等差数列的讲义
麟子教育
一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。
2、等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥?=+
3、等差数列通项公式
若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．
推广：d m n a a m n )(-+=，从而m
n a a d m n --=
。 4、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112
n n n S na d -=+． 5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系
11,1,2
n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 二、等差数列的性质
1、等差数列的增减性
若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。
2、通项的关系
当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，
特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???
三、等差数列的判定与证明
1、等差数列的判定方法：
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )?{}n a 是等差数列；
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++?=+≥?=+；
练习
一、选择题
1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
2、已知等差数列{}n a 的公差12d =
，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135
D ．160． 3、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S
A ．390
B ．195
C ．180
D ．120
4、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A.54S S <
B.54S S =
C. 56S S <
D. 56S S =
二．填空题
1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .
2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .
3、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=?a a a ，则前10项的和S 10=
三．解答题
1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .
2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；
②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.
3、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
等差数列讲义(学生版)
2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项
等差数列知识点总结最新版
等差数列 1.定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字 母d 表示。 用递推公式表示为a .—a .」二d （ d 为常数）（n_2）； 2 ?等差数列通项公式 (1) a n (n -1)d =dn y -d(n N )(首项:a !，公差:d ，末项: 3. 等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2a n = an-1 ■ an 1 (n — 2) = 2a . 1 二 a . a . .2 d 2 1 n (a 1 d )n 2 2 2 =An Bn 等差数列的证明方法 二d 或am-a n=d （常数「N ）= & 是等差数列. 「a, 是等差数列 = 2a . - a n-1 ' a . 1 （n 一 2） = 2a n 1 = a . ' a . 2 ? （3） 数列"a n *是等差数列二a n 二kn ? b （其中k,b 是常数）。 （4） 数列乩1是等差数列二&二A n 2 ? Bn ,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ， (2) a n "m (n —m)d . 从而d =勺屯; n —m a n ) （2 ） 等差 中 项 数列；、和是等差 等差数列的前n 项和公式: n(a 1 +a n ) Sn 厂 （其中A 、B 是常数） （当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为 0) （1）定义法：若a n -a n j
数列复习讲义
精锐教育参训教师讲义 n a f + +=()n a f n ??=求n a ()f n ,求a
②形如11n n n a ka b a --+= 的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 二、数列求和的方法 1、公式法： { 等差数列求和公式：2) (1n n a a n s += 或2111(1)222n d d S na n n d n a n ??=+-=+- ??? 等比数列求和公式；?????≠--=--==)1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na s n n n 2、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 4、错位相减法：源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 5、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 公式：1 2 123(1)n n n ++++=+； 22221 6 123(1)(21)n n n n +++ +=++； 33332(1)2123[]n n n ++++ +=；2135n n +++ +=； $ 常见裂项公式：11 1 (1) 1 n n n n ++=- ； 1 11 1() ()n n k k n n k ++=- ； 111 1(1)(1) 2(1) (1)(2) [ ]n n n n n n n -++++=- ； 常见放缩公式：2 12 1111 2()2()n n n n n n n n n +-+++--= << =-. 知识点2 一、等差或等比数列的证明 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： 1、定义法：对于n ≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 2、通项公式法： ①若 =+（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； } ②若 ，则{}n a 为等比数列。 3、中项公式法：验证 都成立。 知识点3 一、数列的应用 1、“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算
等差数列知识点总结最新版
等差数列 1. 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： （1）* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ） （2）d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的证明方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，
高三一轮复习数列精细讲义
