2018版高中数学第二章函数2.2.3待定系数法学业分层测评新人教B版必修1
高中数学：2.2.3待定系数法单元测试题(新人教B版必修1)
2.2.3 待定系数法 测试题一、 选择题：1、一次函数12-=x y ，在图像上有一点)3,(x A ,则x 的值为 （ ）（A ）2 （B ）5 （C ）21 （D ） 51 2、抛物线122+-=x x y 的对称轴为 （ ）（A ）直线x=1 （B ）直线x=-1 （C ）直线x=2 （D ） 直线x=-23、已知抛物线通过点(-3,2),极点是（-2，3），则抛物线的解析式为（ ）A ）142---=x x y （B ）142--=x x y （C ）142-+=x x y （D ） 142+--=x x y4、已知二次函数c bx ax y ++=2的最大值为2，图像极点在直线1+=x y 上，而且图象过点（3，-6），则c b a ,, 的值为 （ ） （A ）-2，4，0 （B ）4，-2，0 （C ）-4，-2，0 （D ） -2，-4，05、抛物线极点坐标为（3，-1），与y 轴交点为（0，-4），则二次函数的解析式为 （ ）（A ）42312+--=x x y （B ）42312-+-=x x y （C ）42312+-=x x y （D ）42312-+=x x y 6．已知)(x f 为一次函数，且78)))(((+=x x f f f ，则=)(x f （ ）+1 +2 C.－2x+1 +77．已知二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是x=1，而且通过点A （－1，7），则a ，b的值别离是（ ），4 ，－4 C.－2，4 D.－2，－48．已知))(1(322b ax x x x +-=-+，则a,b 的值别离为（ ），3 ，－3 C.－2，3 D.－2，－39．已知))()((65223c x b x a x x x x +++=--+，则a,b,c 的值别离为（ ），2，3 ，－2，－3 C.1，－2，3 ，2，－3二、填空题：10．已知72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f ＝____________________；11．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，则)(x f ＝______________；12、已知)(x f 是二次函数，知足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=则=)(x f __________.13、已知反比例函数过点（2，3），则函数表达式为_______________________.14、一次函数54)(-=x x f ，则=-)3(x f ____________________________.三、解答题：15、已知二次函数)(x f ，5)2(,4)1(,5)0(==--=f f f ，求这个函数的解析式.参考答案：一、 选择题：1． A ；2． A ；3． A ；4． A ；5． B ；6．A ；7．B ；8．A ；9．C ；二、填空题：10．6)(2+=x x f11．535651)(2---=x x x f 12．21x x -+13．6y x=14．417x - 三、解答题：15. 设函数的解析式为2()f x ax bx c =++ 214351314134()53335425a c a b c b f x x x a b c c ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪∴=-+⇒=-∴=--⎨⎨⎪⎪=++⎩=-⎪⎪⎩。
2018版高中数学 第二章 函数章末分层突破学案 新人教B版必修1
第二章函数[自我校对]①定义域②图象法③解析法④奇偶性⑤二次函数的图象与性质函数有三要素：究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．(1)函数y ＝3x21－2x＋(2x ＋1)0的定义域是________．(2)定义域分别是D f ，D g 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定：函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，x ∈D f 且x ∈D g ，f x ，x ∈D f 且x ∉D g ，g x ，x ∉D f 且x ∈D g ，若函数f (x )＝－2x ＋3，x ≥1，g (x )＝x －2，x ∈R ，则函数h (x )的解析式为________，函数h (x )的最大值为________．【精彩点拨】 (1)根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可． (2)根据函数h (x )的定义，对x 进行分类讨论，可得出h (x )的解析式，求出分段函数每一段的最大值，最大者即为所求．【规范解答】 (1)∵函数y ＝3x21－2x ＋(2x ＋1)0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，解得x ＜12，且x ≠－12，∴函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12，且x ≠－12. (2)①由于函数f (x )＝－2x ＋3，x ≥1，g (x )＝x －2，根据题意得： 当x ≥1时，h (x )＝f (x )g (x )＝(－2x ＋3)(x －2)＝－2x 2＋7x －6； 当x ＜1时，h (x )＝g (x )＝x －2.所以h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋7x －6，x ，x －2，x②当x ≥1时，h (x )＝－2x 2＋7x －6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＋18，因此，当x ＝74时，h (x )最大，h (x )的最大值为18.若x ＜1时，h (x )＝x －2＜1－2＝－1.∴函数h (x )的最大值为18.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜12，且x ≠－12 (2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋7x －6，x ，x －2，x18[再练一题]1．已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，则f (x )＝________.【导学号：60210067】【解析】 因为f (3)＝f (－1)＝5，所以函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝1，又y ＝f (x )的最大值为13，所以可设f (x )＝a (x －1)2＋13，且a <0，由f (3)＝a (3－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f (x )＝－2(x －1)2＋13，即f (x )＝－2x 2＋4x ＋11.【答案】 －2x 2＋4x ＋11的有力工具，利用单调性可以比较函数值的大小，求函数的值域和最值，作出函数的图象等，它反映了函数值随自变量大小变化的情况．函数的奇偶性则反映了函数值的符号随自变量变化的情况，是函数图象对称性的数量表示．函数奇偶性和单调性的综合应用是高考的重点与热点内容．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174， (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的单调性，并证明． 【精彩点拨】 (1)由函数是奇函数得到c ＝0，再利用题中的2个等式求出a ，b 的值．(2)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上任取2个自变量x 1，x 2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．【规范解答】 (1)∵f (－x )＝－f (x )，∴c ＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧f ＝52，f＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可得f (x )＝2x ＋12x，∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是单调递减的． 证明：设任意的两个实数0<x 1<x 2<12.∵f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝x 2－x 1－4x 1x 22x 1x 2，又∵0<x 1<x 2<12.∴x 2－x 1＞0,0<x 1x 2<14，1－4x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0.∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是单调递减的． [再练一题]2．已知f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，解析式为f (x )＝2x ＋3x ＋1.(1)求f (x )在R 上的解析式；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数.【导学号：97512035】【解】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－2x ＋3－x ＋1，又∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x ＋3－x ＋1，∴f (x )＝－2x ＋3x －1，又∵奇函数在0点有意义，∴f (0)＝0，∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3x －1，x <0，0，x ＝0，2x ＋3x ＋1，x >0.(2)证明：设∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1＝x 1＋x 2＋－x 2＋x 1＋x 1＋x 2＋＝－x 1＋x 2x 1＋x 2＋，∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2， ∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数.使抽象的思维和形象思维相结合，把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ， (1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若函数f (x )在区间(－1，a －2)上单调递增，求实数a 的取值范围． 