新高考数学选择性必修一常用公式(一)
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高中数学理科是10本书,其中的数学公式非常多,那么关于高考数学的公式及知识点有哪些呢?以下是小编准备的一些高考数学必背知识点及公式归纳总结，仅供参考。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2。
选修1--1：重点：高考占30分。
1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考;2、圆锥曲线;3、导数、导数的应用(高考必考)。
选修1--2：1、统计;2、推理证明：一般不考，若考会是填空题;3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。
理科：选修2—1、2—2、2—3。
选修2--1：1、逻辑用语;2、圆锥曲线;3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)。
人教A版数学选择性必修第一册 第三章章末总结(课件PPT)
解得 x2＝2c2－c2b2a2＝3c2－c2a2a2.
又 x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝ac∈
33，
2
2
.
第14页
新教材 •数学(RA) 选择性必修• 第一册
专题四 直线与圆锥曲线的位置关系 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基 本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲线位置关系中，利用判断法进行推断． [典例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点1， 22，且焦距为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过点 P(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
第4页
新教材 •数学(RA) 选择性必修• 第一册
2．圆锥曲线的几何性质 (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定 位、后定量”． 3．圆锥曲线的离心率 椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点， 下面就离心率的求法做一个简单的总结． (1)定义法； (2)几何法； (3)寻求齐次方程求离心率； (4)借助不等式求离心率的取值范围．
斜
率
k
的取值范围为
－ 22， 22.
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新教材 •数学(RA) 选择性必修• 第一册
[练习 4](2020·新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点 M(2,3)，点 A 为其 左顶点，且 AM 的斜率为12.
(1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件第7章本章总结提升
0.24
0.22
0.15
技术人员选择模型 Y= ^
1
^
+ 2
作为 Y 与 X 的回归方程类型,令
1
2
ui= ,vi= .
^
^
(1)由最小二乘法得到线性回归方程 V=U+,求 Y 关于 X 的回归方程.
(2)利用(1)得出的结果,计算当单位面积播种数X为何值时,单位面积的总产
量W=XY的预测值最大?(计算结果精确到0.01)
10
∑ -10
=1
10
2
∑ 2 -10
≈
2 321-10×50×4
2
35 642-10×50
=
321
10 642
=1
∴V 关于 U 的回归方程是 V=0.03U+2.5;
则 Y 关于 X 的回归方程是 Y=
1
2.5+0.03
2.
^
≈0.03, =2.5.
(2)利用(1)得到的结果,
当且仅当
0.2
X= ,即定价为
5
-5
(X-0.2)=6-5
0.2
+
≤6-10 0.2 ≈1.5,
0.45 万元/吨时,等号成立,
所以每月的利润为30×1.5=45.00(万元),
所以预计定价为0.45万元/吨时,该产品一天的利润最大,此时的月利润为
45.00万元.
变式训练3为提高某作物产量,种植基地对单位面积播种数X(单位:棵/m2)
系数加以说明(结果保留2位小数).
解 由题可知, =
1
×(8+11+14+20+23+26)=17,
【高中数学】第1章 1.1.1 空间向量及其运算【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第
1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学习目标核心素养1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点)2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养．3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养．国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？图1图21．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？[提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．4．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．(2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.(4)空间向量数量积的性质：①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．()(2)两个相反向量的和为零向量．()(3)只有零向量的模等于0．()(4)空间中任意两个单位向量必相等．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×[提示]大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．2．下列命题中正确的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0B[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A 错误．对于C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．在D 中，a·(b －c )＝0，∴a·b －a·c ＝0，∴a·b ＝a·c ，但a·b 与a·c 不一定等于零，故D 错误．对于B 项，∵a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，－1≤cos 〈a ，b 〉≤1， ∴|a·b |≤|a||b |，故B 正确．] 3．(教材P 11练习A ②改编)化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c ＝________；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ．(2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD → ＝CD →－CD → ＝0．]4．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则(1)〈AB →，A 1C 1→〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝________．(1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°．(2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°． (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝90°．]空间向量的概念及简单应用【例1】 (1)下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →＝AC →，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确．](2)如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：①试写出与AB →是相等向量的所有向量； ②试写出AA 1→的相反向量；③若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] ①与向量AB →是相等向量的(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→，共3个． ②向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →． ③|AC 1→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＝22＋22＋12＝9＝3．1．两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[跟进训练] 1．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同； ②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ．其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故②正确；③显然正确．故选B ．]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →．其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( )A ．12(a ＋b －c ) B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12c D ．a ＋12(b ＋c )(2)如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．①AA ′→－CB →； ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．(1)B [若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．](2)[解] ①AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→． ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→、AC ′→如图所示：1．首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →．2．首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0．如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0．[跟进训练]3．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→． [解] (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b ．(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ． (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ．又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c ．数量积的运算及应用[探究问题]1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．2．联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a ，b 的夹角？如何求|a ＋b |?[提示] 借助cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |，求向量a ，b 的夹角．借助|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2求模．【例3】 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1)OA →·OB →； (2)EF →·CB →；(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征． [解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →|＝1．△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉 ＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以EF 12AC ， 于是EF →·CB →＝|EF →||CB →|cos 〈EF →，CB →〉＝12|CA →|·|CB →|cos 〈AC →，CB →〉＝12×1×1×cos 〈AC →，CB →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14．(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →·OA →＋OB →2－2OB →·OC →＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1．1．(变条件，变结论)若H 为BC 的中点，其他条件不变，求EH 的长．[解] 由题意知OH →＝12(OB →＋OC →)，OE →＝12OA →，∴EH →＝OH →－OE →＝ 12(OB →＋OC →－OA →)， ∴|EH →|2＝14(OB 2→＋OC →2＋OA →2＋2OB →·OC →－2OB →·OA →－2OC →·OA →)，又|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1．且〈OB →，OC →〉＝60°，〈OB →，OA →〉＝60°，〈OC →，OA →〉＝60°．∴OB →·OC →＝12，OB →·OA →＝12，OC →·OA →＝12．∴|EH →|2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋1＋2×12－2×12－2×12＝12， 即|EH →|＝22，所以EH 的长为22．2．(变结论)求异面直线OH 与BE 所成角的余弦值．[解] 在△AOB 及△BOC 中，易知BE ＝OH ＝32，又BE →＝12OA →－OB →，OH →＝12(OB →＋OC →)，∴BE →·OH →＝14OA →·OB →＋14OA →·OC →－12OB →2－12OB →·OC →＝14×12＋14×12－12－12×12＝－12．∴cos 〈BE →，OH →〉＝BE →·OH →|BE →||OH →|＝－23， 又异面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线OH 与BE 所成角的余弦值为23．1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉求解．2．非零向量a 与b 共线的条件是a ·b ＝±|a |·|b |．提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．一、知识必备1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．二、方法必备1．数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置．2．转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各对向量夹角为45°的是( )A ．AB →与A 1C 1→ B ．AB →与CA →C ．AB →与A 1D 1→ D ．AB →与B 1A 1→A [A 、B 、C 、D 四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A ．]2．在棱长为2的正四面体ABCD 中，若E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF→等于( ) A ．0 B ．12 C ．－1 D ．1D [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14×(2＋2)＝1．]3．化简：2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________．0 [2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋CD →＋DA →＋AC →＝0＋CA →＋AC →＝0＋0＝0．]4．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．22 [∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a·b ＋192＝242，∴2a·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2＝530－46＝484．∴|a －b |＝22．]高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高考数学必背公式
高考数学必背公式
高考数学必背公式包括但不限于：
1. 圆的公式：
圆体积=4/3(pi)(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0，其中d2+e2-4f>0
2. 椭圆公式：
椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差
椭圆面积公式：s=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
3. 两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积等三角函数公式。
4. 等差数列、等比数列等数列公式。
5. 抛物线等几何图形公式。
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2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文
新教材高一数学必修第—册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无 ,,,c b a 序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,C B A 3集合相等：两个集合的元素一样，记作．B A ,B A =4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：．A a ∈A a ∉5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．N +N N 或*Z Q R 6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(x P x })(|{x P A x ∈③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．Venn 7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就B A ,A B 称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且A A A B B A ⊆B x ∈A x ∉，就称集合是集合的真子集，记作，读作真包含于．A B A B A B 8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子∅集．9集合的根本运算：并集；交集； },|{B x A x x B A ∈∈=或 },|{B x A x x B A ∈∈=且 补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{A x U x x A C U ∉∈=且U 运算性质：；；；；B A B B A ⊆⇔= B A A B A ⊆⇔= A A =∅ ∅=∅ A ，．∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)()()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==10充分条件与必要条件：一般地，“假设p ，则q 〞为真命题，p 可以推出q ，记作，称p 是q 的q p ⇒充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：假设，则p 是q 的充分不必要q q p ,⇒p 条件；假设，则p 是q 的必要充分不条件；假设，则p 是q 的充要条件；p p q ,⇒q q p ⇔假设，，则p 是q 的既不充分也不必要条件． pq q p 11全称量词及全称量词命题：短语“全部的〞，“任意一个〞在逻辑中叫做全称量词，并用符号表∀示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个〞，“至少有一个〞在逻辑中叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否认：全称量词命题的否认是存在量词命题；存在量词命题的否认是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质： ①对称性；②传递性；③可加性a b b a >⇔<,a b b c a c >>⇒>；④可乘性，；a b a c b c >⇒+>+,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<⑤同向可加性；⑥同向可乘性； ,a b c d a c b d >>⇒+>+0,0a b c d ac bd >>>>⇒>⑦可乘方性；()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >⑧可开方性．