第三章 形式的命题逻辑系统
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形式逻辑基本知识
7
逻辑的类型
Susan Haack Philosophy of Logics 列出的逻辑的范围
Traditional Logic 三段论 Classical Logic 二值命题、谓词演算（狭义数理逻辑） Extended Logics 模态、时态、规范、认知、择优、祈使、问句逻辑 Deviate Logics 多值、直觉、量子、自由逻辑 Inductive Logics 归纳逻辑
奠定了基础。由此逻辑学发展进入黄金时代。
现代逻辑学已从单一学科逐步发展成为理论严密、分支众多、应 用
广泛的学科群，择其要者有数理逻辑、哲学逻辑、自然语言逻辑、概 率逻辑、人工智能逻辑、量子逻辑、价值逻辑以及逻辑学与计算 机 科学、认知科学的交叉研究。
联合国教科文组织把逻辑学与数学、天文学和天体物理学、地球科 学和空间科学、物理学、化学、生命科学并列为七大基础学科；
各种具体思维形式中所隐含的最一般的、共同的东西。
例如： ⑴所有的金属都是导电的。 ⑵所有的人都是会死的。 ⑶所有的犯罪行为都是有害社会的。
所有的S是P 再如： ⑴只有年满18岁，才有选举权。 ⑵该合同只有您亲自签字，才能生效。
只有p，才q
B
13
又如：
⑴ 所有的金属都是导电的， 水银是金属； 所以，水银也是导电的。
第九章 形式逻辑的基本规律
第十章 论证∶证明与反驳
B
2
第一章 绪论
“逻辑”最早可追溯到希腊词（λσγοε逻各斯）， 后英译为logos、其复数形式是logic。原为多义 词∶一般的规律和原则；说明、解释、论证；理 性、推理、抽象理论；尺度、关系、比率；价值 等等。古罗马的西塞罗正式使用“逻辑”一词表 示包括逻辑学和修辞学的科学。
逻辑的类型
Susan Haack Philosophy of Logics 列出的逻辑的范围
Traditional Logic 三段论 Classical Logic 二值命题、谓词演算（狭义数理逻辑） Extended Logics 模态、时态、规范、认知、择优、祈使、问句逻辑 Deviate Logics 多值、直觉、量子、自由逻辑 Inductive Logics 归纳逻辑
奠定了基础。由此逻辑学发展进入黄金时代。
现代逻辑学已从单一学科逐步发展成为理论严密、分支众多、应 用
广泛的学科群，择其要者有数理逻辑、哲学逻辑、自然语言逻辑、概 率逻辑、人工智能逻辑、量子逻辑、价值逻辑以及逻辑学与计算 机 科学、认知科学的交叉研究。
联合国教科文组织把逻辑学与数学、天文学和天体物理学、地球科 学和空间科学、物理学、化学、生命科学并列为七大基础学科；
各种具体思维形式中所隐含的最一般的、共同的东西。
例如： ⑴所有的金属都是导电的。 ⑵所有的人都是会死的。 ⑶所有的犯罪行为都是有害社会的。
所有的S是P 再如： ⑴只有年满18岁，才有选举权。 ⑵该合同只有您亲自签字，才能生效。
只有p，才q
B
13
又如：
⑴ 所有的金属都是导电的， 水银是金属； 所以，水银也是导电的。
第九章 形式逻辑的基本规律
第十章 论证∶证明与反驳
B
2
第一章 绪论
“逻辑”最早可追溯到希腊词（λσγοε逻各斯）， 后英译为logos、其复数形式是logic。原为多义 词∶一般的规律和原则；说明、解释、论证；理 性、推理、抽象理论；尺度、关系、比率；价值 等等。古罗马的西塞罗正式使用“逻辑”一词表 示包括逻辑学和修辞学的科学。
《逻辑学》完整版笔记整理
第一章绪言第一节“逻辑”的含义一、逻辑的词源1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi).·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。
·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。
言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义.2。