【精彩点拨】 (1)根据函数奇偶性，即可求函数f (x )在R 上的解析式； (2)作出函数f (x )的图象，利用数形结合的思想即可求出a 的取值范围． 【规范解答】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0. 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0的图象如图：则由图象可知要使f (x )在(－1，a －2)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．[再练一题]3．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x ∈[0,3]上的图象如图21所示，则不等式f xg x<0的解集是________．图21【解析】 将不等式f xg x<0转化为f (x )g (x )＜0，如图所示：当x ＞0时，其解集为(0,1)∪(2,3)，∵y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，∴f (x )g (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )g (x )＜0，∴其解集为(－2，－1)．综上，不等式f xg x<0的解集是{x |－2＜x ＜－1或0＜x ＜1或2＜x ＜3}．【答案】 {x |－2＜x ＜－1或0＜x ＜1或2＜x ＜3}区间也固定)有以下结论：(1)当－b2a<m 时，f (x )在[m ，n ]上是增函数，最小值为f (m )，最大值为f (n )；(2)当m ≤－b 2a ≤n 时，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，最大值为f (m )或f (n )m ，n 离－b2a 较远的一处对应的函数值为最大值；(3)当－b2a >n 时，f (x )在[m ，n ]上是减函数，最小值为f (n )，最大值为f (m )．当a <0时，可仿此讨论．设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)． (1)证明：f (x )是偶函数；(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (3)求函数的最值．【精彩点拨】 解答本题首先根据f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，然后讨论x 的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．【规范解答】 (1)证明：f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，且定义域[－3,3]关于原点对称，所以f (x )是偶函数．(2)当0≤x ≤3时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2； 当－3≤x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2，0≤x ≤3，x ＋2－2，－3≤x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．(3)当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为f (1)＝－2，最大值为f (3)＝2； 当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (－3)＝2.综上，f (x )的最大值为2，最小值为－2. [再练一题]4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是P (万元)和Q (万元)．它们与投入资金x (万元)的关系为：P ＝15x ，Q ＝35x ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？能获得多少利润？【解】 设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元． ∵经营销售甲、乙两种商品所获利润P 、Q 与投入的资金x 的关系为：P ＝15x ，Q ＝35x .∴y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)．令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2. ∴y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)；当t ＝32时，x ＝34＝0.75(万元)．∴3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投入的资金分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润1.05万元.解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的．在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想．已知函数f (x )＝x 2－x ＋a 至少有一个零点为非负实数，求实数a 的取值范围. 【导学号：60210068】【精彩点拨】 法一：将函数零点问题转化成方程根的问题求解．法二：借助函数f (x )的图象利用数形结合的思想求解．【规范解答】 法一：函数f (x )＝x 2－x ＋a 至少有一个零点为非负实数等价于方程x2－x ＋a ＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为x ＝12，∴方程x 2－x ＋a ＝0不可能有两个负实根， ∴当方程x 2－x ＋a ＝0无实根时，Δ＝1－4a <0， ∴a >14.设A ＝{|a ⎭⎬⎫a >14，a ∈R ， 则∁R A ＝{|a⎭⎬⎫a ≤14，a ∈R ，即满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.法二：函数f (x )的图象如图所示，f (x )至少有一个零点为非负实数，必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14－12＋a ≤0∴a ≤14，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. [再练一题]5．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根，分别为x 1＝3，x 2＝4，求函数f (x )的解析式．【解】 将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x2ax ＋b －x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴f (x )＝x 2－x ＋2(x ≠2)．1．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【解析】 ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2【解析】 由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. 【答案】 D3．设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 【答案】 －2 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【解析】作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.【答案】 (3，＋∞)5．已知函数f (x )＝ax 2＋1x，其中a 为实数．(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由． 【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝1x，显然是奇函数；当a ≠0，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，f (1)≠f (－1)且f (1)＋f (－1)≠0， 所以此时f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a x 1＋x 2－1x 1x 2， 因为1≤x 1<x 2≤2，所以x 1－x 2<0,2<x 1＋x 2<4,1<x 1x 2<4， 所以2<a (x 1＋x 2)<12，14<1x 1x 2<1，所以a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故函数f (x )在[1,2]上单调递增．。
2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 2-3 函数的应用Ⅰ 含答案 精品
应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活．知识点一常见的函数模型思考用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型，常见的函数模型有哪些？梳理三类常见函数模型思考解决实际问题的基本过程是什么？梳理数学模型的基本程序类型一一次函数模型的应用例1某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(千瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示．(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费多少元？(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；(3)月用电量为260千瓦时时，应交电费多少元？引申探究若将例1(2)中的x≥100去掉，求y与x的关系式．反思与感悟一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．跟踪训练1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？类型二二次函数模型的应用例2如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？引申探究若将例2改为：要使鸡场面积为6253，怎样设计可使用的篱笆最短？反思与感悟 (1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．