⑨可倒数性． )0,1a b n n >>⇒>∈N >ba b a 110<⇒>>2重要不等式：假设，则，当且仅当时等号成立．R b a ∈,ab b a 222≥+b a =3根本不等式：假设，，则，即，当且仅当时等号成立． 0a >0b >a b +≥2a b+≥b a =4不等式链：假设，，则，当且仅当时等号成立；一正0a >0b >ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+b a =二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最gao 次数是的不等式． 26第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数x ，按照某种确定的B A ,A 对应关系，在集合中都有唯—确定的数y 与它对应，那么就称为从集合到集合的一f B B A f →:A B 个函数，记作，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值相对A x x f y ∈=),(A 应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，值域是集合的子集． }|)({A x x f ∈B 2函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 求函数定义域的原则：(1)假设为整式，则其定义域是；()f x R (2)假设为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；()f x (3)假设是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； ()f x (4)假设，则其定义域是； ()0f x x =}{0x x ≠(5)假设，则其定义域是；()()0,1x f x a a a =>≠R (6)假设，则其定义域是； ()()log 0,1a f x x a a =>≠}{0x x >(7)假设，则其定义域是；x x f tan )(=},2|{Z k k x x ∈+≠ππ求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数． 6函数的单调性：(1)单调递增：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x <函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x >函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间． 8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:,都有)(x f y =I M I x ∈∀；使得，那么称是函数的最大(小)值． ))(()(M x f M x f ≥≤I x ∈∃0M x f =)(0M10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f =-数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数满足；)(x f y =|)(|)()(x f x f x f ==-奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f -=-函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；假设奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即)(x f y =.(0)0f =11幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． αx y =x α12幂函数的性质：()f x x α=①全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；()0,+∞()1,1②如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数；0α>[)0,+∞③如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第—象限内，当从右边趋向于原点时，0α<()0,+∞x 图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴； y y x +∞x x ④在直线的右侧，幂函数图象“指大图高〞； 1=x ⑤幂函数图象不出现于第四象限． 第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)假设，则；； n x a =))n x n=⎪⎩为奇数为偶数()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(3)；(4)；na =*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且(5)；*0,,1)m naa m n N n -=>∈>,且(6)的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.000(7)；()0,,r s r sa a a a r s R +⋅=>∈(8)；()()0,,r s rsa a a r s R =>∈(9).()()0,0,,rrrab a b a b r s R =⋅>>∈2对数、对数运算性质(1)；(2)； ()log 0,1xa a N x N a a =⇔=>≠()log 100,1a a a =>≠(3)；(4)；；()log 10,1a a a a =>≠()log 0,1a Na N a a =>≠(5)；()log 0,1m a a m a a =>≠(6)；()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >(7)； ()log log log 0,1,0,0aa a MM N a a N=->≠M >N >(8)；()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >(9)换底公式； ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠(10)； ()log log 0,1,,*m na a nb b a a n m N m =>≠∈(11)；()1log log 0,1,0,aa M a a M n R n=>≠>∈(12). ()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠3指数函数及其性质：)1,0(≠>=a a a y x 且①定义域为； ②值域为；③过定点；(),-∞+∞()0,+∞()0,1④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数； 1a >()f x R 01a <<()f x R ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高〞． 4对数函数及其性质：)1,0(log ≠>=a a x y a 且①定义域为；②值域为；③过定点；()0,+∞(),-∞+∞()1,0④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函1a >()f x ()0,+∞01a <<()f x ()0,+∞数；⑤在直线的右侧，对数函数的图象“底大图低〞．1=x 5指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． x a y =)1,0(log ≠>=a a x y a 且x y =6不同函数增长的差异：线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数)0(>+=k b kx y 函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸〞状)1(>=a a y x 态；对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长)1(log >=a x y a 速度平缓；幂函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间．)0(>=n x y n 7函数的零点：在函数的定义域内，使得的实数叫做函数的零点．)(x f y =0)(=x f x 8零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程()y f x =(),a b (),c a b ∈()0f c =c 的根.()0f x =9二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在],[b a ()()0f a f b ⋅<)(x f y =区间一分为二，使得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定准确度，用二分法求函数零点近似值的步骤： ε)(x f y =0x ⑴确定零点的初始区间，验证； 0x [],a b ()()0f a f b ⋅<⑵求区间的中点；[],a b c ⑶计算，并进一步确定零点所在的区间； )(c f ①假设，则就是函数的零点；0)(=c f c ②假设(此时)，则令； 0)()(<c f a f ),(0c a x ∈c b =③假设(此时)，则令；0)()(<b f c f ),(0b c x ∈c a =⑷推断是否到达准确度：假设，则得到零点的近似值(或)；否则重复上面的⑵至⑷. εa b ε-<a b 第五章 三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分： ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第αx α几象限角．