高中数学人教A版必修2立体几何--线面垂直的判定与性质(二)同步检测(WORD文档有答案)
配套K12高中数学必修二人教A版练习：2.3.1直线与平面垂直的判定含解析
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定【选题明细表】1.(2018·甘肃兰州二十七中高二上期末 )设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是( A )(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(D)若l∥α,m∥α,则l∥m解析:易知A正确.B.l与m可能异面,也可能平行.C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,D.l与m可能平行、异面或相交.2.(2018·广西桂林期末)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( C )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m⊥α,m⊥n,则n∥α(C)若m⊥α,n⊂α,则m⊥n(D)若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析:对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或者异面;故A错误;对于B,若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行或者n在α内;故B错误; 对于C,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;故C正确;对于D,若m∥α,m⊥n,则n⊂α,或n与α相交;故D错误.故选C.3.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( D )(A) (B)2(C)3(D)4解析:如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥CD.所以CB⊥平面PAD,所以AD⊥BC.在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD==4.故选D.4.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,则H为△ABC的( B )(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA ⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH ⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.5.(2018·唐山高二期末)△ABC所在平面α外一点P到三角形三顶点的距离相等,那么点P在α内的射影一定是△ABC的( A )(A)外心(B)内心(C)重心(D)以上都不对解析:由题意PA=PB=PC,PO⊥平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,所以由HL定理知Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC.于是OA=OB=OC,所以O为三边中垂线的交点,O是三角形的外心,故选A.6.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( D )(A)1 (B)2(C)3 (D)4解析:⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故选D.7.(2018·浙江杭州月考)如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.答案:45°8.(2018·陕西西安高一期末)在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证:(1)PA∥平面DEB;(2)PB⊥平面DEF.证明:(1)连接AC,BD,交于O,连接EO.因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.所以在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO, 因为EO⊂平面DEB,且PA⊄平面DEB,所以PA∥平面DEB.(2)因为PD⊥底面ABCD,且BC⊂底面ABCD,所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,可得BC⊥平面PDC.因为DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC.所以DE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.9.如图甲所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图乙所示,那么,在四面体A EFH中必有( A )(A)AH⊥△EFH所在平面(B)AG⊥△EFH所在平面(C)HF⊥△AEF所在平面(D)HG⊥△AEF所在平面解析:根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,所以AH⊥平面EFH,故选A.10.如图,四棱锥S ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是.解析:连接SO,如图所示,因为四棱锥S ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,则②正确;因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD 所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,则③正确;因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,所以AC⊥SO,则④正确.答案:①②③④11.(2018·宁夏石嘴山第三中学高二上期末)侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.(1) 求证:MN∥平面A′ACC′;(2) 求证:A′N⊥平面BCN;(3) 求三棱锥C MNB的体积.(1)证明:如图,连接AB′,AC′,因为四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,所以AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,又MN⊄平面A′ACC′,且AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.(2)证明:因为A′B′=A′C′=2,点N为B′C′的中点,所以A′N⊥B′C′.又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′,所以A′N⊥平面BCN.(3)解:由图可知=,因为∠BAC=90°,所以BC==2,S△BCN=×2×4=4.由(2)及∠B′A′C′=90°可得A′N=,因为M为A′B的中点,所以M到平面BCN的距离为,所以==×4×=.12.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.。
高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题地判定与性质
线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义假如一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判断定理和性质定理判断定理：假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判断定理：假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判断定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 .逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例 1 】如下图，已知点S 是平面 ABC 外一点，∠ABC=90°，SA⊥平面 ABC，点 A 在直线 SB 和 SC 上的射影分别为点E、F，求证： EF⊥ SC.【解前点津】用剖析法找寻解决问题的门路，假定EF⊥ SC 建立，联合AF⊥ SC 可推证 SC⊥平面 AEF，这样例1题图SC⊥ AE，联合 AE⊥SB，可推证 AE⊥平面 SBC，所以证明AE⊥平面 SBC 是解决本题的重点环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，能够推证 BC⊥ AE，联合 AE⊥ SB 达成 AE⊥平面 SBC 的证明.【规范解答】【解后概括】题设中条件多，图形复杂，联合题设理清图形中基本元素之间的地点关系是解决问题的重点.【例 2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥ N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.【解前点津】由求证想判断，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c b ⊥ c;(2) a⊥α,bαa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后概括】处于特别规地点图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线” .所谓“一个面” ：就是要确立一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线” ：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是重点的一条线，牵一发而动浑身，应用时一般可按下边程序进行操作：确立垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影，寻第四条线.【例 3】已知如图 (1) 所示，矩形纸片AA′A′A,B、C、B、C1分别为 AA ′,A A′的三平分点，1111将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥ BC1，求证:A1C⊥ AB1.例 3 题图解 (1)【解前点津】题设主要条件是AB1⊥ BC，而结论是AB1⊥ A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1 A1上作文章，只需取 A1 B1中点 D1，就把异面直线AB 1与 BC1垂直关系变换到ABB1 A1同一平面内 AB1与 BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与 A1 C 垂直用同法（对称原理）变换到同一平面，取AB 中点 D 即可，只需证得A1D 垂直于 AB 1，事实上 DBD 1 A 1，为平行四边形，解题门路清楚了.【解后概括】证线线垂直主要门路是：（ 1）三垂线正逆定理，（ 2 ）线面，线线垂直相互转变.利用三垂线正逆定理达成线线归面工作，在平面内达成作解任务.