2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 预习资料
【学霸笔记】物理必修一2.3匀变速直线运动位移与时间的关系
第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、位移时间公式1、推导：①图像法：（由v-t图像求位移）---微元的思想结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．即：位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.②解析法：（由平均速度求得）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==atvvvvvt vxtt2得：x＝v0t＋12at2.2、物理意义：在匀变速直线运动中位移随时间变化的规律。
3、注意：①适用范围：匀变速直线运动。
②决定关系：位移的决定式，即匀变速直线运动中位移是由初速度、加速度、时间共同决定。
③比例关系：二次关系，也叫非线性关系。
④同一性：x、a、v0、vt具有同一性。
⑤合理性：已知位移反求时间，可能有两个值，要合理取舍。
二、速度--时间公式应用1、使用方法：①判断：运动性质（a为定值）。
②确定：研究对象和研究过程。
③设定：正方向（一般初速度的方向为正方向，无初速度则选择加速度为正方向）。
④公式应用：x＝v0t＋12at2；（此式子为矢量式，应将方向带入求解）⑤结果：结果如何为矢量，大小方向都需要求解。
2、例子：已知一个物体以向西的初速度4m/s做匀变速直线运动，其加速度大小为2m/s2，求1s末、2s末、4s末、8s末的速度和位移和路程，如果该物体是汽车，则结果又将如何？．三、推论1、逐差相等原理：在匀变速直线运动中，相邻相等的时间间隔位移之差是一个定值。
表达式：△x=aT 2．推导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=212022019213421221T a T v x T a T v x aT T v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-20232012521321T a T v x x T a T v x x 2aT x =∆ 2、比例关系：初速度为零的匀加速直线运动中①在前T ，前2T ，前3T 的位移之比1:4:9……n2②在第T ，第2T ，第3T 的位移之比1:3:4……（2n-1） 3、逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。
匀变速直线运动的位移与时间的关系
匀变速直线运动的位移与时间的关系【考点归纳】（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。
（2）公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝v t+at可导出位移公式：x＝v0t+at2（3）匀变速直线运动中的平均速度在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v t/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝v t+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝v t/2。
即有：＝＝v t/2。
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
（4）匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△x MN＝x M﹣x N＝（M﹣N）aT2。
推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。
【命题方向】例1：对基本公式的理解汽车在平直的公路上以30m/s的速度行驶，当汽车遇到交通事故时就以7.5m/s2的加速度刹车，刹车2s内和6s内的位移之比（）A.1：1B.5：9C.5：8D.3：4分析：求出汽车刹车到停止所需的时间，汽车刹车停止后不再运动，然后根据位移时间公式求出2s内和6s内的位移。
解：汽车刹车到停止所需的时间＞2s所以刹车2s内的位移＝45m。
t0＜6s，所以刹车在6s内的位移等于在4s内的位移。
＝60m。
所以刹车2s内和6s内的位移之比为3：4．故D正确，A、B、C错误。
位移与时间的关系教案
1．如图所示为物体做直线运动的v-t图象，根据此图象做出的以下判断中，正确的是（）
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先沿负方向运动，在t =2 s后开始沿正方向运动C．在t = 2 s前物体位于出发点负方向一侧，在t = 2 s后位于出发点正方向一侧
D．在t = 2 s时，物体在距出发点负方向一侧10m处
2．一个作匀变速直线运动的物体，其位移和时间的关系是2/
2
t
m
=，下列说法正确的是x-
t
)
(s
6
18
( )
A．3s末物体的速度为零B．物体的初速度为6m/s C．物体加速度为-12m/s2
D．物体速度的大小随时间的变化关系为s
18
(-
=
12
t
m
v/
)
3．某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40km／h，一次一辆卡车紧急刹车后，经1.5s停止，量得刹车痕迹x=9m，问这量卡车是否超速行驶?
4．一辆汽车的行驶速度为18m/s，紧急刹车时的加速度大小
为6m/s2，4 s内发生的位移时多少?