跟踪训练2 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． (1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？类型三分段函数模型的应用例3某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)反思与感悟分段函数模型的求解技巧(1)在求其解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重，不漏”．(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间．跟踪训练3某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图中的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示．(1)(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？1．某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只球；②按球拍和球的总价的92%付款．某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法()A．①B．②C．两种一样D．不能确定2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为()A．95元B．100元C．105元D．110元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3 m B．4 mC．6 m D．12 m解决函数应用问题的一般程序(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系．(2)建模：将文字语言转化成数学语言，选择适当的函数建立函数模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将得到的结论，还原为实际问题的结果．答案精析问题导学 知识点一思考 一次函数、二次函数、反比例函数． 梳理y ＝kx ＋b k ≠0 反比例 y ＝a ·⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a知识点二思考 ①分析问题，②建立函数模型，③解决函数问题，④回到实际问题． 题型探究例1 解 (1)月用电量为100千瓦时时，应交电费为60元． (2)当x ≥100时，y 与x 之间为一次函数关系．设y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧200k ＋b ＝110，100k ＋b ＝60，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝10， ∴y ＝12x ＋10.(3)当x ＝260时，y ＝12×260＋10＝140(元)．所以月用电量为260千瓦时时，应交电费为140元．引申探究 解 由函数图象不在同一条直线上，所以选择分段求解． (1)当0≤x ≤100时，设y ＝kx ，则60＝100k ，∴k ＝35，∴y ＝35x .(2)当x ≥100时，同上例(2)，y ＝12x ＋10.∴y ＝⎩⎨⎧35x ，0≤x ≤100，12x ＋10，x ＞100.跟踪训练1 解 (1)买4个茶壶，送4个茶杯，再单买x －4个茶杯， ∴y ＝5(x －4)＋20×4(x ≥4)，即y ＝5x ＋60(x ≥4)．当x ＝40时，y ＝5×40＋60＝260(元)． (2)只买茶杯，则y ＝0.92×5x ，即y ＝4.6x . 当x ＝40时，y ＝4.6×40＝184(元)．比较两种方案，可以看出，应选择第(2)种方案更优惠． 例2 解 设鸡场面积为S . ∵养鸡场总长为x ，∴宽为50－x3.∴S ＝x ·50－x 3即S ＝－13(x 2－50x )＝－13(x －25)2＋6253，∴当x ＝25时，S max ＝6253. 即鸡场的长度为25米时，面积最大． 引申探究 解 ∵长为x ，∴宽为6253x ，∴L ＝x ＋6253x ×3，即l ＝x ＋625x.由对勾函数的性质知，L ＝x ＋625x 在(0,25)上为减函数，在(25，＋∞)上为增函数，∴当x ＝25时，L min ＝25＋25＝50.跟踪训练2 解 (1)由题可设y ＝a (x －15)2＋17.5，将x ＝10，y ＝20代入上式， 得20＝25a ＋17.5. 解得a ＝110.所以y ＝0.1x 2－3x ＋40(10≤x ≤25)． (2)设最大利润为Q (x )， 则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －(0.1x 2－3x ＋40)＝－0.1(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)． 因为x ＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．例3 解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0＜x ≤100时，P ＝60；当100＜x ≤550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50；当x ＞550时，P ＝51. ∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0＜x ≤100，62－x50，100＜x ≤550，51，x ＞550.(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝(P －40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0＜x ≤100，22x －x250，100＜x ≤550，(x ∈N ＋).11x ，x ＞550，当x ＝500时，L ＝6 000；当x ＝1 000时，L ＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．跟踪训练3 解 (1)由图知该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数图象为两条直线段，且在前20天，图象经过点(0,2)和(20,6)，后10天经过点(20,6)和(30,5)，故解析式为P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0＜t ≤20，t ∈N ＋，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N＋.(2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，将(4,36)与(10,30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.解得a ＝－1，b ＝40. 日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝40－t,0＜t ≤30，t ∈N ＋. (3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧(15t ＋2)×(40－t )，0＜t ≤20，t ∈N ＋(－110t ＋8)×(40－t )，20＜t ≤30，t ∈N＋.即y ＝⎩⎨⎧－15t 2＋6t ＋80，0＜t ≤20，t ∈N ＋，110t 2－12t ＋320，20＜t ≤30，t ∈N ＋.当0＜t≤20时，当t＝15时，y max＝125；当20＜t≤30时，y＝110t2－12t＋320在(20,30]上是减函数，又当20＜t≤30时，y max＜110×202－12×20＋320＝120＜125，所以第15日交易额最大，最大值为125万元．当堂训练1．A 2.D 3.A 4.A。
新人教B版必修一2.2.3《待定系数法》word学案
一、基本知识：待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的，可先把所求函数写为一般形式，其中，然后再根据题设条件求出这些．这种通过求来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．二、例题讲解：考点一：求一次函数的解析式例1 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1[小结] 用待定系数法求函数解析式的步骤：(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式．(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．练习：1、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.考点二：求二次函数的解析式ax＋bx＋c的解析式．例2、根据下列条件，求二次函数y＝2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．练习：2、若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为________考点三：待定系数法的综合应用例3、(12分)如果函数f (x )＝x 2＋a bx －c (b ，c ∈N *)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<21 ，求f (x )的解析式．练习：3．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.求f (x )的解析式．方法总结：运用待定系数法的常见设法：(1)正比例函数，设解析式为y ＝kx (k ≠0)．(2)一次函数，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．(3)反比例函数，设解析式为y ＝k x (k ≠0)．(4)对于二次函数，①若已知顶点坐标为(h ，k )，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)．②若已知对称轴方程为x ＝h ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋c (a ≠0)．③若已知函数的最大值或最小值为k ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)． ④若已知函数与x 轴只有一个交点(h,0)，则可设交点式y ＝2)(h x a - (a ≠0)． ⑤若已知函数与x 轴有两个交点(1x ,0)，(2x ,0)，则可设交点式y ＝a (x －1x )(x －2x )(a ≠0)．⑥若已知函数图象上两对称点(1x ，m )，(2x ，m )，则可设对称点式y ＝a (x －1x )(x －2x )＋m (a ≠0)．⑦若已知函数图象上的三点，则可设一般式y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)．三、课后练习：1．反比例函数y ＝12x的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，求一次函数的解析式．2．已知y ＝2x －4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，函求数解析式为.。
