中国石油大学(华东)第二十四届高等数学竞赛试题及答案

中国石油大学（华东）

第二十四届高等数学竞赛试题答案

一、填空题（每小题4分，本题共20分）：

1、=

⋅⋅-∞

→n

n

n n n n e e

e e 121

lim

e 。

2.设u xy y

x =+，则∂∂2

2

u y = 0 。

3.设L 为沿抛物线y =x 2上从点(1，1)到点(2，4)

的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分

可化成对弧长的曲线积分___________，其中P (x ,y )和

Q (x ,y )是在L 上的连续函数。

⎰

++L

ds

x

y x xQ y x p 2

41)

,(2),(

4.设z e y e y x x

=+-sin cos ，则∂∂∂∂2222z x

z

y += 0 。 5、=

→2

1

0)

(cos lim x x x 2

1

-

e

。

二、选择题（每小题4分，本题共20分）：

1、=

+-=⎰I x e e I x x 则设,d 11

( C )

c e A x +-)1ln()( ;)1ln()(c e B x ++　

;)1ln(2)(c x e C x +-+ c e x D x ++-)1l n (2)( 2、a x a x a f x f a x =-=--→则点设　,1)()()(lim 2(A)

的驻点

不是 但不是极值点的驻点　是的极小值点是 的极大值点 是)()(,,)()()()()()(x f D x f C x f B x f A

3、方程0

10

cos 0

2

2

=+

+⎰⎰

-x t x

dt e dt t 的根的个数(B)

(A)0 (B) 1 (C)2

(D) 3

4、若曲线x e t y e t z e t

t

t

===cos ,sin ,在对应于

t =

π

4点处的切线与zx 平面交角的

正弦值是(A)

(A)

23

(B)

13

(C) 0 (D) 1

5、设C 表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分

(B)

(A) πab (B) 0

(C) a +b 2 (D) －πab 2

三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：

1、设f x ()二阶连续可微，且f f (),()0100='=，试确定f x ()，使曲线积分

()d d '

++⋅'⎰f f y x f f y

L

2

与路径无关。

解 由曲线积分与路径无关的条件得

'+='+⋅''f f f f f 22

即

''=f x ()1

积分两次得

f x x C x C ()=

++122

12

代入条件f f (),()0100='=，得C C 1201==,

故所求函数为：f x x ()=+1

21

2

2、[]．，，又设上有连续导数，在设函数θθsin )(cos )0()(r x f r x a b a x f ==>

计算表达式

．，其中的值b b f a a f d r dx x f b a

)

(arctan )(arctan

, )()(22==+⎰⎰βαθθβ

α

解

因为，，r x f x f x x d xf x f x x f x dx 22222=+=='-+()arctan

()()()

()θθ

[]于是　r d xf x f x dx

a

b

2()()()θθα

β

='-⎰⎰

='-⎰⎰xf x dx f x dx

a

b a

b

()()

⎰⎰--=b a

b

a

b

a

dx

x f dx x f x xf )()()(

⎰--=b

a

dx

x f a af b bf )(2)()(

)

()()()(22a af b bf d r dx x f b

a

-=+⎰⎰β

α

θθ所以　

3、设

⎰-=x

t dt

e

x f 1

2

)(，计算积分⎰1

)(dx

x f

解 )1(2101

)()(11

01

02

-=-=--⎰⎰e dx xe x xf dx x f x

4、设)(x f 连续，且满足)2()2(x b a f x b a f -+-=++，计算积分⎰b

a dx x f )(

解 在⎰b

a

dx

x f )(中令

t b

a x ++=

2，有

dt t b

a f dt t b

a f dt t

b a f dx x f a b a b a

b a b b

a

⎰

⎰

⎰

⎰

------+++++=

++=

2

2

2

2

)2

(

)2

(

)2

()(