2020高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用知能
【全版】数学(文)高考一轮复习课件第六章函数y=asin(推荐PPT
考纲要求
考纲研读
1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物 理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，了解参数 A，ω，φ 对函 数图象变化的影响．
理解 A，ω，φ 的三角函 数的图象通过平移变换、周期变
10
【互动探究】
考点1 三角函数的图象及变换
π 一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离， 1．要得到函数 y＝sinx 的图象，只需将函数 y＝cos x－ 的图 2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图6－4－2，则 3 (2)若点 R 的坐标为(1,0)，
B．向右平移π6个单位
C．向左平移π3个单位
D．向左平移π6个单位
3．函数 y＝sin2x＋52π的图象的一条对称轴为( A )
A．x＝－π2 B．x＝－π4
C．x＝π8
D．x＝54π
5
4．函数 y＝sin3x－4π的图象的一个对称中心是( B )
A.－1π2，0
B.－71π2，0
C.71π2，0
14
【互动探究】
2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图6－4－2，则
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，x∈R的图象可
象( A ) 最高(低)点决定着 A 的值，周期决定着ω的值，求φ
考点2 根据三角函数图象求解析式
最高(低)点决定着 A 的值，周期决定着ω的值，求φ
(1)求 f(x)的最小正周期及φ的值； 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)．
D.1112π，0
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
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[ 介绍学习 ] 高考数学一轮复习第3 章三角函数解三角形第 6 讲函数 y=Asin( ωx+φ) 的图象及三角函数第 6 讲函数 y＝Asin( ωx＋φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用ππ1．函数y＝sin 2x－3在区间－2，π 上的简图是()分析：选 A. 令x＝0，得y＝sinπ3－3＝－2，ππ6清除 B，D.由f－3＝0，f＝0，清除 C. 2.(2015 ·高考陕西卷 ) 如图，某港口一天 6 时到π18 时的水深变化曲线近似知足函数y＝3sin(6 x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ()A．5B．6C．8D．10分析：选 C.依据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为 3＋k＝8.3．函数 f ( x)＝tanωx(ω>0)的图像的相邻两ππ6的值是支截直线 y＝2所得线段长为2，则 f()3A．－3 B. 3C．1 D.3分析：选 D.由题意可知该函数的周期为π2 ，所ππ以ω＝2，ω＝2，πf ( x)＝tan 2x，所以 f π6＝tan 3＝ 3.4.(2016 ·辽宁省五校联考 ) 函数f ( x)π＝ sin( ωx＋φ) 此中φ < 2，ω>0的图像如下图，为了获得 y＝sinωx 的图像，K12只需把 y＝f ( x)的图像上全部点()πA．向右平移6个单位长度πB．向右平移12个单位长度πC．向左平移6个单位长度πD．向左平移12个单位长度T7ππ分析：选 A. 由图像知，4＝12－3，所以T＝π .又π＝2πω，所以ω＝2.由fπ3＝0得2×π3＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－2π3(k∈Z)．因为|φ|<π2，所以φ＝π3，即f(x)＝sin2x＋π3＝πsin 2 x＋6，可知选 A.5．设函数 f ( x)＝3cos(2 x＋φ) ＋ sin(2 x＋πK12的学习需要努力专业专心坚持()A．y＝f ( x) 的最小正周期为π，且在π0，2上为增函数B．y＝f ( x) 的最小正周期为π，且在π0，2上为减函数． y＝f x的最小正周期为π，且在 0，π上C( )24为增函数．＝f ( x)的最小正周期为π，且在 0，π上D y24为减函数分析：选 B. f ( x) ＝ 3cos(2 x＋φ) ＋sin(2x＋φ)π＝2sin 2x＋3＋φ，因为其图像对于直线 x＝0对称，所以 f ( x)是偶函数，ππ＋kπ， k∈Z；所以3＋φ＝2φπ又因为||< 2，π所以φ＝6.ππ所以 f ( x)＝2sin 2x＋3＋6＝2cos 2 x.π易知 f ( x)的最小正周期为π，在0，2上为减函数．6．(2016 ·合肥质检 ) 已知函数 f ( x)＝sinωx ＋cos ωx，假如存在实数x1，使得对随意的实数x，都有 f ( x1)≤f ( x)≤f ( x1＋2 015)建立，则ω 的最小正当为()1πA.2 015B. 2 0151πC.4 030D. 4 030解析：选 B. 依题意得函数 f ( x)＝2sinωx＋π在 x＝ x1处获得最小值，在x＝x1 42πk＋12＋2 015 处获得最大值，所以ω×2＝2 015，2k＋1π即ω＝2 015π(k∈Z)，ω的最小正当为2 015，应选 B.π7．已知函数 f ( x)＝sin 2x＋3与 g( x)的图像π对于直线x＝6对称，将g( x)的图像向左平移φ( φ>0) 个单位后与f ( x) 的图像重合，则φ的最小值为 ________．分析：函数 g( x)的分析式为 g( x)＝sin 2x，其图像向左平移φ 个单位后对应分析式为y＝ππsin(2 x＋2φ) ，进而 2φ＝3＋2kπ，即φ＝6π＋kπ( k∈N)，所以φmin＝6.π答案：68．(2014 ·高考重庆卷 ) 将函数 f ( x)＝sin(ωxππ＋φ)ω>0，－2≤φ<2图像上每一点的横坐标缩短为本来的一半，纵坐标不变，再向右平移π个单位长度获得 y＝sin x 的图像，则 fπ6 6＝________．π分析：将 y ＝sin x 的图像向左平移6 个单位长π度可得 y ＝sin x ＋ 6 的图像，保持纵坐标不变，1π横坐标变成本来的 2 倍可得 y ＝sin 2x ＋ 6 的图像，1 π故 f ( x ) ＝sin 2x ＋ 6 .所以 fπ＝sin 1×π＋π＝sinπ＝2.6266422答案： 29 ．(2016 ·江西省期中诊疗) 设函数f ( x ) ＝ωx φ)(ω＞0) ，若 fxπ，π上单cos(＋() 在 3调且 fπ＝fπ＝－ f5π，则 ω 的值为3－ 66________．π分析：因为 f ( x ) 在3，π 上单一，生活的色彩就是学习2π4π所以 f ( x ) 的周期 T ≥2× 3 ＝ 3 ，π 5π 5π π πT因为 f3 ＝－ f6， 6－ 3＝ 2＜2，所以7π，0是 f ( x )的对称中心， 因为 fπ＝123f －ππππ T6 ，3－－6 ＝2＜2，πT7ππ所以 x ＝12是 f ( x ) 的对称轴，即 4＝ 12 －12＝π2 ，所以 T ＝2π，即 ω＝1.答案： 110．某城市一年中 12 个月的均匀气温与月份的关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数 y ＝ a ＋πA cos 6 （x －6） ( x ＝1，2，3， ，12) 来表示，已知 6 月份的月均匀气温最高， 为 28 ℃，12 月份的月均匀气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的均匀气温为 ________℃.生活的色彩就是学习分析：依题意知， a＝28＋182＝23，A＝28－182＝5，π所以 y＝23＋5cos6（x－6），π当 x＝10时， y＝23＋5cos6×4＝20.5.