精品解析：山东省青岛市青岛第二中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题(解析版)
青岛二中2019——2020 学年第一学期第一学段期中高二模块考试数学试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分．选错得0分.）1.椭圆y 2+4x 2＝1的焦距为（ ）A.B.D.【答案】B 【解析】 【分析】直接利用椭圆的方程，求得,a b 的值，然后求得2c ，即可得到答案.【详解】由椭圆的方程2241y x +=，可得2211,4a b ==，又由22234c a b =-=，解得c =2c =. 故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2.已知命题P ：∃x ＞0，lgx ≤0，则￢P 是（ ） A. ∃x ≤0，lgx ＞0 B. ∀x ＞0，lgx ＞0 C. ∀x ＞0，lgx ＜0 D. ∃x ＞0，lgx ≤0【答案】B 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定，得到答案.【详解】由题意，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题:0,lg 0P x x ∃>≤， 可得:0,lg 0P x x ⌝∀>>. 故选B.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记特称命题与全称命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.3.已知双曲线C ：y 222x b-=1（b ＞0）的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y ＝±15x B. y ＝±3x C. y ＝±3xD. y ＝x【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得2,1c a ==，进而求得b 的值，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线的方程，得到答案.【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y b b-=>的焦距为4，可得2,1c a ==，又由2223b c a =-=，所以双曲线的方程为2213x y -=，所以该双曲线的渐近线的方程为a y x x b =±=. 故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A. ﹣4 B.14C. 14-D. ±14【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p ，即可得到结果，得到答案.【详解】由题意，抛物线2x my =-，可得21y x m=-， 又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即122m =，解得14m =±.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为p 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ） A. a c b +- B. a +2b c -C. c b a +-D. a c +-2b【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案.【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.椭圆的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ） A.325B.35C.45D.7 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆的定义，可得420a =，求得5a =，再由直线垂直于x 轴时，弦长最短，求出弦长，解得b ，最后利用离心率公式，即可求解.【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由椭圆的定义，可得12122MF MF NF NF a +=+=， 由于2MF N ∆的周长为20，可得420a =，即5a =， 过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直与x 轴时，弦长最短，令x c =-，代入椭圆的方程，可得2by a=±，即22185b a =，解得29b =，所以4c =，所以椭圆的离心率为45c e a ==. 故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中求曲线的离心率(或范围)问题，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 2212016x y -=B. 2211620x y -=C. 2211224x y -= D. 2212412x y -=【答案】B 【解析】 【分析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，见解析被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d ==双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =，则b =4a =，可得双曲线的方程为2211620x y -=.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.8.抛物线x 2＝4y 上的点到直线y +5＝0的距离的最小值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，利用点到直线的距离公式表示出距离，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，可得点到直线50y ++=的距离为d ==，当m =1. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9.已知直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ＜0）与抛物线C ：y 2＝﹣4x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足|AF |＝2|BF |，则k 的值是（ ）A.B.C. D. ﹣【答案】C 【解析】 【分析】直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案.【详解】由题意，抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =， 直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，可得2222(24)0k x k x k --+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得1212242,1x x x x k +=-=， 由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =-=-，因为2AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入可得212x =-或21x =（舍去），此时12,3x k =-=-. 故选C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理应用韦达定理是解答此类问题的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 10.已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2122e e -的最小值为（ ） A. 2 B. ﹣2C. 6D. ﹣6【答案】B 【解析】 【分析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解.【详解】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得122,2m n a n m a +=-=， 由线段1PF 的垂直平分线过点2F ，可得2n c =又由点P 在第二象限，所以12PF PF <，即m n <，所以2m c <， 且2m c <， 即1222,22m c a c m a +=-=， 又由椭圆和双曲线的离心率，可得1212,c ce e a a ==， 则21122221242222e a c c c m mm e a c c m c c c+-=-=-=+----42≥=-， 当且仅当122mm c c=--，即m c =时，上式取得最小值2-.