第—象限角的集合为;{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为;{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为; {}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z角的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限 α终边在轴非负半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈=παα终边在轴非正半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非负半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非正半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+-=ππαα终边在轴的角的集合；x },|{Z k k ∈=παα终边在轴的角的集合；y },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在坐标轴的角的集合； },2|{Z k k ∈=παα2终边相同的角：与角终边相同的角的集合为．α{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．14角度与弧度互化公式：，，．2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5扇形公式：半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．假设扇形r αl αlrα=的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+．21122S lr r α==6三角函数的概念：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是，它与原点的距αα(),x y离是，则，，． ()0r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦． 8记忆特别角的三角函数值：α 15 30 45 60 75 90 120 135 150180 270 360 α 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 23ππ2 αsin 426- 21 22 23 426+ 1 23 22 210 1-0 αcos 426+ 23 22 21 426-0 21- 22- 23-1-01 αtan 32- 1 3 32+不存在 3- 1- 33-0 不存在9同角三角函数的根本关系：，；()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ．()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫==⎪⎝⎭10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．，，．()()1sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()()tan 2tan k k παα+=∈Z ，，． ()()2sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=，，．()()3sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-，，． ()()4sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-，．，． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11三角函数的图象与性质：sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)；(2)； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-(3)；(4)；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+(5)；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(6)． ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-13二倍角公式：(1)；(2)；sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(，)；(3)；2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=22tan tan 21tan ααα=-14半角公式：(1)；(2)；(3)；(4)2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=15辅助角公式：．的终边上在角点其中ϕϕϕ),(,tan ),sin(cos sin 22b a abx b a x b x a =±+=±16函数的图象与性质：b x A y ++=)sin(ϕω图象变换：先平移后伸缩：函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x =ϕ的图象；再将函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐()sin y x ϕ=+()sin y x ϕ=+1ω标不变)，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数的图象． A ()sin y x ωϕ=A +先伸缩后平移：函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函sin y x =1ω最值当时，22x k ππ=+()k ∈Z ；当max1y =22x k ππ=-时，．()k ∈Z min 1y =-当时，()2x k k π=∈Z ；当max 1y =2x k ππ=+时，．()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数．()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴数的图象；再将函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x ω=sin y x ω=ϕω的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+A 坐标不变)，得到函数的图象． ()sin y x ωϕ=A +五点法画图函数的性质：()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>①定义域为R ；②值域为；③单调性：依据函数的单调区间求函数的单调区间； ],[A A -x y sin =④奇偶性：当时，函数是奇函数；当时，函数Z k k ∈=,πϕ()sin y x ωϕ=A +Z k k ∈+=,2ππϕ是偶函数；⑤周期：；⑥对称性：依据函数的对称性研究函数的对称()sin y x ωϕ=A +ωπ2=T x y sin =性12π17函数的应用B x A y ++=)sin(ϕω①振幅：A ；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．2πωT =12f ωπ==T x ωϕ+ϕ⑥最值：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为B x A y ++=)sin(ϕω1x x =min y 2x x =maxy ，则，，．()max min 12y y A =-()max min 12y y B =+()21122x x x x T=-<。
第2章 直线和圆的方程-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(选择性必修第一册)
第2章 直线和圆的方程§2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向和直线l 向上的方向之间所成的角α叫直线的倾斜角，取值范围为0180α︒︒≤<.斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示.斜率k 公式：如果直线经过两点()11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠,则1212tan x x y y k --==α. 直线的方向向量：斜率为k 的直线的一个方向向量是()1,k ,若斜率为k 的直线的一个方向向量的坐标为(,)x y ，则y k x=. 2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为12k k ，的两条不重合的直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=.斜率分别为12k k ，的两条直线12,l l ，有12121l l k k ⊥⇔=-.§2.2 直线的方程1.直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=-（不能表示斜率不存在的直线）⑵斜截式：b kx y +=（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与y 轴的交点纵坐标（即y 轴上的截距）） ⑶两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- ⑷截距式：1x y a b+=（,a b 是直线在,x y 轴上的截距，且0,0a b ≠≠） ⑸一般式：0=++C By Ax （,A B 不同时为0） 2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ； ⑷12121-=⇔⊥k k l l .（二）对于直线:0l Ax By C ++=：（1）与直线:0l Ax By C ++=垂直的一个向量为(),A B ，平行的一个向量为(),B A -.（2）对于直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ； 1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；0212121=+⇔⊥B B A A l l .§2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知111222(,),(,)P x y P x y ，则()()21221221y y x x P P -+-=.（2）点到直线距离公式： 00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 为：2200B A CBy Ax d +++=.（3）两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 间的距离d 为：2221B A C C d +-=.§2.4 圆与方程1.圆的方程： ⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-(其中圆心为(,)a b ，半径为r .) ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(2240D E F +->).§2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系:（d 表示圆心到直线的距离） d r >⇔ 0⇔∆<相离;d r =⇔ 0⇔∆=相切;d r <⇔ 0⇔∆>相交.2.直线和圆相交弦长公式：222d r l -=（d 表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：21O O d =（1）外离：r R d +>；（2）外切：r R d +=；（3）相交：r R d r R +<<-；（4）内切：d R r =-（R r >）；（5）内含：r R d -<（R r >.。
