8.1单一参数元件电路
单一参数交流电路
i
90° ）
u
i
I
90
t
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )
I
1 I 3. 有效值 I U C 或 U C
定义：
1 XC C
容抗（Ω ）
则：
U I XC
4. 相量关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 ) U0 设： U I I90 U C90
1 （X C ） 容抗 是频率的函数， 表示电容 C
波有效。
1 Xc C
E
•
+
-e
ω＝0 时
ω
+ E -E
Xc
直流
电容电路中的功率
1. 瞬时功率 p
i
u
i 2 I sin t u 2U sin(t 90 )
p i u U I sin2t
p i u U I sin2t
是一个运算工具。
U
L C
U L
U C
I Z U
在正弦交流电路中，只要物理量用相量
表示, 元件参数用复数阻抗表示，则电路
方程式的形式与直流电路相似。
（二）
关于复数阻抗 Z 的讨论
由复数形式的欧姆定律
（１）Z和总电流、总电压的关系
I Z U
I
U 1 则： 90 C I
U
1 X U I 90 jI C C
电容电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X C
I
其中含有幅度和相位信息
1单一参数元件电路
第8章 正弦交流电路学习目标掌握电阻、电感、电容元件电流、电压关系及功率关系掌握R —L —C 串联电路电压、电流关系，理解复阻抗概念。
学会分析方法。
掌握R-L-C 并联电路的电流、电压关系及计算。
掌握正弦交流电路的功率和功率因素。
了解提高功率因素的意义，并掌握提高功率因素方法及并联电容器的计算。
学法指导首先从单一元件的电压-电流的大小和相位关系介绍基础上引入相量式欧姆定律；抓住参考相量和单一元件的相量式欧姆定律，有相量图和相量式两种分析方法；结合阻抗的连接和相量式基尔霍夫定律以及直流电路的分析方法，可以学会分析RLC 串联和RLC 并联电路及一般交流电路的分析；从能量角度谈功率因数及其提高方法。
学习过程第一节 单一参数元件电路一、基础知识梳理1、纯电阻电路电压、电流的关系如果电压u ＝U m sin （ωt+ψu ），根据欧姆定律，通过电阻的电流瞬时值为i ＝ ＝I m sin （ωt+ψi ） 数值关系：I m ＝U m /R 即： 欧姆定律相位关系：ψu ＝ψi 即：同相位即：两个复数比是一个实数。
这说明电阻元件上，瞬时值、最大值、有效值均符合欧姆定律。
2纯电感电路电压、电流的关系R u Rψt ωsin(U m m )+R IU I U m m ==R 0R I U o mm ==&&设：i=I m sin ωt ，ψi =0则由数学推导可知，u=I m ωLsin （ωt+90°）即电压的最大值为：U Lm ＝ωLI m 数值上： 欧姆定律式中X L ＝ωL ＝2πfL X L 称为电感抗，简称感抗，它的单位是欧姆。
相位关系：电压超前电流90°相量关系：则：其中：J 为旋转因子结论： ⑴瞬时值不符合欧姆定律； ⑵最大值、有效值之间具有欧姆定律；⑶JX L =JWL 是感抗的复数形式；⑷相位上电压相量超前电流相量90°。
3、纯电容电路电压、电流的关系在前面我们已经学过，稳压直流电不能通过电容器，但在电容器充放电过程中，却会引起电流。
单一参数正弦交流电路分析
ui u
i
0
i +u-
t
I
相量图
U
T
T
2
2
电阻元件的关联参考方向、波形图和相量图
(2) 纯电阻电路的功率 p u, i
p
▪ 瞬时功率
p ui
P
I 2 sin tU 2 sin t
Pm=UmIm u
P=UI
2UI sin 2t
0
i
t
UI UI cos 2t
T
▪ 平均功率
【讨论】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中： 在电感电路中：
在电容电路中：
IU R
i U R
i u R
I U R
i u XL
U jωL I
I U ωL
U I
jX L
U I
X
L
u
L
di dt
i u ωL
UIωC
ui XC
IUjωC
1
C
1
2fC
容抗XL的单位为欧姆（Ω）。XC与ω成反比，频率愈 高，XC愈小，在一定电压下，I愈大。
在直流情况下，ω＝0，XC=∞ ，电容相当于开路； 在交流电路中电容元件具有隔直通交和通高频阻低频
的特性。
电容电压的相量表达式 U jXCI
(2) 纯电容电路的功率
▪ 瞬时功率
设 i 0
u L di dt
电感两端的电压与通过该电 感中电流的变化率成正比。
uN +
i
ψL=N
L
2.正弦交流电路中的电感元件
i
（1）电压、电流关系
正弦交流电路的分析—单一元件电路分析
I U
u、 i 同相 U IR
UI
0
纯电阻交流电路
✓ 思考
在电阻R=100Ω的电路中，加上 u=311sin(314t+300)V的电压，求 该电路中电流值及电流的解析式，并 画出电压和电流的相量图。
