高中数学 选修1-1 同步练习 专题1.2 充分条件与必要条件(解析版)
第一章 常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件
一、选择题
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于好货⇒不便宜，故选B. 2．设{1,2}M =，2
{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】A
3．下列说法正确的是
A ．3x ≥是5x >的充分而不必要条件
B ．若p q ⌝⌝⇒，则p 是q 的充分条件
C ．1x ≠±是1x ≠的充要条件
D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 【答案】C
【解析】A 中53x x >⇒≥，反之不成立，因此3x ≥是5x >的必要而不充分条件，故A 错； B 中p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒，因此p 是q 的必要条件，故B 错； C 中11x x ≠±⇔≠，故C 正确；
D 中一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错.从而选C.
4．设,a b 都是非零向量，下列四个条件，使=a b
a b
成立的充要条件是 A ．=a b B ．2=a b C ．∥a b 且=a b D ．∥a b 且方向相同
【答案】D 【解析】
a a 表示与a 方向相同的单位向量，因此
=a b
a b
成立的充要条件是a 与b 同向即可，故选D ． 5．关于的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
6．“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】当0a <时，在区间(,0)-∞上，1
()|(1)|()f x x ax ax x a
=+=-+单调递减， 但()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞上单调递减时，0a ≤，
所以“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的充分不必要条件，故选A. 7．若是
的必要不充分条件，则实数的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】因为是
的必要不充分条件，所以是解集的子集，所以解集只能是
，可得
，即实数的取值范围是
，故选C ．
二、填空题
8．已知α是ABC △的一个内角，则“2
sin α=”是“45α=”的_________条件（选填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 【答案】必要不充分 【解析】45α=时2sin 2α=
，2sin 2
α=时α可以取135， 所以“2
sin 2
α=
”是“45α=”的必要不充分条件． 9．已知2
:560,:||1p x x q x a -+≤-<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 . 【答案】(2,3) 【解析】
2:56023,:||111p x x x q x a a x a -+≤⇔≤≤-<⇔-<<+，p 是q 的充分不必要条件，
{}{}|23|11x x x a x a ⊂∴≤≤-<<+≠，
则13
12a a +>⎧⎨
-<⎩
，解得()2,3a ∈.
三、解答题
10．判断下列各题中p 是q 的什么条件： （1）在ABC △中，p ：A B ，q ：BC AC ；
（2）p ：12x
；q ：2x ；
（3）p ：(2)(3)0a a ，q ：3a ；
（4）p ：a b ，q ：
1a
b
. 【解析】（1）由三角形中大角对大边可知，若A B ，则BC AC ；反之，若BC AC ，则A B .因
此，p 是q 的充要条件.
（2）由12x 可以推出2x ；由2x 不一定有12x .因此，p 是q 的充分不必要条件.
（3）由(2)(3)0a a 可以推出2a
或3a ；由3a 可以得出(2)(3)0a a .因此，p 是q 的
必要不充分条件.
（4）由于a b ，当0b 时，1a b ；当0b 时，1a b ，故若a b ，不一定有1a b
； 当0a ，0b ，1a b 时，可以推出a b ；当0a ，0b ，1a
b
时，可以推出a b .
因此，p 是q 的既不充分也不必要条件.
11．已知0ab ≠，求证：1a b 的充要条件是33
220a b ab a b .
12．已知{}
{}2|8200,|11.P x x x S x m x m =--≤=-≤≤+
（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由；
【解析】（1）不存在，由2
8200x x --≤得210,x -≤≤
所以{}|210,P x x =-≤≤
因为x P ∈是x S ∈的充要条件，所以,P S =
所以12110m m -=-+=⎧⎨
⎩，得3
9
m m ==⎧⎨⎩，
这样的m 不存在.
（2）由题意x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆， 当S =∅时，11m m ->+，即0m <；
当S ≠∅时，有1112110m m m m -≤+-≥-+≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，解得03m ≤≤，
故3m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件.。
高中数学人教A版选修1-1优化练习：1.2 充分条件与必要条件 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设a ，b ∈R ，那么“ab >1”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a b >1得，ab －1＝a －b b >0，即b (a －b )>0，得⎩⎨⎧ b >0a >b 或⎩⎨⎧b <0a <b，即a >b >0或a <b <0，所以“ab >1”是“a >b >0”的必要不充分条件，选B.答案：B2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“θ≠π3”是“cos θ≠12”的逆否命题：“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，选B. 答案：B3．命题p ：a －1a >0；命题q ：y ＝a x 是R 上的增函数，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a －1a >0得a >1或a <0；由y ＝a x 是R 上的增函数得a >1.因此，p 是q 成立的必要不充分条件，选A. 答案：A4．对于非零向量有a ＝(a 1，a 2)和b ＝(b 1，b 2)，“a ∥b ”是“a 1b 2－a 2b 1＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由向量平行的坐标表示可得a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，选B. 答案：B5．已知h ＞0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足|a －b |＜2h ，命题乙为：两个实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ |a －1|＜h ，|b －1|＜h ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－h ＜a －1＜h ，－h ＜b －1＜h ，两式相减得－2h ＜a －b ＜2h ，故|a －b |＜2h .即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件．由于⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|＜h ，|b －2|＜h ，同理也可得|a －b |＜2h .因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. 答案：B6．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)． 