5．一辆小轿车，以36km／h的速度匀速行驶l0s，然后以lm ／s2的加速度匀加速行驶10s，汽车在这20s内的位移是多大?平均速度是多大?汽车在加速的10s内平均速度是多大?。
2.3_匀变速直线运动的位移与时间的关系(笔记上传)
特别提醒（非常实用）：末速度为零的 匀减速直线运动可看成初速度为零，加速度 同原来相同的反方向匀加速直线运动。
A
v0
a
0
B
v0
A
a
0
B
又v=v0+at
1 2 得： x v 0 t at 2
1 2 2.对位移公式 x v 0 t at 的理解: 2
⑴反映了位移随时间的变化规律。
⑵因为υ 0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正
方向。(一般以υ 0的方向为正方向，若物体做匀加速 运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值）。 (3)特别提醒:t是指物体运动的实际时间,要将位 移与发生这段位移的时间对应起来。
示
思考： 1、这个过程体现了什么科学思想方法？
答：把过程先微分后再累加(积分)的思想。 (无限分割，逐渐逼近)
2、是否是任何运动的位移仍都可以用V-t图中图
线与坐标轴所围的面积表示呢？ 答：是的
1.由图可知：梯形OABC的面积S=(OC+AB)×OA/2
1 代入各物理量得： x (v0 v)t 2
位置X0出发。
d为匀加速直线运动的x-t图像。想想这 是数学上的哪种函数呢？那么匀减速直
线运动呢？
二次函数，抛物线。
交点M所代表的物理意义是什么？
X0
a、b、c、d三个物体在t1时刻相遇 0
t1
t
【问题思考】
如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为
什么画出来的匀变速直线运动的x-t图像不是直线？”
三、用图像表示位移（拓展）
复习：你还能画出静止的x-t图像吗？那么匀速直线运动呢？匀变速直线 运动呢？试试试看。 a为静止物体的x-t图像：平行于时间轴的直线。 b为匀速直线运动的x-t图像：一条倾斜的直线。 c也为匀速直线运动的x-t图像：只不过 在0时刻时不在0位置出发，而是在某一
匀变速直线运动位移与时间的关系(讲义)
第二章匀变速直线运动的研究匀变速直线运动位移与时间的关系情境导入舰载机在航空母舰的甲板上起飞是，在弹射系统的作用下获得一定的速度，然后在甲板上继续加速一段距离便可达到起飞的速度。
知识点一：匀速直线运动的位移1.做匀速直线运动的物体在时间t内的位移：x＝vt 。
2．做匀速直线运动的物体，其v-t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积，如图所示：（1）当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同；（2）当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。
知识点二：匀变速直线运动的位移1．微元法与极限思想的应用在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量Δv＝a·Δt，只要时间足够短，速度的变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。
如图所示，甲图中与Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做Δt时间内的位移。
如果把每一小段Δt内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段Δt时间内做匀速直线运动的位移之和。
时间Δt越短，速度变化量Δv 就越小，我们这样计算的误差也就越小。
当Δt →0时，各矩形面积之和趋近于v -t 图象与时间轴所围成的面积。
由梯形面积公式得x ＝(v 0＋v )·t2在任何运动中都有x ＝·t因此＝v 0＋v 2(适用匀变速直线运动)把v ＝v 0＋at 代入x ＝(v 0＋v )·t2得x ＝v 0t ＋12at 22．x ＝v 0t ＋12at 2的理解公式的意义 反应了位移随时间的变化规律，不是路程随时间的变化规律 适用条件 仅适用于匀变速直线运动矢量性公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v 0方向为正方向 特殊形式(1)当a ＝0时，x ＝v 0t (匀速直线运动)。
2.3匀变速直线运动位移与时间的关系
得：0
8：0.0384m，与真实值的差距更小了。
在第一节探究小车速度与时间变化的规律，我们得到的纸带：
0.0416m
012 3 4 5
6
7
8
9
取每四个计时点为一个计数点： 0.0288m
0
4
8
取每两个计时点为一个计数点： 0.0352m
02
4
6
8
以原始计时点作为计数点：
0.0384m
01 2 3 4 5
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
如果把运动无限分割，每小段运动持续的时间趋于零，无数个非常小的 矩形面积之和（无数段匀速运动的位移之和）刚好是梯形的面积。
由此可得： 匀变速直线运动的位移=无数段匀速运动的位移之和
=无数个非常小的矩形面积之和=梯形的面积 即:匀变速直 线运动的位移大小等于速度图线与坐标轴所围成 的面积大小
02
4
6
8
0 4 得：0
2：0.10 0.04=0.004m 2 6：0.26 0.04=0.0104m 6
4：0.18 0.04=0.0072m 8：0.34 0.04=0.0136m
8：0.0352m，与真实值的差距减小了一点。
在第一节探究小车速度与时间变化的规律，我们得到的纸带：
0.0416m
6
7
8
方法总结：可以把匀加速直线运动分成几段运动，把各 段运动看成匀速直线运动(以各段运动的初速度)。我们 可以看出, 把整个运动分的段数越多，每段运动持续的 时间越短，位移的计算结果就越接近真实值。我们再从 图象来看。
对上述过程分别用图像表达：
v(m/s)
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
A．t＝1 s时物体的加速度大小为1.0 m/s2
B．t＝5 s时物体的加速度大小为0.75 m/s2
C．第3 s内物体的位移为1.5 m D．物体在加速过程中的位移比减速过程中 的位移大
【答案】B
怎样正确理解匀变速直线运动的位移公式？
1 2 1．公式 x＝v0t＋2at 为矢量式，其中的 x、v0，a 都是 矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度 v0 的方 向为正方向.