数列专题 基础知识梳理 1.数列：按排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，序号为的项叫第项，也叫通项，即；数列一般简记作。 2.通项公式：如果数列可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。用表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式。 3.从函数观点看，数列实质上是定义域为的函数，其图象是。 4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列， 数列，数列，数列。 5递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 6..等差数列一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列. 这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示. 7.等差中项由三个数，，组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为= ． 8.等差数列的通项公式． 9. 等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质： （1）； （2）； （3）则. 10. 等差数列的前项和公式1：公式2：. 11.在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列。 如：公差为 ; 是等差数列；公差为； 成等差数列. 12.等比数列 13.等差数列的性质 （1），； （2）在等差数列中，若，则，若，则； （3），为等差数列，公差分别为，则数列，，为数列； （4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，，，…为等差数列，公差为；（5）等差数列的前项和为S n，则S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也为等差数列，公差为； （6）通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当时，S n=na1, a n=a1） （7）若，，有最值，可由不等式组来确定； 若，，有最值，可由不等式组来确定． 14.等比数列的性质 （1）； （2）在等比数列中，若，则；若，则；
最新等差数列的讲义教学文稿
麟子教育 一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个 数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。 2、等差中项 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或b a A +=2 推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥?=+ 3、等差数列通项公式 若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 推广：d m n a a m n )(-+=，从而m n a a d m n --= 。 4、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112 n n n S na d -=+． 5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系 11,1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 二、等差数列的性质 1、等差数列的增减性 若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。 2、通项的关系 当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=??? 三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法： （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )?{}n a 是等差数 列； （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++?=+≥?=+；
数列专题复习教案设计
年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生 授课教师： 授课时间： 数列专题复习 题型一：等差、等比数列的基本运算 例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2、若等比数列{}n a 满足2412 a a = ，则2 135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。 题型二：求数列的通项公式 ⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法） 例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； 变式 已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式． (2).已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法（累积法） 例2、已知数列{}n a 满足：111 (2),21 n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； 变式 已知数列{}n a 满足n n a n a 2 1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。
等差数列知识点总结学习资料
第一讲 数列定义及其性质 一、基本概念： 1、通项公式：n a ； 2、前n 项和：n S 3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质： 1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -= 2、最值： 77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ???????---????>
1、已知数列{}n a 通项公式是231 n n a n =+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列{}n a 满足10a >，112 n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则 实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10,21 n n n a T n +=+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =L ，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ） 5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）
数列复习讲义1
数列复习讲义（1） 一.复习要求： 1.能熟练地运用等差、等比数列的公式、性质解决问题，熟练掌握常见数列问题的常规处理方法； 2.理解数列的周期性、单调性，并能用之解决一些简单的问题。 二.基础训练： 1.一个等差数列共有3m 项，若前2m 项的和为100，后2m 项的和为200，则中间的m 项的和是 （ ） ()A 50 ()B 75 ()C 100 ()D 125 2.一个等比数列的前n 项和12n n S a ?? =- ??? ，则a 的值为 （ ） () A 12 ()1 B ()1 2 C - ()1 D - 3.已知{}n a 是递增数列，且()2 n a n n n N λ=+∈，则实数λ的取值范围是 （ ） ()()0,A +∞ ()(),0B -∞ (){}0C ()()3,D -+∞ 4.在等比数列{}n a 中，7116a a ?=，4145a a +=，则 20 10 a a 的值是 . 5.数列{}n a 满足()1211,,2n n n a a a b a a a n +-===-≥，则100a = ，100S = . 三.例题分析： 例1.数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2 12n n n S a S ??=- ??? , （1）求n S 的表达式； （2）设21 n n S b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T .
