3.2.1函数的单调性(二)
3.2.1函数的单调性与最值(第2课时)
（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_； （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数最小值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足： 请同学们仿此给 （1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x出_)_≥函__M数_定；最义小值的 （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
解： 因为函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数，且
f(1-m)<f(m)，
- 2 1- m 2
所以， - 2 m 2
1- m m
解得 1 m 2
2
故实数m的取值范围是
( 1 ,2] .
2
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落， 经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单 调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让 我们来研究——函数的最大值与最小值.
对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M .并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
最大值M.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函
数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
y
的函数值.
3.最值几何意义：f(x)的最大值 M
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 5时，f (x)在[5,5]为增函数，
所以f (x)min f (5) 27 10a ②当- 5 a 5时，则f (x)min f (a) 2 a2
新教材：3.2.1函数的单调性
3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． （2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． （3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。
【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间． （1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是 ． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围 （ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是 （ ）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（ ） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（ ） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝ ．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >， 求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值； （4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。
3.2.1函数的单调性与最值(学生版)
3.2.1函数的单调性【知识梳理】1.函数的单调性和单调区间(1)函数的单调性条件一般地,设函数f (x )的定义域为D ,区间I ⊆D :如果∀x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时都有都有结论f (x )在区间I 上单调递增f (x )在区间I 上单调递减图示(2)函数的单调区间如果函数y =f (x )在区间I 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y =f (x )的.温馨提示(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D 内的某个区间I 而言的,显然I ⊆D.(2)定义中x 1,x 2有三个特征:①x 1,x 2属于同一个区间;②任意性,x 1与x 2不能用I 上的特殊值代替;③有序性,通常规定x 1<x 2.2.增函数与减函数当函数f (x )在它的定义域上单调递增时,称它是;当函数f (x )在它的定义域上单调递减时,称它是.例1根据定义，研究函数()(0)f x kx b k =+≠的单调性．【变式1】证明函数f(x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．【变式2】求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上单调递增．题型一证明或判断函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．跟踪练习：根据定义,研究函数f(x)=K1在x∈(-1,1)上的单调性.题型二利用图象确定函数的单调区间【例2】设函数f(x)2＋4x＋3，－4≤x<0，x＋3，x≥0，画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．(2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．3.2.2函数的最大(小)值【知识梳理】函数的最大值与最小值.最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足∀x∈D,都有∀x∈D,都有∃x0∈D,使得结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上点的f(x)图象上点的温馨提示(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略.例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为2() 4.914.718h t t t=-++，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？【变式1】已知函数f(x)x2，0≤x≤2，x>2，求函数f(x)的最大值、最小值．例5已知函数2()1f xx=-（[2,6]x∈），求函数的最大值和最小值．【变式2】已知函数f(x)＝32x－1.(1)证明：函数f(x)(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．能力提升题型一利用图象求函数最值【例1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．题型二：利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝x＋16 x .(1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明；(2)求函数f(x)在[6，9]上的最值．【练】已知函数f(x)=K1r2,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.题型三求二次函数的最值【例3】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．【练】1.已知二次函数f(x)=x2-2x+3.(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).2.已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3],且a,b为常数.(1)若a=1,求f(x)的最大值;(2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4,求a的值.。
3.2.1单调性与最大(小)值
概念学习
PART 2
知识点一 增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递 当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时 函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上 随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容
2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)-高一数学精品课件(人教A版2019必修第一册)
f(x) ≤ M
f(x) ≥
M
∃x 0∈D,使得 f(x0)=M
称 M 是 函 数 y=f(x) 称 M 是函数 y=f(x)的
结论
的最大值
最小值
4
课堂导入
课前思考
学习目标
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面高度h
函数的最小值、最大值分别是
( C )A.-2,f(2)
B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5)
解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
2.函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,则它的最大值为 3 ,最小值为 -2.
解析:观察函数图象可知,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所
所以，函数() =
， ∈ [, ])在区间[2,6]的两个 是减函数，复习一下
判定函数单调性的
基本步骤。
−
端点上分别取最大值和最小值.