解析：∵A ⇒B ⇒C ⇔D ， ∴D 是A 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充分必要条件是m ＝________.解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－238．有四个命题：①“x 2≠1”是“x ≠1”的必要条件；②“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件；③“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的充分必要条件；④“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确． 答案：①③9．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． (1)A ：|p |≥2，p ∈R ，B ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根； (2)A ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，B ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)当|p |≥2时，例如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋px ＋p ＋3＝0要有实根，必有p ≤－2或p ≥6，可推出|p |≥2，故A 是B 的必要不充分条件．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2； 反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故A 是B 的充分必要条件．10．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充分必要条件是xy >0.证明：(1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.(2)充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .综上所述，1x <1y的充分必要条件是xy >0.[B 组 能力提升]1．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D2．不等式x －1>0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1<x <0或x >1 B ．0<x <1 C ．x >1D ．x >2解析：由不等式知x >1为x －1>0的充分必要条件，结合选项知D 为充分不必要条件． 答案：D3．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件． 解析：由1×1＋1×(－a )＝0，∴a ＝1，即为充分必要条件． 答案：充分必要4．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________．解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b ≥0. 答案：b ≥05．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． 解析：设q 、p 表示的范围为集合A 、B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.所以－1≤a ≤6. 6．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：令集合M ＝{x |4x ＋p <0}＝{x |x <－p 4}，N ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}． (1)若M ⊆N ，则－p4≤－1⇔p ≥4，所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件； (2)若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件，则M ⊇N ， 显然{x |x <－p4}⊇{x |x <－1或x >2}不成立．所以不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．。
2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：1.2.1充分条件与必要条件Word版含解析
§1.2 充分条件与必需条件第一课时 充分条件与必需条件填一填1.充分条件与必需条件命题真假 “若 p ，则 q ”是真命题“若 p ，则 q ”是假命题推出关系p? qpq 条件关系p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的充分条件 q 是 p 的必需条件q 不是 p 的必需条件2.从会合的角度判断充分条件、必需条件和充要条件从会合的看法看，设会合A ＝{ x|x 知足条件 p} ，B ＝{ x|x 知足条件 q} ， 若 A? B ，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必需条件； 若 A? B ，则 p 是 q 的必需条件或 q 是 p 的充分条件 .判一判1.x ＝ 1 是 (x － 1)(x － 2)＝ 0 的充分条件． (√ ) 分析： x ＝ 1? (x －1)(x － 2)＝0，故正确．π2．α＝ 是 sin α＝1的必需条件． (× )6 21 ππ1分析： sin α＝2 α＝ 6，所以 α＝6不是 sin α＝ 2的必需条件．故错误． 3．x 4 ＝y 4? x 3 ＝y 3 .(× )分析： 当 x ， y 互为相反数时，有 x 4 ＝ y 4，但 x 3≠ y 3，所以 x 4＝ y 4 x 3＝ y 3，故错误．4．两直线平行 ? 同位角相等． (√ )分析： 由平行线的性质定理知正确． cc5. ＝ ? a ＝ b.(×)分析： 当 c ＝ 0 时，对随意的非零实数a ，b ，都有 ac ＝ b c建立，故a ＝b 不必定建立，所以 c ac＝ ba ＝b ，故错误．6．x>6? x>1.( √ )分析： 大于 6 的数必定大于 1，即 x>6? x>1，故正确． 7．x ＞ 1 是 x ＞2 的充分条件． (× ) 分析：，因为 x ＞ 1x ＞ 2.所以 “ x ＞ 1”不是 “ x ＞ 2” 的充分条件．故错误．8．x ＋ y ＞ 2 是 x ＞ 1， y ＞ 1 的必需条件． (√ )分析： 因为 x ＞ 1， y ＞ 1? x ＋ y ＞ 2.故正确 .想想1.充分条件与必需条件怎样理解？提示：充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是充分的，条件是足够的，条件是足以保证结论建立的．“ 有之必建立，无之未必不建立”．必需条件：必需就是一定，必不行少．“ 有之未必建立，无之必不建立”．充分条件与必需条件不是独一的，如 x＞ 1， x＞ 2 等都是 x＞ 0 的充分条件．2．充分条件与必需条件怎样判断？提示：①分清条件 p 和结论 q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“ p? q”及“ q? p”的真假；③下结论：依据定义下结论．思虑感悟：练一练1．设 p： x<3， q：－ 1<x<3 ，则 p 是 q 建立的 ()A ．充要条件B．充分不用要条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件分析：因为 (－ 1,3)是 (－∞， 3)的真子集，所以p 是 q 建立的必需不充分条件．答案： C2．设φ∈ R，则“φ＝ 0”是“ f(x) ＝cos(x＋φ)(x∈R )为偶函数”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件 D ．既不充分也不用要条件分析：φ＝0 时，函数f(x)＝ cos(x＋φ)＝ cos x 是偶函数，而f(x)＝ cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋ kπ(k∈ Z)．故“ φ＝ 0”是“函数 f(x)＝ cos(x＋φ)为偶函数”的充分不用要条件．答案： A3．“ x>2 且 y>3”是“ x＋y>5”的 ________条件．分析： x>2 且 y>3 时，x＋ y>5 建立，反之不必定，如 x＝ 0，y＝ 6.