答案： 20.5π11．已知函数y＝2sin 2x＋3 .(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解：(1)y ＝2sin2x＋π的振幅＝，3 A 22ππ最小正周期 T＝2＝π，初相φ＝3.ππ(2) 令X＝2x＋3，则y＝2sin2x＋3＝2sin X.列表：πππ7π5πx－6123126生活的色彩就是学习X0ππ3π2π22y＝sin X010－10 y＝2sin2x＋π020－20 3描点绘图：1 ．已知函数f ( x) ＝ cos 3x＋π，其中3x∈π，m，若f x) 的值域是－，－3，则m 612的取值范围是 ________．分析：画出函数图像，由x ∈π，m，可知5π≤3x＋π≤＋π，6633m3生活的色彩就是学习π5π3π因为 f＝cos 6＝－2且 f 2＝cos π＝69－1，要使 f ( x)的值域是－1，－3，只需2π≤m≤925π18，即 m的取值范围是2π5π9，18 .答案：5π2π，9182 ． (2016 ·济南模拟 ) 已知函数 f ( x)＝cos π＋x ·cosπ－x33－sin x cos1x＋4.(1)求函数 f ( x)的最小正周期和最大值；(2)求函数 f ( x)的递加区间．ππ1解：(1) 因为f ( x) ＝cos3＋x ·cos3－x －2 1sin 2x＋413131＝2cos x－2 sin x2cos x＋2 sin x－2生活的色彩就是学习1sin 2x ＋4123211＝4cosx －4sinx －2sin 2x ＋41＋cos 2 x3－3cos 2 x11＝8－8－2sin 2 x ＋412 π＝2(cos 2 x －sin 2 x ) ＝ 2 cos 2x ＋ 4 ，所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ＝π，2函数 f ( x ) 的最大值为 2 .π(2) 由 2k π－π≤ 2x ＋ 4 ≤2k π， k ∈Z ，5ππ得 k π－8 ≤x ≤k π－ 8 ，k ∈Z ，所以函数 f ( x )5ππ的单一递加区间为k π－ 8 ，k π－ 8 ，k ∈Z.3．(2016 ·赣州十三县 ( 市) 高三联考 )函数 f ( x ) ＝ 6cos2ωxωx －3( ω＞0) 在2 ＋ 3sin生活的色彩就是学习一个周期内的图像如下图， A为图像的最高点，B，C为图像与 x 轴的交点，且△ ABC为正三角形．(1)求ω 的值及函数f(x)的值域；8 3(2)若 f ( x0)＝5，且 x0∈ －3，3，求 f ( x0102＋1) 的值．解：(1) 由已知得：f ( x) ＝6cos 2ωxωx 2＋ 3sin－3π＝3cos ωx＋ 3sin ωx＝2 3sin ωx＋3，又因为正三角形ABC的高为23，则BC＝4，所2π以函数 f ( x)的周期 T＝4×2＝8，即ω＝8，所π以ω＝4，函数f(x)的值域为[－23，23] ．8 3(2)因为 f ( x0)＝5，由(1)有 f ( x0)＝23sin πx0π83 4＋3＝5，即 sin πx0π44＋3＝5，生活的色彩就是学习102πx 0πππ由 x 0∈ － 3 ，3 ，得 4 ＋ 3 ∈－2，2 ，πx 0π43所以 cos4＋ 3＝1－52＝5.故 f ( x 0 ＋ 1)＝ 23 sin πx 0＋π＋π＝ 2344 3sinπx 0ππ4＋ 3＋ 4＝23πx 0πππx 0ππsin4＋ 3cos 4 ＋cos4＋ 3sin 4＝4 2 3 2 7 62 35×2＋5×2＝5..。
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
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_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
2020版高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用课时作
第4节 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )(A)－32(B)－12(C)12(D)32A 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.故选A. 2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(3π8，0)，则函数f (x )的单调递减区间是( )(A)[2k π－3π8，2k π＋π8](k ∈Z )(B)[2k π＋π8，2k π＋5π8](k ∈Z )(C)[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )(D)[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )D 解析：由题可得sin (2×3π8＋φ)＝0，又0＜φ＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin(2x＋π4)，由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．故选D. 3．函数f (x )＝sin 23x ＋cos 23x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( )(A)3π (B)43π (C)32π (D)76π C 解析：由题意得f (x )＝2sin(23x ＋π4)，则其图像中相邻的两条对称轴间的距离为半个周期T 2＝π23＝3π2.故选C.4．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )(A)π6(B)π4(C)π3(D)π2D 解析：易知y ＝cos 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.5．(2018广西河池市高级中学)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图像的一个对称中心是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0(C)⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 A 解析：2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π12，k ∈Z .故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 6．(2018宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像，将该图像向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )(A)π12 (B)π6(C)π4(D)π3B 解析：令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图像知，T ＝56π＋π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将该函数图像向右平移m 个单位后，所得图像的解析式是g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2m ，因为函数g (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.故选B.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位后，得y ＝sin(2x ＋π3＋φ)，则π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .又0≤φ＜π， 故φ＝π6.答案：π68．