2018版高中数学第二章函数2.2.1一次函数的性质与图象学业分层测评新人教B版必修1
一次函数的性质与图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数y ＝ax 2＋x b －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1 B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2 D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2【解析】 若函数为一次函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b －1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.b ＝2.【答案】 C2．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20)【解析】∵每小时的排水量为3 m 3，t 小时后的排水量为3t m 3，故水池中剩余水量Q ＝60－3t ，且0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.【答案】 B3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )【解析】 对于A ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a >0，y 1和y 2中的a 、b 符号分别相同，故正确；对于B ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a >0，故不正确； 对于C ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a <0，故不正确；对于D ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a <0，故不正确． 【答案】 A4．过点A (－1,2)作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【解析】 当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A 与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．【答案】 B5．已知一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不经过第三象限，化简a2－4a ＋4＋a2－6a ＋9的结果是( ) A ．2a －5 B ．5－2a C ．1D ．5【解析】∵一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不过第三象限，∴a －2<0，∴a <2. ∴a2－4a ＋4＋a2－6a ＋9＝|a －2|＋|a －3| ＝(2－a )＋(3－a ) ＝5－2a . 故选B.【答案】 B 二、填空题6．一次函数f (x )＝(1－m )x ＋2m ＋3在[－2,2]上总取正值，则m 的取值范围是________.【导学号：97512020】【解析】 对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需⎩⎪⎨⎪⎧－，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋2m ＋3>0，2－2m ＋2m ＋3>0.解之，得m >－14.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 7．已知函数y ＝x ＋m 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25，则m ＝________. 【解析】 函数与两坐标轴的交点为(0，m )，(－m,0)，。
数学人教B版必修1同步训练：2-2-3待定系数法 含解析
2.2.3 待定系数法5分钟训练1.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的符号是( )A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0 答案：D解析：观察图象可知k<0,b<0.2.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是( )A.9 cmB.10 cmC.10.5 cmD.11 cm 答案：B解析：设一次函数解析式为y=kx+b, 则⎩⎨⎧+=+=.2020,55.12b k b k解得⎩⎨⎧==.10,5.0b k所以y=0.5x+10. 当x=0时,y=10.3.f(x)是正比例函数,且f(-2)=-1,则f(x)=______________;g(x)是反比例函数,且g(-2)=-1,则g(x)=______________. 答案：21x x2 解析：设f(x)=k 1x(k 1≠0),g(x)=22-k (k 2≠0), 由题意可得-1=k 1×(-2),-1=22-k . 所以k 1=21,k 2=2.故f(x)=21x,g(x)=x2. 4.用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(1)一般式:____________; (2)零点式: ____________;(3)顶点式:____________. 答案：(1)y=ax 2+bx+c(a≠0) (2)y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) (3)y=a(x+k)2+h(a≠0) 10分钟训练1.已知一次函数y=kx+b,当x 增加3时,y 减小2,则k 的值是( ) A.32-B.23-C.32D.23 答案：A2.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如图所示,若a<0,c>0,那么它的图象大致是( )答案：D解析：∵a<0,∴二次函数的图象开口向下,排除A 、B. 又∵c>0,图象不过原点,∴排除C.3.如图所示,二次函数y=x 2-4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.1 答案：C解析：由函数图象可知C 点坐标为(0,3),再由x 2-4x+3=0可得x 1=1,x 2=3. 所以A 、B 两点之间的距离为2,那么△ABC 的面积为3.4.二次函数y=x 2+bx+c 的图象顶点是(-1,-3),则b=____________,c=____________. 答案：2 -2解析：顶点横坐标x=2b-=-1,得b=2. 纵坐标4441442-=⨯-c b c =-3,得c=-2. 5.已知f(x)是一次函数,若f ［f(x)］=9x+3,则f(x)= ____________. 答案：3x+43或-3x 23- 解析：设f(x)=ax+b.f ［f(x)］=a 2x+ab+b=9x+3, 比较系数a 2=9,ab+b=3.解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==.23,343,3b a b a 或所以f(x)=3x+43或f(x)=-3x 23-. 6.二次函数图象经过A(0,2)和B(5,7)两点,且它的顶点在直线y=-x 上.求该二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-k)2+h(a≠0). 因函数的顶点在直线y=-x 上,所以h=-k. ① 又图象经过A 、B 两点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,7)5(,222h k a h ak ② 由①②,解得k 1=35-,k 2=2. 当k 1=35-时,h=35,a=253,y=253(x+35)2+35;当k 2=2时,h=-2,a=1,y=(x-2)2-2. 所以二次函数的解析式为y=253(x+35)2+35或y=(x-2)2-2. 30分钟训练1.若(2,5),(4,5)是抛物线y=ax 2+bx+c 上的两点,那么它的对称轴为直线( ) A.x=ab-B.x=1C.x=2D.x=3 答案：D解析：(2,5)与(4,5)两点关于直线x=3对称.2.若抛物线y=x 2-(m-2)x+m+3的顶点在y 轴上,则m 的值为( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 答案：D 解析：由12)2(⨯--m =0,得m=2.3.(探究题)已知反比例函数y=xk的图象如图所示,则二次函数y=2kx 2-x+k 2的图象大致为( )答案：D解析：由反比例函数图象,可知k<0. 所以二次函数的图象开口向下,对称轴为x=k41<0,故选D. 4.已知f(x)=⎩⎨⎧∈+-∈+],1,0[,1),0,1[,12x x x x 则下列函数的图象错误的是( )答案：C解析：函数f(x)的图象如图所示.借助函数图象的平移、对称、翻折等知识求解.5.二次函数y=x 2+bx+c 的图象如图所示,则对称轴是_____________,当函数值y<0时,对应x 的取值范围是_____________.答案：x=-1 -3<x<1解析：对称轴方程是x=-1, 当x<-3或x>1时,y>0; 当-3<x<1时,y<0.6.(创新题)已知二次函数y 1=ax 2+bx+c(a≠0)与一次函数y 2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)和B(8,2),如图所示,则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围是_____________.答案：x<-2或x>8解析：由条件可知,当x<-2或x>8时,y 1的图象在y 2的图象的上方,则使y 1>y 2成立的x 的取值范围是x<-2或x>8.7.(1)f(x)是一次函数,且其图象通过A(-2,0)、B(0,-4)两点,则f(x)= _____________.(2)f(x)是二次函数,方程f(x)=0的两根是x 1=-2,x 2=3,且f(0)=-3,则f(x)= _____________. 