高中数学归纳法课件(呕心沥血版)
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人教版高中数学选择性必修第二册4.4 数学归纳法(教学课件)
分析：该问题中涉及两个字母 x 和 n，x 是正实数，n 是大于 1 的正整数. 一种思路是不求和，而直接通过 n 取特殊值比较 Sn 与 n 的大小关系，并作出猜想； 另一种思路是先由等比数列的求和公式求出 Sn ，再通过 n 取特殊值比较 Sn 与 n 的 大小关系后作出猜想. 两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确
答案：C
解析：由已知可得 n n0 n0 N* 时命题成立，则有 n n0 1 时命题成立，
证明：（1）当 n 1时，左边 a1 ，右边 a1 0 d a1 ，①式成立. （2）假设当 n k(k N ) 时，①式成立，即 ak a1 (k 1)d ， 根据等差数列的定义，有 ak1 ak d ， 于是 ak1 ak d [a1 (k 1)d] d a1 [(k 1) 1]d a1 [(k 1) 1]d ， 即当 n k 1 时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何 n N 都成立.
2 A. k(k 2)
1 B. k(k 1)
1 C. (k 1)( k 2)
2 D. (k 1)(k 2)
答案：D
解析：当 n k 时，假设成立的等式为1 1 1
1
2k ，
12 123
1 2 3 k k 1
当 n k 1 时，要证明的等式为1 1 1
1
12 123
123 k
x
0
，可得 S3
3
.
由此猜想，当 x 0 ， n N* ，且 n 1时，都有 Sn n .
A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确
答案：C
解析：由已知可得 n n0 n0 N* 时命题成立，则有 n n0 1 时命题成立，
证明：（1）当 n 1时，左边 a1 ，右边 a1 0 d a1 ，①式成立. （2）假设当 n k(k N ) 时，①式成立，即 ak a1 (k 1)d ， 根据等差数列的定义，有 ak1 ak d ， 于是 ak1 ak d [a1 (k 1)d] d a1 [(k 1) 1]d a1 [(k 1) 1]d ， 即当 n k 1 时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何 n N 都成立.
2 A. k(k 2)
1 B. k(k 1)
1 C. (k 1)( k 2)
2 D. (k 1)(k 2)
答案：D
解析：当 n k 时，假设成立的等式为1 1 1
1
2k ，
12 123
1 2 3 k k 1
当 n k 1 时，要证明的等式为1 1 1
1
12 123
123 k
x
0
，可得 S3
3
.
由此猜想，当 x 0 ， n N* ，且 n 1时，都有 Sn n .
选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
高中数学第三册_选修Ⅱ_第二章第一节数学归纳法课件数学归纳法
教学设计
教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。
⑵能力目标：培养由特殊到一般的思、维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括逻辑思维能力。
⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究，培养学生感悟数学内在美和良好文化素养。
3、重、难点的确定
重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。
）
难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。
附：板书设计。
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
点击下图片 进入:
[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x
＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
2＋3d＋2q3＝27， 条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3， 解得 q＝2.
4.4数学归纳法人教A版选择性必修第二册高中数学精品课件
例题解析
11
1
例 3．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( B )
1
11
11
111
A．1＋2<2 B．1＋2＋3<2 C．1＋2＋3<3 D．1＋2＋3＋4<3
11 由题意得，当 n＝2 时，不等式为 1＋2＋3<2，故选 B.
例题解析
例4.用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋2n1－1>n2(n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝12，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时不等式成立， 即 1＋12＋31＋…＋2k1－1>2k.