所以“ x>2 且 y>3”是“ x＋y>5 ”的充分不用要条件．答案：充分不用要4．“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的________条件．分析： lg x＋ lg y＝ lg(xy) ＝0，∴ xy＝ 1 且 x>0，y>0.所以“ lg x＋ lg y＝ 0”建立， xy＝1 必建立，反之不然．所以“ xy＝ 1”是“ lg x＋ lg y＝ 0”的必需不充分条件．答案：必需不充分知识点一 充分条件、必需条件的判断1.已知直线 a ， b ， c ，“ a ∥ b ”的充分条件是 ()A ． a ⊥ c ， b ⊥ cB ． a ∩ b ＝ ?C ． a ∥ c ，b ∥ cD ． a ∥ c ， b ⊥ c分析： 因为 a ∥ c ， b ∥ c? a ∥ b ，其他选项都推不出 a ∥ b.答案： C2．设 a ， b 是非零向量，“ a ·b ＝ |a||b|”是“ a ∥ b ”的 ()A ．充分条件但不是必需条件B ．必需条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必需条件D ．既不是充分条件，也不是必需条件分析：若 a ·b ＝ |a||b|，则 a 与 b 同向，所以 a ∥ b ；若 a ∥ b ，则 a 与 b 同向或反向， 所以 a ·b＝ ±|a||b|，推不出 a ·b ＝ |a||b|，应选 A.答案： A3．以下各小题中， p 是 q 的充分条件的是 ()①p ： m ＜－ 2， q ： y ＝ x 2＋ mx ＋ m ＋ 3 有两个不一样的零点；② p ： f －x ＝ 1， q ： y ＝ f(x)是偶函数；f x③ p ： cos α＝ cos β， q ：tan α＝tan β.A ．①B ．③C ．②③D ．①②分析： 对于 ① ，函数 y ＝x 2＋ mx ＋m ＋ 3 有两个不一样零点，即＝ m 2－ 4(m ＋ 3)＞ 0 解得 mπ＞ 6 或 m ＜－ 2，所以 p 是 q 的充分条件； 对于 ② ，p 是 q 的充分条件； 对于 ③ ，当 α＝ β＝ 2时，p 建立，但 q 不建立，所以 p 不是 q 的充分条件，应选 D.答案： D4．用“充分条件”和“必需条件”填空．(1)“△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′”是“△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′”的 ________．(2)设甲： ax 2＋2ax ＋ 1>0 的解集是实数集 R ，乙： 0<a<1，则乙是甲的 ________．分析： (1)△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′? △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ， △ABC ∽△ A ′ B ′C ′△ ABC ≌△ A ′B ′ C ′ .a>0 ，(2)ax 2＋ 2ax ＋ 1>0 的解集是实数集 R ，则 a ＝ 0 或所以 0≤a<1，所以乙＝ 4a 2－ 4a<0 ，是甲的充分条件．答案： (1) 充分条件 (2) 充分条件知识点二 充分条件、必需条件的应用25.函数 f(x)＝ a －2x ＋ 1为奇函数的必需条件是 ________．分析： 因为 f(x) ＝a －2 的定义域为 R ，且为奇函数，则必有f(0)＝ 0，即 a － 2 ＝ 0，2x ＋ 120＋ 1解得 a ＝1.答案： a ＝ 16．已知 P ＝ { x|a － 4<x<a ＋ 4} ， Q ＝ { x|1<x<3} ，“ x ∈P ”是“ x ∈ Q ”的必需条件，则实数 a 的取值范围是 ________．分析： 因为 “ x ∈ P ”是 “ x ∈ Q ” 的必需条件，所以 Q? P ，a － 4≤1，a ≤5， 所以即所以－ 1≤ a ≤ 5.a ＋ 4≥3，a ≥－ 1，答案： [ － 1,5]7．已知 p ：x ≤ 2， q ： x ≤a.(1)若 p 是 q 的充分条件，则 a 的取值范围是 ________； (2)若 p 是 q 的必需条件，则 a 的取值范围是 ________． 分析： 记 P ＝ { x|x ≤ 2} ， Q ＝ { x|x ≤ a} ， (1)由 p 是 q 的充分条件，得P? Q ，得 a ≥ 2，所以实数 a 的取值范围是 [2，＋ ∞ )． (2)由 p 是 q 的必需条件，得P? Q ，得 a ≤ 2，所以实数 a 的取值范围是 (－ ∞ ， 2]．答案： (1)[2 ，＋∞ ) (2)(－∞， 2]8．能否存在实数 p ，使 4x ＋p<0 是 x 2－ x －2>0 的充分条件？假如存在，求出p 的取值范围；不然，说明原因．分析： 由 x 2－ x － 2>0，解得 x>2 或 x<－1，令 A ＝ { x|x>2 或 x<－ 1} ，p由 4x ＋ p<0 ，得 B ＝ x x<－ 4当 B? A 时，即－ p≤ － 1，即 p ≥ 4，4 此时 x<－ p≤ －1? x 2－ x － 2>0，4∴当 p ≥ 4 时， 4x ＋ p<0 是 x 2－ x － 2>0 的充分条件．基础达标一、选择题1．小明说“烦躁成绩差”，他这句话的意思是：“不烦躁”是“成绩好”的()A ．充分条件B ．必需条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件分析： 由 “ 烦躁成绩差 ” 可知， “ 烦躁 ” 是 “ 成绩差 ” 的充分条件，所以由互为逆否命题的真假可知， “ 不烦躁 ” 是 “ 成绩好 ” 的必需条件．答案： B2．设 a ， b 是两条直线， α， β是两个平面，则 a ⊥ b 的一个充分条件是 ()A ． a ⊥ α， b ∥ β， α⊥ βB ． a ⊥α，b ⊥ β， α∥ βC ． a? α， b ⊥β， α∥ βD ． a? α，b ∥ β， α⊥ β分析： 由 b ⊥β， α∥ β得 b ⊥ α，又 a? α，所以可得b⊥ a，故 a⊥ b 的一个充分条件是 a? α， b⊥ β，α∥ β，应选C. 答案： C3．已知平面向量m＝ (1， x－1) ，n＝ (x＋ 1,3)，则“ x＝ 2”是“ m∥ n”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：若“m∥ n”，则 x2－1＝ 3， x＝±2.若“ x＝ 2”，则 m＝ (1,1) ， n＝ (3,3)，则 m∥ n .所以“ x＝ 2”是“ m∥ n ”的充分不用要条件．应选 A.答案： A4．“ a≥ 2”是“函数f(x)＝ x2－ 2ax＋ 3 在区间 [1,2] 上单一”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：要使函数 f(x)＝ x2－ 2ax＋ 3 在区间 [1,2] 上单一，则有对称轴 x＝a 知足 a≥2 或 a≤ 1，所以“ a≥ 2”是“函数 f(x) ＝ x2－ 2ax＋ 3 在区间 [1,2] 上单一”的充分不用要条件，应选A.答案： A5．设 x∈ R，则“ 2－ x≥ 0”是“ |x－ 1|≤ 1”的 ()A ．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：由 2－x≥ 0，可得 x≤ 2，由|x－ 1|≤ 1，可得－ 1≤ x－ 1≤ 1，即 0≤ x≤ 2，因为 { x|0≤ x≤2}{ x|x≤ 2} ，所以“ 2－ x≥ 0”是“ |x－ 1|≤1”的必需而不充分条件，应选B.答案： B6．“函数f(x)＝ cos x＋ m－ 1 有零点”是“ 0≤ m≤ 1”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：令 f(x)＝ 0 得 cos x＝－ m＋ 1，若函数有零点，则－1≤－ m＋ 1≤ 1，解得 0≤m≤ 2，所以“函数 f(x)＝cos x＋ m－ 1 有零点”是“ 0≤m≤1”的必需不充分条件．答案： Bm1() 7．一次函数 y＝－n x＋n的图象同时经过第一、二、四象限的必需不充分条件是A ． m>0， n>0B ．mn<0C． m<0， n<0 D ．mn>0－mm1n<0，分析：一次函数 y＝－得 m>0 ，n x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即1nn>0，n>0.由题意可得， m>0， n>0 能够推出选项条件，而反之不建立，所以选 D.答案： D二、填空题1 a>1b”的 ________条件． (用“充分”，“必需”填空)8．