证线线垂直，线面垂直，经常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这类转变思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽略的常用方法.【例 4 】空间三条线段AB,BC,CD ,AB ⊥BC,BC⊥ CD,已知 AB=3, BC=4, CD =6,则 AD 的取值范围是.【解前点津】如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,例4题图AD 1的长是 AD 的最小值,此中 AH ⊥ CD 1,AH = BC=4, HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中 ,CD2 =6,AD 2是 AD 的最大值为HD 22AH 2(6 3)2 4 297【解后概括】本题出题形式新奇、灵巧性大，好多学生对此类题感觉无从下手,其实沉着剖析，找出隐蔽的条件很简单得出结论.●对应训练分阶提高一、基础夯实1.设M表示平面，a、b表示直线，给出以下四个命题：① a // bM ② a Ma//b③ a M∥④ a // Mb⊥M .bb M a b b Ma M ab 此中正确的命题是()A. ①②B.①②③C.②③④D.①②④2.以下命题中正确的选项是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必然垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如下图，在正方形ABCD 中， E、F 分别是 AB、 BC 的中点.此刻沿 DE、DF 及 EF把△ADE、△CDF 和△BEF 折起，使 A、 B、 C 三点重合，重合后的点记为P.那么，在四周体P— DEF 中，必有()第 3题图A. DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，以下命题正确的选项是()A. 过不在a、b上的一点P 必定能够作一条直线和a、 b 都订交B.过不在a、b上的一点P 必定能够作一个平面和a、 b 都垂直C.过a必定能够作一个平面与 b 垂直D. 过a必定能够作一个平面与 b 平行5.假如直线l,m与平面α ,β,γ知足:l=β∩γ,l∥α,mα和 m ⊥γ,那么必有()A. α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD. α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1, AC =2, PC=1，则 P 到AB 的距离为()2535C. D.557.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、 b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直此中正确命题的个数为()8.d是异面直线a、b 的公垂线，平面α、β知足a⊥α，b⊥β，则下边正确的结论是()A. α与β必订交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必订交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必订交且交线m与d必定不平行D.α与β不必定订交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出以下命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥ l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥ l；④若m∥l，则m⊥α，此中真命题的序号是()．．．A. ①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线 l⊥平面α，直线 m 平面β，给出以下四个命题：①若α∥β，则l⊥m ；②若α⊥β，则 l∥m ；③若 l∥m ，则α⊥β；④若 l⊥ m ，则α∥β.此中正确的命题是()A. ③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思想激活11.如下图，△ ABC 是直角三角形， AB 是斜边，三个极点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为 A′，B′，C′，假如△A′B′C′是正三角形，且 AA ′＝3cm， BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.第12题图第 11题图第13题图12. 如下图 ,在直四棱柱A1B1C1 D1— ABCD 中,当底面四边形ABCD 知足条件时,有A1C ⊥ B1D1(注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况)13. 如下图，在三棱锥V— ABC 中，当三条侧棱VA、VB、 VC 之间知足条件时，有VC⊥ AB.(注：填上你以为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如下图 ,三棱锥V- ABC中 ,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高 .(1) 求证 :VC⊥AB ;(2)若二面角 E— AB— C 的大小为30°,求 VC 与平面 ABC所成角的大小.第 14题图15.如下图， PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点.(1)求证： MN ∥平面 PAD.(2)求证： MN ⊥ CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN ⊥平面 PCD.第15题图16.如下图，在四棱锥 P— ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ BAD ＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3 .(1)求证： BD ⊥平面 PAD.(2)若 PD 与底面 ABCD 成60°的角，试求二面角 P— BC— A 的大小.第16题图17. 已知直三棱柱ABC - A1B1 C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1 ，AA1 = 6 ， M是 CC1的中点，求证： AB1⊥ A1M ．18. 如下图，正方体ABCD — A′B′C′D′的棱长为a，M 是 AD 的中点， N 是 BD′上一点，且 D′N ∶NB ＝1∶2， MC 与 BD 交于 P.(1)求证： NP ⊥平面 ABCD.(2)求平面 PNC 与平面 CC′D′D 所成的角.(3)求点 C 到平面 D′MB 的距离.第 18题图第 4 课线面垂直习题解答两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.由线面垂直的性质定理可知 .折后 DP⊥ PE,DP ⊥ PF， PE⊥ PF.过 a 上任一点作直线 b ′∥b,则 a，b ′确立的平面与直线 b 平行.依题意 ,m⊥γ且m α,则必有α⊥γ,又由于l= β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m ,应选 A.过 P 作 PD⊥AB 于 D，连 CD，则 CD⊥AB，AB= AC 2BC 2 5 ，CD AC BC2，AB5∴PC2 CD214 3 5 PD=5.5由定理及性质知三个命题均正确.明显α与β不平行 .垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.∵α∥β，l⊥α，∴l⊥ m11.3cm 2设正三角A′B′C′的边长为a. 2∴AC2= a2+1, BC2= a2+1, AB ２= a2+4，又 AC2+ BC2= AB 2，∴a2=2．S△A′B′C′= 3 a23cm 2．4 212.在直四棱柱 A1B1C1D1— ABCD 中当底面四边形 ABCD 知足条件 AC⊥BD (或任何能推导出这个条件的其余条件，比如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1 C⊥ B1D1(注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况).评论：本题为探究性题目，由本题开拓了填空题有探究性题的新题型，本题实质考察了三垂线定理但答案不唯一,要求思想应灵巧.13.VC⊥VA， VC⊥ AB.由 VC⊥VA， VC⊥AB 知 VC⊥平面 VAB.14.(1) 证明 :∵H为△VBC的垂心 ,∴VC⊥BE,又 AH ⊥平面 VBC,∴BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,∴AB ⊥ VC.(2)解 :由 (1) 知VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥平面 ABE,在平面 ABE 上,作 ED⊥ AB ,又 AB⊥ VC,∴AB ⊥面 DEC.∴AB ⊥CD,∴∠EDC 为二面角 E— AB— C 的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面 VCD,∴VC 在底面 ABC 上的射影为CD.∴∠VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VC⊥ AB,VC⊥ BE,∴VC⊥面 ABE,∴VC⊥ DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面 ABC 所成角为60°.15.证明： (1) 如下图，取PD的中点E，连接AE，EN，则有 EN∥CD ∥AB∥AM ， EN＝1CD＝1AB＝ AM ，故 AMNE 为平行四边形.22∴MN ∥AE.∵AE 平面 PAD， MN 平面 PAD，∴MN ∥平面 PAD.(2)∵PA⊥平面 ABCD ，∴PA⊥ AB.第 15 题图解又 AD ⊥ AB ，∴AB⊥平面 PAD.∴AB ⊥AE，即 AB⊥ MN .又 CD∥AB ，∴MN ⊥ CD.(3)∵PA⊥平面 ABCD ，∴PA⊥ AD .又∠PDA ＝45°，E 为 PD 的中点.∴AE⊥ PD，即 MN ⊥ PD.又 MN ⊥CD，∴MN ⊥平面 PCD.16.如图 (1) 证：由已知AB＝4 ，AD＝２，∠BAD＝60 °，故 BD2＝ AD 2+ AB2-2 AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×1＝12.2又 AB2＝AD2+ BD2，∴△ABD 是直角三角形，∠ ADB ＝90°，即 AD ⊥ BD .在△PDB 中， PD ＝ 3 ， PB＝15 ， BD＝12 ，第 16 题图解∴PB2＝ PD 2+ BD2，故得 PD⊥ BD .又 PD∩AD ＝D，∴BD ⊥平面 PAD.(2)由 BD ⊥平面 PAD， BD 平面 ABCD.∴平面 PAD⊥平面 ABCD.作 PE⊥ AD 于 E，又 PE平面 PAD，∴PE⊥平面 ABCD ，∴∠PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角.33∴∠PDE＝60°，∴PE＝ PD sin60°＝ 3.22作 EF⊥ BC 于 F，连 PF，则 PF⊥BF，∴∠PFE是二面角 P— BC— A 的平面角.