S2
Sk
1，结论成立．当 n＝2 时，由(1)可得 4 ＝4，结论成立．②假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时，结论成立，即2k＝
k2，则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12＋k＋1 1Sk＋1－2k＋1－1，即12－k＋1 1Sk＋1＝Sk－2k＝2k·k2－2k＝
k－1
Sk＋1
(k2－1)·2k，则2（k＋1）Sk＋1＝(k＋1)(k－1)·2k. 因为 k≥2，所以 Sk＋1＝2(k＋1)2·2k＝(k＋1)2·2k＋1，即2k＋1
知识梳理
2．数学归纳法的框图表示
例题解析
111
1 11
1
1
例 1．用数学归纳法证明“1－2＋3－4＋…＋2n－1－2n＝n＋1＋n＋2＋…＋2n(n∈N*)”，由 n＝k(k∈N*)
的假设证明 n＝k＋1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( D )
1
11
A.k＋1＋…＋2k＋2k＋1
高中数学《数学归纳法》课件
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果 （1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成 立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自 然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中， a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝55， ×n2＝ n－21，，n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
(人教A版)高考数学复习：6.6《数学归纳法》 ppt课件
考点二 考点三
用数学归纳法证明不等式 归纳—猜想—证明
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一 综合法的应用(高频考点) 用数学归纳法证明：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
1 2n（2n＋2）
＝
n 4（n＋1）
(n∈N*)．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
1.设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N*)．求证：f(1) ＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，
第六章 不等式Βιβλιοθήκη 推理与证明第6讲 数学归纳法
第六章 不等式、推理与证明
数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤 进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明 当 n＝k＋1 时命题也成立．
右边＝21＋12－1＝1，
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立， 即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点二 用数学归纳法证明不等式
设 数列{an}满足
a1
＝
2
，
an
＋
1
＝
an
＋
1 an
(n
＝
1
，
2，…)．证明：an＞ 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
数学归纳法课件高中数学课件下载
数学归纳法课件高中数学课件教学内容：本节课的教学内容来自于高中数学教材必修三的第二章第三节，主要是数学归纳法。
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，可以用来证明与自然数有关的命题。
本节课将详细介绍数学归纳法的定义、步骤和应用。
教学目标：1. 理解数学归纳法的定义和步骤，能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和证明能力，提高学生解决数学问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习和运用，培养学生的数学兴趣和探索精神。
教学难点与重点：重点：数学归纳法的定义和步骤，以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
难点：如何正确地选择归纳基础和归纳步骤，以及如何写出简洁明了的证明过程。
教具与学具准备：教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。
教学过程：一、情景引入（5分钟）教师通过一个简单的数学问题引导学生思考，如何用数学的方法来证明一个命题的正确性。
学生可以尝试用直观的方法来解决这个问题，为后续学习数学归纳法打下基础。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师引导学生回顾已学的数学证明方法，提出数学归纳法的概念。
2. 教师详细讲解数学归纳法的两个步骤：归纳基础和归纳步骤。
3. 教师通过例题讲解数学归纳法的应用，引导学生理解并掌握数学归纳法的证明过程。
三、随堂练习（10分钟）学生分组讨论并完成随堂练习，教师巡回指导并解答学生的疑问。
四、课堂小结（5分钟）板书设计：板书数学归纳法板书内容：一、定义：数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法。
二、步骤：1. 归纳基础：证明当n取某个值时，命题成立。
2. 归纳步骤：假设当n取某个值时，命题成立，证明当n取这个值的下一个值时，命题也成立。
作业设计：1. 请用数学归纳法证明：对于任意的自然数n，都有n²+n+41是一个质数。
答案：当n=1时，1²+1+41=43，43是一个质数。
假设当n=k时，k²+k+41是一个质数。
当n=k+1时，(k+1)²+(k+1)+41=k²+2k+1+k+1+41=k²+k+42=(k²+k+41)+1。
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任何形如 22n 1（n∈N *）
的数都是质数，后来人们把这种数叫做费 马数。
欧拉的发现
但是在1732年，数学家欧拉发现，第5个费马数
F5 225 1 6416700417
不是质数,从而宣布了费马这个猜想是不成 立的。
例1、
数列an
，已知
a1
1 ，an 1
an 1 an
2.3.1数学归纳法
选修2-2
目录
01
说教材
02
说教学方法
03
说教学过程
04
讲课内容
01 说教材
说教材
教材分析
教学目标
教学难点
内容：人教版选修2-2第二章第三节 第一课时 地位：促进学生有限思维与无限思维 联系，培养学生推理能力的重要环节
知识与技能：理解数学归纳法原理实 质，掌握数学归纳法步骤 过程与方法：提高递推及逻辑推理能 力，培养学生类比能力 情感态度价值观：建立无限与有限联
说教学过程
探索解决问题的方法 02 创设情境（提出问题） 01
03 类比推理（尝试方法） 04 总结方法（理性升华）
04 数学归纳法 讲课内容
费马的猜想
在1640年，法国数学家费马观察到：
221 1 5,
222 1 17,
223 1 257,
224 1 65537
都是质数，而由于第五个数实在太大了，于 是他用归纳推理提出猜想：
（1）证明当 n取第一个值 n0 （例如 n0 1或 2 等）时结论正确；(归纳奠基) （2）假设当 n k（ k N * ，且 k n0 ）时结论正确，证明当 n k 1 时结论也正确
根据（1）和（2），可知命题对从 n0 开始的所有正整数 n都正确 (归纳递推) 概括起来就是“两个步骤，一个结论”.