逻各斯演变为“逻辑”一词·最先是由斯多葛学派使用；看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。
·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词.·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。
3。
逻辑一词传入中国·严复开始，“按逻辑此翻名学。
其名义始于希腊,为逻各斯一根之转”.·严复翻译的时间大约在19世纪末;·再过十多年后,由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问4. 为什么logic要翻译为逻辑？逻辑学是有点特殊的学科。
特殊在什么地方？学科名的特殊和学科内容的特殊。
中国历史上和逻辑对应的学科?逻辑究竟研究什么?二、什么是逻辑？1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。
她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。
逻辑是一门讲道理的学科. 逻辑总是和语言相关.逻辑总是和论证证明推理相关。
p2 2。
三个方向的推理追寻历史:一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导.确定目标：未来可能出现的事件,这是向前的推理。
演绎推理:没有时空条件的推理，数学和逻辑。
几何证明和数学计算。
第二节逻辑历史简述一、古典逻辑1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父.2。
亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》,这些篇章后来合编为《工具论》一书。
命题逻辑的形式系统
A1．├p∨p→p
A2．├p→p∨q
A3．├p∨q→q∨p
A4．├（q→r）→（p∨q→p∨r）
关于符号省略规则
1
所谓P定理的证明，乃是一有穷的公式序列A1，…，An，其中每一公式Ai（1≤i≤n）都适合以下条件之一：
2
Ai是一公理；
3
Ai是一已证定理；
4
Ai由本序列在先的一个公式经代入或置换所得到；
T7 ├（p→q）→（¬q→¬p）
证：1．├p→¬¬p 定理5 2．├q→¬¬q 1代入p/q 3．├（q→r）→（p∨q→p∨r） 公理4 4．├（q→¬¬q）→（¬p∨q→¬p∨¬¬q） 3代入r/¬¬q，p/¬p 5．├¬p∨q→¬p∨¬¬q 4，2分离 6．├p∨q→q∨p 公理3 7．├（¬p∨¬¬q）→（¬¬q∨¬p） 6代入p/¬p，q/¬¬q 8．├（q→r）→（（p→q）→（p→r）） 定理1 9· ├（¬p∨¬¬q→¬¬q∨¬p）→（（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→ （¬p∨q→¬¬q∨¬p） 8代入q/¬p∨¬¬q，r/¬¬q∨¬p， p/¬p∨q 10．├（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→（¬p∨q→¬¬q∨¬p） 9，7分离 11．├¬p∨q→¬¬q∨¬p 10，5分离 12．├（p→q）→（¬q→¬p） 11定义1置换
对公理的解释
每一条公理都是本系统最基Байду номын сангаас的重言式，其真值，可用真值表方法判定。
关于代入规则（R1）
该规则要求只有命题变项π才能被代入，而
其他多于一个符号的公式，例如¬p都不能被
代入。但是，对于代入的公式B是没有限制
的。另外，如果在A中的π出现不止一次，那
么在代入时必须到处都用同一公式B代替，不
能用不同的公式代替，也不能有的不代替。
A2．├p→p∨q
A3．├p∨q→q∨p
A4．├（q→r）→（p∨q→p∨r）
关于符号省略规则
1
所谓P定理的证明，乃是一有穷的公式序列A1，…，An，其中每一公式Ai（1≤i≤n）都适合以下条件之一：
2
Ai是一公理；
3
Ai是一已证定理；
4
Ai由本序列在先的一个公式经代入或置换所得到；
T7 ├（p→q）→（¬q→¬p）