又 EF＝ BD ＝ 12 ，在Rt△PEF中，3PE23.tan ∠PFE＝2 34EF3故二面角 P— BC— A 的大小为arctan.417. 连接AC1，∵AC32CC1. MC 16C1 A12∴Rt △ACC1∽Rt △MC1A1，∴∠AC1 C=∠MA 1 C1，∴∠A1MC 1+∠AC1C=∠A1 MC 1+∠MA 1C1=90°.∴A1M ⊥ AC1,又 ABC -A1 B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥ B1C1，又 B1C1⊥ A1 C1，∴B1C1⊥平面 AC1M .由三垂线定理知AB1⊥ A1 M .评论：要证 AB1⊥ A1M ，因 B1 C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转变成证AC1⊥ A1 M ，而 AC1⊥ A1 M 必定会建立．18.(1) 证明：在正方形ABCD 中，1∵△MPD ∽△CPB，且 MD ＝BC，∴DP∶PB＝ MD ∶BC＝1∶2.又已知 D′N∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面 ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC′，∴NP 、 CC′在同一平面内， CC′为平面NPC 与平面 CC′D′D 所成二面角的棱.又由 CC′⊥平面ABCD，得 CC′⊥CD ，CC′⊥CM ，∴∠MCD 为该二面角的平面角.在 Rt △中可知MCD∠MCD ＝arctan 1，即为所求二面角的大小 . 2(3)由已知棱长为a MBC面积S MBD S＝6a 2，设所求距离为h，可得，等腰△1＝ a2，等腰△′面积 224即为三棱锥 C— D′MB 的高.∵三棱锥 D′—BCM 体积为1S1 DD1S2 h ，33∴h S1 a 6 aS23。
高中数学同步测控(人教A必修2)2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线l⊥α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()B.2C.3D.6AC和平面A1C1与直线AA1垂直.3.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°,知b与α所成的角也是50°.4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.5.已知线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在的直线与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.120°AB,,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影.因为BC=12所以∠ABC=60°,它是AB所在的直线与平面α所成的角.答案:C6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中必有()A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF,AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为23,则该四棱柱的侧棱长等于__________________.tan∠DBD1=DD1BD =23,因为BD=3√2,所以DD1=23BD=23×3√2=2√2.√28.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是.PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥AB.,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.因为BC1∩AO=O,所以B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.10.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?.如图,设地面为平面α,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线.∵PO=12m,PA=13m,OA=5m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可证OP⊥OB.∵OA∩OB=O,OA⊂α,OB⊂α,∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PADABCDEF是正六边形,可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理可得CF∥平面PAB,C正确;同理可得CD∥平面PAF,A正确;在正六边形ABCDEF中,易得DF⊥AF.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,且PA∩AF=A.由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,B正确.由排除法可知选D.2.若空间四边形ABCD 的四边相等,则它的两条对角线AC ,BD 的位置关系是( ) A .垂直且相交 B .相交但不一定垂直 C .垂直但不相交 D .不垂直也不相交,取BD 的中点O ,连接AO ,CO ,则BD ⊥AO ,BD ⊥CO. 因为AO ∩CO=O ,所以BD ⊥平面AOC ,BD ⊥AC.又BD ,AC 异面,故选C .答案:C★3.如果P 是等边三角形ABC 所在平面外一点,且PA=PB=PC =23,△ABC 的边长为1,那么PA 与底面ABC 所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°,记O 为点P 在△ABC 内的射影.易知O 为△ABC 的中心,且PO ⊥平面ABC ,则PA 与底面ABC 所成的角即为∠PAO ,AO =√33AB =√33,PA =23,所以cos ∠PAO =AOPA =√32,故∠PAO=30°.故选A .4.如图,PA ⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数为 .⊥平面ABC ⊂平面ABC }⇒PA ⊥BCAC ⊥BCPA⋂AC =A}⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ,所以直角三角形有△PAB ,△PAC ,△ABC ,△PBC.5.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,P为空间一点,且AC=BC=5√2,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB的中点为M,连接PM,CM,则PM与平面ABC所成的角的大小为.解析:由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,所以∠PMC为PM与平面ABC 所成的角.因为△ABC为等腰直角三角形,M是AB的中点,所以AB=√(5√2)2+(5√2)2=10,AB=5.CM=12又PC=5,所以∠PMC=45°.°6.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是.(只填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确; 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.7.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC 的中点,连接AE,AC.求证:AE⊥PD.ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.★8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.。
(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
8．6 空间直线、平面的垂直 8．6.1 直线与直线垂直 8．6.2 直线与平面垂直第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：CB1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度在正方体ABCD-A数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°， 即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.2．[变条件]若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ， 所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：2B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是9.如图，在直三棱柱ABC-ABC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．因为DE 与AC 所成角不能为直角， 所以DE 不会垂直于平面ACD ，故①错误；只有D 点投影位于Q 2位置时，即平面AED 与平面AEB 重合时， 才有BE ⊥CD ，此时CD 不垂直于平面AECB ， 故CD 与平面BED 不垂直，故②错误； BD 与AC 所成角不能为直角，所以BD 不能垂直于平面ACD ，故③错误； 因为AD ⊥ED ，并且在折起过程中，有AD ⊥BD ，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段AB上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修2第二章2.3-2.3.1直线与平面垂直的判定