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
3
解： 电流i(瞬时值)：
i 10 2 sin (200t+ 2 ) A
3
功率：P=UI=11010=1100W
纯电阻交流电路
✓ 小结
电路图 基本 (正方向) 关系
复数 阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值 有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
R
i u
u iR
R
u 2U sint
U IR
i 2I sin t
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
01
纯电阻交流电路
✓ 电压与电流关系
✓ 电阻元件的功率
纯电阻交流电路
✓ 电压与电流关系
交流电路中如果只有线性电阻，这种电路叫做纯电阻电路。
根据 欧姆定律：u=iR
i
设 u 2 U sin t
i
设
U
L
u
u L di jX L i 2I sint U IX L
dt jL u
X L L
I U IjX L
0
2IL sin(t 90)
u领先 i 90°
单相正弦交流电路—单一参数元件的电路
幅角:
i 90o
二、 C元件电路的功率
1. 瞬时功率 p
i
u
i
u
C
2 I sin t
2U sin( t 90 )
p i u U I sin 2 t
在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电容元件在电路中的作
用是怎样的呢？
p i u iU I sin2ut
o
U I R
三、 R元件电路的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
i I m sin ( t )
u U m sin ( t )
R
U m Im
p u i U m I m sin t
(1 cos 2t )
2
UI (1 cos 2t ) UI UI sin(2t 900 )
U IL
3. 有效值
电压、电流波
形图
u
i
90
定义：
t
X L L 2 fL
则：
U I XL
感抗（Ω）
关于感抗的讨论
感抗（ XL ωL 2πfL）是频率的函数，频率越高,感抗越大,频率越低,感抗越
小。电感有通低频，阻高频的特性。
UL I X L
R
+
_
f=0时
e
L
0.45 / 60o ( A)
R
484
i 0.45 2 sin(314t 60o )( A)
P UI 220 0.45 100(W )
在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电感元件在电路中的作
用是怎样的呢？
单一参数的交流电路
R
•
I
波
Im
向 量 图
0
I• U•
Re
形 图
0
t
i
i
i = Imsin t +
u = Umsin t u
R
–
i、u、p
瞬时功率：电路在某一瞬间吸收 或放出的功率
u
p = u i =UI(1– cos2 t )
i
平均功率：瞬时功率在一周内的平均值 0
P = I U = I2 R
转换成的热能 W= P t
平均功率 P =0
i
无功功率 Q =UI=XC I2 =
U2 XC
波形图
u
电容与电源之间能量交换的规模
0
t
称为无功功率。其值为瞬时功
率的最大值，单位为(Var) 乏。
p
+
+
电容不消耗功率，它是储能元件。 0
–
– t
解：由线圈两端电压的解析式 u 100 2 sin 314tV可以得到
U=100V， 314rad / s, 0,
•
U 1000V
线圈的感抗为
X L L 314 0.01 3.14
•
•
I
U
100 0
31.85(90) A
jX L 190 3.14
因此通过线圈的电流瞬时值表达式为
i 31.85 2 sin(314t 90) A
i = Imsin( t + 90)
i u
波 形 图0
Im
• I
• U
t 0
Re
相量图
电流超前电压 90
电压与电流大小关系 U = I XC
单一参数的交流电路
U jX LI
C
jXC
j
1 ωC
i C du dt
U jXC I
相量图
I U
U
I I
U
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
i
+
Ru
u iR R
设
i 2Isinωt
则
U IR
I
设：u 2 U sin ω t dt
i
+
u
C
_
则：i C du 2 UC ω cos ω t 电流与电压
dt
的变化率成
2 U ωC sin(ω t 90) 正比。
ui
ui
① 频率相同
② I =UC
ωt ③电流超前电压90
90
相位差 ψu ψi 90
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值 I U ωC 或 U 1 I
定义：
XC
1 ωC
1 2π fC
ωC
容抗（Ω）
则: U I XC
XC
1 2π f
C
