 ，则a2等于（）
A . ﹣ + i
B . ﹣3+3 i
C . 6+3 i
D . ﹣3﹣3 i
2. （2分） (2019高一上·东台期中) 已知，，则集合的真子集的个数是（）
A . 16
B . 4
C . 15
D . 8
3. （2分）命题p：直线l与抛物线C有且仅有一个公共点；命题q：直线l与抛物线C相切.则p是q的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要
4. （2分）(2018·河北模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的为（）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
5. （2分）设＜＜＜1，那么（）
A . aa＜ab＜ba
B . aa＜ba＜ab
C . ab＜aa＜ba
D . ab＜ba＜aa
6. （2分）如果消息A发生的概率为P（A），那么消息A所含的信息量为．若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（）
A . 王教授在第4排
B . 王教授在第4排第5列
C . 王教授在第5列
D . 王教授在某一排
7. （2分）若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）
A . 1或﹣
B .
C . 1
D . -
8. （2分） (2017高三上·太原期末) 给出下列命题：
①若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等差数列；
②若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等比数列；
③若数列{an}，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；
④若数列{an}，{bn}均为等比数列，则数列{an•bn}为等比数列
其中真命题的个数为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分） (2016高二上·桐乡期中) 直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）
A .
B .
C . 2
D .
10. （2分）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（）
A . 0
B . 2
C . 4
D . 3
11. （2分） (2019高二下·吉林期末) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2019高三上·新疆月考) 设函数在上存在导函数，，有
，在上有，若，则实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高三上·宝坻期中) 设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．
14. （1分） =________．
15. （1分）已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为________ cm．
16. （1分） (2019高二上·海口月考) 已知与为两个不共线的单位向量,若向量与向量
垂直,则实数k=________．
三、解答题 (共7题；共55分)
17. （5分）(2017·兰州模拟) 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）
人数45853
年龄[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）
人数67354
经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
18. （10分） (2017高一下·景德镇期末) ．
（1）若时，，求cos4x的值；
（2）将的图象向左移，再将各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y=g（x），若关于g（x）+m=0在区间上的有且只有一个实数解，求m的范围．
19. （5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BDF．
20. （5分）设三个数， 2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l1：x﹣y+m=0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．
21. （10分）已知函数．
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（2）若a=1，函数，且h（x）在（0，+∞）上的最小值为2，求实数m 的值．
22. （10分） (2019高三上·株洲月考) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；
（2）直线和曲线交于两点，点的直角坐标为，求的最大值.
23. （10分） (2020高三上·赣县期中) 已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|x＋1|－x. （1）解不等式f(x)>g(x)；
（2）若存在实数x，使不等式m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)成立，求实数m的最小值.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
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答案：8-1、考点：
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答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共7题；共55分)
答案：17-1、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、考点：
解析：。