故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.11.（多选题）给出下列选项中，能成为x ＞y 充分条件的是（ ） A. xt 2＞yt 2B. （x ，y ）是曲线x 3﹣y 3﹣x 2＝1上的点C.11x y＜＜0 D. （x ，y ）是双曲线x 2﹣y 2＝1上的点【答案】ABC 【解析】 【分析】首先分清条件和结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选的答案能推得x y >成立，即可求解【详解】由题意，对于A 中，由22xtyt 可知，20t >，可得x y >成，所以A 正确；对于B 中，点(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点，则(,)x y 满足323(1)x x y -+=，可得33x y >，即x y >成立，所以B 正确；对于C 中，由110x y <<，可得0,0x y <<，又由110x y y x xy--=>，可得0x y ->， 即x y >成，所以C 正确；对于D 总，点(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，可得22x y >，不一定得到x y >成立，所以D 不正确.故选ABC.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中熟练应用不等式的性质，以及曲线的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12.（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A. 若1＜t ＜5，则C 为椭图B. 若t ＜1．则C 为双曲线C. 若C 为双曲线，则焦距为4D. 若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x y t t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13.下列说法正确的是（ ）A. 椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B. 过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为22b aC. 抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为x 1x 224p =D. 若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A 【解析】 【分析】直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为(,0),(,0)A a B a -， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，则222PB PBn n n k k m a m a m a⋅=⋅=+--，又因为点(,)P m n 在椭圆上，可得22221m n a b +=，解得2222(1)m n b a=-，所以22PB PBb k k a⋅=，所以A 项是正确的； 对于B 中，设双曲线22221x y a b-=右焦点(c,0)F ，（1）当直线与双曲线的右支交于1122(,),(,)A x y B x y ，（i ）当直线AB 的斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22bAB a=，（ii ）当直线AB 的斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，联立方程组2222()1y k x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=，则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，由焦半径公式可得22122222()22c a ck AB AF BF e x x a a a a k b =+=+-=⋅-- 222222222222222222ac k ac c b a a a b a k b a a a k=-=->-=--， 所以当直线AB 的斜率不存在时，AB 的长最小，最小值为22b a．（2）当过(c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得AB 的最小值为2a ．综上可得，当222b a a ≤，即b a <，此时过焦点的弦长最短为22b a ； 当222b a a>，即b a >，此时过焦点的弦长最短为2a ．所以B 项是不正确的；对于C 中，充分性：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x x =，此时12x x =， 因为2124p x x =，所以122p x x ==，此时直线AB 过焦点(,0)2P F . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩，得222(22)0k x bk p x b +-+=， 所以2122b x x k=，且2480p kpb ∆=->， 又因为22(0)y px x =>且2124p x x =，所以2224b k p =，解得2b k p =或2b k p =-， 所以直线AB 方程为2b y x b p =-+或2b y x b p=+, 当直线2b y x b p =-+时，取0y =时，2p x =，直线AB 过焦点(,0)2P ； 当直线2b y x b p =+时，取0y =时，2p x =-，直线AB 过焦点(,0)2P F -； 所以充分性不成立．必要性：当直线AB 过焦点(,0)2P F 时， 设过焦点的直线AB 的方程为2p x my =+，代入22(0)y px x =>， 可得2220y pmy p --=，则212y y p =-， 则222212121222()444y y y y p x x p p ===. 所以抛物线22(0)y px x =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 经过抛物线的焦点的必要不充分条件是2124p x x =，所以C 是不正确的. 对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题，直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）14.若“∃x 0∈[﹣4，﹣2]，012x（）＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围为_____． 【答案】m ＞4【解析】【分析】根据0[4,2]x ∈--时，得到01()[4,16]2x ∈，结合存在性命题为真命题，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当0[4,2]x ∈--时，可得01()[4,16]2x ∈， 又因为“001[4,2],()2xx m ∃∈--<”是真命题，所以4m >.故答案为：4m >【点睛】本题主要考查了存在性的真假的判定与应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中正确理解存在性命题的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 15.双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2，则C 的离心率为_____．【解析】【分析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案.【详解】不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，可得m 2+n 2＝4c 2，且12mn ＝a 2，由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2，即为c 2=a ， 可得e 2c a==.2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．16.设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB |＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．