直流：XC ，电容C视为开路
交流：f
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
XC
1 2π fC
容抗XC是频率的函数
由：u 2Usinω t
I , XC
XC
1 ωC
I U (2 π f C)
电阻的标称值 = 标称值10n
电阻器的色环表示法
四环
五环
倍 有效 率
单一参数交流电路PPT课件(2024版)
p i u U I sin 2 t
无功功率Q
瞬时功率达到的最大值 （能量吞吐规模）
Q UI
电容性无功 功率取负值
小结
(1)、电阻为耗能元件，L、C为储能元件 (2)、复数形式的欧姆定律
电阻电路 U IR 电感电路 U jXLI 电容电路 U jXCI
统一形式： U ZI
(3)、分析计算 电阻电路
i
+
u
L
－
电压、电流关系
瞬时值
有效值 相量图 相量式
设 i 2 I sin t
则
u 2 ILsin(t 90)
U=IXL XL= ωL
U I U jIXL
u超前 i 90°
电容电路
i
+
C
基本关系式 i C du dt
u －
复阻抗 Z=–jXC
有功功率 P=0
无功功率 Q = -UI=-I2XC
电压、电流关系
瞬时值
设 u 2U sin t
则
i 2I sin( t 90)
有效值
相量图 相量式
I
U IXC
XC
1
C
U U jIXC
u落后i 90°
结束
感谢您的欣赏！
XL
L为定值
0
f
U I
XL
u i ωt
. U
. I
相量关系式
设 I I00 则
U U900
i
+
u
L
－
U I
U 900 I 00
U I
900
jX L
U jXLI
电感电压和电流 关系的相量形式
2) 电感电路中的功率
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第8章 正弦交流电路
学习目标
掌握电阻、电感、电容元件电流、电压关系及功率关系
掌握R —L —C 串联电路电压、电流关系，理解复阻抗概念。
学会分析方法。
掌握R-L-C 并联电路的电流、电压关系及计算。
掌握正弦交流电路的功率和功率因素。
了解提高功率因素的意义，并掌握提高功率因素方法及并联电容器的计算。
学法指导
首先从单一元件的电压-电流的大小和相位关系介绍基础上引入相量式欧姆定律；抓住参考相量和单一元件的相量式欧姆定律，有相量图和相量式两种分析方法；结合阻抗的连接和相量式基尔霍夫定律以及直流电路的分析方法，可以学会分析RLC 串联和RLC 并联电路及一般交流电路的分析；从能量角度谈功率因数及其提高方法。
学习过程
第一节 单一参数元件电路
一、基础知识梳理
1、纯电阻电路电压、电流的关系
如果电压u ＝U m sin （ωt+ψu ），根据欧姆定律，通过电阻的电流瞬时值为
i ＝ ＝ ＝I m sin （ωt+ψi ） 数值关系：I m ＝U m /R 即：
相位关系：ψu ＝ψi 即：同相位
即：两个复数比是一个实数。
这说明电阻元件上，瞬时值、最大值、有效值均符合欧姆定律。
2纯电感电路电压、电流的关系
R u R
ψt ωsin(U m m )+R I U I U m m ==R 0R I U o m
m ==&&
设：i=I m sin ωt ，ψi =0则由数学推导可知，
u=I m ωLsin （ωt+90°）
即电压的最大值为：
U Lm ＝ωLI m 数值上： 欧姆定律
式中X L ＝ωL ＝2πfL X L 称为电感抗，简称感抗，它的单位是欧姆。
相位关系：电压超前电流90°
相量关系：
则：
其中：J 为旋转因子
结论：
⑴瞬时值不符合欧姆定律；
⑵最大值、有效值之间具有欧姆定律；
⑶JX L =JWL 是感抗的复数形式；
⑷相位上电压相量超前电流相量90°。
3、纯电容电路电压、电流的关系
在前面我们已经学过，稳压直流电不能通过电容器，但在电容器充放电过程中，却会
引起电流。
当电容器接到交流电路中时，由于外加电压不断变化，电容器就不断充放电，电路中就不断有电流流过。
这就称为交流电通过电容器。
若u=U m sin ωt 则由数学推导可知，
i=CU Cm ωcos ωt
电流的最大值为：
I m =ωCU cm
数值上：
t
Δi ΔL dt di L u ==L m
m X L ωI U I U ===οο&&90U U ,0I I
==L L jX 90X 90I U 0I 90U I U ====οοοο&&&&I
&C
m m X C ω1I U I U ===
式中X C 称为电容抗，简称容抗。
上式表明：在纯电容电路中，电流的有效值等于它两端电压的有效值除以它的容抗。
容抗是用来表示电容器对电流阻碍作用大小的一个物理量。
它的大小可用公式计算，单位是欧姆。
容抗的大小与频率及电容量成正比。
当电容器的容量一定时，频率f 愈高则容抗X C 愈小。
在直流电路中，因频率f=0，故电容器的容抗等于无限大。
这表明，电容器接入直流电路时，在稳态下是处于断路状态。
相位上：ψ当ψu ＝0时，ψi ＝90°。
也就是说电容元件的电流要比它两端的电压超前
90°，或者说，电压总是滞后电流90°。