答案：(1)-2x-4 (2)21(x+2)(x-3) 解析：(1)设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得⎩⎨⎧=-+-=,4,20b b k解得⎩⎨⎧-=-=.4,2b k所以f(x)=-2x-4.(2)设f(x)=a(x+2)(x-3)(a≠0), 由f(0)=-3=a(0+2)(0-3),得a=21. 所以f(x)=21(x+2)(x-3).8.已知二次函数满足f(3x+1)=9x 2-6x+5,则f(x)= _____________. 答案：x 2-4x+8解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax 2+(6a+3b)x+a+b+c=9x 2-6x+5.比较系数,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=.8,4,1,5,636,99c b a c b a b a a 解得∴f(x)=x 2-4x+8.9.分解因式:3x 2+5xy-2y 2+x+9y-4. 解：∵3x 2+5xy-2y 2=(3x-y)(x+2y),∴原式分解后的因式应为(3x-y+m)(x+2y+n),即3x 2+5xy-2y 2+x+9y-4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x 2+5xy-2y 2+(m+3n)x+(2m-n)y+mn.比较系数,得⎩⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+.1,4,4,92,13n m m n n m n m 解得∴3x 2+5xy-2y 2+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1).10.已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x 轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.解法一：设二次函数解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),由条件,可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=-.37,38,31,7490,0,4163c b a c b a c b a c b a 解得 ∴所求二次函数解析式为y=3738312+-x x . 解法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0),∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-7),把顶点(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7). 解得a=31. ∴二次函数解析式为y=31(x-1)(x-7), 即y=3738312+-x x .解法三：∵抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0). ∴设二次函数解析式为y=a(x-4)2-3. 将(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3, 解得a=31. ∴二次函数的解析式为y=31(x-4)2-3,即y=3738312+-x x .。
2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 2-2-3 待定系数法 含答案 精品
2.2.3待定系数法学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．知识点待定系数法思考1若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？思考2在思考1中，求解析式的方法有什么特点？梳理 1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道________________，先把所求函数写为__________，其中系数待定，然后再根据__________求出这些待定系数．这种通过求________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是________________．(2)一次函数的一般形式是________________．(3)反比例函数的一般形式是________________．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式________________，这是二次函数的标准形式；②顶点式________________，其中________是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．类型一待定系数法求解析式命题角度1待定系数法求一次函数解析式例1已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．反思与感悟在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．跟踪训练1已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．命题角度2待定系数法求二次函数解析式例2二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．引申探究若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．反思与感悟二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可设函数的两根式．跟踪训练2求下列二次函数的解析式．(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．类型二 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求(1)f (x )的解析式；(2)求证f (x )在(12，＋∞)上为增函数．1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －523．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋64．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________． 5．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．1．求待定系数的方法——列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)； (2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)； (3)利用定义本身的属性列方程(组)． 2．待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．答案精析问题导学 知识点思考1 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)， ∴3＝k ·2，即k ＝32，∴函数为y ＝32x .思考2 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数． 梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2.(1)y ＝kx (k ≠0，k 是常数) (2)y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数) (3)y ＝kx (k ≠0，k 是常数)(4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) 题型探究例1 解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b )－3(k ＋b )＝5，2b －(－k ＋b )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1， 解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2.跟踪训练1 解 设该一次函数是y ＝ax ＋b ，由题意得f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8.因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，ab ＋b ＝8，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4. 例2 解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 方法一 则顶点坐标为⎝⎛⎫－b 2a，4ac －b 24a ，∴⎩⎨⎧－b2a＝2， ①4ac －b24a ＝3， ②又二次函数过点(3,1)， ∴1＝9a ＋3b ＋c .③ 联立方程①②③解方程组， 得：a ＝－2，b ＝8，c ＝－5， ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2＋3， ∵二次函数图象过点(3,1)， ∴1＝a ×1＋3， ∴a ＝－2，∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.引申探究 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)， ∴6＝a ×(－2)×(－4)， ∴a ＝34，∴y ＝34x 2－92x ＋6.当x ＝3时，函数的最小值为－34，无最大值．跟踪训练2 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6，∴y ＝x 2－5x ＋6. (2)设y ＝a (x ＋1)2－2， ∴25＝a ×32－2， ∴a ＝3， ∴y ＝3x 2＋6x ＋1. (3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)， ∴a ×1×(－4)＝8， ∴a ＝－2， ∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.例3 解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为 y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数． 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x ＜1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3)，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞)．跟踪训练3 (1)解 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋bx .又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x.(2)证明 设x 1，x 2∈(12，＋∞)且x 1＜x 2.则f (x 2)－f (x 1)＝(2x 2＋12x 2)－(2x 1＋12x 1)＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2.∵x 2＞x 1＞12，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14，∴4x 1x 2＞1，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(12，＋∞)上是增函数．当堂训练1．A 2.B 3.A 4.y ＝－2x 2＋4x 5．[0,4]。