【答案】22116y x += 【解析】【分析】设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，再利用AB 4=，即可得到点M 的轨迹方程，得到答案.【详解】设A （x 1，2x 1 ），B （x 2，﹣2x 2 ），M （x ，y ），则AB 中点M （122x x +，x 1﹣x 2） 所以x 122x x +=，y ＝x 1﹣x 2， 又因|AB |2＝（x 1﹣x 2）2+（2x 1+2x 2）2＝16，即y 2+（4x ）2＝16，所以M 的轨迹方程为22116y x +=， 故答案为：22116y x +=. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，结合条件用AB 的长求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17.卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是平面内的两个定点，|PF 1|•|PF 2|＝a 2（a 是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a ＝c ，则曲线过原点；③若0＜a ＜c ，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____．【答案】①②【解析】【分析】设(,)P x y 2a = ，得到22224[()][()]x c y x c y a ++⋅-+=，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.【详解】由题意设P （x ，y ）2a =，即[（x +c ）2+y 2]•[（x ﹣c ）2+y 2]＝a 4，对于①中，因为把方程中的x 被﹣x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称；把方程中的y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称；把方程中的x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．对于②中，若a ＝c ，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的；对于③中，因为（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2c ，（当且仅当，|PF 1|＝|PF 2|＝c 时取等号），所以（|PF 1||PF 2|）min ＝c 2，所以若0＜a ＜c ，则曲线不存在，所以不正确．故答案：①② 【点睛】本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题，本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握. 18.已知A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＞0，a ＞0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（0，1）．【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求得集合A＝{x|x＜a或x>3a，a>0}，B＝{x|x≥3或x≤﹣2}，再由”x∈A”是“x∈B“的必要不充分条件，即集合B是集合A的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合A＝{x|x2﹣4ax+3a2>0，a>0}＝{x|x＜a或x>3a，a>0}，B＝{x|（x+2）（x﹣3）≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣2}，若”x∈A”是“x∈B“的必要不充分条件，即集合B是集合A的真子集，则满足332aaa<⎧⎪>-⎨⎪>⎩，解得0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次方程的解法，结合充分、必要条件，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．【解析】【分析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；（2）由方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围(2,2)-．（2）命题q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，当p 为真，q 为假时，2203m m m -⎧⎨≤≥⎩＜＜或，解得﹣2＜m ≤0． 当p 假，q 为真时，2203m m m ≤-≥⎧⎨⎩或＜＜，解得2≤m ＜3． 综上，实数m 的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题,p q ，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为短半轴的长为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）2AB =. 【解析】【分析】（1）已知：，b=2，a 2=b 2+c 2，联立解得a,b,c 的值，即可得椭圆方程；（2）易得直线l 的方程y=x+3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：4x 2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB 的长．【详解】(1)已知椭圆焦距为2，即b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=. (2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3， 直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215, 4x xx x⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB=()212124224x x x x⎡⎤+-=⎣⎦【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长()()222121212114l k x x k x x x x⎡⎤=+-=++-⎣⎦，其中()11,A x y，()22,B x y是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.21.已知点F 为抛物线C ：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；（2）若AF=λFB，AP=μPB，证明：λ+μ为定值．【答案】（1）2（2）证明见解析，定值为0【解析】【分析】（1）由直线与抛物线联立得2610x x-+=，根据1228AB x x=++=，求得点D到直线10x y+-=的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；（2）设:(1)l y k x=-，联立方程组，求得121244y y y yk+==-，，结合AF=λFB，AP=μPB，得到λ12yy=-，1222y ky kμ+=-+，进而求得λμ+为定值，得到答案.【详解】（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，所以直线PF 的方程为y ＝﹣（x ﹣1），设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由直线与抛物线联立得x 2﹣6x +1＝0，所以x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．于是|AB |＝x 1+x 2+2＝8．点D 到直线x +y ﹣1＝0的距离d == 所以S 182=⨯=； （2）证明：设直线l ：y ＝k （x ﹣1）．则P （﹣1，﹣2k ），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得ky 2﹣4y ﹣4k ＝0， 121244y y y y k+==-，， ∵AF =λFB ，AP =μPB ，所以（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，﹣2k ﹣y 1）＝μ（x 2+1，y 2+2k ），∴λ12y y =-，1222y k y k μ+=-+． ∴λ+μ()()()121211222222222880222y y k y y y y kk y y k y y k y y k +++-+=--=-=-=+++（定值）． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 22.已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3．（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，R 的坐标（0，﹣2）．【解析】【分析】（1）根据条件转化为P 到(0,1)A 距离与它到直线1y =-的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点P的轨迹方程；（2）利用对称性可得R 在y 轴上，设(0,)R t ，再结合MRQ NRQ ∠=∠，则0RM RN k k +=，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得()22k t +，进而求得t 的值.【详解】（1）因为点P 到A （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣4的距离小3，所以点P 在直线y ＝﹣4的上方，点P 到A （0，1）的距离与它到直线y ＝﹣1的距离相等所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，y ＝﹣1为准线的抛物线，所以方程为x 2＝4y ；（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为R （0，t ），设直线l 的方程为y ＝kx +2，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得x 2﹣4kx ﹣8＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣8， 所以()()2112121212RM RN x y t x y t y t y t x x k x x k -+---=+=+ ()()()1212121212402x x x x t x x k t x x +-++===，因为k ≠0，所以2t =-，则R （0，﹣2），综上，R 的坐标（0，﹣2）．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.已知椭圆C 1：23x +y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b-=的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为2． （1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ •2OQ =-5，求|M 1M 2|的取值范围．【答案】（1）23x-y2＝1；（2）|M1M2|∈（0]．【解析】【分析】（1）由椭圆的顶点可得23a=，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得1b=，进而得到双曲线的方程；（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标运算，求得,m k的关系式，再由直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，即可求得12M M的取值范围.【详解】（1）由椭圆C1：23x+y2＝1的左右顶点为（，0），，0），可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0的距离为2，=b＝1，所以双曲线C2的方程为23x-y2＝1；（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，代入23x-y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，要与C2相交于两点，则应有()()2222213036413330kk m k m⎧-≠⎪⎨----⎪⎩＞⇒22213013km k⎧-≠⎨+⎩＞①，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x22613kmk=-，x1•x2223313mk+=--．又1OQ•2OQ =x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，又1OQ•2OQ=-5，所以有2113k-[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5整理得m2＝1﹣9k2…②，将y ＝kx +m ，代入23x +y 2＝1，消去y 并整理得：（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0， 要有两交点，则△＝36k 2m 2﹣4（1+3k 2）（3m 2﹣3）＞0⇒3k 2+1＞m 2…③由①②③有：0＜k 216＜． 设M 1（x 3，y 3）、M 2（x 4，y 4），则有：x 3+x 42613km k -=+，x 3•x 4223313m k-=+． 所以|M 1M 2|==又m 2＝1﹣9k 2，代入有：|M1M 2|=|M 1M2|=⇒|M 1M 2|＝12t ＝k 2，则t ∈（0，19]， 令f （t ）()21(13)t t t +=+⇒f ′（t ）31(13)t t -=+，又t ∈（0，19]， 所以f '（t ）＞0在t ∈（0，19]内恒成立，故函数f （t ）在t ∈（0，19]内单调递增， 故f （t ）∈（0，572]，则有|M 1M2|∈（0]． 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.附加题（本小题满分10分，计入总分）24.如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析【解析】【分析】 设200(,)2y P y p为抛物线上一点，法线与x 轴交于M ，反射光线为PN ，F 为抛物线的焦点，,PF PM 的斜率，根据角的正切值，证明NPM PNx π∠+∠=即可.【详解】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行． 证明：不妨设抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反射光线为PN ， 如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ，由光的反射性质可知∠FPM ＝∠MPN ，由y 2＝2px ，不妨设P 在第一象限，P （202y p ，y 0）， 当y 0＝0时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合，当y 0≠0时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k （x 202y p-）+y 0， 代入抛物线方程可得：ky 2﹣2py ﹣ky 02+2py 0＝0，令△＝4p 2﹣4k （2py 0﹣ky 02）＝0可得k 0p y =， 故法线PM 的斜率为0y p-． 不妨设P 在第一象限，设∠PMx ＝α，∠PFM ＝β，∠NPM ＝θ，则tanα0y p =-，tanβ00220022y py p y p x ==--，∴tanθ＝tan ∠FPM ＝tan （α﹣β）()()()0022222220000000232220000022022221y py y y p p y y p y p y p y y py py p py p p p y p y p -----+-====--+-⋅-． ∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，∴PN ∥x 轴．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用抛物线的几何性质，结合直线的斜率和倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。
山东省青岛市第二高级中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析