若函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2，则函数f (x )的最小正周期为________；函数f (x )在区间[－π，0]上的最小值是________．解析：因为f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2＝22(sin x ＋cos x －1)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以函数f (x )的最小正周期为2π；因为x ∈[]－π，0，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，函数f (x )在区间[－π，0]上取最小值－1－22；故填2π；－1－22. 答案：2π －1－229．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由题知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，故f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )10．(2017华南师大附中测试)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2cos 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π2]上的最小值．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2cos 2x ＝－12cos 2x －32sin 2x ＋1＋cos 2x ＝12cos 2x－32sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π≤2x ＋π3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，可得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间是[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .(2)由(1)得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＋1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1≤2， 所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为12. 能力提升练(时间：15分钟)11．(2018揭阳二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则φ的值为( )(A)π3或2π3(B)2π3(C)4π3(D)π3或4π3D 解析：由题意可得函数的周期T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3×23＝π，则ω＝2πT ＝2，当x ＝－2π3时，ωx ＋φ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋43π(k ∈Z )，令k ＝0可得：φ＝43π.本题选择C 选项．12．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0，2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)的值为( )(A)2 468 (B)3 501 (C)4 032(D)5 739C 解析：f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2，∵f (x )max ＝3，∴A ＝2，令x ＝0，则cos(2φ)＝0，∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4，易知函数f (x )的最小正周期为4，∴2π2ω＝4，得ω＝π4，故f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋2，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2016＝4032.13．已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( )(A)2π，－32(B)π，－32(C)π，－52(D)2π，－52B 解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sinφ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cos φ(2cos 2x －1)＋12sinφsin2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.14．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列命题：①f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图像向右平移π12个单位，得到一个奇函数的图像．其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π3不是函数f (x )的图像的对称轴，该命题错误；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1≠0，所以点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数f (x )的图像的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，显然函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上为增函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图像向右平移π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④.答案：③④15. (2018锦州模拟)如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0，1)是线段MD 的中点，MD →·MN →＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)由已知F (0，1)是线段MD 的中点，可知A ＝2，因为MD →·MN →＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，所以T ＝2π3，ω＝3，所以f (x )＝2sin(3x ＋φ)． 设D 点的坐标为(x D ，2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， 所以x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为(－π12，0)，所以sin(π4－φ)＝0.因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(3x ＋π4)．(2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递增区间为[2k π3－π4，2k π3＋π12](k ∈Z )．。
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课后
