离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
15
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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8
例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
《离散数学》复习提纲(2018)
《离散数学》期末复习大纲一、数理逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与解释、求前束范式。
[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。
7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。
二、集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理）3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根律等）及应用本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论
第3章命题逻辑的推理理论3.1 推理的形式结构一、有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
关于定义3.1还需要做以下几点说明：1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。
因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。
若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。
这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。
2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：(1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0.(2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1.(3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0.(4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1.由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
例3.1判断下列推理是否正确：(1){p,p→q}q(2){p,q→p}q解只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.表3.1对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。
离散数学及其应用第3章-命题演算与推理(上)
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
1
第3章 命题演算与推理 （上）
2020/3/7
计算机应用技术研究所
2
命题演算与推理(上)
2020/3/7
1 命题的概念与运算
2 命题公式与等值演算
33
联结词的完备集
2020/3/7
计算机应用技术研究所
14
弗雷格
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
1879年的重要著作：
概念文字:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言
是第一个公理化谓词逻辑系统 是自Aristotle以来逻辑的最重要进展 基本实现了Leibniz梦想
命题的概念与运算
2020/3/7
计算机应用技术研究所
4
命题的概念与运算
☺ 逻辑与命题逻辑 命题的基本概念 命题的常用联结词
逻辑学
逻辑学--是一门研究思维形式和思维规律的科学， 包含：
辩证逻辑：研究人的思维中的辩证法。例如：用全 面的和发展的观点观察事物；具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
形式逻辑：研究人的思维的形式和一般规律。本课 程只关心形式逻辑。
2020/3/7
计算机应用技术研究所
6
人类的思维规律
人类的思维过程：通过学习掌握概念和判断，然 后进行推理，即： 概念 判断 推理
推理：由若干个已知的判断(前提)，推出新的判 断(结论)的思维过程。
正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑
数理逻辑包括： 命题逻辑、谓词逻辑、公理化集合论、
《离散数学》命题逻辑
解 （1）设P：1是偶数；Q：1是负数，则命题（1）可符号化为P↔Q，真值为1。
（2）设R：太阳从东方升起；S：小鸡会飞，则命题（2）可符号化为R↔S，真值为0。
总结
第 2章 命题逻辑
18
解题小贴士—复合命题的真值判断方法
首先确定复合命题中每个原子命题的真值，然后确定具体的联结词，最后根据上表直接计算。
CONTENTS
F
T
例2.3 符号化下列命题，并确定其真值。
（1）0是偶数且是自然数。
P
O
O
1
1
Q
O
1
O
1
P∧Q
O
O
O
1
（2）雪是白的且羊是食肉动物。
解 （1）设P：0是偶数；Q：0是自然数，则命题（1）可符号化为P∧Q，真值为1。
（2）设R：雪是白的；S：羊是食肉动物，则命题（2）可符号化为R∧S，真值为0。
第 2章 命题逻辑
1
O
例2.2 符号化下列命题，并确定其真值。
（1）四川不是人口最多的省份。
（2）并不是没有最小的自然数。
解：（1）设P：四川是人口最多的省份，则命题（1）可符号化为： ¬ P，真值为1。
（2）设Q：有最小的自然数，则命题（2）可符号化为： ¬ ( ¬ Q)，真值为1。
2、合取联结词
第 2章 命题逻辑
例如，若P：周末天气晴朗；Q：我们将到郊外旅游。
则如果周末天气晴朗，则我们将郊外旅游可符号化为P→Q
例2.5 符号化下列命题，并确定其真值。
P
O
O
1
1
Q
P→Q
善意推断
O
1
1
1
O
O
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
7
3.1.1.2 斯柯林(Skolem)标准范式
定义 3.1.2 从前束范式中消去全部存在量词所得到的公式即为 Skolem 标准范式。 例如，如果用 Skolem 函数 f(x)代替前束形范式 x (y)(z)( P( x) F ( y, z) Q( y, z)) 中 的 y 即得到 Skolem 标准范式： ( x) ( z)(P(x)∧F(f(x), z)∧Q(f(x), z)) Skolem 标准型的一般形式是
(x1 )(x2 )...(xn )M ( x1, x2 ,...,xn )
其中，M(x1,x2,…,xn)是一个合取范式，称为 Skolem 标准型的母式。
8
将谓词公式 G 化为 Skolem 标准型的步骤如下： （1）消去谓词公式 G 中的蕴涵（→）和双条件符号（） ，以A∨B 代替 A→B，以(A∧ B)∨(A∧B)替换 AB。 （2）减少否定符号（）的辖域，使否定符号“”最多只作用到一个谓词上。 （3）重新命名变元名，使所有的变元的名字均不同，并且自由变元及约束变元亦不同。 （4）消去存在量词。这里分两种情况，一种情况是存在量词不出现在全称量词的辖域内，此 时，只要用一个新的个体常量替换该存在量词约束的变元，就可以消去存在量词；另一种情况 是，存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，这时需要用一个 Skolem 函数替换存在量词 而将其消去。
15
例 3.2.1 求子句集 S＝{T(x)∨Q(z),R(f(y))}的 H 域。 解 此例中没有个体常量，任意指定一个常量 a 作为个体常量；只有一个函数 f(y)，有： H0={a} H1={a,f(a)} H2={a,(a),f(f(a))} …… H∞={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…}