“ 0<a<b”是“33分析：当 0<a<b 时，1a 1 b3>3建立，11所以是充分条件；当 3 a> 3 b时， 有 a<b ，不可以推出 0< a<b ，所以不是必需条件． 答案： 充分9．平面向量 a ，b 都是非零向量， a ·b>0 是 a 与 b 夹角为锐角的 __________条件． (用“充分”，“必需”填空分析： 若 a 与 )b 夹角为锐角，则a ·b>0 ，反之，当a ·b>0时，假如a ， b方向同样，则a与 b 夹角为零，不是锐角．答案： 必需10．“ m ＝－ 1”是“直线 mx ＋ (2m － 1)y ＋2＝ 0 与直线 3x ＋ my ＋ 3＝ 0 垂直”的 ________条件． (用“充分”，“必需”填空 )分析： m ＝－ 1，两直线分别为 x ＋ 3y －2＝ 0 和 3x － y ＋ 3＝ 0，明显垂直， 所认为充分条件． 答案： 充分11．设 p ： 1≤ x ≤1；q ：(x － a)(x － a －1) ≤0，若 p 是 q 的充分不用要条件，则实数a 的取2值范围是 ________．分析： ∵ q ：a ≤ x ≤ a ＋1， p 是 q 的充分不用要条件，11a<2，a ≤2，1∴或解得 0≤ a ≤ 2. a ＋ 1≥ 1a ＋ 1>1，答案：10， 212．已知“－ 1<k<m ”是“方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 3y ＋ k 2＝ 0 表示圆”的充分条件，则实数m的取值范围是 ________．分析： 当方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 3y ＋ k 2＝ 0 表示圆时， k 2＋ 3－4k 2>0，解得－ 1<k<1， 所以－ 1< m ≤ 1，即实数 m 的取值范围是 (－ 1,1] ． 答案： (－ 1,1] 三、解答题π13．已知函数 f(x)＝ 2sin 2 4＋ x － 3cos 2x －1， x ∈ R.π π设 p ： x ∈ ，， q ： |f(x) －m|<3，若 p 是 q 的充分条件，务实数m 的取值范围．4 2 π分析： ∵ f(x)＝2sin 2 4＋ x － 3cos 2x － 1 π＝ 1－ cos 2＋ 2x － 3cos 2x － 1＝ s in2x － 3cos 2xπ＝2sin 2x －3π π∴若 p 建立，即 x ∈ 4，2 时，π π 2π2x －3∈ 6， 3 ， f( x)∈ [1,2]由|f(x)－ m|<3? m － 3<f(x)<m ＋ 3.m －3<1∵p 是 q 的充分条件， ∴，m ＋3>2解得－ 1< m<4即 m 的取值范围是 ( －1,4)．14．已知会合 A ＝ yy ＝ x 2－3x ＋ 1， x ∈ 3， 2 ，B ＝{ x|x ＋ m 2≥ 1} ，p ：x ∈ A ，q ：x ∈ B ，2 4而且 p 是 q 的充分条件，务实数 m 的取值范围．分析： 因为二次函数 y ＝x 2－ 3x ＋ 1 的图象张口向上，图象的对称轴为直线x ＝3，243 3故函数 y ＝ x 2－ 2x ＋ 1 在 4，2 上单一递加，当 x ＝ 3时，函数 y ＝ x 2－ 3x ＋1 取最小值，即 y min ＝ 32－ 3× 3＋ 1＝ 7 ，4 24 2 4 16 3 y max ＝ 22 3 当 x ＝ 2 时，函数 y ＝ x 2－ x ＋1 取最大值，即 － × 2＋ 1＝2，2 23 3 7 所以 A ＝ y y ＝x 2－2x ＋ 1， x ∈ 4， 2 ＝ 16， 2 ， 因为 p 是 q 的充分条件，所以A? B ，7又 B ＝ { x|x ＋ m 2≥ 1} ＝ { x|x ≥ 1－ m 2 } ，所以 1－ m 2≤16，3 3解得 m ≤ － 4或 m ≥ 4，故实数 m 的取值范围是－∞，－ 3 ∪ 3，＋∞ .4 4能力提高15.已知 p ：－ x 2 ＋6x ＋ 16≥0， q ： x 2－ 4x ＋4－ m 2≤0(m>0) ．(1)若(2)若 p 为真命题，务实数 x 的取值范围； p 是 q 建立的充分不用要条件，务实数m 的取值范围．分析： (1) 由－ x 2＋ 6x ＋ 16≥ 0，解得－ 2≤ x ≤8.所以当 p 为真命题时，实数x 的取值范围为－ 2≤ x ≤8.(2)若 q 为真，可由 x 2 －4x ＋ 4－ m 2≤ 0(m>0)，解得 2－ m ≤ x ≤ 2＋ m(m>0)．若 p 是 q 建立的充分不用要条件，则[ － 2,8] [2－ m,2＋ m] ，m>0所以 2－ m ≤－ 2(两等号不一样时建立 )，得 m ≥ 6.2＋ m ≥8所以实数 m 的取值范围是 m ≥ 6.16．已知 p ：对于 x 的不等式 3－m<x<3＋ m，q ：x(x － 3)<0，若 p 是 q 的充分不用要条件，务实数 m 的取值范围． 223－m3＋m分析： 记 A ＝ x，2 <x< 2B ＝ { x|x(x － 3)<0} ＝ { x|0<x<3} ， 若 p 是 q 的充分不用要条件，则A B.注意到 B ＝ { x|0<x<3} ≠ ?，分两种状况议论：3－ m 3＋ mB ，切合题意；(1)若 A ＝ ?，即 ≥ 2 ，求得 m ≤0，此时 A2(2)若 A ≠ ?，即 m>0，3－ m2>0 ，要使 A B ，应有3＋ m解得 0<m<3.2<3 ，m>0，综上可得，实数 m 的取值范围是 (－ ∞ ，3)．。
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.2知识点总结含同步练习及答案
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
一、学习任务 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会判断必要条件、充分条件与充要条件． 二、知识清单
充分条件与必要条件
三、知识讲解
1.充分条件与必要条件 描述： 充分条件与必要条件 一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ，同时也称由 p 可以推 出 q ，记作 p ⇒ q ，并且说 p 是 q 的充分条件（sufficient condition）， q 是 p 的必要 条件（necessary condition）． 充要条件 一般地，如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，就记作 p ⇔ q ．此时， p 是 q 的充分必要条 件（sufficient and necessary condition），简称充要条件．如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，概括地说，如果 p ⇔ q ，那么 p 与 q 互为充要条件． 例题： 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． （1）在 △ABC 中，p : A > B，q : BC > AC ； （2）p : x > 1 ，q : x 2 > 1 ； （3）p : (a − 2)(a − 3) = 0，q : a = 3 ； （4）p : a < b ，q : 解：（1）由三角形中大角对大边可知，若 A > B ，则 BC > AC ；反之，若 BC > AC ，则 A > B．因此 p 是 q 的充要条件． （2）由 x > 1 可以推出 x 2 > 1；由 x2 > 1 得 x < −1 或 x > 1，不一定有 x > 1 ．因此 p 是 q 的充分不必要条件． （3）由 (a − 2)(a − 3) = 0 可以推出 a = 2 或 a = 3，不一定有 a = 3；由 a = 3 可以得出 (a − 2)(a − 3) = 0 ．因此 p 是 q 的必要不充分条件．