证：1．├p→¬¬p 定理5 2．├q→¬¬q 1代入p/q 3．├（q→r）→（p∨q→p∨r） 公理4 4．├（q→¬¬q）→（¬p∨q→¬p∨¬¬q） 3代入r/¬¬q，p/¬p 5．├¬p∨q→¬p∨¬¬q 4，2分离 6．├p∨q→q∨p 公理3 7．├（¬p∨¬¬q）→（¬¬q∨¬p） 6代入p/¬p，q/¬¬q 8．├（q→r）→（（p→q）→（p→r）） 定理1 9· ├（¬p∨¬¬q→¬¬q∨¬p）→（（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→ （¬p∨q→¬¬q∨¬p） 8代入q/¬p∨¬¬q，r/¬¬q∨¬p， p/¬p∨q 10．├（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→（¬p∨q→¬¬q∨¬p） 9，7分离 11．├¬p∨q→¬¬q∨¬p 10，5分离 12．├（p→q）→（¬q→¬p） 11定义1置换
对公理的解释
每一条公理都是本系统最基Байду номын сангаас的重言式，其真值，可用真值表方法判定。
关于代入规则（R1）
该规则要求只有命题变项π才能被代入，而
其他多于一个符号的公式，例如¬p都不能被
代入。但是，对于代入的公式B是没有限制
的。另外，如果在A中的π出现不止一次，那
么在代入时必须到处都用同一公式B代替，不
能用不同的公式代替，也不能有的不代替。
形式逻辑第三章简单命题及其推理 ppt课件
例：规律是不以人的意志为转移的
任何困难不是不能克服的 ▪按量分：单称判断、全称判断和特称判断（根据“主 项”）
例：单称判断（主项是单独概念）：哥白尼是日心说的创立 者；
全称判断（主项是普遍概念且前有“所有、个个、全部 等”）：所有行星都不发光；
▪ 特称判断（判定某类事物中有对象具有或不具有 某种性质的命题）。
况的真实命题； ▪ 推理的前提和结论间的关系是符合思维规律的
要求的，即它们之间必须具有一定的逻辑联系。
Байду номын сангаас
▪ 6.推理的种类： ▪ 演绎推理（从一般到特殊）、归纳推理（从特
殊到一般）、类比推理（从特殊到特殊）（思维 进程的方向不同）
▪ 必然性推理（真前提必然推出真结论）和或然 性推理（前提真，但结论可真可假）
四部分组成。
变项
常项
▪ 主项：反映判断对象的概念；
▪ 谓项：反映判断对象的性质的概念
▪联项：表述对象和性质之间的联系，肯定联项用“是”表 示，否定联项用“不是”表示。
▪量项：表示所断定的一类对象的数量范围的那个概念，分 全称量项（所有）和特称量项（有的）
▪3.性质判断的分类 ▪按质分：肯定判断＆否定判断（依据“联项”）
第三章
简单命题及其推理（上）
第一节 命题和推理的概述
▪ 一、命题和判断 ▪ 1.联系：命题是判断的语言表达，判断是对事物
情况有所断定的一种思维形式。 ▪ 2.区别：判断的逻辑特征 ▪ （1）有所断定 ▪ （2）客观上不是真的就是假的。 ▪ 3.凡是判断都是命题，但不是一切命题都是判断，
只有当命题加上断定成分后才能成为判断。 ▪ 4.普通逻辑把“真”和“假”作为判断的两个值，
▪ 按质量结合分（把单称判断当作全称判断处理）
任何困难不是不能克服的 ▪按量分：单称判断、全称判断和特称判断（根据“主 项”）
例：单称判断（主项是单独概念）：哥白尼是日心说的创立 者；
全称判断（主项是普遍概念且前有“所有、个个、全部 等”）：所有行星都不发光；
▪ 特称判断（判定某类事物中有对象具有或不具有 某种性质的命题）。
况的真实命题； ▪ 推理的前提和结论间的关系是符合思维规律的
要求的，即它们之间必须具有一定的逻辑联系。
Байду номын сангаас
▪ 6.推理的种类： ▪ 演绎推理（从一般到特殊）、归纳推理（从特
殊到一般）、类比推理（从特殊到特殊）（思维 进程的方向不同）
▪ 必然性推理（真前提必然推出真结论）和或然 性推理（前提真，但结论可真可假）
四部分组成。
变项
常项
▪ 主项：反映判断对象的概念；
▪ 谓项：反映判断对象的性质的概念
▪联项：表述对象和性质之间的联系，肯定联项用“是”表 示，否定联项用“不是”表示。
▪量项：表示所断定的一类对象的数量范围的那个概念，分 全称量项（所有）和特称量项（有的）