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案：D2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．答案：A4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD 的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒ BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，所以直角三角形有△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC .答案：D二、填空题6．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．解析：P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．已知正三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等，则SA 与平面ABC 所成角的余弦值为________．解析：因为S -ABC 为正三棱锥，所以设点S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的中心O ，连接SO ，AO ，如图所示，则∠SAO 为SA 与底面ABC 所成的角，设三棱锥的棱长为a ，在Rt △SOA 中，AO＝23·a sin 60°＝33a ，SA ＝a ，所以cos∠SAO＝AOSA＝33.答案：3 38．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB，所以CD⊥AB.答案：CD⊥AB三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2.证明：DE⊥平面PCD.证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝2，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()图①图②A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF解析：在图①是，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图②中，SG⊥GE ，SG ⊥GF ，又GE ∩GF ＝G ，所以SG ⊥平面EFG .答案：A2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中点，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则AE ⊥面BB 1C 1C .所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ， 设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a 2， 有tan ∠ADE ＝3，所以∠ADE ＝60°.答案：60°3.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证：C 1D ⊥平面A 1B .(2)当点F 在BB 1上什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？证明你的结论．证明：(1)因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，所以A 1C 1＝B1C1.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.又AA1，A1B1⊂平面A1B，AA1∩A1B1＝A1，所以C1D⊥平面A1B.(2)当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下：作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，此时AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．事实上，因为C1D⊥平面A1B，AB1⊂平面A1B，所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.由已知得A1B1＝ 2.连接A1B，在矩形A1B1BA中，A1B1＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B.又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点．故当F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质试题解析
§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．一个或无数个D ．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )A ．两个平面相交，所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .求证：平面EFG ⊥平面PDC . 8. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．13．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，P A＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8. 如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶310．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么() A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝22a，C1D＝2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 直线与平面垂直的判定
2．3.1直线与平面垂直的判定基础梳理1．直线与平面垂直．(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.练习1：如右图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥CD，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.2．直线与平面所成的角．(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．练习2：直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？答案：能练习3：两条直线垂直就一定相交吗？答案：错►思考应用1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面．”这个结论对吗？解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a 与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0°，90°]．自测自评1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是(A)A．60°B．45°C．30°D．120°解析：AB与平面α所成的角，即AB与其在平面α射影所成的角，由已知得为60°.3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(D)A．l⊂αB．l与α相交C．l∥αD．都有可能4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(D)A．存在无数个平面与a，b都平行B．存在一个平面与a，b等距离C．存在无数条直线与a，b都垂直D．存在一个平面与a，b都垂直5．三条直线两两垂直，下列四个命题：①三条直线必共点；②其中必有两条直线是异面直线；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的序号是③．解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．基础达标1．下列说法中错误的是(D)①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(B)A．(0°，90°) B．[0°，90°]C．[0°，180°] D．[0°，180°)3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：取AD的中点F，连接EF、BF，则EF∥PA，由侧棱PA⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，则∠EBF为BE与平面ABCD所成角．答案：213 134．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．答案：垂直5．给出下列命题：①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b，则b⊥平面α；②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．其中正确命题的序号是________．解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明．①b与平面α可以平行或者b⊂α.②直线垂直于平面α内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直．③由反证法可知正确．答案：③6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．答案：菱形巩固提升7．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(D) A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：连接AH并延长交BC于D，如图所示．由于PH⊥平面ABC，则BC⊥PH，又PA⊥PB，PA⊥PC，则PA⊥平面PBC，所以BC⊥PA.所以BC⊥平面PAD，又AH⊂平面PAD，所以AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，所以垂足H是△ABC的垂心．8．如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝12AB，PH为△PAD 中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)证明：EF⊥平面PAB.证明：(1)∵PH为△PAD中的高，∴PH⊥AD.又AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，∴PH⊥AB，AB∩AD＝A.∴PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中点Q，连接EQ，DQ，∵E是PB的中点，∴EQ∥AB且EQ＝12AB.又DF＝12AB且DF∥AB，∴EQ綊DF，∴四边形EQDF是平行四边形．∴EF∥DQ.由(1)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥DQ.又∵PD＝AD，∴DQ⊥PA.∵PA∩AB＝A，∴DQ⊥平面PAB.∵EF∥DQ，∴EF⊥平面PAB.9．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．(1)证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)解析：在Rt △ADE 中，AE ＝3，AD ＝6，∴DE ＝AD 2－AE 2＝3 3.如图，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，∵AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，∴EF ⊥AB.∵AD ∩AB ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD.∵AD ·EF ＝AE·DE ，∴EF ＝AE ·DE AD ＝3×336＝332. 又正方形ABCD 的面积S 正方形ABCD ＝36，∴V 多面体ABCDE ＝V EABCD ＝13S 正方形ABCD ·EF ＝13×36×332＝18 3. 故所求凸多面体ABCDE 的体积为18 3.1．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”，“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键．2．判定线面垂直的两种方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理．。