山东省青岛市第二高级中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选B【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行的判定及性质．2. 对于函数，下列结论正确的一个是A. 有极小值，且极小值点B. 有极大值，且极大值点C. 有极小值，且极小值点D. 有极大值，且极大值点参考答案：C略3. 方程有两个不等实根，则k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D4. 设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 过抛物线的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 不确定参考答案：B6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. 4 C. D.参考答案：D【分析】由三视图还原几何体可知该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，由几何体的表面积公式计算即可得到答案．【详解】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故．故选：D．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查几何体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.7. 已知函数若对任意，恒成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.参考答案：B8. 定义运算=ad﹣bc，则（i是虚数单位）为（）A． 3 B．﹣3 C．i2﹣1 D．i2+2参考答案：B略9. 已知，则函数的零点的个数为（）个.（A）3（B）4 （C）5（D）6参考答案：C略10. 如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的（）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y ﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为： =．故答案为：．12. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）。
2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆y 2+4x 2＝1的焦距为（ ）A ．2B C ．D 【答案】B【解析】直接利用椭圆的方程，求得,a b 的值，然后求得2c ，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程2241y x +=，可得2211,4a b ==，又由22234c a b =-=，解得2c =2c =. 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．已知命题P ：∃x ＞0，lgx ≤0，则￢P 是（ ） A ．∃x ≤0，lgx ＞0 B ．∀x ＞0，lgx ＞0 C ．∀x ＞0，lgx ＜0 D ．∃x ＞0，lgx ≤0【答案】B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定，得到答案. 【详解】由题意，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题:0,lg 0P x x ∃>≤， 可得:0,lg 0P x x ⌝∀>>. 故选B. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记特称命题与全称命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.3．已知双曲线C ：y 222x b-=1（b ＞0）的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝±3xD ．y ＝【答案】B【解析】根据题意，求得2,1c a ==，进而求得b 的值，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y b b-=>的焦距为4，可得2,1c a ==，又由2223b c a =-=，所以双曲线的方程为2213x y -=，所以该双曲线的渐近线的方程为3a y x xb =±=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4 B ．14C ．14-D ．±14【答案】D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p ，即可得到结果，得到答案. 【详解】由题意，抛物线2x my =-，可得21y x m=-， 又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即122m =，解得14m =±. 故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为p 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ） A ．a c b +- B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b【答案】D【解析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．椭圆的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）A B ．35C ．45D 【答案】C【解析】运用椭圆的定义，可得420a =，求得5a =，再由直线垂直于x 轴时，弦长最短，求出弦长，解得b ，最后利用离心率公式，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由椭圆的定义，可得12122MF MF NF NF a +=+=， 由于2MF N ∆的周长为20，可得420a =，即5a =， 过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直与x 轴时，弦长最短，令x c =-，代入椭圆的方程，可得2by a=±，即22185b a =，解得29b =，所以4c =，所以椭圆的离心率为45c e a ==. 故选C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中求曲线的离心率(或范围)问题，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2212016x y -=B ．2211620x y -=C ．2211224x y -=D ．2212412x y -=【答案】B【解析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，见解析被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d ==双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =，则b =4a =，可得双曲线的方程为2211620x y -=.故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.8．抛物线x 2＝4y 上的点到直线y +5＝0的距离的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【解析】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，利用点到直线的距离公式表示出距离，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，可得点到直线50y +=的距离为d ==，当m =时，取得最小值为1. 故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．已知直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ＜0）与抛物线C ：y 2＝﹣4x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足|AF |＝2|BF |，则k 的值是（ ） A．3-B．C．D ．﹣【答案】C【解析】直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案.