解：∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则( ) − ( ) =
[( −)−( −)]
( − )
=
=
−
最小值为f(3)=2-3×3=-7,最大值为f(-2)=2-3×(-2)=8.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在区间【, 】上是减函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
最小值为();
()若函数在区间【, 】上是增函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
区间端点取到的函数值是
3.2.1单调性与最大（小）值教学设计（2）
3.2.1单调性与最大（小）值《函数的单调性与最大（小）值》是高中数学新教材第一册第三章第2节的内容。
在此之前，学生己学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本位的学习起着铺垫作用。
学生在初中己经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象.在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。
函数单调性是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，对解决各种数学问题有着广泛作用。
课程目标1、理解增函数、减函数一的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义：4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.数学学科素养1.数学抽象；用数学语言表示函数单调性和最值；2.逻辑推理：证明函数单调性：3.数学运算：运用单调性解决不等式；4.数据分析；利用图像求单调区间和最值；5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。
重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明:2.利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性.教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体。
一、情景导入观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：①随X 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值?要求：让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探・二、 预习课本，引入新课阅读课本76-80页，思考并完成以下问题1.增函数、减函数的概念是什么？2.如何表示函数的单调区间？3.函数的单调性和单调区间有什么关系4.函数最大（小）值的定义是什么？5.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.三、 新知探究1.增函数、减函数定义增函数减函数定义一般地，设函数/U ）的定义域为/：如果对于定义域/内某个区间D 上的任意两个自变量的值由上,当X1VX2时，都___________/(X1)</(X2)y （xi ）＞/（x2）那么就说函数yw 在区间。
3.2.1 单调性与最大(小)值2
所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)解:∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)．由 f xx12＝f(x1)－f(x2)得， f 93＝f(9)－f(3)，而 f(3)＝－1，所以 f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
2 (4.9)
4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
例2.求函数
y
2 x 1
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
f
( x1 )
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(－∞,6]内递减，则a的取值 范围是( D ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥－3 D、a≤－3
那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在
x0∈I，使得f(x0) = M；
函数的单调性
②利用函数的图像
1.函数y=-2x²+3x的单调递减区间是( D )
A. [0,+∞]
B. (-∞,0)
C. (-∞,¾]
D. [¾,+∞)
2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数，则k的取值范
围是( B )
A. [½,+∞]
B. (-∞,½)
C. (-∞,1]
=(x1-x2)(
)
12
∵1<x1<x2
∴x1-x2<0,1<x1x2
∴12 −1>0
∴y1-y2<0,即y1<y2
1
∴函数y=x+ 在区间
(1,+∞)上单调递增
总结
利用定义证明函数单调性的4个步骤：
①取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2
②作差变形：作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理
D. [-½,+∞)
题型二
函数单调性的判定与证明
1
例2.根据定义证明函数y=x+ 在区间(1,+∞)上单调递增
证明：∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2
1
1
∴y1-y2=(x1+ )-(x2+ )
1
2
1
1
=(x1-x2)+( − )
1
2
2−1
=(x1-x2)+
12
12−1
3.2.1 函数的单调性
如何用数学符号语言来表示呢
1.增函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)教学设计 - 高一数学 人教A版2019 必修第一册
《3.2.1单调性与最大（小）值》教学设计第2课时函数的最值教材内容：函数的最大、最小值与函数的单调性有着密切的关系。
通常要想求出函数的最大、最小值，首先要求出函数的单调性。
本节课是对函数的单调性内容的进一步深化，也是对值域这一函数性质的进一步学习。
同时，本节课所展现出的极限的数学思想对于接下来学习幂函数、函数的实际应用也有着不可替代的作用。
教学目标：1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；3.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。
教学重点与难点：1.重点：函数最值的定义；函数最值的求法。
2.难点：单调性求最值；讨论二次函数的最值问题．教学过程设计：（一）新知导入1. 创设情境，生成问题科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。
2.探索交流，解决问题【探究1】观察下列两个函数的图象,回答有关问题:【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?【提示】图①中函数y=−x2的图象上有一个最高点;图②中函数y=-x的图象上没有最高点.【问题2】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R,都有f(x)≤f(0)，f(0)是最大值。
【探究2】观察下列两个函数的图象,回答有关问题.【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?【提示】图①中函数y=x2的图象有一个最低点.图②中函数y=x的图象没有最低点.【问题4】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R都有f(x)≥f(0)，f(0)是最小值。
【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。
教学设计2：3.2.1 第1课时 函数的单调性
主要师生活动教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律．请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性质.问题1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象并回答问题．学生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点．追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化吗？即y随x的增大是如何变化的？-∞+∞上，y随x 预设：第一个图象从左到右是上升的，即在(,)-∞-及(0.21),两个区间上，从左的增大而增大；第二个函数在(,1)明，要让学生明确，应该是区间(,0]-∞上的所有数对1x ，2x ．预设反例：如图象所示函数，我们可以找到<a b 、()()>f a f b ，但很明显函数在区间[,]a b 上并不单调递减．追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？师生活动：教师引导学生说出用“任意”代替“所有”，帮助学生体会用“任意”处理“无限”的思想．预设：任取1x ，2x ，只要12<x x ，就有12()()>f x f x ．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取1x ，2x ，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．追问5：你能说出为什么12()()>f x f x 吗？教师引导：要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明，具体证明方法我们稍后会说明．追问6：对于函数2=y x ，你能模仿上述方法，给出“在区间[0,)+∞上，y 随x 的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间D 上，当x 增大时，相应的()f x 随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”刻画“无限”的力量．练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数2=-y x 的单调性．2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数()=y f x 在区间D 上单调性的符号表述．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调。
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跟踪训练：：已知f
x
＝(3a
1)x x 1,
4a, x
x 1
1是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是
________
.
例5、已知函数f ( x) 2x 1 在[0, 2) (2,4]上的值域 x2
跟踪训练：函数f ( x) a b(a 0)在[1 , 2]上的值域为[ 1 , 2]，求a,b的值
x
2
2
例6、求函数f ( x) x2 2x 1在区间[0, 2]上的最小值和最大值 跟踪训练、求函数f ( x) x2 2ax 1在区函数f ( x) x2 2ax 1在区间[0, 2]上的最大值
例7、设函数f ( x) x2 2x 2在区间[t, t 1]的最小值为g(t) (1)求g(t )的表达式 (2)求g(t )的最大值和最小值
x2 3x 2 (2) y
x
(4) f ( x) x 1 x
例3：已知f ( x)是定义在[1,1]上的增函数，且f ( x 1) f (1 3x),求x的取值范围
例4：已知函数f ( x)=x2 -(a 1)x 4在区间( 1 ,1)是增函数,求实数a的取值范围 2
跟踪训练：已知函数f ( x)=x2 -(a 1)x 4在区间( 1 ,1)不是单调函数,求实数a的取值范围 2
(1)求形如“x a ”的值域 x
本课总结
(2)求二次函数值域问题
第二节
例1、讨论函数f ( x) x a (a 0)的单调性，并用定义证明 x
例2：求f ( x) x 2 的单调区间 x
跟踪训练：求f ( x) x2 x 1的单调区间 x1
跟踪训练：求下列函数在x (1, 2]的值域： x
(1) y x2 1
(3) f ( x) x 5 x1