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第1章 1.2 充分条件与必要条件 看一看1、充分条件与必要条件p 是q 的充分条件,即p ⇒q ,相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包含关系：Q P ⊆,即P Q 或Q P =,必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于Q P =.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ,则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件.2．充分、必要条件的判断（1）充分、必要条件的判断方法①定义法：先判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立,然后再确定p 是q 的什么条件．②集合法：设集合A ＝{x |x 满足条件p },B ＝{x |x 满足条件q },则有i ）若A B ⊆,则p 是q 的充分条件,若A B ,则p 是q 的充分不必要条件；ii ）若B A ⊆,则p 是q 的必要条件,若B A ,则p 是q 的必要不充分条件；iii)若A B =,则p 是q 的充要条件；iv)若A B ⊆,且B A ⊆,则p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）充分、必要条件判断时应注意以下几点①要弄清先后顺序．“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ,且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ,且B 不能推出A .②要善于举出反例．如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,可以尝试通过举出恰当的反例来说明．③要注意转化．若⌝ p 是⌝ q 的必要不充分条件,则p 是q 的充分不必要条件；若⌝p 是⌝q 的充要条件,那么p 是q 的充要条件． 想一想1、判断充分条件必要条件需要注意些什么？ 练一练一、选择题1．【2017甘肃临夏期末】钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2．【2017北京四中期中】设a>0,b>0,则“a>b”是“lna>lnb”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件3．【2017重庆三模】设0x >,y R ∈,则“x y >”是“x y >”的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件4．【2017河北石家庄二模】已知向量()1,a m =, (),1b m =,则“1m =”是“//a b ”成立的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．【2017上海虹口二模】已知a ,b ,都是实数,则“a ,b ,成等比数列”是“2b a c =⋅的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．两条直线1110A x B y C ++=,2220A x B y C ++=互相垂直的充分必要条件是（ ） A.12121-=B B A A B.12121A A B B =C.12120A A B B +=D.12120A A B B -=二、填空题7．【2017贵州遵义月考】命题:1p x c -<,命题4:17q x>-；若p 是q 的充分不必要条件,则实数的取值范围为__________．8．【2017青海西宁二模】在下列结论中①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；②“ p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件；③“ p q ∧”为真是“p ⌝”为假的充分不必要条件；④“ p ⌝” 为真是“p q ∧”为假充分不必要条件.正确的是__________．9．【2017河北卓越联盟月考】给出如下命题:①“在ABC ∆中,若sin sin A B =,则A B =”为真命题;②若动点P 到两定点()()124,0,4,0F F -的距离之和为,则动点P 的轨迹为线段;③若p q ∧为假命题,则,p q 都是假命题;④设x R ∈,则“230x x ->”是“4x >”的必要不充分条件; ⑤若实数1,,9m 成等比数列,则圆锥曲线221x y m+=的离心率为63; 其中所有正确命题的序号是_________三、解答题10．已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>,若p 是的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.11．已知命题p ：实数m 满足227120m am a -+<(0)a >,命题：实数m 满足方程22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求a 的取值范围．12．设:p 实数x 满足3a x a <<,其中0a >；:q 实数x 满足23x <<.（1）若1a =,且p q ∧为真,求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.乐一乐世界杯半数球队有同生日队员 数学家做解答 p q p 且q p 或q真真真真真假假真假真假真假假假假世界杯参赛的32个球队里,有16支队伍都有生日相同的球员,而其中有5个球队甚至有两对生日相同的球员.虽然这听起来很巧合,但日本科学家彼得·弗兰克尔(PeterFrankl)表示,世界杯每支球队的人数都是23人,这正好和“生日悖论”相符,也就是说,如果一个群体里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率就会大于50%,对于拥有60或者更多人的群体,这种概率要大于99%.。
高中数学1.2.1充分条件与必要条件练习新人教A版选修1-1
一、选择题1．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3 D ．x <3[答案] A[解析] 首先要分清“条件p ”(此题中是选项A 或B 或C 或D)和“结论q ”(此题中是“x >2”)，p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q 且q ⇒p ，显然只有A 满足．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( )）A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．3．α≠π2是sin α≠1的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A][解析] α≠π2⇒/ sin α≠1，sin α≠1⇒α≠π2，故选A ．4．(2015·天津文)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由|x －2|<1得－1<x －2<1即1<x <3， 则1<x <2⇒1<x <3，反之不成立，故选A ．5．“a ＝－2”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋y －2＝0与直线l 2：ax ＋(2a ＋2)y ＋1＝0互直垂直”的( ) $A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2，故选A．6．(2015·甘肃省金昌市二中期中)a、b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.[答案]B[解析]∵f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝x2a·b＋x(|b|2－|a|2)－a·b，当f(x)为一次函数时，a·b ＝0且|b|2－|a|2≠0，∴a⊥b；当a⊥b时，f(x)未必是一次函数，因为此时可能有|a|＝|b|，故选B．二、填空题7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)[答案]充分不必要[解析]x＝3⇒x2＝9，x2＝9⇒/ x＝3，故p是q的充分不必要条件．8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．@[答案]充要[解析]a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要．9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]sinα＝sinβ⇒/ α＝β，α＝β⇒sinα＝sinβ，故填必要不充分．三、解答题10．下列各题中，p是q的什么条件(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；}(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.](3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．一、选择题1．