即ψi ＝ψu +90°。
这就是电流与电压的相位关系。
相量关系：
结论： ⑴电流和电压瞬时值的关系是微分或积分关系；
⑵引入容抗（X c ）、正弦交流电流、电压的最大值、有效值符合欧姆定律；
⑶-jX c 复容抗；
⑷相位上电流相量超前电压相量90°。
二、应用举例
应用一：有一个220V 、100W 的电烙铁，接在220V 、50Hz 的电源上。
要求：
（1）绘出电路图，并计算电流的有效值。
（2）计算电烙铁消耗的电功率。
（3）画出电压、电流相量图。
应用分析：
解：（1）电路如图，
484100
2202
2===P U R (Ω) ΩfC π21C ω1X C ==c c jX 90X 90
I 0U I U -=-==οοο&&I &U
&οο&&90I I ,0U U ==
45.0484220===R U I (A) （2）10045.0220=⨯==UI P (W) （3）相量图如图所示。
例1：把L =51mH 的线圈（线圈电阻极小，可忽略不计），接在u =2202sin(314t +60o) V 的交流电源上，试计算：
（1）X L 。
（2）电路中的电流i 。
（3）画出电压、电流相量图。
解：（1）16105131423=⨯⨯==-fL X L π(Ω)
（2）︒-=︒
︒==30/75.1390/1660/220L jX U I &&（A ） )30314sin(275.13︒-=t i （A ）
（3）相量图如图所示。
举一反三：把C =140μF 的电容器，接在u =102sin314t V 的交流电路中，试计算：
（1）X C 。
（2）电路中的电流i 。
（3）画出电压、电流相量图。
巩固训练
1、在纯电阻正弦交流电路中，已知路端电压u=102sin(ωt-6
π)伏，电阻R=10欧，那么电流i= ，电压与电流的相位差φ= 电阻上消耗的功率P= 瓦。
2、 在纯电阻电路中，下列各式正确的是： （ ）
A 、i=R U ；
B 、I= R U ；
C 、.I =R
u ； D 、i=R U m 3、如图所示电路中，电阻R=2K ，接到正弦电压上，若最大值为537V ，则电流表的读数为 ，电压表的读数为 。
4.在纯电感电路中，电流与电压的频率 ，电压 电流90°。
5.把一个的电感元件接到频率为50HZ ，电压有效值为10V 的正弦交流电上，问电流是多少如果保持电压不变，而电源频率变为5KHZ ，这时电流将为多少
6．纯电阻元件的复阻抗Z= ，纯电感元件的复阻抗Z= ，纯电容元件的复阻抗Z= 。
7．纯电阻电路复数形式的欧姆定律为 ，纯电感电路复数形式的欧姆定律为 纯电容电路复数形式的欧姆定律为 。
8．正弦交流电压V t u )3100sin(220ππ+
=，将它加在100Ω的电阻两端，每分钟放出的
热量为 ；将它加在F C μπ1
=的电容器两端，通过该电容器的电流瞬时值表达式为 ；将它加在H L π1=
的电感两端，通过该电感的电流瞬时值表达式
为 。
三、课后巩固 1、如图所示，已知R 1= R 2=2k Ω，u = 220√2sin(314t + 90) V ，求电流表、电压表的读数。
2、一个电阻为10 k Ω的负载，接到u = 220√2sin(314t + 45) V 的交流电源上，求（1）流过负载的电流为多大（2）写出电流的瞬时值的表达式，并画出它们的波形图。
（3）电阻消耗的功率P 为多少
3.已知某电感线圈感抗X L =20欧，若加在该线圈两端正弦交流电压为u = 50sin(314t -60) ，则流过该线圈的电流为i= 。
4.已知在某纯电感电路中加上220V 的市电，设电压的初相为45，感抗为5欧，写出电流的瞬时值表达式和相量式，画出相量图。
5.已知C=10PF ，当f1=106HZ ，则X C = Ω，当f2=103HZ ，则X C = Ω。
6.在64μF 电容器两端加。
设电压u 和电流i 的方向一致，则在t=T/4时电流的瞬时值为i= A ，电压的瞬时值u= V 。
7.对于直流来讲，即f=0时，此时，X L = ,X C = ；对于交流来讲，即f ≠0时，若f 增加时，此时，X L = ,X C = 。
举一反三：
解：（1）7.22101403141216
=⨯⨯==-fC X C π(Ω) （2）︒=︒
-︒=-=90/44.090/7.220/10C jX U I &&（A ） )90314sin(244.0︒+=t i （A ）
（3）相量图如图所示。
巩固训练
1、2sin(ωt-/6) 0 100W
2、 B
3、 380V
4、 相同 超前
5、
6、 R j ωL 1/j ωC
7、 R U I /..= jXL U I /..= jXC U I -=/.
.
8、 14520J *10-2sin(100t+5/6)A (100t-1/6)A
课后巩固
1、55mA 110V
2、I=22 mA i=222sin(314t+45o ) mA P= mW
3、i=(314t-150o )A
4、i=442sin(314t-45o )A .
I=44∠-/4
5、Ω15900KΩ
6、0 220
7、0 2fL 增大1/2fC 减小。