新高考数学选择性必修一常用公式(一)精选全文
可编辑修改精选全文完整版第一章空间向量1、非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．2．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a | a 21＋a 22＋a 23夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 233．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．4．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点． 5．空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2n 1∥n 2⇒n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 2·n 2＝0直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥αn ⊥m ⇔m ·n ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm平面α、β的法向量分别为n 、m α∥βn ∥m ⇔n ＝λm α⊥β n ⊥m ⇔n ·m ＝06．两条异面直线所成角的求法两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．7．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n ||e |.8．求二面角的大小θ如图②③，n 1，n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小满足|cos θ|＝cos <n 1，n 2 >，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．9．利用空间向量求距离：线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为d ＝|AB →·n ||n |.10．直线的方向向量的确定：A ，B 是l 上任意两点，则AB →及与AB →平行的非零向量均为直线l 的方向向量．11．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.第二章 解析几何1．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值___叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan α___，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1___.2．直线方程的五种形式3．平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合___三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0___. 4．两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．5．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.6．7．d 为圆心(a ，b )到直线l Δ.8．291．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程． 2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.4．过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.5．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋(12l )2.。
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第一章空间向量
1、非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
2．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).
向量表示 坐标表示
数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3
垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0)
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 23
夹角 〈a ，b 〉 (a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23
3．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．
4．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．
5．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2
n 1∥n 2⇒n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 2·n 2＝0
直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥α
n ⊥m ⇔m ·n ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm
平面α、β的法向量分别为n 、m α∥β
n ∥m ⇔n ＝λm α⊥β n ⊥m ⇔n ·m ＝0
6．两条异面直线所成角的求法
两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |
(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)． 7．直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，向量e 与n 的夹角为θ，
则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n ||e |
.
8．求二面角的大小θ
如图②③，n 1，n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小满足|cos θ|＝cos <n 1，n 2 >，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．
9．利用空间向量求距离：线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．
如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为d ＝|AB →·n ||n |
. 10．直线的方向向量的确定：A ，B 是l 上任意两点，则AB →及与AB →平行的非零向量均为直线l 的方向向量．
11．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧
n ·a ＝0，n ·b ＝0. 第二章 解析几何
1．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值___叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan α___，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1
___. 2．名称 方程 适用范围
点斜式 __y －y 0＝k (x －x 0)___ 不含直线x ＝x 0
斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线
3．平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合___三种情况．
(1)两条直线平行
对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.
对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，
l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．
(2)两条直线垂直
对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0___.
4．两条直线的交点
直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 5．三种距离公式
(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.
特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.
(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B
2. 6．
7．d 为圆心(a ，b )到直线l Δ.
8．
291．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
3．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
4．过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
5．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋(12l )2.。