人教A版高中数学必修二2.3直线平面垂直的判定及其性质含
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1 直线与平面垂直的判定预习课本P64～66，思考并完成以下问题[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛] 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手](1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b( )(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α( )答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例] 下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，故②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．[答案] ②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.答案：①③④线面垂直的判定[典例] 如图，在三棱锥SABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ . 直线与平面所成角[典例] 三棱锥所成角的余弦值．[解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ，∴AO ＝BO ＝CO ，∴O 为△ABC 的外心．∵△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心．∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角．在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ， ∴cos ∠SAO ＝AOSA ＝33， ∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角的大小为________；(2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角的大小为________；(3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°.(2)如图，连接A 1D ，设A 1D ∩AD 1＝O ，连接BO ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB ，∴A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO .∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°. (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为90°.答案：(1)45° (2)30° (3)90°层级一 学业水平达标1．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m ⊥β的是( )A ．α∥β，且m ⊂αB ．m ∥n ，且n ⊥βC ．m ⊥n ，且n ⊂βD ．m ⊥n ，且n ∥β解析：选B A 中，由α∥β，且m ⊂α，知m ∥β；B 中，由n ⊥β，知n 垂直于平面β内的任意直线，再由m ∥n ，知m 也垂直于β内的任意直线，所以m ⊥β，符合题意；C 、D 中，m ⊂β或m ∥β或m 与β相交，不符合题意，故选B.2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上皆有可能解析：选D 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ，B 1B 与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线平行；A 1B 1，B 1C 1与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线相交；A 1B 1，BC 与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线异面．故选D.①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直； ④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④解析：选D ①②不正确．4.如图，α∩β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且BA ⊥α，BC ⊥β，那么直线l 与直线AC 的关系是( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定解析：选C ∵BA ⊥α，α∩β＝l ，l ⊂α，∴BA ⊥l .同理BC ⊥l .又BA ∩BC ＝B ，∴l ⊥平面ABC .∵AC ⊂平面ABC ，∴l ⊥AC .5.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°解析：选A ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12， 即∠ABO ＝60°.6．已知直线l ，a ，b ，平面α，若要得到结论l ⊥α，则需要在条件a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b 中另外添加的一个条件是________．答案：a ，b 相交7.如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．答案：菱形9.如图，在四面体ABCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22， AE ＝A 1E 2＋AA 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( )A ．平面DD 1C 1CB ．平面A 1DB 1C ．平面A 1B 1C 1D 1D ．平面A 1DB答案：B①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④ 解析：选 B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选 B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B 正确．4.如图，四棱锥S ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D 选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角． 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63， 即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点． (1)求证C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；(2)当点F 在BB 1上的什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°. 又D 是A 1B 1的中点， ∴C 1D ⊥A 1B 1.∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥C 1D ，又A 1B 1∩C 1D ＝D ， ∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B .(2)作DE ⊥AB 1交AB 1于E ，延长DE 交BB 1于F ，连接C 1F ，则AB 1⊥平面C 1DF ，点F 为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.2．3.2 平面与平面垂直的判定预习课本P67～69，思考并完成以下问题1．二面角的定义、表示分别是怎样的？2．二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？3．面面垂直是怎样定义的？4．面面垂直的判定定理的内容是什么？[新知初探]1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：αABβ，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作αlβ或PlQ.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．[点睛] 二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．平面与平面垂直(1)面面垂直的定义①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：记作：α⊥β.(2)两平面垂直的判定定理：①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．②图形语言：如图．③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.[点睛] 定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．[小试身手](1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直( )(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()答案：(1)√(2)√2．在二面角αlβ的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有的条件是( )A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.面面垂直的判定[典例] 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .证明：平面AEC ⊥平面AFC .[证明] 如图，连接BD ，设BD ∩AC 于点G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22， 可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(1)证明平面与平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[活学活用]1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D ∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB ⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．2.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.