【答案】(1)3 m/s2
(2)6 m/s 12 m/s 18 m/s
【解析】(1)根据 Δx＝aT2，可得 Δx LBC－LAB 30－18 2 2 a＝ T2 ＝ ＝ m /s ＝ 3 m/ s . 2 2 T 2 x (2)根据 v 中时＝ v ＝ t ，可得 LAC 18＋30 vB＝ 2T ＝ m/s＝12 m/s； 2×2
3匀变速直线运动的位移与时间的关系
精彩回眸
1．一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8 s末开始刹 车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速运动，那么 前后两段加速度的大小之比是( )
A．1∶4
C．2∶1
B．1∶2
D．4∶1
v 【解析】设前后两段的加速度分别为 a1、a2，则 a1＝t ， 1 v a2＝t ，所以 a1∶a2＝t2∶t1＝1∶2. 2
(1)它着陆后12 s内滑行的位移；
(2)静止前4 s内飞机滑行的位移．
【答案】(1)300 m (2)48 m
【解析】(1)以初速度方向为正方向，则有加速度 a＝－ Δv 6 m/s ， 初速度为 v0＝60 m/s.飞机在地面滑行最长时间 t＝ a
2-3匀变速直线运动的位移与时间的关系(考点解读)-2023-2024学年高中(002)
2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系（考点解读）（原卷版）考点1 匀变速直线运动位移与时间的关系1、匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x ＝v 0t ＋12at 2。
2、公式的推导（1）利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
（2）利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t 内的平均速度就等于时间t 内的初速度v 0和末速度v 的平均值，即x ＝12(v 0＋v )t 。
结合公式v ＝v 0＋at 可导出位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2，当初速度为0时，x ＝12at 2。
3、技巧归纳（1）在v －t 图像中，图线与t 轴所围的面积对应物体的位移，t 轴上方面积表示位移为正，t 轴下方面积表示位移为负。
（2）位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动。
（3）公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向；一般选v 0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正负表示其方向。
（4）当v 0＝0时，x ＝12at 2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x 与t 2成正比。
4、匀变速直线运动中的平均速度该段时间的末速度v=v t +at ，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
5、匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T 内，位移之差是常数，即△x=x 2-x 1=aT 2．拓展：△x MN =x M -x N =（M-N ）aT 2。
推导：如图所示，x 1、x 2为连续相等的时间T 内的位移，加速度为a 。
考点2 匀变速直线运动速度与位移的关系 1、匀变速直线运动位移与速度的关系。
2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
第二种计算方法较简单。
12
课前学习
核心探究
核心素养
学习小结
[探究归纳] 1.公式的适用条件：适用于匀变速直线运动。 2.公式的意义：公式 v2－v20＝2ax 反映了初速度 v0、末速度 v、加速度 a、位移 x 之
间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。 3.公式的矢量性：公式中 v0、v、a、x 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，
核心探究
核心素养
学习小结
t2＝3 s内的位移：x2＝9 m， 解得小球沿斜面上滑在第1 s内的位移为
x＝x2－x1＝5 m。 答案 5 m
25
课前学习
核心探究
核心素养
学习小结
[针对训练2] 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信 号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的 加速度大小为5 m/s2，求：
x1＝v0t1＋12at21＝（20×2－12×5×22） m＝30 m。 （2）因为 t2＝5 s＞t，所以汽车 5 s 末已停止运动，可应用逆向思维法，把它看 成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则有 x2＝12at2＝12×5×42 m＝40 m。 答案 （1）30 m （2）40 m
27
课前学习
17
课前学习
核心探究
核心素养
学习小结
解析 （1）根据公式 v2－v20＝2ax,v0＝ v2－2ax＝ 502－2×5.0×160 m/s＝30 m/s。 （2）不装弹射系统时，v2＝2aL,L＝2va2＝2×5052.0 m＝250 m。 答案 （1）30 m/s （2）250 m
