C弯曲-04

§9—3
梁截面上的正应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上 既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。
m M
FS m
m
m

M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
y (d ) dx
O1
dx
y
O2
d
y B B1
A
dx
y (d ) AB1 B1 B dx AB1 O1 O 2
中性层的曲率为
d
d dx 1

y

y
O1
dx y
O2
d
A
dx
B1
B

y
d


该式说明 ， 和 y 坐标成正比 , 因而， 横截面上到中性轴等 远的各点，其线应变相等。
d
O1O2 的长度为 dx 。
O1
dx
O2
中性层与横截面的交线称
为 中性轴 。 中性轴与横截面的 对称轴成正交 。
d
O1
dx
O2
d
横截面的 对称轴
横截面
O1
dx
O2
中性层
中性轴
d Z
x
y
将梁的轴线取为 x 轴 。
O1
dx
O2
横截面的对称轴取为 y 轴 。 中性轴取为 z 轴 。
为中性层上的纵向线段 O1O2
M Z A y (dA)
E

A y dA
2
E

Iz M
1 M EI z
EIz 称为截面的抗弯刚度
y E E

My Iz
该式为等直梁 纯弯曲 时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M Iz y 横截面上的弯矩。 横截面对中性轴的惯性矩。 求应力点的 y 坐标 。
y
F N A dA 0
M y A z (dA) 0
M
Z
M Z A y (dA) M
y
O
x
dA
dA Z
该梁段各横截面上 FN 和 My 均 等于零， 而 Mz 就是横截面上 的弯矩 M 。
y
E E
E
y

E
Sz
F N A dA


A
ydA
横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲） 平面假设 不再成立
此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立. 由弹性力学的理论，有结论： 当梁的长度l与横截面的高度h的比值:
l 5 h
则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应 力有足够的精度。 l / h > 5 的梁称为细长梁。

4，讨论
My Iz
（1）应用公式时，一般将 M ，y 以绝对值代入。根据梁变形
的实际情况直接判断 的正，负号。
以中性轴为界

梁变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）
梁变形后凹入边的应力为压应力（ 为负号）

My Iz
（2）横截面 中性轴上 各点的正应力最小。且 min = 0
M M C C Z
Z

b

c
dx
z 切应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必 定成对出现，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。
§9-5 弯曲切应力
一、矩形截面梁
图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。
P1
P2
q(x)
横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 又有切应力。 推导切应力公式的方法： 假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出 切应力。 按截面形状，分别讨论。 矩形截面梁的切应力分布假设： (1) 各点切应力方向平行于剪力FS;
几何 物理 静力学
实验： 取 一 纯弯曲 梁来研究 。
1，几何方面
m a n a
b m n
b
梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等） 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。
m
a
n
a
m
m
b m n
b
梁变形后观察到的现象 （1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为 圆弧线（a’a’ ，b’b’等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。
o
I xy A xydA
x
x
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA P P RB
C a P
D a
+
+
P
Pa
+
P
P

C a D a
横力弯曲
梁的横截面上同时有弯 矩和剪力的弯曲。

P
纯弯曲
+ +
P
梁的横截面上只有弯矩 没有剪力的弯曲。
横截面上只有正应 力而无切应力。
Pa
+
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。
(2) 切应力沿宽度均匀分布。
（1）推导公式的思路
1
F1
F2
m n
q(x)
假想地用横截面 m—m , n—n
从梁中截取 dx 一段 。
两横截面上均有剪力和弯矩。 弯矩 剪力 正应力， 切应力。
M
m x dx
n
m FS
n FS M+dM
m
n
m M FS
n
m
FS
M+dM
n
y
m n
m
n
正应力（）分布图
y
O1
dx
O2
d
y
A dx dx
B1
B
d


y

Z
O
O1
x
dx
O2
d
y y
y
y
A dx dx
B
B1
2，物理方面 假设： 纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态 。 材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 。 由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系
=E

y

E
截面的几何性质
静矩和形心
惯性矩和惯性积
惯性矩和惯性积的平行移轴公式,主轴和主惯性矩
组合截面惯性矩的计算
截面对 y , x 轴的静矩为：
S y A xdA
I x A y dA
2
y
S x A ydA
dA
y
2 I y A x dA
截面对 x , y 轴的惯性矩
截面对 x , y 轴的惯性积
M C 2.5KN .m
M B 3KN .m
最大负弯矩在截面B上
80
RA
P1=8KN
RB
P2=3KN
35
20
A
1m
z c
1m
3
B
1m
D
80
65
20
C
B
+
2.5
B 截面
{
MB t max
0.035
Iz M B 0.065 67.1MPa c max Iz
36.1MPa
C
Z
C
Z
中性轴 中性轴
y y
M
压
M C Z
拉
C
Z
中性轴
中性轴 拉
y
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
My
A z (dA)
E

A z
y dA
E

I yz 0
I yz 0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
中性轴 中性轴
y
y

My Iz
（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处

中性轴为对称轴
My Iz
tmax
拉 M
yt max
Z
C
压
yc max
Cmax
y
tmax
拉
M
yt max
Z
C
压
yc max
Cmax

y
My Iz
用 ymax 表示最大 拉（压）应力点到中性轴的距离。
对于中性轴不是对称轴的横截面
Cmax
yc max
M
z
yt max
y
tmax
Cmax
yc max
M
z
yt max
y
tmax
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ytmax 和 yCmax 直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。
Cmax
σ c max
yc max
A z

0
E I yz 0
My
A z (dA)
E

y dA

M Z A y (dA)
E

A y dA
2
E

Iz M
F N A dA
E

A ydA
E

Sz
0
SZ 0
中性轴必通过横截面的形心
中性轴过截面形心且与横截面的对称轴 y 垂直
IZ WZ y max