【详解】由题意，抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =，直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，可得2222(24)0k x k x k --+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得1212242,1x x x x k +=-=， 由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =-=-，因为2AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入可得212x =-或21x =（舍去），此时12,3x k =-=-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理应用韦达定理是解答此类问题的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.10．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2122e e -的最小值为（ ） A ．2 B ．﹣2C ．6D ．﹣6【答案】B【解析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解. 【详解】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得122,2m n a n m a +=-=， 由线段1PF 的垂直平分线过点2F ，可得2n c =又由点P 在第二象限，所以12PF PF <，即m n <，所以2m c <，且2m c <， 即1222,22m c a c m a +=-=， 又由椭圆和双曲线的离心率，可得1212,c c e e a a ==， 则21122221242222e a c c c m mm e a c c m c c c+-=-=-=+----42≥=-， 当且仅当122mm c c=--，即m c =时，上式取得最小值2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.二、多选题11．（多选题）给出下列选项中，能成为x ＞y 充分条件的是（ ） A ．xt 2＞yt 2B ．（x ，y ）是曲线x 3﹣y 3﹣x 2＝1上的点C ．11x y＜＜0D ．（x ，y ）是双曲线x 2﹣y 2＝1上的点【答案】ABC【解析】首先分清条件和结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选的答案能推得x y >成立，即可求解 【详解】由题意，对于A 中，由22xt yt <可知，20t >，可得x y >成，所以A 正确； 对于B 中，点(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点，则(,)x y 满足323(1)x x y -+=， 可得33x y >，即x y >成立，所以B 正确；对于C 中，由110x y <<，可得0,0x y <<，又由110x y y x xy--=>，可得0x y ->，即x y >成，所以C 正确；对于D 总，点(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，可得22x y >，不一定得到x y >成立，所以D 不正确. 故选ABC. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中熟练应用不等式的性质，以及曲线的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12．（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B ．过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为22b aC ．抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为x 1x 224p = D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A【解析】直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为(,0),(,0)A a B a -， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，则222PB PBn n n k k m a m a m a⋅=⋅=+--， 又因为点(,)P m n 在椭圆上，可得22221m n a b +=，解得2222(1)m n b a=-，所以22PB PBb k k a⋅=，所以A 项是正确的； 对于B 中，设双曲线22221x y a b-=右焦点(c,0)F ，（1）当直线与双曲线的右支交于1122(,),(,)A x y B x y ，（i ）当直线AB 的斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22bAB a=，（ii ）当直线AB 的斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，联立方程组2222()1y k x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=，则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，由焦半径公式可得22122222()22c a ck AB AF BF e x x a a a a k b =+=+-=⋅-- 222222222222222222ac k ac c b a a a b a k b a a a k=-=->-=--， 所以当直线AB 的斜率不存在时，AB 的长最小，最小值为22b a．（2）当过(c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得AB 的最小值为2a ．综上可得，当222b a a ≤，即b a <，此时过焦点的弦长最短为22b a ； 当222b a a>，即b a >，此时过焦点的弦长最短为2a ．所以B 项是不正确的；对于C 中，充分性：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x x =，此时12x x =，因为2124p x x =，所以122p x x ==，此时直线AB 过焦点(,0)2P F .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩，得222(22)0k x bk p x b +-+=， 所以2122b x x k=，且2480p kpb ∆=->，又因为22(0)y px x =>且2124p x x =，所以2224b k p =，解得2b k p =或2b k p =-，所以直线AB 方程为2b y x b p =-+或2b y x b p=+, 当直线2b y x b p =-+时，取0y =时，2p x =，直线AB 过焦点(,0)2P； 当直线2b y x b p =+时，取0y =时，2p x =-，直线AB 过焦点(,0)2PF -； 所以充分性不成立．必要性：当直线AB 过焦点(,0)2PF 时， 设过焦点的直线AB 的方程为2p x my =+，代入22(0)y px x =>，可得2220y pmy p --=，则212y y p =-，则222212121222()444y y y y p x x p p ===. 所以抛物线22(0)y px x =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 经过抛物线的焦点的必要不充分条件是2124p x x =，所以C 是不正确的.对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题，直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题14．若“∃x 0∈[﹣4，﹣2]，01 2x（）＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围为_____．【答案】m ＞4【解析】根据0[4,2]x ∈--时，得到01()[4,16]2x∈，结合存在性命题为真命题，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当0[4,2]x ∈--时，可得01()[4,16]2x∈， 又因为“001[4,2],()2x x m ∃∈--<”是真命题，所以4m >.故答案为：4m > 【点睛】本题主要考查了存在性的真假的判定与应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中正确理解存在性命题的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2，则C 的离心率为_____．