[推荐学习]2018版高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性学业分层测评新人教B版必修1
函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论中，正确的是( )A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k <0)在R 上是增函数B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数C ．函数y ＝1x在定义域内是减函数D ．y ＝1x在(－∞，0)上是减函数【解析】 当k <0时，y ＝kx 在R 上是减函数；y ＝x 2在R 上不单调；函数y ＝1x只可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在定义域内为减函数，只有D 正确．【答案】 D2．对于函数y ＝f (x )在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定【解析】 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 【答案】 D3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减【解析】y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≥－2，－x －2， x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2)上为减函数， 在[－2,0]上为增函数． 【答案】 C4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫2，167【解析】 由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －0，xx －⇒2＜x ＜167，选D. 【答案】 D5．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)＞25【解析】 由y ＝f (x )的对称轴是x ＝m 8，可知f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫m8，＋∞上递增，由题设只需m8≤－2，即m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.应选A.【答案】 A 二、填空题6．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________．【解析】 函数f (x )＝2x 2－3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x x ，2x 2＋3x x，图象如图所示，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，347．函数y ＝1－3mx在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵函数y ＝1－3m x 在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m ＜0，解得m ＞13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞8．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________.【解析】 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.【答案】 －1≤x <12三、解答题 9．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．【证明】 设x 1>x 2>－1， 则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 1－x 2x 1＋x 2＋>0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2，∴y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ，－3x ＋3，x ，－x 2＋6x －5，x(1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间．【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ，－3x ＋3，x ，－x 2＋6x －5，x ，作出其图象如下：(2)由f (x )的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3)．[能力提升]1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数【解析】 ∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定． 例如：f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x2＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性．【答案】 C2．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0，则f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数【解析】 ∵(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－fx 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－fx 2<0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)． 不论哪种情况，都说明f (x )在(a ，b )上为减函数． 【答案】 B3．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．【导学号：60210042】【解析】 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－1＋3a ≥a ，解得a ≥12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 4．设函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )．(1)求f (0)的值；(2)证明：f (x )在R 上是减函数．【解】 (1)∵x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x ＜0时，f (x )＞1，令x ＝－1，y ＝0，则f (－1)＝f (－1)f (0)． ∵f (－1)＞1，∴f (0)＝1. (2)证明：若x ＞0，－x ＜0， ∴f (x －x )＝f (0)＝f (x )f (－x )， ∴f (x )＝1f－x∈(0,1)， 故x ∈R ，f (x )＞0，任取x 1＜x 2，f (x 2)＝f (x 1＋x 2－x 1)＝f (x 1)f (x 2－x 1)， ∵x 2－x 1＞0，∴0＜f (x 2－x 1)＜1，∴f (x 2)＜f (x 1)． 故f (x )在R 上是减函数.。
高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性学业分层测评 新人教B版必修1(2021年最新整理)
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函数的单调性（建议用时:45分钟)［学业达标］一、选择题1．下列结论中，正确的是（)A．函数y＝kx（k为常数，且k<0)在R上是增函数B．函数y＝x2在R上是增函数C．函数y＝错误!在定义域内是减函数D．y＝1x在（－∞，0）上是减函数【解析】当k<0时，y＝kx在R上是减函数；y＝x2在R上不单调；函数y＝错误!只可以说在（－∞，0）和（0，＋∞）上为减函数，但不可以说在定义域内为减函数，只有D正确．【答案】D2．对于函数y＝f(x)在给定区间上有两个数x1，x2，且x1〈x2使f(x1)<f(x2）成立,则y＝f(x）（)A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定【解析】由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．【答案】D3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上是( ）A．递减B．递增C．先减后增D．先增后减【解析】y＝｜x＋2｜＝错误!作出y＝｜x＋2｜的图象，易知在[－3，－2）上为减函数,在［－2,0]上为增函数．【答案】C4．f(x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，则不等式f（x)＞f(8(x－2）)的解集是( ）A．（0,＋∞）B．(0，2)C．（2，＋∞) D。
2018-2019学年最新高中数学人教B版必修一2.2.3《待定系数法》同步测试