▪3.性质判断的分类 ▪按质分：肯定判断＆否定判断（依据“联项”）
第三章
简单命题及其推理（上）
第一节 命题和推理的概述
▪ 一、命题和判断 ▪ 1.联系：命题是判断的语言表达，判断是对事物
情况有所断定的一种思维形式。 ▪ 2.区别：判断的逻辑特征 ▪ （1）有所断定 ▪ （2）客观上不是真的就是假的。 ▪ 3.凡是判断都是命题，但不是一切命题都是判断，
只有当命题加上断定成分后才能成为判断。 ▪ 4.普通逻辑把“真”和“假”作为判断的两个值，
▪ 按质量结合分（把单称判断当作全称判断处理）
形式逻辑(第三章上(新))
4.命题：反映对象情况的思维形态。
表达判断的语句
有真假是命题的逻辑特征。
例如：a. 太阳不是宇宙的中心。
b. 商品不但有使用价值，还有交换价值。
c. 鲸是鱼。
•命题：命题内容和命题形式的统一
5.命题形式：命题的各个组成部分之间的构造方式。
形式逻辑是从命题形式的结构（命题形式结构的真值条件）研究命题的真假例如：“所有的S 都是S ”
（真）；“所有的S 都不是S ”
（假）；“所有的S 都是P ”（有真有假）；又如：如果“所有的S 都是P ”是真，则“有的S 不是P ”假；
若已知“只有p ，才q ”是真的，但“p ”是假的，则“q ”必是假的。
形式上的真假特征
形式上的真假
关系真假
四、A、E、I、O四种命题间的对当关系
2. 推理的构成：。
三 命题逻辑 FSPC
3 命题逻辑形式系统（FSPC ）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz 提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL 提出了布尔代数。
布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。
把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。
1、 命题（Propositions ）：可以判断真假的陈述句。
不涉及任何联结词的命题称为原子命题。
2、 联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。
->如果A 成立则B 成立，<->如果A 成立则B 成立，并且如果B 成立则A 成立；A ∨B ，或者A 成立或者B 成立；A ∧B ，A 成立并且B 成立。
3、 真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。
True(⌝A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1；True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B));A->A4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。
A5、 赋值映射：命题变元集合到{0,1}上的函数。
如果公式A 对任意的赋值映射，取值为真，则称A 为永真式。
如果公式A 对于所有赋值映射为假，称为A 为矛盾式。
对于任意赋值映射，公式A 的真值等于公式B 的真值，成A 与B 等价。
True(A->A)＝1, True(⌝(A->A))＝0 A=1，True(⌝A->A)=1 A=0, True(⌝A->A)＝0命题逻辑有以下特点：1、 从语义角度研究逻辑命题之间真值变化规律。
2.数理逻辑12
∨(﹁q∧﹁p) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(p∧﹁q) m3∨m1∨m0∨m2
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
精品课件
13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
精品课件
1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
法律逻辑学第三章：命题推理