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第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的方法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明4. ①自然推理系统P的定义②自然推理系统P的推理规则：前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会用附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重言式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法：1．真值表法2．等值演算法3．主析取范式法三、重言蕴涵式由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A B，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称1．A(A∨B) 附加律2.(A∧B) A 化简律3.(A→B)∧A B 假言推理4.(A→B)∧┐B┐A 拒取式5.(A∨B)∧┐B A 析取三段论6.(A→B)∧(B→C)(A→C) 假言三段论7.(A B)∧(B C)(A C) 等价三段论8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)9.(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C) 破坏性二难这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
3.2 自然推理系统P一、形式推理系统我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：（1）非空的字符表集，记作A(I)。
（2）A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作A X(I)。
（4）推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为<A(I),E(I),A X(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是I的形式语言系统，<A X(I),R(I)>为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类。
一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。
另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、自然推理系统PP是一个自然推理系统，因而没有公理。
故P只有三个部分。
定义3.3自然推理系统P定义如下：1．字母表（1）命题变项符号：p，q，r，…,p i，q i，r i，…（2）联结词符号：┐,∧,∨,→,（3）括号和逗号：( , )，，2．合式公式同定义1.63．推理规则（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
（4）假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧A B可知，B是A→B和A的有效结论。
由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。
用图式表示为如下形式：以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
（5）附加规则：（6）化简规则：（7）拒取式规则：（8）假言三段论规则：（9）析取三段论规则：（10）构造性二难推理：（11）破坏性二难推理规则：（12）合取引入规则：本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。
这就完成了P的定义。
三、P中的证明P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。
当然此结论也为P中公式。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s结论：r∧(p∨q)(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s结论：p→s解 (1)证明：①p→s 前提引入②┐s 前提引入③┐p ①②拒取式④p∨q 前提引入⑤q ③④析取三段论⑥q→r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理⑧r∧(p∨q) ⑦④合取此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。
(2)证明：①┐p∨q 前提引入②p→q ①置换③r∨┐q 前提引入④q→r ③置换⑤p→r ②④假言三段论⑥r→s 前提引入⑦p→s ⑤⑥假言三段论从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明：若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。
所以a是无理数。
解首先将简单命题符号化：设p：a是实数。
q：a是有理数。
r：a是无理数。
s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s结论：r证明：①p∧┐s 前提引入②p ①化简③┐s ①化简④p→(q∨r) 前提引入⑤q∨r ②④假言推理⑥┐s→┐q 前提引入⑦┐q ③⑥假言推理⑧r ⑤⑦析取三段论P中证明的两个常用技巧：1．附加前提证明法2．归谬法四、附加前提法有时推理的形式结构具有如下形式（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B) （3.5）（3.5）式中结论也为蕴涵式。
此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。
即，将（3.5）化为下述形式(A1∧A2∧…∧A k∧A)→B （3.6）其正确性证明如下：（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B)）┐(A1∧A2∧…∧A k)∨(┐A∨B）┐(A1∧A2∧…∧A k∨┐A)∨B┐(A1∧A2∧…∧A k∧A)∨B(A1∧A2∧…∧A k∧A)→B因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。
用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。
所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
解将简单命题符号化：设p:小张去看电影。
q:小王去看电影。
r:小李去看电影。
s:小赵去看电影。
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q结论：s→r证明：用附加前提证明法。
①s 附加前提引入②┐s∨p 前提引入③p ①②析取三段论④(p∧q)→r 前提引入⑤q 前提引入⑥p∧q ③⑤合取⑦r ④⑥假言推理思考：不用附加前提证明法构造例3.5的证明。
五、归谬法在构造形式结构为(A1∧A2∧…∧A k)→B的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出(A∧┐A)，则说明推理正确。
其原因如下：(A1∧A2∧…∧A k)→B┐(A1∧A2∧…∧A k)∨B┐(A1∧A2∧…∧A k∧┐B)若(A1∧A2∧…∧A k∧┐B)为矛盾式，正说明(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式，即(A1∧A2∧…∧A k)B,故推理正确。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A 队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。
因此，小李没有向B 队投球。
解先将简单命题符号化。
设p:小张守第一垒。
q:小李向B队投球。
r:A队取胜。
s:A队获得联赛第一名。
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p结论：┐q证明：用归谬法①q 结论的否定引入②┐r∨s 前提引入③┐s 前提引入④┐r ②③析取三段论⑤(p∧q)→r 前提引人⑥┐(p∧q) ④⑤拒取式⑦┐p∨┐q ⑥置换⑧p 前提引入⑨┐q ⑦⑧析取三段论⑩q∧┐q ①⑨合取由于最后一步q∧┐q0，即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q0，所以推理正确。