高等数学-函数的几种特性(精)
高等数学 第二章D1_2映射与函数
第二节 映射与函数
一、映射的概念 二、逆映射与复合映射 三、函数的概念 四、函数的几种特性
一、映射的概念
引例1. 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
引例2. 引例2.
引例3. 引例3.
(点集) (点集) 向 y 轴投影
定义1. 定义1. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f ,使得 有唯一确定的 与之对应 ,则 映射, 称 f 为从X 到 Y的映射 记作 f : X →Y. 映射
为单射, 则存在一新映射 其中
f (D)
y = f −1(x) , x∈ f (D)
例如,映射 其逆映射为
2.复合映射 2.复合映射 引例
D 1
D
手电筒
D 2
D 复合映射
定义3. 定义3. 设有映射链
u = g(x)∈g(D) ∀x∈D ∀u∈D 1 则当 g(D) ⊂ D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
例7.设 7.设 a, b, c 为常数, 且
且
时 证明
1
其中 为奇函数.
证: 令t = 1 , 则 x = 1 , a f (t ) +b f (t) = ct x t 由 消去 f (1), 得 x
a f ( 1 ) +b f (x) = cx x
为奇函数 .
4.周期性 4.周期性
∀x∈D, ∃l > 0, 且 x ±l ∈D, 若
内容小结
1. 映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 定义域 对应规律 有界性 ,单调性, 奇偶性 ,周期性
高等数学基础知识概要
函数的定义量和量之间的关系如：其中x是自变量，y是因变量。
函数在 处取得的函数值符号只是一种表示，也可以：几种函数分段函数：反函数：显函数与隐函数： F(x,y)=0几种特性奇偶性，偶函数： y轴对称奇函数： 原点对称单调性：周期性：数列按照一定次数排列的一列数： ，其中 叫做通项。
对于数列 如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。
极限符号表示：极限极限函数在x0的邻域内有定义，左右极限：函数在左半邻域/右半邻域内有定义极限极限无穷小：以零为极限基本性质：1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小2.有限个无穷小的积仍是无穷小3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。
极限无穷小的商不一定是无穷小。
极限有无穷小的关系： 的充要条件其中 是 时的无穷小。
极限无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。
无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果为无穷大，那么 为无穷小。
极限无穷小的比较： 都是无穷小如果 ， 则称β是比α高阶无穷小 ， 则称β是比α低阶无穷小 则称β与α是同阶无穷小函数的连续性设函数 y = f (x)在点x。
的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋近于零时，相应函数的改变量△y也趋近于零，则称y = f (x)在点 x。
处连续。
函数的连续性函数 在点 处连续，需要满足的条件：1. 函数在该点处有定义2. 函数在该点处极限 存在3. 极限值等于函数值函数的连续性函数 在 处的连续性？函数的间断点函数 在点 处不连续，则称其为函数的间断点。
3种情况为间断点：1.函数 在点 处没有定义。
2.极限 不存在3.满足前两点，但是函数的间断点当 时， 的左右极限存在，则称 为 的第一类间断点，否则为第二类间断点。
跳跃间断点： 与 均存在，但不相等。
可去间断点： 存在但不等于函数的间断点函数 的连续型？在点 处没有定义。
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
高等数学 第一章 函数
集合的表示法：
列举法 A {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}
描述法 M {x x具有性质P}
常见的数集 N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
பைடு நூலகம்
它们间关系: N Z, Z Q, Q R.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
A B=B，A B=A，其中A B A （A B）=A，A （A B）=A
（6） ( A B)c AC BC , ( A B)c Ac Bc
注意
A与B的直积AB {(x,y)xA且yB}
例如：R R= {(x,y)xR，yR} 表示整个坐标平面，记作 R2
2）区间
设实数 a b，开区间 (a,b)＝{x | a x b}，记作 (a,b)． 数轴上表示点 a 与点 b 之间的线段，但不包括端点 a 及端 点b． 闭区间[a,b] ＝{x | a x b}，记作[a,b] ． 在数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，包括两个端点．. 集合{x | a x b}记作 (a,b]，称为左开右闭区间. 集合{x | a x b}记作[a,b) ，称为左闭右开区间. 以上区间都称为有限区间，数b a 称为这些区间的长度．
为因变量，实数集 D 称为这个函数 f 的定义域．
对于每个 x D ，按照某种对应法则 f ，总存在唯
一确定的实数值 y 与之对应，这个实数值 y 称为函数
f 在 x 处的函数值，记作 f (x) ，即 y f (x) ．当 x 遍取
实数集 D 的每个数值,对应的函数值的全体组成的数
集W {y | y f (x), x D}称为函数 f 的值域．
二、复合函数
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
高等数学-高教版第五版-侯风波 第1章
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应法则 给定自变量的一个值后，通过对应法则得到唯一的函数值。
例3 下面各组对应法则是否相同？为什么？
(1)
f:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
g:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
(2)
φ:
x y
1 1
2 1
3 1
4 1
ψ:
x y
4 1
一、基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax
(a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数
y =log a x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
三角函数 y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x
而成的，其定义域为［-1，1］，它是 u 1 x2 的定义域的一
部分. （3） y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的．
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u,
⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此， 往往把 x = (y )改写成 y = ( x )，称为y = f (x) 的矫形反
函数，记作 y f 1(x) .称函数 y f (x) 的反函数 x ( y) 为
高等数学考试点归纳
第一篇：高等数学一：函数的几种特性有界性、单调性、奇偶性、周期性在函数的几种特性这里还是可能出到考题的1：有界性：〔1〕：概念〔2〕：函数，原函数导函数有界性的判断问题。
函数在定义域有界，导函数和原函数不一定有界，可以用找特殊函数的方法来思考2：单调性〔1〕：判断方法，利用一阶导数判断〔2〕：函数、原函数、导函数单调性的关系〔3〕：单调性和区间相关3：奇偶性〔1〕：定义〔2〕：判断：首先是定义域关于原点对称，要是定义域都不关于原点对称的话，肯定不是奇偶函数〔3〕：判断时不能简单的利用定义式子，还有可能进展数学等式的变化。
这里才是考试的重点〔4〕：组合问题：即奇函数和偶函数组合出来的函数是什么函数等等一系列的问题。
用定义去解决，注册工程师的考试顶多也就考到这种程度了。
〔5〕：函数、原函数、导函数的奇偶性问题：还是利用定义去完成推断。
4：周期性〔1〕：定义〔2〕：最小正周期的概念〔3〕：注意：某周期函数的原函数不一定是周期函数，利用根本积分原理即可解决该问题。
二：函数的极限问题〔一〕：求极限的方法〔1〕：四那么运算方法：加减乘除〔2〕：洛必达法那么〔上下同时趋于零或者趋无穷大〕，即不定式的极限〔3〕：等价无穷小当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~(1/2)*〔x^2〕〔a^x〕-1~x*lna 〔e^x〕-1~xln(1+x)~x，[(1+x)^1/n]-1~〔1/n〕*x，loga(1+x)~x/lna。
注意等价无穷小替换只能用在乘除中，且只能是自变量也趋于零时使用，还有就是等价无穷小也可以有自己的变种。
〔4〕：法那么：有界函数乘以等价无穷小，那么其极限是无穷小。
〔5〕：特殊类型的函数求极限：1：0的0型，或者0的正无穷型：不管形式怎么样，其实质都是利用复合函数求极限的方法。
将函数用自然数进展换底。
2：其他复合函数的极限，一层一层的求3：利用极限存在准那么求极限：夹逼准那么和单调有界函数必有极限定理4：变上限积分函数求极限：这可看做是和积分知识点的结合。
高等数学1
3、函数的奇偶性:
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 - x Î D， ,
f ( x ) f ( x )
则称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
偶函数
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 ,
f ( x ) f ( x )
(6) xy x y ;
x x ( 7 ) ( y 0). y y
一、概念
1、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域 .
注意：
(1)上述定义中, 法则 f 确定了变量x与变量y之间 的对应关系, 这种对应关系也称为函数关系. (2)函数的两要素:
(
定义域 D( f ) 与对应法则 f.
x
y
D
对应法则f
x0 )
自变量
(
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1.2.1 函数的奇偶性 1.2.2 函数的单调性 1.2.3 函数的周期性 1.2.4 函数的的有界性
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1.2.1 函数的奇偶性
定义1 设函数 y f x 的定义域D关于原点对称， 如果对于任一 x D （1）恒有 f x f x 则称 f x 为 奇函数 （2）恒有 f x f x 则称 f x 为 偶函数
.
设函数f x的定义域为D，若存在一个常数 T 0 ，使得对于任一x D, 必有x T D，并且使 f x T f x ，则称f x 为 周期函数 ，其中T 称为
定义3 最小正周期。
例如y sin x，y cos x都是以2 为周期的周期 函数.y tan x的周期是。
.
既不是奇函数也不是偶函数的函数称为 非奇非偶函数
在平面直角坐标系中，奇函数的图形关于原点中心 出
例1
判断函数 f x x sin
解 f x 的定义域是 ,0 又因为 所以 f x x sin
1 的奇偶性 x 0, ， 它关于原点对称
1 1 f x x sin x sin f x , x x
1 是偶函数。 x
例2 讨论函数 f x lg x 1 x 2
.
的奇偶性
解
f x 的定义域是 , 是对称区间
又因为 f x lg x 1 x
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1.2.4 函数的的有界性
定义4 设函数y f x 的定义域为D，区间I D
如果存在一个正数M ，使得对于任一x I，都有 f x M
则称函数f x 在I 上有界 ，也说f ( x)是I 上的 有界函数。
否则称f x 在I 上 无界 ，也说f ( x)是I 上的 无界函数。
2
.
1 lg 2 x 1 x
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lg x 1 x2 f x
所以 f x 是奇函数。 1.2.2 函数的单调性 定义2 设函数 f x 的定义域为D，区间 I D，如果 对于区间I内的任意两点 x1，x2，当x1＜x2时， (1) 有f x1 f x2 ，则称函数f x 在I 上 单调增加 区间I称为单调增加区间 (2) 有f x1 f x2 ，则称函数f x 在I 上 单调减少 区间I称为单调减少区间
因为 1 x1 0,1 x2 0, 且x1 x2 0
故f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 ) x 所以f ( x) 在(1, )内是单调增加的函数 1 x
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1.2.3 函数的周期性
函数f x 的周期 ，周期函数的周期通常是指它的
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单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数 单调增加区间和单调减少区间统称为 单调区间 x 在(1, )是单调增加的函数 例3 证明函数y 1 x 证 在(1, )内任取两点x1 , x2 , 且x1 x2 , 则
x1 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 x1 1 x2 (1 x1 )(1 x2 )
证
因为(1 x ) 2 0, 所以 1 x 2 2 x , 故
2x x 1 f ( x) | 2 | 2 x 1 2 1 x 2
x 对一切x (, )都成立因此函数 . y 2 在 x 1 (, )上是有界函数。
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.
例如，函数y sin x, 对任意x , 时，有不
等式 sin x 1成立，所以y sin x是 , 上的有界 . 函数. y cos x也是 , 上的有界函数.
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x 例4 证明函数y 2 在(, )上是有界的 x 1