(2015·北京理)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α，“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B 《[解析] 由面面平行的判定定理可知，由m ∥β⇒/ α∥β，故充分性不成立；而α∥β⇒m∥β，必要性成立．2．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由函数f (x )＝x 2－4a ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a ≤2，即a ≤1，故选B ． 3．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，n <－1B ．mn <0 ；C ．m >0，n <0D ．m <0，n <0[答案] B[解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧－mn >01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意． 4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充分条件也是必要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件([答案] A[解析] ∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲． 又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙⇒乙，但乙不能推出丙．综上有丙⇒乙⇒甲，但乙不能推出丙，故有丙⇒甲，但甲不能推出丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 二、填空题5．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以是x 2<1的一个充分条件的所有序号为________. @[答案] ②③④[解析] 由于x 2<1，即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②、③、④满足题意． 6．已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________. [答案] m ≤－8[解析] p ：x >－m2，q ：x <0或x >4，由条件知p ⇒q ， ∴－m2≥4，∴m ≤－8. 三、解答题7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答):(1)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，p ：x 1x 2＝y 1y 2，q ：a ∥b ；(2)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝－y ；(3)p ：直线l 与平面α内两条平行直线垂直，q ：直线l 与平面α垂直；(4)f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，p ：f (x )，g (x )均为偶函数，q ：h (x )为偶函数．[解析] (1)由向量平行公式可知：p ⇒q ，但当b ＝0时，a ∥b 不能推出x 1x 2＝y 1y 2，即q 不能推出p ，∴p 是q 的充分条件．(2)∵|x |＝|y |⇒x ＝±y ，∴p 不能推出q ，但q ⇒p ，—∴p 是q 的必要条件．(3)由线面垂直的判定定理可知：p 不能推出q ，但由线面垂直的定义可知：q ⇒p ，∴p是q的必要条件．(4)若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p⇒q，但q 不能推出p，∴p是q的充分条件．8.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[解析](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.综上可知，命题成立．。
人教新课标版数学高二 选修1-1练习 1.2充分条件与必要条件
课时跟踪检测（三） 充分条件与必要条件层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|解析：选C 对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于B ，注意当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b ，且|a|＝|b|时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b .4．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Aφ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0 B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0 D．2x<1解析：选B∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a1＝21，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 故p 是q 的充要条件．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(1)充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． 当n ＝1时，上式也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．(2)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． ∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p (p －1)p ＋q ，∴q ＝－1.即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.层级二 应试能力达标1．“0<a <b ”是“⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a <b 时，⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 成立，所以是充分条件；当⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 时，有a <b ，不能推出0<a <b ，所以不是必要条件，故选A.2．已知直线l ，m ，平面α，且m ⊂α，则( )A ．“l ⊥α”是“l ⊥m ”的必要条件B ．“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件C ．l ∥m ⇒l ∥αD ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m ，l ⊥m l ⊥α，l ∥ml ∥α，l ∥αl ∥m ，故选B.3．下列说法正确的是( ) A ．“x >0”是“x >1”的必要条件B ．已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a >b ”的必要条件D ．在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件解析：选A A 中，当x >1时，有x >0，所以A 正确；B 中，当m ∥n 时，m ＝n 不一定成立，所以B 不正确；C 中，当a >b 时，a 4>b 4不一定成立，所以C 不正确；D 中，当a >b 时，有A >B ，所以“a >b ”是“A >B ”的充分条件，所以D 不正确．故选A.4．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎦⎤0，12 解析：选B ∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故选B.5．已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a ≤2或a ≥10.答案：(1,2]∪[10，＋∞)6．