第二章 2.2 2.2.3 待定系数法一、选择题1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝4xB ．y ＝－4xC ．y ＝14xD ．y ＝－14x[答案] A[解析] 设正比例函数的解析式为y ＝kx(k ≠0)， 又点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k ，∴k ＝4，故选A ． 2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)、(3,4)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －52[答案] B[解析] 解法一：验证排除：点(1,3)不在直线y ＝12x－52，y ＝－12x ＋52，y ＝－12x －52上，故选B ． 解法二：设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b4＝3k ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，∴y ＝12x ＋52.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6[答案] D[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋bx ＋c ，将点(－1,0)、(3,0)代入y ＝－2x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＋c ＝0－18＋3b ＋c ＝0，解得b ＝4，c ＝6，∴y ＝－2x 2＋4x ＋6.4．二次函数y ＝f(x)的图象过原点，且顶点为(－2,8)，则f(x)＝( )A ．－2x 2－8x B ．2x 2－8x C ．2x 2＋8x D ．－2x 2＋8x[答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋2)2＋8，又∵函数图象过原点，∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x.5．f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( )A ．－6B ．11C ．－14D ．14[答案] C[解析] ∵f(x)图象过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b 2a ＝4，8a －b24a ＝0.解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.6．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝1－x 2C ．y ＝12x 2＋1D ．y ＝12x 2－1[答案] A[解析] 设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0c ＝－1.∴所求二次函数的解析式为y ＝x 2－1. 二、填空题7．已知一个二次函数y ＝f(x)，若f(0)＝3，f(－3)＝0，f(－5)＝0，则这个函数的解析式为__________．[答案] y ＝15x 2＋85x ＋3[解析] 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，将点(0,3)、(－3,0)、(－5,0)代入可得a ＝15，b ＝85，c ＝3.8．已知6x 2－x －1＝(2x －1)(ax ＋b)，则a ＝_______，b ＝__________.[答案] 3 1[解析] ∵6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)， ∴ax ＋b ＝3x ＋1，∴a ＝3，b ＝1. 三、解答题9．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知函数f(x)＝x 2＋px ＋q ，且满足f(1)＝f(2)＝0.(1)求p 、q 的值；(2)当f(a)＝6时，求a 的值． [解析](1)∵f(1)＝f(2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝04＋2p ＋q ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2.(2)由(1)知f(x)＝x 2－3x ＋2， ∴f(a)＝a 2－3a ＋2＝6， ∴a ＝－1或a ＝4.10．抛物线经过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标是－1和3.(1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标； (3)画出草图；(4)观察图象，x 取何值时，函数值小于零？x 取何值时，函数值随x 的增大而减小？[解析] (1)设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)(a ≠0)，把点(2，－3)代入，得－3＝a(2＋1)(2－3)，∴a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3. (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.由此可知抛物线的对称轴方程为x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)抛物线的草图如图所示．(4)由图象可知，当x ∈(－1,3)时，函数值y 小于零； 当x ∈(－∞，1]时，y 随x 的增大而减小.一、选择题1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象，则|OA|·|OB|等于( )A ．c aB ．－c aC ．±c aD ．无法确定[答案] B[解析] 由图象易知a<0，c>0，设A(x 1,0)、B(x 2,0)，∴|OA|·|OB|＝|x 1·x 2|＝－ca，故选B ．2．若直线y ＝12x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则有( )A ．n ＝－52，m ＝12B ．n ＝1，m ＝12C ．n ＝－52，m ＝－1D ．n ＝32，m ＝3[答案] D[解析] 将点(1,2)分别代入可得n ＝32、m ＝3.3．函数y ＝ax 2－ax ＋3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为( )A ．0B ．0或1C ．0或1或9D ．0或1或9或12[答案] C[解析] 当a ＝0时，y ＝3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点；当a ≠0时，Δ＝(a －3)2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0， ∴a ＝1或9.4．已知正比例函数f(x)、反比例函数g(x)的图象均过点(1,5)，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝( )A ．52⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1xB ．52⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1xC ．5⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x D ．15⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x[答案] C[解析] 设f(x)＝mx(m ≠0)，g(x)＝nx (n ≠0)，把点(1,5)分别代入，得m ＝5，n ＝5.∴h(x)＝f(x)＋g(x)＝5x ＋5x ＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x . 二、填空题5．已知a 、b 为常数，若f(x)＝x 2＋4x ＋3，f(ax ＋b)＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.[答案] 2[解析] ∵f(x)＝x 2＋4x ＋3，∴f(ax ＋b)＝(ax ＋b)2＋4(ax ＋b)＋3＝a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a)x ＋b 2＋4b ＋3 又∵f(ax ＋b)＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－7.当a ＝1，b ＝3时，5a －b ＝2， 当a ＝－1，b ＝－7时，5a －b ＝2.6．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为________．[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，14 [解析] ∵点(1,4)既在抛物线y ＝ax 2，又在直线y ＝kx ＋1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3，∴抛物线方程为y ＝4x 2，直线方程为y ＝3x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2y ＝3x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝14.三、解答题7．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(12)＝8，试求此二次函数的解析式．[解析] 解法一：设所求函数解析式为f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－1a 4＋b2＋c ＝8，解得a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴f(x)＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝212＝12.又f(12)＝8，∴顶点坐标为(12，8)． 则可设f(x)＝a(x －12)2＋8，又f(2)＝－1.∴a(2－12)2＋8＝－1，∴a ＝－4，∴f(x)＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：由f(2)＝f(－1)＝－1，知f(x)＋1＝0的两根为2和－1，可设f(x)＋1＝a(x ＋1)(x －2)， 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1，∵f(12)＝8，∴14a －12a －2a －1＝8，解得a ＝－4，∴f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.8．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)的区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．[解析] (1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于x ＝1对称，又f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x －1)2＋1，又f(0)＝3得a ＝2，故f(x)＝2x 2－4x ＋3. (2)要使函数在区间[2a ，a ＋1]上不单调， 则2a<1<a ＋1，则0<a<12.(3)解法一：由已知，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]时恒成立，即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]时恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0即可，∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，∴－1－m>0，即m<－1.故实数m的取值范围是{m|m<－1}．解法二：由题意可知，x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，即m<x2－3x＋1＝(x－32)－54在[－1,1]上恒成立．又g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]的最小值为－1. ∴m<－1.。