an
1 n
(n N*)
这个猜想与上述多米诺骨牌游
戏有相似性吗？
思考？
结论
多米诺骨牌全部倒下
对所有正整数n满足an=1/n
条件一
多米诺骨牌第一块倒下
n=1时，a1=1猜想成立
条件二
对于任意的两块，如果k 块倒下，k+1块也倒下，
如果n=k时成立，那么 n=k+1成立
数学归纳法证题的步骤（适用情况：与正整数n有关的命题）
(n
N* )
，通过对
n
1,2,3,4
前四项的归
纳，我们能否猜想出通项公式？
an
1 n
(n
N* )
例2、多米诺骨牌
例2、多米诺骨牌
总结：如果要使多米诺骨牌倒下，需要满足 两个条件 1) 第一块倒下 2) 任意的相邻两块，前一块倒下一定要导致 后一块倒下。
思考？
你认为证明数列的通项公式是
讲课结束，谢谢观看！
系，提高兴趣
教学重点：数学归纳法理解及步骤运用 教学难点：数学归纳法原理理解
02 说教学方法
教学方法
教法
1、运用类比启发探究方法，突 出主体 2、多媒体教学 3、数学与生活实际相联系的方 法
学法
1、学情分析：理科平行班，学生学业 水平良好，已经学习完合情推理 2、自主探究式学法
03 说教学过程
的数都是质数，后来人们把这种数叫做费 马数。
欧拉的发现
但是在1732年，数学家欧拉发现，第5个费马数
F5 225 1 6416700417
不是质数,从而宣布了费马这个猜想是不成 立的。
例1、
数列an
，已知
a1
1 ，an 1
an 1 an
2.3.1数学归纳法
选修2-2
目录
01
说教材
02
说教学方法
03
说教学过程
04
讲课内容
01 说教材
说教材
教材分析
教学目标
教学难点
内容：人教版选修2-2第二章第三节 第一课时 地位：促进学生有限思维与无限思维 联系，培养学生推理能力的重要环节
知识与技能：理解数学归纳法原理实 质，掌握数学归纳法步骤 过程与方法：提高递推及逻辑推理能 力，培养学生类比能力 情感态度价值观：建立无限与有限联
说教学过程
探索解决问题的方法 02 创设情境（提出问题） 01
03 类比推理（尝试方法） 04 总结方法（理性升华）
04 数学归纳法 讲课内容
费马的猜想
在1640年，法国数学家费马观察到：
221 1 5,
222 1 17,
223 1 257,
224 1 65537
都是质数，而由于第五个数实在太大了，于 是他用归纳推理提出猜想：
（1）证明当 n取第一个值 n0 （例如 n0 1或 2 等）时结论正确；(归纳奠基) （2）假设当 n k（ k N * ，且 k n0 ）时结论正确，证明当 n k 1 时结论也正确
根据（1）和（2），可知命题对从 n0 开始的所有正整数 n都正确 (归纳递推) 概括起来就是“两个步骤，一个结论”.
an
1 n
(n N*)
这个猜想与上述多米诺骨牌游
戏有相似性吗？
思考？
结论
多米诺骨牌全部倒下
对所有正整数n满足an=1/n
条件一
多米诺骨牌第一块倒下
n=1时，a1=1猜想成立
条件二
对于任意的两块，如果k 块倒下，k+1块也倒下，
如果n=k时成立，那么 n=k+1成立
数学归纳法证题的步骤（适用情况：与正整数n有关的命题）
(n
N* )
，通过对
n
1,2,3,4
前四项的归
纳，我们能否猜想出通项公式？
an
1 n
(n
N* )
例2、多米诺骨牌
例2、多米诺骨牌
总结：如果要使多米诺骨牌倒下，需要满足 两个条件 1) 第一块倒下 2) 任意的相邻两块，前一块倒下一定要导致 后一块倒下。
思考？
你认为证明数列的通项公式是
讲课结束，谢谢观看！
系，提高兴趣
教学重点：数学归纳法理解及步骤运用 教学难点：数学归纳法原理理解
02 说教学方法
教学方法
教法
1、运用类比启发探究方法，突 出主体 2、多媒体教学 3、数学与生活实际相联系的方 法
学法
1、学情分析：理科平行班，学生学业 水平良好，已经学习完合情推理 2、自主探究式学法
03 说教学过程