已知“－1<k <m ”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时， k 2＋3－4k 2>0，解得－1<k <1， 所以－1<m ≤1，即实数m 的取值范围是(－1,1]． 答案：(－1,1]7．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}． 依题意p ⇒q ，所以A ⊆B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．8．求二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)，B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点的充要条件．解：线段AB 的方程为x ＋y ＝3，由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3(0≤x ≤3)， ①y ＝－x 2＋mx －1， ②在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则二次函数f (x )在x ∈[0,3]上有两个实根，故有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－16>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤3，103.。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：1.2充分条件与必要条件 Word版含答案
►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。
最新人教A版高中数学选修1-1 1.2 充分条件与必要条件 同步测试(含答案)
1. 2 充分条件与必要条件测试练习第1题. 设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q地（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x∈R，则2x>地一个必要不充分条件是（）Ａ．1x<x>Ｄ．3x>Ｂ．1x<Ｃ．3答案：Ａ第3题. 如果A是B地必要不充分条件，B是C地充分必要条件，D是C地充分不必要条件，那么A是D地（）Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2P x x=<，那么“x M∈或x P∈”=>，{}3M x x是“x M P∈I”地（）Ａ．充分条件但非必要条件Ｂ．必要条件但非充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题. 0x ≥是2x x ≤地___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与 “⇔”中选出适当地符号填空（U 为全集，A B ，为U 地子集）：（1）A B =___________A B ⊆．（2）A B ⊆___________U U B A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 地充分不必要条件，则A 是B ⌝地（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 地（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠地两根，10x >，20x >，条件乙：0ba ->且0c a>，则甲是乙地（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当地一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”地_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”地_____________． 答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 地充分条件，B 是C 地充要条件，A ⌝是E 地充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝地_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t≠”地什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆地充要条件？（1）A B A =U ；（2）UA B =∅I ð； （3）U U A B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”地充分条件？如果存在，求出p 地取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”地必要条件．如果存在，求出p 地取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”地充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220xx -->”地必要条件．第15题. 已知1:123xp --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q⌝地必要而不充分条件，求实数m 地取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤． 所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R 或，．由1123x--≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R 或．由p ⌝是q ⌝地必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 地取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530xx --<”地一个必要不充分条件是（ ）Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<< Ｄ．12x -<< 答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A =I 是A B =地_________条件．答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q xx >+-，试判断p ⌝是q ⌝地什么条件？答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>地解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”地（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“ABC A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 地（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当地一种填空：（1）x A B ∈I 是x A ∈地 ；（2）x A B ∈U 是x B ∈地 ；（3）()Ux A ∈ð是x U ∈地 ； （4）()Ux A A ∈U 饀是x A ∈地 ； （5）“A =∅”是“A B B =U ”地 ；（6）“A B Ü”是“A B A =I ”地 ；（7）“x A ∈”是“x A B ∈I ”地 ；（8）“四边形地对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”地 ；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”地 ；（10）设1O e ，2O e 地半径为1r ，2r ，则“1212O O r r =+”是“两圆外切”地 ．答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件（3）充分不必要条件（4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件（10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，， {}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆地充要条件．答案：132a ≤≤． 