第一章物理学中的对称性

三、 物理规律的对称性
对称性由逻辑上两个不同的部分组成：不变性和变换。要说物理定 律是不变的，就必须指出使得物理定律保持不变的变换。 1. 物理学中的镜象对称性
极矢量：经过空间反射，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量 则不变。如与位置矢量r相联系的速度v、加速度a等。 轴矢量或赝矢：垂直镜面的分量不变，与镜面平行的分量反向，如转 动物体的角速度。
ˆ , ˆ ˆ, I n , E ˆ v , ˆh , i C n
基本对称操作：旋转和反映。 对称元素： 完成对称操作所关联的几何元素（点、线、面及其组合） 旋转轴， 镜面，对称中心 符号
Cn , v , h , i, E
基本对称元素：对称轴和对称面
(1). 旋转操作和对称轴
Cn
围 绕 旋 转 轴 旋 转 2/n 等 价 于 旋 转 2 ( 复原 )的旋转操作，如： C3 围绕旋转轴 旋转2/3的操作 C3 — 三重轴，逆时针。
ˆ1 ; I ˆ1 ; I ˆ3 ; I ˆ1 i ˆ2 C ˆ3 i ˆ4 E ˆ ˆ ˆ I C C 4 4 4 2 4 4 4
ˆ2 ; I ˆ1 ; I ˆ2 ; I ˆ1 ; I ˆ1 ˆ2 C ˆ3 ˆ4 C ˆ5 ˆ6 E ˆ ˆ ˆ ˆ I C ; I C 6 3 6 3 6 6 3 6 3 6
x x ˆ i y y z z
二氯乙烷
C2H4Cl2
表示矩阵
1 0 0 ˆ 0 1 0 i 0 0 1
H
Cl H
H Cl
H
2n ˆ, ˆ i E ˆ 2 n1 i ˆ i
ˆ 操作 C 3
算符操作可用矩阵表示，如：
N
1 0 0 ˆ C2 0 1 0 0 0 1
(2). 反映操作和对称面,镜面
3O
ˆ
2H
3O
数学表示：矩阵表示
1H