二面角的求法[典例] (1)如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中：①二面角D′ABD的大小为________．②二面角A′ABD的大小为________．(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角ABCO的大小．[解析] (1)①在正方体ABCDA′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′ABD的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′ABD的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′ABD的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′ABD的大小为90°.[答案] ①45°②90°(2)解：如图，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为点D ，连接AD ，设CO ＝a . ∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADO 是二面角A BC O 的平面角． 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC . ∵∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，CO ＝a ， ∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a＝32. ∴∠ADO ＝60°，即二面角A BC O 的大小是60°.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．[活学活用]如图，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD ＝AC .(1)求证：平面ABD ⊥平面ABC . (2)求二面角C BD A 的余弦值． 解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接OD ， ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴DO ⊥AB ，且DO ＝22AD . 连接OC ，同理得CO ⊥AB ， 且CO ＝22AC ， ∵AD ＝AC ，∴DO ＝CO ＝22AC .∵CD ＝AC ，∴DO 2＋CO 2＝CD 2， ∴△CDO 为等腰直角三角形，DO ⊥CO ， 又AB ∩CO ＝O ，∴DO ⊥平面ABC .又∵DO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ABC . (2)取BD 的中点E ，连接CE ，OE . ∵△BCD 为等边三角形，∴CE ⊥BD . 又∵△BOD 为等腰直角三角形，∴OE ⊥BD . ∴∠OEC 为二面角C BD A 的平面角． 由(1)可证得OC ⊥平面ABD ，∴OC ⊥OE . ∴△COE 为直角三角形． 设BC ＝1，则CE ＝32，OE ＝12， ∴cos ∠OEC ＝OE CE＝33， 即二面角C BD A 的余弦值为33.折叠问题[典例] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿AE ，DE 折起，使点B 与点C 重合于点P .(1)求证：平面PDE ⊥平面PAD ； (2)求二面角P AD E 的大小． [解] (1)证明：由AB ⊥BE ， 得AP ⊥PE ， 同理，DP ⊥PE .又∵AP ∩DP ＝P ，∴PE ⊥平面PAD . 又PE ⊂平面PDE ， ∴平面PDE ⊥平面PAD .(2)如图所示，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ，则PF ⊥AD ，EF ⊥AD ， ∴∠PFE 就是二面角P AD E 的平面角． 又PE ⊥平面PAD ，∴PE ⊥PF . ∵EF ＝AB ＝2，PF ＝22－1＝1，∴cos ∠PFE ＝PF EF ＝22. ∴二面角P AD E 的大小为45°.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．[活学活用]如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ， 连接A ′M ，A ′N ，MN ， 则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又∵MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又∵A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又∵A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .层级一 学业水平达标1．从空间一点P 向二面角αl β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，E ，F 为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角αl β的平面角的大小是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．不确定解析：选C 若点P 在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P 在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为( )A.32B.22C. 2D. 3解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan ∠A 1OA＝122＝ 2.6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.答案：垂直8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角PBCA的大小为________．解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角PBCA的平面角，OP＝OA＝3，PA＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC 于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角EBDC的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.层级二应试能力达标1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A ∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选 D 反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABD的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是( )A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选D 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为__________．解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝32×23＝3.答案：36.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB 与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝AO AB＝AC AB ·AOAC＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：347．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a ，得到三棱锥A BCD ，如图．(1)当a ＝2时，求证：AO ⊥平面BCD .(2)当二面角A BD C 的大小为120°时，求二面角A BC D 的正切值．解：(1)证明：在△AOC 中，AC ＝a ＝2，AO ＝CO＝ 2. ∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴AO ⊥CO .∵AO ⊥BD ，BD ∩CO ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)折叠后，BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，∴∠AOC 是二面角A BD C 的平面角，即∠AOC ＝120°.在△AOC 中，AO ＝CO ＝2， ∴AC ＝ 6.如图，过点A 作CO 的垂线交线段CO 的延长线于点H . ∵BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，CO ∩AO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC .∵AH ⊂平面AOC ，∴BD ⊥AH .又∵CO ⊥AH ，CO ∩BD ＝O ，∴AH ⊥平面BCD . ∴AH ⊥BC .过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK . ∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A BC D 的平面角． 在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A BC D 的正切值为63.8．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点．(1)求证：BE ⊥PD .(2)求二面角P CD A 的余弦值． 解：(1)证明：连接AE .∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底 面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°.∴PA ＝DA . 又∵点E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB . ∵∠BAD ＝90°，∴BA ⊥DA . 又∵PA ∩AD ＝A ，∴BA ⊥平面PDA . 又∵PD ⊂平面PDA ，∴BA ⊥PD . 又∵BA ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥PD . (2)连接AC .在直角梯形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴AC ＝CD ＝ 2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴AC ⊥CD . 又∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 又∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥CD ， ∴∠PCA 为二面角P CD A 的平面角． 在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋22＝ 6.∴cos ∠PCA ＝AC PC＝26＝33. ∴所求的二面角的余弦值为33. 2．3.3&2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质预习课本P70～72，思考并完成以下问题[新知初探]1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线．[点睛] (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：。
