邱关源《电路》第五版第11章-电路的频率响应

重点 1. 网络函数 2. 串、并联谐振的概念；网络函数当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。

因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。

频率特性：电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。

1. 网络函数H （j ω）的定义在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。

)()()(ωωωj E j R j H def ••= 2. 网络函数H (j ω)的物理意义驱动点函数（同一点处的电压电流的函数关系）激励是电流源，响应是电压)j ()j ()j (ωωωIU H = 策动点阻抗 激励是电压源，响应是电流)j ()j ()j (ωωωUI H = 策动点导纳 转移函数(传递函数，不同点处的电流电压关系)a. 激励是电压源)j ()j ()j (12ωωωU I H = (转移导纳) )j ()j ()j (12ωωωU U H = (转移电压比) b. 激励是电流源)j ()j ()j (12ωωωI U H = (转移阻抗))j ()j ()j (12ωωωI I H = (转移电流比) 注意：1. H(j )与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位置有关，与输入、输出幅值无关。

因此网络函数是网络性质的一种体现。

2. H(j ) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：幅频特性：模与频率的关系 ωω|~)(j |H相频特性：幅角与频率的关系 ωωϕ~)(j3. 网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。

注意：以网络函数中j ω的最高次方的次数定义网络函数的阶数。

由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有)j ()j ()j (ωωωE R H = → )j ()j ()j (ωωωE H R = RLC 串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象。

谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。

1. 谐振的定义 含R 、L 、C 的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。

用公式表示为：R Z IU == 2. 串联谐振的条件X R X X R ωCωL R Z C L j )(j )1(j +=++=-+= （画图描述） 。

时，电路发生谐振当 1 0 00CL ωX ω=⇒= LCω10=称为谐振角频率，它是一个仅与电路参数有关的量。

LCf π210=称为谐振频率 串联电路实现谐振的方式：(1) LC 不变，改变ω0由电路参数决定，一个RLC 串联电路只有一个对应的0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。

(2)电源频率不变，改变L 或C (常改变C )。

3. RLC 串联电路谐振时的特点阻抗的频率特性：)(|)(|)1(j ωωZ C L R Z ϕωω∠=-+= 222222)()1(|)(|X R X X R CL R ωZ C L +=++=-+=ωω （幅频特性）RX R X X R ωC ωL ωC L 111tg tg 1tg ) (---=+=-=ϕ （相频特性）Z(j ω)频响曲线Z(j ω)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：. ).1(同相与I U 谐振时入端阻抗为纯电阻，即Z=R ，阻抗值|Z|最小。

U 一定时，电流I 和电阻电压UR 达到最大值 I0=U/R 。

(2) LC 上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即：相当于短路。

LC U U C L ,0 =+•• U U R = ，上电源电压全部加在电阻 U Q R U L I L U L j j j 00 ===•ωω U Q R U L C I U C j j j 00 -=-=-=•ωω QU U U CL == 品质因数： R C L R R L Q ρω===1 0 CL =ρ称为电路的特性阻抗(3) 谐振时出现过电压当 ＝ω0L =1/(ω0C )>>R 时，Q>>1，U L = U C =QU >>U例：某收音机输入回路 L=，R=10，为收到中央电台560kHz 信号，求：(1)调谐电容C 值；(2) 如输入电压为V,求谐振电流和此时的电容电压。

解：pF 269) 2(1 )1(2==L f C π A μ 15.0105.1 )2(0===R U I V μ 5.1V μ 5.1580>>==C C X I U(4) 谐振时的功率P=UIcos ＝UI ＝RI 02=U 2/R ，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。

0sin =+==C L Q Q UI Q ϕ2002002001 , LI I CωQ LI ωQ C L ω-=-== 注意：电源不向电路输送无功。

电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

(5) 谐振时的能量关系设：t U u 0m sin ω=；则：t I t RU i 0m 0m sin sin ωω== t I CL t C I u C 0m o 00m cos )90sin(ωωω-=-= t LI Cu w C C 022m 2cos 2121ω== → 电场能量 t LI Li w L 022m 2sin 2121ω== → 磁场能量 公式表明：1. 电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等WL m=WC m 。

L 、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。

2. 总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。

U RL QU U o 0C r ω==222m 2m 2121U CQ CU LI w w w C C L ===+=总 电感、电容储能的总值与品质因数的关系：耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的π2π202020202000=⋅=⋅==T RI LI RI LI R L Q ωω Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，Q 越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。