有一种观点认为：“只要有足够的钱，就可以买到 一切。” 从上述观点可以推出以下哪个结论？ （1）有些东西，即使有足够的钱也不能买到，如友 谊、健康、爱情等。 （2）如果没有足够的钱，那么什么东西也买不到。 （3）有一件我买不到的东西，便说明我没有足够的 钱。 （4）有钱比没钱好。
2018/10/26
2018/10/26
15
某招待所失窃2万元，保安人员经过周密调查，得 出结论是前台经理孙某作的案。所长说：“这是不可 能的。”保安人员说：“当所有其他的可能性都被排 除了，剩下的可能性不管看起来多么不可能，都一定 是事实。” 以下哪项为真，最能动摇保安人员的说法？
（1）保安人员事实上不可能比所长更了解自己的经理。 （2）对非法行为的惩处的根据不能是逻辑推理，而只能是证 据。 （3）保安人员无法穷尽所有的可能性。 （4）孙某是该招待所公认的优秀经理。
我们要判定这个推理是否正确，要考虑两个方面： 一是前提是否正确？ 二是推理形式是否有效？ 前提是否正确根据事实、经验以及科学做出判断。 推理形式是否有效根据逻辑学知识做出判断。 逻辑学研究的重点是推理形式有效性的判定。
4
2018/10/26
下列推理有效吗？正确吗？
（1）如果乔丹是美国总统，那么乔丹是 美国领导人； 乔丹不是美国总统； 所以，乔丹不是美国领导人。
实例：
航天号飞机的失事或是由于设备故障，或是由于人为 破坏；已查明失事原因确系设备故障。因此，可以排除 人为破坏。 以下哪项正确地评价了上述命题推理？
A．
B． C．
推理正确，是不相容析取命题推理的肯定否定式。
推理正确，是相容析取命题推理的否定肯定式。 推理错误，是不相析取命题推理的否定肯定式。
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(3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形2： B是的一个成员。那么下列是从 到 AB的一个推演： (1) B 的成员 (2) B (AB) A1 (3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形3：B就是A。那么下列是从到AB的 一个推演： (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA)) A2 (2) A( (AA)A) A1 (3) (A (AA) ) (AA) (1)(2)MP (4) A (AA) A1 (5) (AA) (3)(4)MP
• 未知的 已知的 我们要的
但是，我们从YZ和公理(YZ)(X(YZ))
很容易得到 (X(YZ))
3.3.2 PC中的证明
• 思路贯通了： (X(YZ))也是已知的了。只要利用两 次MP规则，我们就可以从(X(YZ)) ((XY)(XZ)) ，利用XY和YZ，得到 (XZ)， 从而完成这个三段论推理的证明。 • （4）在作业和考卷中正式地写出证明（刚开始还不熟 练，就先写在演草纸上，然后誊写过去）。 • 这种模式的证明步骤是这样的： （1） YZ 已知的公理或定理 （2） (YZ)(X(YZ)) A1 （3） X(YZ) (1)(2)MP （4） (X(YZ)) ((XY)(XZ)) A2
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
②我们在没有括号的时候，逻辑常项结合的
优先秩序是先再；在同一优先秩 序上，遵从向右结合的原则。因此， A表 示(A) ；ABA表示A (BA)；(ABC)(AB)(AC)表示 (A(BC))((AB)(AC))。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
3.2.5 推理规则 在命题演算系统PC中只有一条推理规 则——MP规则，又叫做分离规则。 PC中的MP规则指的是：从“├PC(AB)”
和“├PCA”可以推出“├PCB”。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
3.3 PC演绎推理的几个重要概念和元定理 3.3.1 证明的概念