2H

1H
x x ˆ ( xz) y y z z
即为第三定律，它等价于动量守为恒矢量。
空间转动对称性和角动量守恒 仍考虑一对粒子A和B，将A沿B 为园心的弧移动到A/,相互作用 势能的变化：
B B
s
B/
－EP （f AB )切 s
A/
s
A
A
同样，将B沿以A为园心的弧移动到B/点，
－E （f BA )切 s
/ P
A/
r
A
A
空间平移对称性意味着 即
EP E ' p
E p EP E p E ' p －f AB f BA （r 任意）
d P d P d A B 由动量定理： 0＝f f ( PA PB ) AB BA dt dt dt
E n i i
(n为偶数) (n为奇数)
(4). 旋转反演操作和反轴
ˆ ˆ i ˆC In反轴 I n n
ˆ1 ; I ˆ2 ; I ˆ1 ; I ˆ2 ; I ˆ1 i ˆ2 C ˆ3 i ˆ4 C ˆ5 i ˆ6 E ˆ ˆ ˆ ˆ 例如，I C ; I C 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 0 0 ˆ ( xz) 0 1 0 0 0 1
z
对称面也即镜(mirror)面 一般xy表示为h——垂直主轴的面 xz， yz表示为v——通过主轴的面
x (x, -y, z)
(x, y, z)
y
(3). 反演操作与对称中心，i (inversion)
那么，什么是对称？
1.数学定义：如果一个几何图形在某些操作下保持不变 (复原），就说这个图形在这些操作之下具有不变性。(等价) 圆：中心旋转不变性，正方形？矩形？ 2.物理系统的对称性：物理系统的运动方程在某种变 换下具有不变性。这样的变换称为该系统或运动方程的对 称变换。 物理学并不是处理几何图形的，那么对称性怎么进到 物理学中的呢？
n为奇，2n个操作，Cn＋i n为偶， 4倍数，In（Cn/2） 非4倍数，Cn/2＋ h
物理学各个领域里有那么多定理、定律和法则，但它 们的地位并不是平等的，而是有层次的。例如，力学中的 胡克定律，热学中的物态方程，电学中的欧姆定律，都是 经验性的，仅适用于一定的物体和一定的适用范围。这些 是较低层次的规律。统帅整个经典力学的是牛顿定律，统 帅整个电磁学的是麦克斯韦方程，它们都是物理学中整整 一个领域中的基本规律，层次要高得多。超过了弹性限度， 胡克定律被违反，牛顿定律仍有效；对于晶体管，欧姆定 律不适用，麦克斯韦方程组仍成立。 是否还有凌驾于这些基本规律之上更高层次的法则？ 对称性原理就是这样的法则，由时空对称性导出的能量、 动量以及角动量等守恒定律，也是跨越整个物理学各个领 域的普遍法则。群论就是在对称性基础上的一门课程，它 之所以重要，就是因为它所指导的规律的普适性。
第一章
一、 对称的概念
物理学中的对称性
对称的概念起源于自然界。大自然中的对称结构 几乎随处可见。
N
H
H
氨分子
氯化钠晶体
m 3 m 2 m 1 m 0 m 1 m 2 m 3
氢原子电子不同状态下的电子云结构
对称不仅出现在自然界中，而且也出现在艺 术乃至文学创作中。
物理学的一个基本问题：处于不同观察位置的物理学 家眼中的物理现实是一样的吗？ 两个物理学家，其中一个由于某种原因，总是把头偏离 竖直方向20o来看这个世界，另一个则和常人一样。经过几 年的研究，两个物理学家把他们的结果总结在几个物理定律 之中，然后来对比他们的结果。 物理学家相信：在任何角度的转动下物理定律都将保持 不变。因此，我们说物理定律具有旋转对称性。 因而我们说，旋转对称性是一切物理定律都必须满足 的要求，其适用范围显然高于（或至少等于）任何具体的 物理定律，如牛顿的经典力学。 可见，物质世界具有对称性，从对称性角度去理解物 质世界是物理学研究的一个方法。
证明：从库仑定律出发可以论证，电场强度E是极矢量；从毕 奥——萨伐尔定律出发可以论证，磁感应强度B是轴矢量。
镜象对称是物理学中最重要的对称之一，在宏观、微观领域都广泛 存在。 2. 物理学中的空间对称性 A、空间平移对称性 物理体系的空间平移对称性：晶体具有平移对称性 物理规律的平移对称性
B、空间转动对称性 物理体系的空间转动对称性：对一定的转轴，转动一定角度具 有对称性 物理规律的转动对称性
/ p
B B
s
B/
由空间各向同性，粒子的相互 作用与方向无关，
/ －E p －E p 0
（f AB )切＝（f BA )切＝0
A/
s
A
A
表明两粒子作用力必沿二者连线，从而相对任意点力矩之和 为零。由角动量定理：
d ( L1 L2 ) 0 dt
四. 对称与对称变换 1.对称：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。 2.对称操作：使物理系统保持不变的变换。 对称操作 旋转、反映、反演、旋转反演、恒等操作等。 算符表示
二、 物理体系的对称性 在本课程中，对称性不仅指几何图形的对称性，我们更 关注是物理体系的对称性。当然，物理体系的对称性与其空 间结构的对称性紧密相关。 1. 原子具有球对称性 2. 分子具有与其几何构型相应的对称性
A
B
A
O
D
O
O
C
C B
3. 晶体具有其空间点阵的几何对称性 4. 全同粒子之间的对称性，没有直接的几何意义 所有这些物理体系的对称性的全体构成对称群，其几何 对称性如何表现在系统的物理性质上？
空间平移对称性和动量守恒 从微观上看，一切相互作用都可通过势描述。考虑一对粒 子A和B，它们相互作用势能为 Ep，将A沿任意方向移动 r 到A/ E p f AB r B r B B/ 若 A 不动，将B沿 －r 方向 移动到B/,则有
E f BA (r ) f BA r
古亚述人的设计图案
身体对称性好的人更具吸引力
更受异性关注
对称———美丽之本
人体由分裂的细胞发展而来。如果每次分裂都能进行得完美， 其结果就是一个身体各部位都均衡对称的婴儿。但大自然不会按照 这种方式造人。基因变异和环境压力使对称发生变化，其结果具有 终身意义。人体匀称表明一个人具有良好生存能力的基因优势，这 有益于健康。美国新墨西哥大学进化生物学家兰蒂· 特霍西尔说： “这表明择偶过程中利用对称变化性很有道理。如果你选择对称完 美的伴侣，并与她繁衍后代，那么你们的后代拥有对称性身材的概 率就会很大，能更好地处理情绪不稳。” 特霍西尔过去15年一直在从事对称性研究。在研究过程中，特 霍西尔将不同人的面孔和身体用扫描仪录入电脑，以测定对称比。 男女两性均认为身体对称性好的异性更具吸引力，健康状况更佳。
物理定律的旋转对称性表现为空间各方向对物理 定律等价，没有哪一个方向具有特别优越的地位。例 如，分别在南、北半球进行单摆实验，实验仪器取向 不同，得出的单摆周期公式仍然相同。 物理定律的平移对称性表现在空间各位置对物理定 律等价，没有哪一个位置具有特别优越的地位。例如： 在地球、月球、火星、河外星系…进行实验，得出的引 力定律（万有引力定律、广义相对论）相同。