北京港澳台联招补习班内部讲义：数学资料部分：三角函数与平面向量综合2

测试四三角函数与平面向量综合一、选择题(10×5分=50分)1．已知等腰三角形底角的正弦值为,32则顶角的正弦值是（A ）A ．594B ．592C ．594-D ．592-2．函数x y sin =的图象按向量)2,2(π-=a 平移后与)(x g 的图象重合,则函数=)(x g (A )A ．2cos +x B ．2cos --x C ．2cos -x D ．2cos +-x 3．等边ABC ∆的边长为1,设C AC b BC a AB ===,,,则=⋅+⋅+⋅a c c b b a （B ）A ．23B ．21C ．23-D ．21-4．已知,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是（A）A ．1B ．1-C ．12+kD ．12+-k 5．若θ是第三象限角，且2sin 2cossin 1θθθ+=+，则2θ是（B ）A ．第二、四象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．已知P 是ABC ∆所在平面内的一点，若R PB PA CB ∈+=λλ,。

则点P 一定在(B）A ．ABC ∆内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．把函数x x y sin cos 3-=的图象按向量)0()0,(>-=m m a 平移，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是（D）A ．6πB ．3πC ．π32D ．π658．在ABC ∆中，下列三角表达式：①C B A sin )sin(++②AC B cos )cos(++③2tan 2tanCB A +④2sec 2cosAC B +，其中恒为定值的是（B）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且DB CD 2=,,AC s AB r CD +=则s r +的值(D)A ．32B ．34C ．3-D ．010．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(B )A ．112λ≤≤B ．2112λ-≤≤C ．12122λ≤≤+D ．221122λ-≤≤+二、填空题（6×5=30）11．︒︒-︒25cos 25sin 5cos 2的值为312．函数)32sin(4π--=x y 的单调减区间是5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦_____________13．直角坐标平面上向量)3,2(),1,4(-==OB OA 在直线λ上的射影长度相等，则直线l 的斜率为3或12-_____________14．已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则实数λ的取值范围1(,2)(2,)2-∞-⋃-__________15．在AOB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则AOB ∆的面积为_532_________16．在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值是___-2_________三、解答题：17．（本题10分）设πππ471217,53)4cos(<<=+x x ，求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值。

解：532,cos()3445x x ππππ<+<+= ,44sin(),tan()4543x x ππ∴+=-+=-,原式=2sin (sin cos )sin 2tan()cos 2()tan()cos sin 444cos x x x x x x x x x xπππ+⎡⎤=⋅+=-+⋅+⎢⎥-⎣⎦9428(21)()25375=-⨯-⨯-=-18．(本题12分)记向量)sin ,(cos )(θθθ=n （1）求两向量的数量积)0()4(n n ⋅π（2）令函数)(2()(4)0()2()(R x n x n n x n x f ∈⋅+⋅=π，求函数)(x f 的最小值及相应的x 值。

解：(Ⅰ)2()(0)cos cos 0sin 04442n n πππ⋅=+= .(Ⅱ)()(2)(0)4()()cos 24sin 2f x n x n n x n x xπ=⋅+⋅=+ 2212sin 4sin 2(sin 1)3x x x =-+=--+.当sin 1x =-,即2()2x k k z ππ=-∈时,()f x 取最小值5-.19．（本题12分）已知锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且bc a c b =-+222，（1）求角A 的大小（2）求62sin(sin 22π++=B B y 得最大值，并求出取得最大值时角B 的大小。

解：(Ⅰ)由余弦定理得2221cos ,223b c a A A bc π+-==∴=.(Ⅱ)31311cos 22cos 2sin 2cos 212222y B B B B B =-++=-+=sin(2)16B π-+,25,0,2(,)32666B C B B πππππ+=<<∴-∈- 又max 2,,2623B B y πππ∴-===当即时20．（本题12分）过ABC ∆的重心G 任作一直线分别交AC AB ,于点E D ,，若)0(,≠==mn AC n AE AB m AD ，求证：311=+nm ．证明：如图,连结AG ,并延长交BC 于F12(),1()3111()()11()33AF AB AC AG AFAG AB AC ABC AG AD AB AC mAB m AB AEG GE AE AG nAC AB AC AB =+=∴=+∆=-=+-=+∆=-=-+=-在中,DG 在中，1()3n AC+-1()311()33DG GE AC m DG GE n λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 与共线，且AB ，不共线13有= 得化简得3m n mn+=113m n∴+=21．(本题12分)已知函数x c x b a x f 2cos 2sin )(++=的图象经过点)1,4(),1,0(πB A 且当]4,0[π∈x 时，)(x f 取得最大值122-（1）求函数)(x f 的解析式（2）是否存在向量m ，使得将函数)(x f 的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个向量，若不存在，说明理由。

解：由题知11a c ab +=⎧⎨+=⎩1b c a∴==-(Ⅰ)()2(1)sin(2)430,,2,4444f x a a x x x πππππ∴=+-+⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ EGCFBDA102(1)2112102(1)21210211()12)4a a a a a a a a a f x x π->+-==--<+-⨯=-==-∴=-++当时，由解得当时,无解当时，即a=1时，a=相矛盾。

综上可知（Ⅱ）()22g x x π= 是奇函数，将g(x)的图象向左平移个单位再8向下平移一个单位就可以得到()f x 的图象,因此,将()f x 的图象向右平移8π个单位,再向上平移一个单位就可以得到奇函数()22g x x =的图象,故是(,1)8m π= 满足条件的一个向量。

22．(本题12分)已知向量),1,1(=m 向量n 与向量m 的夹角为π43，且1-=⋅（1）求向量n（2）若向量n 与向量)0,1(=q 的夹角为.2π向量)2cos 2,(cos 2CA p =，其中C A ,为ABC ∆依次成等n +的取值范围。

解：（Ⅰ）设),(y x n =，由1-=⋅n m 可得1-=+y x ①n m 与夹角为π43，有π43n m n m =⋅，1,122=+=y x n 则②由①②得，{10-==x y 或{1=-=x y ，即)0,1(-=n 或)1,0(-=n （Ⅱ）由与垂直知，)1,0(-=，由C A B +=2知3π=B ，π32=+C A ，,320π<<A )1,0(-=n ，)cos ,(cos )12cos 2,(cos 2C A CA p n =-=+∴32cos(211)]234cos(2[cos 21122cos 122cos 1cos cos 22ππ++=-++=+++=+=+A A A CA C A p n ππππ353232,320<+<<<A A ,,2132cos(1<+≤-∴πA ,4532cos(21121<++≤∴πA 即45,21[∈+p n )25,22[∈+p n .。