离散数学树知识点总结

第六章树

一、掌握基本概念

树的子树是互不相交的，树可以为空（空树）

非空的树中，只有一个结点是没有前趋的，那就是根。

非空树只有一个树根，是一对多的关系。

叶子结点、结点的度、树的度、结点的层次、树的深度、树的四种表示方法

二、二叉树的定义、特点、五种基本形态

二叉树是有序树，左右子树不能互相颠倒

二叉树中结点的最大度为2，但不一定都是2。

三、二叉树的性质要掌握

性质1：二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。

性质2：深度为k的二叉树中至多2k-1个结点。

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。

证明：1)结点总数 n=n0+n1+n2 (n1是度为1的结点数)

2)进入分支总数m(每个结点唯一分支进入) n=m+1

3)m个分支是由非叶子结点射出 m=n1+2n2

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度k为[log2n]+1

四、满二叉树和完全二叉树的区别是什么？

满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树。

深度为k的二叉树，最少有k个结点，最多有2k-1

深度为k的完全二叉树，最少有2k-1-1+1个结点,最多有2k-1

五、二叉树的存储结构（可以通过下标找结点的左右孩子）

1.顺序存储结构适用于满二叉树和完全二叉树。（其缺点是必须把其他二叉树补成完全二叉树，从上到下，从左到右依次存储在顺序存储空间里，会造成空间浪费）

2.二叉链表存储结构（其优点是找左孩子和右孩子方便，但缺点是找父节点麻烦）

lchild Data rchild

（重点）

3. 三叉链表存储结构

不仅找其左、右孩子很方便，而且找其双亲也方便

六、遍历的概念是什么？

七、二叉树的遍历有三种：前序（先序、先根）遍历、中序（中序、中根）遍历、后序（后序、后根）遍历

1.给出一棵二叉树，要会二叉树的三种遍历

2.给出两种遍历（必须有中序遍历），要求会画该二叉树。

八、了解引入线索（中序、先序、后序）二叉树的原因是什么？

九、会在二叉树上画先序线索化、中序线索化、后序线索化。

在线索二叉树的格式中，可以找到任意结点的直接后继。（错）

在线索二叉树中，如果某结点的右孩子为空，那么可以找到该结点的直接后继。（对）

在线索二叉树中，如果某结点的左孩子为空，那么可以找到该结点的直接前趋。（对）十、树.森林和二叉树的相互转换

树转换成二叉树后，转换后的二叉树根的右子树为空。

十一、森林的遍历（只有先序遍历和后序遍历）

先序遍历一棵树，相当于先序遍历该树所对应的二叉树。

后序遍历一棵树，相当于中序遍历该树所对应的二叉树。

十二、赫夫曼树（又称最优二叉树或哈夫曼树）、赫夫曼树编码

1. 赫夫曼树中，权越大的叶子离根越近，其形态不唯一，但是WPL带权路径长度一定是最小。

2.一定要会构造哈夫曼树，在构造好的哈夫曼树上会构造哈夫曼编码。（认真看题目要求）第6章算法设计题

1．已知二叉树中的结点类型用BiTNode表示，被定义描述为：

Typedef struct BiTNode {

TElemType data ;

struct BiTNode * LChild , *RChild;

} BiTNode,*BiTree;

其中data为结点值域，LChild和RChild分别为指向左、右孩子结点的指针域，编写出求一棵二叉树高度的算法。

Int BTreeHeight(BiTree BT){

if (BT==NULL) return 0;

else {

h1=BTreeHeight(BT->LChild);

h2=BTreeHeight(BT->RChild);

if (h1>h2) return(h1+1);

else return( h2+1);

}

}

2．已知二叉树中的结点类型用BiTNode表示，被定义描述为：

Typedef struct BiTNode {

TElemType data ;

struct BiTNode * LChild , *Rchild；

} BiTNode,*BiTree；

BiTree T；

其中data为结点值域，LChild和RChild分别为指向左、右孩子结点的指针域，编写算法，求出二叉树中2度结点个数。

int degree2nodenum(BiTree T)

{if (T){

if(T->lchild！=NULL &&T->child！=NULL)

count++;

leafnodenum(l->lchild);

leafnodenum(l->rchild);

}

return count;

}

3．已知二叉树中的结点类型用BiTNode表示，被定义描述为：

Typedef struct BiTNode {

TElemType data ;

struct BiTNode * LChild , *RChild;

} BiTNode,*BiTree;

BiTree T；

其中data为结点值域，LChild和RChild分别为指向左、右孩子结点的指针域，写一算法，求出二叉树中的叶子结点个数。

void BTreeLeaf (BiTree BT)

{

if(BT)

{

if(BT-> LChild==NULL && BT->RChild==NULL) count++;

BTreeLeaf (BT->LChild); // 访问左子树

BTreeLeaf (BT->RChild); // 访问右子树

}

}

或下面算法均可

编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

int LeafCount_BiTree(Bitree T)//求二叉树中叶子结点的数目

{

if(!T) return 0; //空树没有叶子

else if(!T->lchild&&!T->rchild) return 1; //叶子结点

else return Leaf_Count(T->lchild)+Leaf_Count(T->rchild);//左子树的叶子数加上右子树的叶子数

}//LeafCount_BiTree

4．PPT上的三种遍历递归算法和课本上P131先序递归创建二叉链表。

5. 给定一棵二叉树，其根指针为root。试写出求二叉树结点数目的算法（递归算法或非递归算法）。

【提示】采用递归算法实现。

int count(BiTree t){

if (t==NULL)

return 0;

else

return count(t->lchild)+count(t->rchild)+1;

}

6. 以二叉链表为存储结构，写一算法交换各结点的左右子树。

【分析】

依题意，设t 为一棵用二叉链表存储的二叉树，则交换各结点的左右子树的运算基于后序遍历实现：交换左子树上各结点的左右子树；交换右子树上各结点的左右子树；再交换根结点的左右子树。

【算法】

void Exchg(BiTree *t){

BinNode *p;

if (t){

P=(*t)->lchild;

(*t)->lchild=(*t)->rchild;

(*t)->rchild=p;

Exchg(&((*t)->lchild));

Exchg(&((*t)->rchild));

}

}

7. 已知一棵二叉树采用二叉链表结构存储，每个结点的值为整数类型。要求：给出相应的语言描述，在此基础上设计计算二叉树中所有结点值之和的算法。

typedef struct link

{int data;

struct link * lchild;

struct link * rchild;

} bitnode , *bitree ;

void sum(bitree *bt,int &s)

{

if(bt!=0) {s=s+bt->data; sum(bt->lchild,s); sum(bt->rchild,s);}

}

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