高中数学人教A版必修2第二章线面,面面垂直的性质和判定辅导讲义
考点一：线面垂直的性质与判定1.1 如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A.l ⊂α B.l ⊥α C.l ∥α D.l ⊂α或l ∥α1.2 已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，E 是BC 中点，求证：BC AD ⊥.2.1 已知ABC ∆中090ACB ∠=，SA ABC ⊥面，AD SC ⊥，求证：AD SBC ⊥面．EDCBA3.1 如图所示，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC=90°，AD//BC ，AD=2，AB=BC=1， PA ⊥平面ABCD ． （1）证明：PC ⊥CD ；（2）若E 是PA 的中点，证明：BE//平面PCD ； （3）若PA=3，求三棱锥B ﹣PCD 的体积．1. 线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述：若任意都有，且，则.SDCBA,a α⊂l a ⊥l α⊄l α⊥②判定定理：（线线垂直线面垂直）③性质：（1）（线面垂直线线垂直）；（2）； ④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）（较常用）； （4）；（5）（面面垂直线面垂直）常用.1.1 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1AB E,a b a b O l l l al b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭⇒,l a l a αα⊥⊂⇒⊥⇒,//a b a b αα⊥⊥⇒//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭//a a αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭a b a a a bαβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭⇒A 1B 1C 1A BEC2.1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：.2.2 如图,已知△ABC 是正三角形,EA.CD 都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点, 求证:(1)FD ∥平面ABC; (2)AF ⊥平面EDB2.3如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是BC 中点，点F 在PB 上，且PE=2FB ．（1）求证：AC ⊥平面AEF ；（2）求证：PD ∥平面AEF ．考点二：面面垂直的性质与判定ABCD P -AC AB ⊥ABCD PA 面⊥E PD PB AC ⊥AEC PB 平面//1.1 已知两条不同直线m .l ，两个不同平面α.β，给出下列命题： ①若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线；②若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β；③若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；④若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ； 其中正确命题的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个1.2 在四棱锥P-ABCD 中,底面是边长为a 的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=2a , 求证: (1)PD ⊥平面ABCD; (2)平面PAC ⊥平面PBD.2.1 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F 分别是AP,AD 的中点.求证: (1)直线EF ∥平面PCD; (2)平面BEF ⊥平面PAD1. 面面垂直（1）定义：若二面角的平面角为，则； （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直） （3）性质：①若，二面角的一个平面角为，则；②（面面垂直线面垂直）； l αβ--90︒αβ⊥a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭⇒αβ⊥MON ∠90MON ∠=︒a AB a a a ABαβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭⇒③.④1.1 不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个2.1 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB=90°，E ，F ，G 分别是1AA ，AC ，1BB 的中点，且CG ⊥1C G ．（1）求证：CG ∥平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面11AC G ．A a A a a αβααβ⊥⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪⊥⎭2.2 如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．2.3 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点．（1）求直线AD和直线B1C所成角的大小；（2）求证：平面EB1D⊥平面B1CD．考点三：综合训练1.1 如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上或其内部运动，且使MN⊥AC.对于下列命题：①点M可以与点H重合；②点M可以与点F重合；③点M可以在线段FH上；④点M 可以与点E重合．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．2.1如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM//平面BDF？写出结论，并加以证明．（3）当EM为何值时，AM⊥BE？写出结论，并加以证明．2.2 如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．1. 求三棱锥的体积，多可以使用等积法，关键在于找顶点，底面，要求顶点到底面的距离（即三棱锥的高）易求.2. 求非三棱锥的几何体的体积，用分割或填补法转化为三棱锥体积问题；3. 求点到面的距离，方法多样：①找出点到面的距离；②间接法，转化为另一点到面的距离；③最常用的是利用求三棱锥体积的“等积法”.4.折叠等问题，必须厘清变量与不变量.1.1 已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB ，AD ，1AA 的中点，又P ，Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线1.2 如右图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 不为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形; ⑤当1CQ =时,S 的面积为62.2.1 如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD 且EF ＝12BD ．(1) 求证：BF ∥平面ACE ； (2) 求证：平面EAC ⊥平面BDEF; (3) 求几何体ABCDEF 的体积．2.2 如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.2.4 如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥AC 于点D ，且DC=2AD=2，E 为PC 上一点，PE ：EC=1：2， （1）求证：DE ∥平面PAB ； （2）求证：平面PDB ⊥平面ABC ；（3） 若PD=2，AB=3，∠ABC=60°，求三棱锥P ﹣ABC 的体积．2.5 已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅰ）求二面角''M BC B --的大小；第一关：基础达标1. 设l,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若l ⊥m,m ⊂α,则l ⊥α. B.若l ⊥α,l ∥m,则m ⊥α. C.若l ∥α,m ⊂α,则l ∥m. D.若l ∥α,m ∥α,则l ∥m.2. 若m.n 为两条不同的直线,α.β为两个不同的平面,则以下命题正确的是 ( ) A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n. B.若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥α. C.若m ∥β,α∥β,则m ∥α. D.若α∩β=m,m ⊥n,则n ⊥α.3. 设α,β为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( ) A.若α⊥β,α∩β=n,m ⊥n,则m ⊥α B.若m ⊂α,n ⊂β,m ⊥n,则n ⊥α.C.若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥β,则m ⊥αD.若m ∥α,n ∥β,m ⊥n,则α⊥β4. 在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，12BC BB ，E.F.M 分别为棱A 1C 1.AB 1.BC 的中点，（1）求证：EF ∥平面BB 1C 1C ； （2）求证：EF ⊥平面AB 1M ．5. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB=BC=12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BEF；（2）求证：BE⊥平面PAC．6. 在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）设D.E分别是线段1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．7. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D.E分别是1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求几何体BCDB1C1A1的体积．8. 如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（1）求证：AB⊥平面VCD；（2）求点C到平面V AB的距离．第二关：举一反三1. 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;(2)若AB=6,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P-ABCD的体积.2. 如图，在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥底面ABCD ，AD=1，CD=2， ∠DCB=60°．（1）求证：平面11A BCD ⊥平面11BDD B ；（2）若1D D BD =，求四棱锥11D A BCD -的体积．3. 如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为..的中点．（1）求证：P A //平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD AB ==E F G PC PD BC EFG GC PEF ⊥平面P EFG -4. 如图，在四棱锥中，ABCD 是矩形，，，点是的中点，点在上移动. （1） 求三棱锥体积；（2） 当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由； （3） 求证：5. 如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（1）求证：BC ⊥A1D ；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求三棱锥1A BCD -的体积．ABCD P -ABCD PA 平面⊥3,1===AB AD PA FPD E CD PAB E -E CD EF PAC AF PE ⊥6. 如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点.（Ⅰ）证明：（i ） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值.第三关：融会贯通1. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱111,AA C D 的中点，G 是侧面11BCC B 的中心，则空间四边形AEFG 在正方体的六个面上的射影图形面积的最大值是（ ）A ．14B ．38C ．12D ．582. 如图，正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1，FD 1C 1B 1A 1GEDCBA则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.其中真命题的编号是.3. 如图，在棱长为2的正方体中．(1)求B1D 与平面ABCD所成的角的正切；(2)求A1C1 与平面ABC1D1所成的角.(3)求BB1 与平面A1BC1所成的角的正切.4. 如图,已知PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,点C是圆O上任意一点,过A作AE⊥PC于E,AF⊥PB于F,求证: (1) AE⊥平面PBC; (2) 平面PAC⊥平面PBC; (3) PB⊥EF.5. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三．棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM22（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．6. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.(1) 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2) 求多面体C DEFG 的体积.7. 如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：DE //平面1A CB ； （Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅰ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1AC ⊥⊥平面DEQ ？说明理由．，求。
高中数学人教A版必修2立体几何--线面垂直的判定与性质(三)同步检测(WORD文档有答案)
高中数学人教A 版必修2立体几何线面垂直的判定与性质（三）同步检测班级 学号 姓名[基础练习]1．在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线 （ ）A 有一条B 有无数条C 有相交的两条D 不存在2．若一条直线与一个平面成720角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于 （ ）A 720B 900C 1080D 18003．AO 是平面α的斜线，O 为斜足，BO 是AO 在平面α上的射影，CO 在α内，且∠BOC=∠AOB=450,则∠AOC 等于（ ）A 300B 600C 750D 9004．若平面α外两直线a,b 在α上的射影是两相交直线，则a 与b 的位置关系是 （ ）A 相交B 相交或异面C 异面D 相交或平行5．已知P 是△EFG 所在平面外一点，且PE=PG ，则点P 在面EFG 上的射影一定在（ ）A .∠FEG 的平分线上 B. 边BG 的高上C. 边EG 的中线上D. 边EG 的垂直平分线上6．如图，AA 1与BB 1是成600角的异面直线，AB 为公垂线， 若A 1B 1与BB 1垂直，且BB 1=2， 则线段AA 1的长为 ( )A .1 B. 2 C. 23 D.4 7．如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1A 、AB 上的点，若∠NMC 1=900，那么∠NMB 1的大小为 （ ）A 等于900B 小于900C 大于900D 不能确定 8．正方形ABCD 的边长为12cm ，PA ⊥平面AC ，且PA=12cm ，则点P 到BD 的距离为（ ）A .cm 312 B.cm 212 C.cm 66 D .cm 369．三棱锥的四个面中，直角三角形最多的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4AA 1 BB 1 αC A 1 A BDC 1B 1 D M N10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB、AD、AA1的长分别为6、8、3.6，则A到B1D1的距离为。
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高中数学人教A 版必修立体几何
--线面垂直的判定与性质（二）同步检测
班级 学号 姓名
[基础练习]
1．异面直线在同一平面上的射影不可能是 （ ）
A 两条平行直线
B 同一条直线
C 两条相交直线
D 一个点与一条直线
2．若两条直线和一个平面相交成等到角，则这两条直线的位置关系是 （ ）
A 平行
B 异面
C 相交
D 平行、异面或相交
3．菱形ABCD 在平面α内，PA ⊥α，那么PA 与对角线BD 的位置关系是 （ ）
A 平行
B 斜交
C 垂直相交
D 异面垂直
4．如果直线 a 是平面α的斜线，那么在平面α内 （ ）
A 不存在与a 平行的直线
B 不存在与a 垂直的直线
C 与a 垂直的直线只有一条
D 与a 平行的直线有无数条
5．一条直线a 若和直线l 在平面α上的射影垂直，则a 与l 的位置关系是 （ ）
A 一定垂直
B 一定异面
C 垂直或异面
D 以上都不是
6．斜线l 与平面α所成的角θ的取值范围是 （ ）
A 00<θ<900
B 00≤θ＜900
C 00≤θ≤900
D 00＜θ≤900
7．平面α内有一四边形ABCD ，P 为α外一点，P 点到四边形ABCD 各边的距离相等，则这个四边形 （ ）
A 必有外接圆
B 必有内切圆
C 既有内切圆又有外接圆
D 必是正方形
8．平面外两条直线a. b 在平面α内的射影为a /，b /, 则下列命题中正确的是 （ ）
A 若a ///b /，则a//b
B 若a /,b /重合，则a//b
C 若a /,b /相交，则a, b 不平行
D 若a., b 异面，则a /,b/必相交
9．已知斜线l 与平面α所成的角为θ，在平面α内，任意作l 的异面直线l /，则l /与l 成
的角 ( )
A 有最小值θ，最大值2π
B 有最大值2
π，无最小值 C 有最小值θ，无最大值 D 既无最小值，又无最大值
10．已知正△ABC 的边长为2cm ，PA ⊥平面ABC ，A 为垂足，且PA=2cm,那么P 到BC 的距离为 。
11. P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影，若P 点到△ABC 的三个顶点等距
离，那么O 点是△ABC 的 心；若P 点到△ABC 的三边等距离，且O 在△ABC 内部，那
么O 点是△ABC 的 心；若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，那么O 点是△ABC 的 心；
若PA=PB=PC ，，那么O 点是AB 的 点；若PA=PB=PC ，AB=AC ，那么O 点在 线上；若PA 、PB 、PC 与平面α所成的角相等，那么O 是△ABC 的 心。
12. 线段AB 所在的直线和平面α成600的角，A 、B 与平面α的距离分别为9和6，则AB 在平面
α内的射影长是 ，线段AB 的长是 。
13. 如图，矩形ABCD 所在平面为α，且PA ⊥α，
(1)问图中有几个直角三角形？
(2)若BD 、AC 相交于O ，PO 是否垂直于BD ？为什么？
14．∠AOB 它在平面α内，点P 在α外，且PO=1，且P 到∠AOB 两边的距离都是，求（1）点P 到
α的距离；（2）PO 与平面α所成的角的度数。
P B A C
D
[深化练习]
15．已知直线AB和平面M所成的角是α，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影所成的角是β，且∠BAC=θ，那么α、β、θ三个角满足的关系式是（）
A．cosα=cosθcosβ B. cosθ=cosαcosβ C.cosβ=cosθcosα D.sinθ=sinαsinβ
16．正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）BC1与底面ABCD所成角为；（2）A1C与底面ABCD 所成的角的正切值为；（3）BC1与对角面BB1D1D所成的角为。
17．若直角ABC的一边BC不在平面α内，另一边AB和平面α斜交，（1）若BC//α，则∠ABC在平面α上的射影仍是直角；
（2）若∠ABC在平面α上的射影仍是直角，则BC//α。
C B
A α
高中数学人教A 版必修立体几何
--线面垂直的判定与性质（二）同步检测参考答案
1—5 BDDAD 6—9 ABCA 10.7 11.外, 内;垂;中点;∠A 的平分线;外 12. 32,3
13.(1)4个 (2)BC=AB 时垂直,BC ≠AB 时不垂直 14.(1)22 (2)450 15.B 16.(1)450 （2）22
（3）300。