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待定系数法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝kx ＋b 在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2或2D ．－2【解析】 由题意，得|(2k ＋b )－(k ＋b )|＝2，得k ＝±2. 【答案】 C2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝－11D ．a ＝3，b ＝－12，c ＝11【解析】 由二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0,11)，知c ＝11，又因函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，所以－b 2a ＝2，4ac －b24a＝－1，解得，a ＝3，b ＝－12.【答案】 D3．如果函数y ＝ax ＋2与y ＝bx ＋3的图象相交于x 轴上一点，那么a ，b 的关系是( )【导学号：60210054】A ．a ＝bB ．a ∶b ＝2∶3C ．a ＋2＝b ＋3D ．ab ＝1【解析】 设两函数图象交于x 轴上的点为(t,0)，代入解析式有a ＝－2t ，b ＝－3t，∴a ∶b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－3t ＝2∶3.【答案】 B4．已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2(x －1)2＋3 B ．y ＝2(x ＋1)2＋3 C ．y ＝－2(x －1)2＋3 D ．y ＝－2(x ＋1)2＋3【解析】 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.【答案】 D5．已知f (x )＝x 2＋1，g (x )是一次函数且是增函数，若f (g (x ))＝9x 2＋6x ＋2，则g (x )为( )A ．g (x )＝3x ＋2B ．g (x )＝3x ＋1C ．g (x )＝－3x ＋2D ．g (x )＝3x －1【解析】 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则a >0，∴f (g (x ))＝f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋1＝9x 2＋6x ＋2，∴a ＝3，b ＝1.【答案】 B 二、填空题6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点的横坐标分别为－1,3，与y 轴交点的纵坐标为－32，则抛物线的解析式为________．【解析】 可设y ＝a (x ＋1)(x －3)，再把点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32代入上式可求得a ＝12，则y ＝12x 2－x －32.【答案】 y ＝12x 2－x －327.如图228所示，抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m ＝________.图228【解析】 设B (x 0,0)(x 0<0)，则A (－3x 0,0)，y ＝－(x －x 0)(x ＋3x 0)． 展开得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋＝－2x 0，m ＋3＝3x 20，解得m ＝0或m ＝－53，由x 0<0得m ＋1>0，m >－1，∴m ＝0. 【答案】 08．已知y ＝f (x )的图象如图229所示，则f (x )的解析式为________；该函数的值域为________.【导学号：97512025】图229【解析】 当0≤x ≤2时，直线过(0,2)与(1,0)点， 所以设直线为y ＝kx ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝－2.即y ＝－2x ＋2.当2<x <3时，y ＝－2；当3≤x ≤5时，一次函数过(3，－2)与(5,0)点． 设为y ＝k ′x ＋b ′，得y ＝x －5. 由图象可得值域为[－2,2]． 【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ，－2，x ，x －5，x [－2,2]三、解答题9．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求此二次函数的解析式.【导学号：97512026】【解】 法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12.∴m ＝12. 又根据题意函数有最大值为n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之，得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a－2a －－a24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.图221010．小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度向A 地而行，如图2210所示，图中的线段y 1、y 2分别表示小东、小明离B 地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系．(1)试用文字说明：交点P 所表示的实际意义； (2)试求出A 、B 两地之间的距离．【解】 (1)交点P 所表示的实际意义是：经过2.5小时后，小东与小明在距离B 地7.5千米处相遇．(2)设y 1＝kx ＋b (k ≠0)， 又y 1经过点P (2.5,7.5)，(4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2.5k ＋b ＝7.5，4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝20，k ＝－5，∴y 1＝－5x ＋20.当x ＝0时，y 1＝20.∴A 、B 两地之间的距离为20千米．[能力提升]1．如图2211所示，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为( )图2211A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2D ．y ＝－x －2【解析】 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 由已知可得A (0,2)，B (－1,1)在一次函数图象上．所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2. 【答案】 B2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 经过点(1,7)，且有f (x )≥f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为( )【导学号：60210055】A ．f (x )＝x 2＋2x ＋2 B ．f (x )＝x 2＋4x ＋2 C ．f (x )＝x 2＋4x －2D ．f (x )＝x 2＋4x ＋4【解析】 依题意，f (x )＝a (x ＋2)2－2，将点(1,7)代入得7＝9a －2.∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2.【答案】 B3．二次函数满足f (1＋x )＝f (1－x )，且在x 轴上的一个截距为－1，在y 轴上的截距为3，则其解析式为________．【解析】 由f (1＋x )＝f (1－x )知二次函数的对称轴为x ＝1，且过(－1,0)，(0,3)，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c .则⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝1，a －b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，即f (x )＝－x 2＋2x ＋3. 【答案】 f (x )＝－x 2＋2x ＋34．如果函数f (x )＝x 2＋a bx －c (b ，c ∈N *)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<－12，求f (x )的解析式．【解】 由f (0)＝0，f (2)＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a－c ＝0，4＋a2b －c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，2b －c ＝2，∴f (x )＝x 2bx －2b ＋2.又f (－2)<－12，∴4－4b ＋2<－12，解不等式得12<b <52.又∵b ∈N *，∴b ＝1或b ＝2.又2b －c ＝2.故当b ＝1时，c ＝0，不符合题意． 当b ＝2时，c ＝2.∴f (x )＝x 22x －2(x ≠1)．。