3．4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·合肥质检)要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2．(2017·福建质检)若将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 答案 A解析 将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A.3．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝π D．x ＝π2答案 D解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.令12x －π4＝k π，k ∈Z ，求得x ＝π2＋2k π，取k ＝0，则x ＝π2.故选D.4．(2018·广州模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6答案 B解析 因为函数f (x )的图象过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.又函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π3的图象，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6，故选B.5．(2018·湖北调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14]D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14] 答案 A解析 由三角函数的图象可知，b ＝10＋302＝20，A ＝30－102＝10，T2＝14－6＝8⇒T ＝16＝2πω⇒ω＝π8，则y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，将(6,10)代入得10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π8＋φ＋20＝10⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1⇒φ＝3π4＋2k π(k ∈Z )，取k ＝0，φ＝3π4，故选A.6．(2015·安徽高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且x ＝2π3是经过函数f (x )最小值点的一条对称轴，∴x ＝2π3－π2＝π6是经过函数f (x )最大值点的一条对称轴．∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－π6＝12－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－2－π6＝5π－126，⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－π6＝π6，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－π6>⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－2－π6>⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－π6，且－π3<2<2π3，－π3<π－2<2π3，－π3<0<2π3，∴f (2)<f (π－2)<f (0)，即f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.7．(2018·安阳检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则∑2016n ＝1f ⎝⎛⎭⎪⎫n π6＝( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1答案 B解析 易得ω＝2，由五点法作图可知2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π6＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π6＝12，故∑2016n ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＝336×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－12－1－12＋12＝0.故选B.8．(2017·河北二模)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度答案 C解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π3 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6， 故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图象，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．故选C.9．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2的部分图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (1，0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733 C.833 D ．4 3答案 C解析 依题意得，点Q 的横坐标是4，点R 的纵坐标是－4，∴T ＝2πω＝2|PQ |＝6，A sin φ＝－4，f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A ，∴ω＝π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A ， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，∴π3≤5π6＋φ≤4π3，∴5π6＋φ＝π2，φ＝－π3， ∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833，故选C.10．(2015·湖南高考)将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 g (x )＝sin[2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x 1)－g (x 2)|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2，1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴|x 1－x 2|≥π2－φ.又∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 二、填空题11．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象，则需将函数y ＝sin ωx 的图象向________平移________个单位长度．答案 左π6解析 由图象知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x .又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．12．(2017·河南一模)将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2解析 将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )的图象，得g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，当k ＝1时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.要使函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a 3≤π6，2π3≤2a <7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.13．