则振荡电路的“品质”愈好。

一般在要求发生谐振的回路中希望尽可能提高Q 值。

例：一接收器的电路参数为：U=10V ，ω=5103 rad/s, 调C 使电路中的电流最大，Imax=200mA ，测得电容电压为600V ，求R 、L 、C 及Q 。

解：Ω=⨯==-50102001030I U R 6010600===⇒=U U Q QU U C C mH 601056050 30=⨯⨯==ωRQ L μF 67.61C 20 ==L ωRLC 串联电路的频率响应研究物理量与频率关系的图形（谐振曲线）可以加深对谐振现象的认识。

1. )j ()j ()j (SR ωωωU U H =的频率响应 )1(j )j ()j ()j (S R CL R R U U H ωωωωω-+== 为比较不同谐振回路，令ηωωω=→0S (j )1(j )11(j )j()1j ()R R U R H U R L Q C ωηωωηωη===+-+-1(j )arctan[()]Q φηη=--相频特性幅频特性分析可见：谐振电路具有选择性在谐振点响应出现峰值，当 偏离0时，输出下降。

即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应，对谐振信号最突出(响应最大)，而对远离谐振频率的信号具有抑制能力。

这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。

谐振电路的选择性与Q 成正比Q 越大，谐振曲线越陡。

电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力，所以选择性好。

因此Q 是反映谐振电路性质的一个重要指标。

谐振电路的有效工作频段（如图所示）半功率点：声学研究表明，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。

通频带：12 ωω-3分贝频率|(j )|cos (j )R H ηφη=可以证明：.Δ1 012012ωω=-=-=ωωωηηQ 定义：H dB = 20log 10[U R （j ）/U S （j1）] = –3 dB通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。

是比较和设计谐振电路的指标。

U R =U R /|Z| (μA)，U R0=10，U R2=%04.30R 1R =U U ，%46.30R 2R =U U ∴收到北京台820kHz 的节目。

RLC 并联谐振电路1. G 、C 、L 并联电路)1(j ωLωC G Y -+= 谐振角频率：LCω10= 谐振特点：入端导纳为纯电导，导纳值|Y|最小，端电压达最大。

LC 上的电流大小相等，相位相反，并联总电流为零，也称电流谐振，即S S C I Q GI C C U I j j j 00===ωωS S L I Q G I C L U I j j j / 00-=-==ωω I L (w0) =I C (w0) =QI S品质因数：LC G GL ωG C ωQ 1100=== 谐振时的功率：G U UI P /2==L U CU Q Q C L 0220ωω===，0C =+Q Q L 谐振时的能量：2. 电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：（1）谐振条件LR C Y ωωj 1j ++= ))((j )(2222L R L C L R R ωωωω+-++= B G j +=0)(20200=+-L ωR L ωC ω →20)(1LR LC ω-= 注意：电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足：可以发生谐振 时, 即CL R L R LC <>- ,0)(1 2 一般线圈电阻R<<L ，则等效导纳为 )1(j )( ))((j )(22222L C L R L R L C L R R Y ωωωωωωω-+≈+-++= 谐振角频率：LC ω10≈22000S ()()()L C W W W LQ I ωωω=+=等效电路：R L G R e e 20)(1ω≈= 品质因数：RL R CL L R C G C ωQ 02302000)/(ωωωω==== （线圈的品质因数） （2）谐振特点电路发生谐振时，输入阻抗很大；RC L RL ωR L ωR R ωZ =≈+==2020200)()()( 电流一定时，端电压较高。

RC L I Z I U 000== 支路电流是总电流的Q 倍，设R<<LC U L U I I C L 00ωω=≈≈ Q RL RC L RC U L U I I I I C L =====000001)/(/ωωω 00I QI I I C L >>=≈例1.如图R=10的线圈其Q L =100，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个100k 的电阻，求电路的Q.解：R L Q L 0 100ω== R RQ L L >>Ω==10000ωΩ==≈k R L R e 1001010)(620ω Ω==k R eq 50100//100501000105030=⨯==L R Q eq ω 例2.如图R S =50k ，U S =100V ，0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，求L 、C 、R 及谐振时I0、U 和P 。