例2.已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意2n ≥，总有13 34,,22 n n n S a S --- 成等差数列,求数列{}n a 的通项公式。 例3.已知数列{}n a 满足111 1,n n n a a pa p +==+（其中p 为正实数）， （1）当1p =时，求通项n a ； （2）当1p ≠时，令n n n a b p =，又()1n n n c b b n N +=-∈，求证：数列{}n c 是等比数列； （3）记()12n n S c c c n N =+++∈，求n S . 四.课后作业：
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d) （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列
小学奥数等差数列资料讲解
一、 等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式
11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、 一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。
等差数列知识点总结及练习(精华word版)
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈* N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时， () 121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+= =奇 () 22246212 n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇
等差数列及其前n项和复习讲义
等差数列及其前n 项和-复习讲义 一、知识梳理 1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 2．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋a n 2或S n ＝na 1＋nn －1 2 d . 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 4．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 5．等差数列的判断方法 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. (3)通项公式法：n a pn q =+ (4)前n 项和法：2n S An Bn =+ 6．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . (4)若n 为偶数，则2 n S S d -=偶奇 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 7．等差数列与函数 在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d 2，且常数项为0. 二、巩固训练 1．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 答案 15解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15. 2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B 解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0.又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20. 3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176
(完整版)等差数列知识点整理与经典例题解
等差数列复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833 d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2 n n n S na d -=+。 如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2*2*12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
小学 等差数列 讲义
第二讲：等差数列 一，数列有关知识点： ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排 列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列 的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9” 是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项 是“1”，“3 1”是这个数列的第“3”项，等等 4．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d 表示 5．等差数列的通项公式：（每一项都可用通项公式来表示） d n a a n )1(1-+= 6．数列的前n 项和： 数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数 等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 等差数列的前n 项和公式2：2 )1(1d n n na S n -+ = 二．例题精讲 例1，认识数列：等差数列:3、6、9、 (96) 这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
例2，有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 例3.有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 例4，计算2+4+6+8+…+1990的和。 提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。 解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+… +1990=(2+1990)×995÷2=991020。 例5.计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。 解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。 例6，已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。 解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。
超全数列基本知识点复习讲义
等差数列 一、数列 定义：有序的一列数 表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6…… 2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义 域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征 3）递推关系：1 ()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的 差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公 式 4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11 (2) (1)n n S S n S n --≥??=?（记⑤） ★★★难点：递推公式?通项公式 通项公式?求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ?递推公式?通项公式n S ??不等式（中间截取一段或者几段） 二、等差数列 1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+- 2. 通项公式：1(1)()n a a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①）） 1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③）） 3. 求和公式： 1()2 n n a a n S += （把n a 的式子代入）1(1) 2 n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。二次项系数为2 d ，决定开口方向。（记④） ?从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的） 考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式 例题1.已知一个等差数列{}n a ，2 5a =，57a =，求通项公式 解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d 52233a a d -= = ，1133a =，1132211 (1)(1)=3333 n a a n d n n =+-=+-?+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ） 所以23n a n = +一个数，然后代入2a ，解得那个数是113 例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S 解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列 常规解法：21221(1) 7,9,2,7262 n n n a a d a a S n n n -===-==+ ?=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，2 2 n d S n =+一个数n ?2=n +一个数n ? 想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1?，可知，这个数为6 所以26n S n n =+ 2）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-，求{}n a 的通项公式 解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列 由口算解法，可知6n a n =+一个数，由112S a ==，64n a n =-
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
等差数列讲义(清晰打印版)
数列 1. 学习重难点 学习目标：掌握等差数列求和、求第n项、求项数的方法，学会找双重数列的规律和运用。 重点知识： （1）等差数列求和、求第n项、求项数； 2. 寻找下列数列的规律。 （1）1，4，7，10，13，（），19.这个数列有什么规律？ （2）1，2，3，1，2，3，1，（），3.这个数列有什么规律？ 3.等差数列定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。 例如： 1，3，5，7，9，11，13 100，90，80，70，60，50 9，9，9，9，9，9，9，9 【例题】判断下面数列是否为等差数列 （1）1，2,3,4,5,6,7, （2）0.0,0,0,0,0,0 （3）100,99,98,97,96 （4）1，3,4,6,7,8, 4．等差数列介绍.
5.第几项相关知识点 【核心公式一】 第n项 = 首项+公差×(项数-1)【例题】 1,3,5,7,9........这个数列中， （1）公差是多少 （2）首项末项分别是多少 （3）第99项是多少 （4）第101项是多少
6.项数知识点 【例题】仔细观察上面数列，2和2006相差多少个公差？【答案】2004÷3=668（个） 【例题】2006是第几项？ 【答案】668+1=669（项） 【核心公式】 项数=（末项 - 首项）÷公差 + 1 【例题】 在1,3,5,7,9,11……….99数列中， （1）共有多少项？ （2）99是第几项？ 7.等差数列求和 【例题】计算：2+4+6+8+10+12+14 【核心公式】 和=(首项+末项) ×项数 ÷2