【解析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，可得m 2+n 2＝4c 2，且12mn ＝a 2，由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2，即为c =，可得e ca==.. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 16．设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB |＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．【答案】22116y x +=【解析】设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，再利用AB 4=，即可得到点M 的轨迹方程，得到答案. 【详解】设A （x 1，2x 1 ），B （x 2，﹣2x 2 ），M （x ，y ），则AB 中点M （122x x +，x 1﹣x 2） 所以x 122x x +=，y ＝x 1﹣x 2， 又因为|AB |2＝（x 1﹣x 2）2+（2x 1+2x 2）2＝16，即y 2+（4x ）2＝16，所以M 的轨迹方程为22116y x +=，故答案为：22116y x +=.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，结合条件用AB 的长求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是平面内的两个定点，|PF 1|•|PF 2|＝a 2（a 是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a ＝c ，则曲线过原点；③若0＜a ＜c ，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____． 【答案】①②【解析】设(,)P x y 2a = ，得到22224[()][()]x c y x c y a ++⋅-+=，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.【详解】由题意设P （x ，y ）2a =，即[（x +c ）2+y 2]•[（x ﹣c ）2+y 2]＝a 4，对于①中，因为把方程中的x 被﹣x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称； 把方程中的y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称； 把方程中的x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变， 故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．对于②中，若a ＝c ，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的； 对于③中，因为（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2c ，（当且仅当，|PF 1|＝|PF 2|＝c 时取等号），所以（|PF 1||PF 2|）min ＝c 2，所以若0＜a ＜c ，则曲线不存在，所以不正确．故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.四、解答题18．已知A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＞0，a ＞0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（0，1）．【解析】根据一元二次不等式的解法，求得集合A ＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，再由”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2>0，a >0}＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |（x +2）（x ﹣3）≥0}＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，若”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，则满足332aaa<⎧⎪>-⎨⎪>⎩，解得0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次方程的解法，结合充分、必要条件，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．【解析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；（2）由方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围(2,2)-．（2）命题q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，当p为真，q为假时，2203mm m-⎧⎨≤≥⎩＜＜或，解得﹣2＜m≤0．当p为假，q为真时，2203m mm≤-≥⎧⎨⎩或＜＜，解得2≤m＜3．综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题,p q，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）AB =【解析】（1）已知：，b=2，a 2=b 2+c 2，联立解得a,b,c 的值，即可得椭圆方程；（2）易得直线l 的方程y=x+3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：4x 2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB 的长．【详解】(1)已知椭圆焦距为2，即，b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=.(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215,4x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB =2=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长12l x=-=，其中()11,A x y，()22,B x y是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.21．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；（2）若AF=λFB，AP=μPB，证明：λ+μ为定值．【答案】（1）（2）证明见解析，定值为0【解析】（1）由直线与抛物线联立得2610x x-+=，根据1228AB x x=++=，求得点D到直线10x y+-=的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；（2）设:(1)l y k x=-，联立方程组，求得121244y y y yk+==-，，结合AF =λFB，AP=μPB，得到λ12yy=-，1222y ky kμ+=-+，进而求得λμ+为定值，得到答案. 【详解】（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，所以直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由直线与抛物线联立得x2﹣6x+1＝0，所以x1+x2＝6，x1x2＝1．于是|AB|＝x1+x2+2＝8．点D到直线x+y﹣1＝0的距离d==所以S182=⨯=；（2）证明：设直线l：y＝k（x﹣1）．则P（﹣1，﹣2k），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得ky 2﹣4y ﹣4k ＝0，121244y y y y k+==-，，∵AF =λFB ，AP =μPB ，所以（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，﹣2k ﹣y 1）＝μ（x 2+1，y 2+2k ）， ∴λ12y y =-，1222y k y k μ+=-+．