(2017·三明一模)已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案 －12解析 依题意，知△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，k ∈Z .由0<φ<π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sinπx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12. 14．(2017·烟台二模)已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位得到一个偶函数的图象，则实数m 的最小值为________．答案π12解析 ∵函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，∴2×2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－5π6，k ∈Z .∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋k π－5π6，k ∈Z .∵f (x )的图象向右平移m 个单位得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2m ＋k π－5π6(k ∈Z )为偶函数，∴x ＝0为其对称轴，即－2m ＋k π－5π6＝k 1π(k ∈Z ，k 1∈Z )，m ＝k －k 1π2－5π12(k∈Z ，k 1∈Z )，∵m >0，∴m 的最小正值为π12，此时k －k 1＝1，k ∈Z ，k 1∈Z .三、解答题15．(2017·九原期末)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3. (1)指出f (x )的最小正周期，并用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)求f (x )在[0,4π]上的单调区间；并求出f (x )在[0,4π]上最大值及其对应x 的取值集合；(3)说明此函数图象是由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到的．解 (1)f (x )的最小正周期为周期T ＝4π， 列表如下：x －π32π3 5π3 8π3 11π3 x 2＋π60 π2 π 3π2 2π y3633(2)增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π3，4π；减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，8π3；f (x )在[0,4π]上的最大值为6，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3.(3)①由y ＝sin x 的图象上各点向左平移φ＝π6个长度单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；②由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象； ③由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象； ④由y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象上各点向上平移3个长度单位，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3的图象．16．(2018·绵阳模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )的为奇函数．(1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得T 2＝πω＝π2，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ＋b －1. 再结合函数g (x )为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，∴f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1.(2)由(1)可得g (x )＝sin2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]，令t ＝g (x )，则t ∈[0,1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0,1)上有唯一解． 令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，∵h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24＝0，0<－m 6<1，求得m <－5或m ＝－2 6.。
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第五节y=Asinωx+φ的图象及应用课件新人教版
其中所有正确结论的编号是( D )
A．①④
B．②③ C．①②③ D．①③④
[解析] 已知 f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)在[0,2π]有且仅有 5 个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时 f(x)在(0,2π)有且仅有 3 个极
大值点，但 f(x)在(0,2π)可能有 2 或 3 个极小值点，所以①正确，②不正 确；当 x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈5π，2πω＋π5，由 f(x)在[0,2π]有且仅有 5 个 零点可得 5π≤2πω＋π5＜6π，得 ω 的取值范围是152，2190，所以④正确； 当 x∈0，1π0时，π5＜ωx＋π5＜π1ω0 ＋π5＜41090π＜π2，所以 f(x)在0，1π0单调递 增，所以③正确．
三角函数的零点、不等式问题的求解思路 (1)把函数表达式转化为正弦型函数情势y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0， ω>0)． (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象． (3)利用图象解决有关三角函数的零点、不等式问题．
[题组突破]
1．(2021·佛山四校联考)已知x0＝
π 3
是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值
点，则f(x)的一个单调递减区间是( B )
A.6π，23π C.2π，π
B．3π，56π D．23π，π
角，∴2A＝π3，A＝π6，故tan
A＝
3 3.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m， 则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2Tπ.
(3)求φ常用的方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入 图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在 降落区间上)． ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体 如下：
《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的应用
栏 目 链
∴f(0)＝
2sin2kπ＋π3 ＝
6 2.
接
栏 目 链 接
考点探究
考点1 五点法作图及图象变换
【例 1】 已知函数 y＝3sin12x－π4 .