定义：系统PC中的一个证明是指这样的一个序列 A1,A2,…,An，使得对于每个i(1in)，或者Ai是PC 的一个公理，或者Ai可由序列中位于Ai前面的两个 公式Aj和Ak(ji,ki)应用MP规则而得到。这样我们 就称序列A1,A2,…,An是在PC中对An的一个证明。 并且，称An是系统PC内的定理（简称定理或内定 理），简记为├PC An。
3.3.3 演绎定理
• 其实这就是内定理1的证明。为了简化证明， 以后只要涉及到前面已经被证明过的内定 理，我们可以直接拿这个结果使用，而不 再重复证明。在理由中间上它是PC内定理 就可以了。同样，对于已经证明的推演我 们也可以把它当作推导规则使用。 • 因此， ├PCAA，即├PCAB 。(注：B 就是A)
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
• 3.2.4 公理
（1）A(BA) （2） (A(BC))((AB)( AC)) （3）(A B)(BA) 注意：①我们给出的是一个公理模式，因此 p(qp)， (p(qp))(q(p(qp))) 都是公理1(简记为A1)的具体实例。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC • 3.2.2 命题语言的形成规则
（1）任意的命题变元和逻辑常项T,F是合式公式。 （2）如果A,B是合式公式，那么A和AB也是合 式公式。 （3）只有符合以上两条的符号序列才是合式公式， 简记为wffs。
• 3.2.3 其他一些语法符号（元语言符号）
为了便于研究命题演算的性质，我们再引入一些语 法符号(元语言中的符号)： （1）小写英文字母x,y,z是语法变项，它的值是命题 变项中的任意符号（如p,q,r,…）。
举例2： 证明： ├PC(AA) ——(PC内定理2) (1) (A( (AA)A) )( (A (AA) ) (AA) ) A2 (2) A( (AA)A) A1 (3) (A (AA) ) (AA) (1)(2)MP (4) A (AA) A1 (5) (AA) (3)(4)MP
说明： ① Aj和Ak必需是形如“AB”和“A”，或者“A” 和 “AB”这样的形式。 ②如果Ak出现在序列A1,A2,…,An中，那么它也是PC 的内定理。 ③一条公理也是PC的内定理，它的证明是只包含一 项的序列。 ④ “├PC ”显然不是PC中的符号。在这里提请大家 注意元语言和对象语言的区别。一般地，被研究对 象中出现的语言符号称为对象语言符号。用以研究 对象语言的符号称为元语言符号。一般情况下，为 了以示区别我们会在元语言符号的外面加上双引号； 在上下文不会引起混淆的语境下，我们又是也省略 外面的双引号。
3.3.2 推演的概念
• 推演的举例： • 下列是PC中从{A, B(AC)}到BC的推演 (1) A (2) B(AC) (3) A(B A) (4) BA (5) (B(AC))( (BA)(BC)) (6) (BA)(BC) (7) BC 所以， {A, B(AC)} ├PC (BC)。 P*(假设) P*(假设) A1 (1)(3)MP A2 (2)(5)MP (4)(6)MP
3.3.2 推演的概念
3.3.2 推演的概念
PC中的一个证明是从公理出发的一个演绎。我 们将需要从某些给定的公式集得出更为一般的推 演概念。 • 定义：令是PC中的公式集（ 可以是、也可以 不是PC中的公理或内定理）。 PC中公式的序列 A1,A2,…,An是从 的一个推演，如果对于每个 i(1in)，下列之一成立： （1）Ai是PC的一个公理； （2）或者Ai是中的一个成员；
3.3.2 推演的概念
• 推演{A, B(AC)} ├PC (BC)的直观意思是这样的：如 果有A，如果再有B(AC)，那么在PC中一定有BC。 • 内定理├PC A( (B(AC)) (BC) )的直观意思也可 以不规范地看成：在PC中如果有A，如果再有B(AC)， 那么有BC。 • 这似乎提示了我们：是否可以增加一些步骤，从而把PC 的一个推演改造成PC的一个证明。显然，构造推演{A, B(AC)} ├PC (BC)会比构造内定理├PC A( (B(AC)) (BC) )的证明要简单得多。 • PC的演绎定理的出现，满足了简化PC内定理的证明的要 求。演绎定理表明，只要能构造{A, B(AC)} ├PC (BC)就等同于证明了├PC A( (B(AC)) (BC) )。