第23题. 求关于x 地一元二次不等式210axax -+>，对一切x ∈R 都成立地充要条件是什么？ 答案：04a <≤．第24题. 求方程2210axx ++=至少有一个负根地充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零地充要条件． 答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü地一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可． 第27题. 三个数a b c ，，不全为零地充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：“212(3)0x y z --+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 地真假是（ ） Ａ．p 真q 真 Ｂ．p 真q 假 Ｃ．p 假q 真 Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 地（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”地充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”地充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．。
苏教版高中数学选修1-1同步课堂精练：1.1.2 充分条件和必要条件 Word版含答案
1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的__________条件．2．已知向量a＝(x,1)，b＝(－x,4)，其中x∈R，则“a⊥b”是“x＝2”的__________条件．3．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的__________条件．4．“α是锐角”是“cos α__________条件．5．对于函数y＝f(x)，x∈R，p：y＝|f(x)|的图象关于y轴对称是q：y＝f(x)是奇函数的__________条件．6．函数f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是单调减函数的一个必要不充分条件是__________．7．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的__________条件．8．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的__________条件是c＝0.9．已知p是q的充要条件，r是q的必要不充分条件，则非p是非r的__________条件．10．下列命题中是真命题的是__________．(填序号)①若“x＜3”是“x＜m”的充分不必要条件，则m≥3；②函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋π2(k∈Z)；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．11．求证：y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)的充要条件是a＋b＋c＝0.12．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．参考答案1.答案：充分不必要解析：当m＝2时，A＝{1,4}，满足A∩B＝{4}，但当A∩B＝{4}时，只需m2＝4，所以m＝±2.故m＝2是A∩B＝{4}的充分不必要条件.2.答案：必要不充分解析：当a⊥b时，－x2＋4＝0，即x＝±2，∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件.3.答案：充分不必要解析：由函数f(x)＝a x在R上是减函数可得0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得a＜2，因为0＜a＜1a＜2，a＜20＜a＜1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件.4.答案：充分不必要解析：由cos αcos α≥0，∴2kπ－π2≤α≤2kπ＋π2，k∈Z.从而“α是锐角”是“cos α.5.答案：必要不充分解析：若y＝f(x)是奇函数，则y＝f(x)的图象关于原点对称，y ＝|f(x)|的图象关于y轴对称.若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则y＝f(x)可以是偶函数，∴p是q的必要不充分条件.6.答案：a≥0(答案不惟一) 解析：f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上递减的充要条件是a≥2，记A＝{a|a≥2}，寻求的条件B满足A B即可.7.答案：充分不必要解析：φ＝0时，f(x)＝cos x，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝kπ(k∈Z).∴是充分不必要条件8.答案：充要解析：若函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点，则f(0)＝0，即c＝0.若c＝0，则f(0)＝0，∴y＝f(x)的图象过原点.∴c＝0是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件.9.答案：必要不充分解析：由已知p⇔q，q r，r q，∴p r，r p.∴r是p的必要不充分条件.∴非p是非r的必要不充分条件.10.答案：②④解析：①记A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜m}.由已知A B，∴m＞3.∴①为假命题，②是真命题.③易知x2＝1是x＝1的必要不充分条件，∴x≠1是x2≠1的必要不充分条件.∴③是假命题，④由不等式性质知是真命题.11.答案：证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入y＝ax2＋bx＋c中得y＝ax2＋bx－a－b＝(x－1)(ax＋a＋b)，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0).必要性：当y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)时，将x＝1，y＝0代入得a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.∴原命题成立.12.答案：解：由22303510x yx y--=⎧⎨-+=⎩，，得交点P171144⎛⎫⎪⎝⎭，.若直线l：ax－y＋b＝0经过点P，则a×174－114＋b＝0.∴ 17a＋4b＝11.设a，b满足17a＋4b＝11，则11174ab-=，代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋11174a-＝0，整理，得111744y a x⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴直线l：ax－y＋b＝0恒过点171144⎛⎫⎪⎝⎭，，此点即为l1与l2的交点.∴综上，直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件为17a＋4b＝11.。
人教a版数学【选修1-1】作业：1.2充分条件与必要条件(含答案)
§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号12345 6 答案二、填空题7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a 解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在 [1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得an ＝2n ＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c ＝－1.第一章 章末总结知识点一 四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1 判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。