18
课前学习
核心探究
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
图2-3-5
的加速度在海面上做匀加速直线运动， 【例2】一艘快艇以 m/s2的加速度在海面上做匀加速直线运动， 】一艘快艇以2 的加速度在海面上做匀加速直线运动 快艇的初速度是6 快艇的初速度是 m/s。求： 。 末的速度和8 内的位移； （1）这艘快艇在 s末的速度和 s内的位移； ）这艘快艇在8 末的速度和 内的位移 内的位移。 （2）快艇在第 s内的位移。 ）快艇在第8 内的位移 【答案】（1）22 m/s 答案】 ） 112 m（２）21 m （
学点3 学点 用图象表示位移 （1）位移图象的意义 ） 表示物体离开t=0时刻所处位 表示物体离开 时刻所处位 置的位移随时间变化的规律， 置的位移随时间变化的规律，在 中坐标点（ 表示t 图2-3-4中坐标点（t1,x1）表示 1时 中坐标点 刻物体离开初位置（ ） 刻物体离开初位置（t=0）的位移 为x1，在t1~t2时间内的位移为 ∆x=x2-x1。 （2）速度在 图象中的体现 ）速度在x-t图象中的体现 图象中， 在x-t图象中，任意一点处的切 图象中 线斜率表示该时刻物体的速度。 线斜率表示该时刻物体的速度。在 两时刻的速度v 图2-3-4中，t1、t2两时刻的速度 1、 中 v2满足v1<v2。 满足
图2-2-3
学点2 学点 匀变速直线运动的位移
图2-3-2
图2-3-3
开始由原点出发沿直线运动， 【例1】若一质点从t=0开始由原点出发沿直线运动， 若一质点从 开始由原点出发沿直线运动 其速度—时间图象如图 时间图象如图2-3-3所示，则该质点 所示， 其速度 时间图象如图 所示 （ BD ） A.t=1 s时离原点最近 时离原点最近 B.t=2 s时离原点最远 时离原点最远 C.t=3 s时回到原点 时回到原点 D.t=3 s时回到原点，路程为 m 时回到原点， 时回到原点 路程为10
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2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系预习资料教学目标
知识与技能：
1．知道匀速直线运动的位移与时间的关系；
2．理解匀变速直线运动的位移及其应用；
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用；
4．理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移．过程与方法：
1．通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较；
2．感悟一些数学方法的应用特点．
情感态度与价值观：
1．经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手能力，增加物理情感；
2．体验成功的快乐和方法的意义．
重点难点
重点：
1．理解匀变速直线运动的位移及其应用；
2．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用．
难点：
1．v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移；
2．微元法推导位移公式．
知识详解
一、匀速直线运动的位移
提问：如下右图，请问这个图象表示什么运动？（匀速直线运动）
提问：同学们是否会计算这个运动在t秒内发生的位移？（用公式x=vt可以计算位移）1．公式：x=vt
提问：请继续观察和思考，看一看这个位移的公式与图象有什么关系？（引导：公式与图象中的矩形有什么关系？）
（原来位移等于这个矩形的面积）
2．v-t图中，匀速直线运动位移等于v-t图象与时间轴所围矩形的面积
准确的讲：这个矩形的面积在数值上等于物体发生的位移，或者说：这个矩形的面积代表匀速直线运动的位移．那么在匀变速直线运动中，物体发生的位移又如何计算呢？它是否也像匀速直线运动一样，位移与它的v-t图象也有类似的关系呢？
二．匀变速直线运动的位移
（出示下表）下表中是一位同学测得的一个运动物体在0，1，2，3，4，5 五个位置的瞬时速度，其对应的时刻和速度如表中所示：
提问：
1．从表中看，物体做什么运动？（匀加速直线运动）
2．为什么得到这个结论？（相同的时间内，速度的改变量基本相同）
3．请利用数据及坐标纸做出该运动的图象．
4．能不能用表格中的数据，用最简单的方法粗略估算物体从位置0到位置5的位移呢？
在估算的前提下，我们可以用某一时刻的瞬时速度代表它附近的一小段时间内的平均速度，当所取的时间间隔越小时，这一瞬时的速度越能更准确地描述那一段时间内的平均运动快慢．用这种方法得到的各段的平均速度乘以相应的时间间隔，得到该区段的位移x＝vt，将这些位移加起来，就得到总位移．
当我们在上面的讨论中不是取0.1s时，而是取得更小些．比如0.06s，同样用这个方法计算，误差会更小些，若取0.04 s，0.02 s……误差会怎样？（误差会更小．所取时间间隔越短，平均速度越能更精确地描述那一瞬时的速度，误差也就越小．）经过分析我们得到，图象中所围的梯形面积就代表了匀变速直线运动的位移．
下面请依据这个结论，求得位移的计算式：
X=S梯形=(v0+v)t/2,而v=v0+at
故：x=v0t+at2/2
上式就是匀变速直线运动的位移公式，像这样把一个过程划分为很多很多个时间相等的运动，用求面积之和的方法求位移不仅适用于匀变速直线运动，对一般的变速运动同样适用，这是一种科学方法．
位移公式反映了物体的位移随时间变化的规律，可以精确的计算匀变速直线运动中任何一段时间内物体发生的位移，确定物体的位置．在应用位移公式解决实际问题时，要具体问题具体分析．。