（3）其次，我们需要一些实战技巧（这些技
巧这能在做题训练中获得） 但是，我们怎么样把这些模糊的思路变成一个具 体的证明呢？例如，我们在这里遇到的就是这样一 个推理模式的实现：从XY和YZ推导出XZ。 • 这其实就是一个三段论的推理，我们可以利用PC的 公理和推理规则这样实现： • 利用A2有(X(YZ)) ((XY)(XZ))
第一节 形式系统
• 3.1.3 形式系统 • 一个形式系统通常由四部分构成： （1）各种初始符号； 系统的语言部分(形式语言) （2）合适公式的形成规则； （3）公理； 系统演绎的基础(演绎工具) （4）推理规则。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
• 3.2 命题逻辑（演算）系统PC • 3.2.1 命题语言的字母表(初始符号) （1）命题变元符号： p,q,r,s,t,p1,q1,r1,s1,t1,p2,… （2）逻辑常项符号：T,F,,。 （3）辅助符号：(,)。 形式语言L0可以由无穷多个符号组成， 即L0＝{T,F,,, (,), p,q,r,s,t,p1 ,…}
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
（2）大写英文字母A,B,C是语法变项，它的 值是任意符号序列（如pq,r等）。但在 以后的讨论中，我们一般用它来表示合适 公式，所以上例中的“r”将会被排除掉。 （3）“├”是一个语法符号，它将会被写在 一个合式公式之前，表示这个公式是要被 某个形式系统所肯定的。例如，pp将被 命题演算PC所肯定，我们就记为 “├PC(pp)”。
（5） (XY)(XZ) (3)(4)MP （6） XY 已知的公理或定理 （7） XZ (5)(6)MP • 大家不难发现：如果把X,Y,Z分别代以B, AB, BA。对B(BA)的证明和 我们在这里给出的对XZ 的证明是一样的。 在学习了推演之后，我们再以这种推理模 式举另一个例子。
• （3）或者Ai可由序列中位于Ai前面的两个公式Aj 和Ak(ji,ki)应用MP规则而得到。 • 所以，从的推演就是这样的一个“证明”，其 中的成员暂且被当作公理。我们称序列 A1,A2,…,An最后的An是在PC中从 可推演的。或 者，称An是PC中的（语法）后承，简记为├PC An。 • 注意：如果是空集，那么推演序列A1,A2,…,An 就是一个PC中的证明，记为├PC An，也可以不 太规范地写为├PC An。
• 举例1：PC中的证明(pq)(pp) ——(PC
内定理1) (1) p(qp) A1 (2) ( p(qp) ) ( (pq)(pp) ) A2 (3) (pq)(pp) (1)(2)MP 从(1)到(3)构成了 “├PC(pq)(pp)”的证明。
3.3.1 证明的概念
• 象前面├PCB(BA)这样的证明是比较复杂 的，那么我们怎么才能构造它的证明呢？以下 是我的分析思路： • （1）首先，观察要证的结构 我们看到要证中间出现了否定，一般来说要用 到A3（因为A1和A2不能从一个否定的前提推 导出肯定结论）。 • （2）现在演草纸上把A3：(A B)(BA) 写出来。我们发现A3的后半部分和要证的后半 部分一样。因此，我们重点观察他们的前半部 分。我们发现要证和A3的前提之间是有联系的： 我们可以从B推导出 (A B)。因为，很显 然B(AB) 是一条公理。
3.3.3 演绎定理
演绎定理：如果A├PCB，那么├PCAB，这
里A和B是PC的公式，的公式集（可能是空集）。 证明：我们对构成推演A├PCB的那个序列 A1,A2,…,An中公式的数目n进行归纳证明。 （1）基础步骤：当n=1时，也就是说，这个序列 只有一项，而且这一项就是公式B。因此，B要么 是PC的一条公理，要么是A的一个成员（根 据推演的定义可知）。在后一种情况中又有B 和B就是A两种情况。 情形1：B是PC的一条公理。那么下列是从到 AB的一个推演： (1) B PC的公理 (2) B (AB) A1