栏
(1)用五点法作出函数的图象；
目
(2)说明此图象是由 y＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的；
链 接
(3)求此函数的振幅、周期和初相；
π
π
C.向左平移12个单位 D.向左平移 4 个单位
链
接
易错点拨：本题若考生把 y＝sin 3x＋cos 3x 恒等变换成 y＝sin 3x＋cos 3x＝
2sin3x＋π4 ，再考虑平移难度就很大；若记错公式把 y＝sin 3x＋cos 3x 化成 y ＝ 2cos3x＋π4 ，容易错选 C.题目的“倒装语句”叙述，也容易发生错误判断．
接
考点探究
(2)“先平移，后伸缩”．
π 先把 y＝sin x 的图象上所有点向右平移 4 个单位，得到 y＝
sinx－π4 的图象；再把 y＝sinx－π4 的图象上所有点的横坐标伸长 栏
到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x－π4 的图象，最后将 y
链
的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为 0，π2 ，π，32π，2π的
接
五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一
个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移 2kπ(k∈N*)个单位长
度，即得函数的整个图象．
课前自修
(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：
课前自修
解析：本题考查三角函数的图象变换及三角恒等变换，难度中等．
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用知能训练轻松闯关
文北师大版
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.
2.
(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C.根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. 3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B.3
3
C．1 D.3
解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，
f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
4.(2016·辽宁省五校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像如图所示，
为了得到y＝sin ωx的图像，只需把y＝f(x)的图像上所有点( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A.由图像知，＝－，所以T＝π.又π＝，所以ω＝2.由f＝0得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin＝sin，可知选A.
5．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图像关于直线x＝0对称，则( ) A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析：选B.f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，
因为其图像关于直线x＝0对称，
所以f(x)是偶函数，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z；
又因为|φ|<，
所以φ＝.
所以f(x)＝2sin＝2cos 2x.
易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．
6．(2016·合肥质检)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2 015)成立，则ω的最小正值为( )
A. B.π
2 015
C. D.π
4 030
解析：选B.依题意得函数f(x)＝sin在x＝x1处取得最小值，在x＝x1＋2 015处取
得最大值，因此×＝2 015，即ω＝π(k∈Z)，ω的最小正值为，故选B.
7．已知函数f(x)＝sin与g(x)的图像关于直线x＝对称，将g(x)的图像向左平移φ(φ>0)个单位后与f(x)的图像重合，则φ的最小值为________．
解析：函数g(x)的解析式为g(x)＝sin 2x，其图像向左平移φ个单位后对应解析式为y＝sin(2x＋2φ)，从而2φ＝＋2kπ，即φ＝＋kπ (k∈N)，所以φmin＝.
答案：π
6
8．(2014·高考重庆卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f＝________．
解析：将y＝sin x的图像向左平移个单位长度可得y＝sin的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图像，
故f(x)＝sin.
所以f＝sin＝sin＝.
答案：2
2
9．(2016·江西省期中诊断)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)，若f(x)在上单调且f＝f＝－f，则ω的值为________．
解析：因为f(x)在上单调，
所以f(x)的周期T≥2×＝，
因为f＝－f，－＝＜，所以是f(x)的对称中心，因为f＝f，－＝＜，
所以x＝是f(x)的对称轴，即＝－＝，
所以T＝2π，即ω＝1.
答案：1
10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋
Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，
A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
11．已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像．
解：(1)y＝2sin的振幅A＝2，
最小正周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表：
描点画图：
1．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．解析：画出函数图像，
由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，
因为f＝cos＝－且f＝cos π＝－1，
要使f(x)的值域是，只要≤m≤， 即m 的取值范围是. 答案：⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
2π9，5π18 2．(2016·济南模拟)已知函数f(x)＝cos ·cos －sin xcos x ＋. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)求函数f(x)的递增区间．
解：(1)因为f(x)＝cos·cos－sin 2x ＋1
4 ＝－sin 2x ＋1
4
＝cos2x －sin2x －sin 2x ＋1
4 ＝－－sin 2x ＋1
4
＝(cos 2x －sin 2x)＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为T ＝π， 函数f(x)的最大值为.
(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 3．(2016·赣州十三县(市)高三联考)
函数f(x)＝6cos2＋sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B ，C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值． 解：(1)由已知得：f(x)＝6cos2＋sin ωx－3 ＝3cos ωx＋sin ωx＝2sin ，
又由于正三角形ABC 的高为2，则BC ＝4，所以函数f(x)的周期T ＝4×2＝8，即＝8，
所以ω＝，函数f(x)的值域为[－2，2]． (2)因为f(x0)＝， 由(1)有f(x0)＝2sin ＝， 即sin ＝，
由x0∈，得＋∈， 所以cos ＝ ＝.
故f(x0＋1)＝2sin ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫πx04
＋π3＋π4 ＝2＝2＝..。