∴λ+μ()()()121211222222222880222y y k y y y y kk y y k y y k y y k +++-+=--=-=-=+++（定值）． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，R 的坐标（0，﹣2）．【解析】（1）根据条件转化为P 到(0,1)A 的距离与它到直线1y =-的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点P 的轨迹方程；（2）利用对称性可得R 在y 轴上，设(0,)R t ，再结合MRQ NRQ ∠=∠，则0RM RN k k +=，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得()22k t +，进而求得t 的值. 【详解】（1）因为点P 到A （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣4的距离小3，所以点P 在直线y ＝﹣4的上方，点P 到A （0，1）的距离与它到直线y ＝﹣1的距离相等所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，y ＝﹣1为准线的抛物线， 所以方程为x 2＝4y ；（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为R （0，t ），设直线l 的方程为y ＝kx +2，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得x 2﹣4kx ﹣8＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣8， 所以()()2112121212RM RN x y t x y t y t y t x x k x x k -+---=+=+ ()()()1212121212402x x x x t x x k t x x +-++===，因为k ≠0，所以2t =-，则R （0，﹣2）， 综上，R 的坐标（0，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23．已知椭圆C 1：23x +y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b-=的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为2． （1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ •2OQ =-5，求|M 1M 2|的取值范围．【答案】（1）23x -y 2＝1；（2）|M 1M 2|∈（0]． 【解析】（1）由椭圆的顶点可得23a =，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得1b =，进而得到双曲线的方程；（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，消去y ，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标运算，求得,m k 的关系式，再由直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，即可求得12M M 的取值范围. 【详解】（1）由椭圆C1：23x+y2＝1的左右顶点为（0），0），可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0=b＝1，所以双曲线C2的方程为23x-y2＝1；（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，代入23x-y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，要与C2相交于两点，则应有()()2222213036413330kk m k m⎧-≠⎪⎨----⎪⎩＞⇒22213013km k⎧-≠⎨+⎩＞①，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x22613kmk=-，x1•x2223313mk+=--．又1OQ•2OQ =x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，又1OQ•2OQ=-5，所以有2113k-[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5 整理得m2＝1﹣9k2…②，将y＝kx+m，代入23x+y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③由①②③有：0＜k216＜．设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x42613kmk-=+，x3•x4223313mk-=+．所以|M1M2|=又m2＝1﹣9k2，代入有：|M1M2|=|M1M2|=⇒|M 1M 2|＝，令t ＝k 2，则t ∈（0，19]， 令f （t ）()21(13)t t t +=+⇒f ′（t ）31(13)t t -=+，又t ∈（0，19]， 所以f '（t ）＞0在t ∈（0，19]内恒成立，故函数f （t ）在t ∈（0，19]内单调递增，故f （t ）∈（0，572]，则有|M 1M 2|∈（0]． 【点睛】 本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明． 【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析【解析】设200(,)2y P y p为抛物线上一点，法线与x 轴交于M ，反射光线为PN ，F 为抛物线的焦点，,PF PM 的斜率，根据角的正切值，证明NPM PNx π∠+∠=即可.【详解】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．证明：不妨设抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反射光线为PN ，如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ，由光的反射性质可知∠FPM ＝∠MPN ，由y 2＝2px ，不妨设P 在第一象限，P （202y p ，y 0）， 当y 0＝0时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合，当y 0≠0时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k （x 202y p-）+y 0， 代入抛物线方程可得：ky 2﹣2py ﹣ky 02+2py 0＝0，令△＝4p 2﹣4k （2py 0﹣ky 02）＝0可得k 0p y =， 故法线PM 的斜率为0y p-． 不妨设P 在第一象限，设∠PMx ＝α，∠PFM ＝β，∠NPM ＝θ，则tanα0y p =-，tanβ00220022y py p y p x ==--， ∴tanθ＝tan ∠FPM ＝tan （α﹣β）()()()0022222220000000232220000022022221y py y y p p y y p y p y p y y py py p py p p p y p y p -----+-====--+-⋅-． ∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，∴PN ∥x 轴．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用抛物线的几何性质，结合直线的斜率和倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。
山东省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(二)
山东省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A．两条平行直线B．一点和一条直线C．两条相交直线D．两个点3．已知圆C：x2+y2﹣2x+6y=0，则圆心P及半径r分别为（）A．圆心P（1，3），半径r=10 B．圆心P（1，3），半径C．圆心P（1，﹣3），半径r=10 D．圆心P（1，﹣3），半径．4．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积为（）A．B．C．D．7．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2 D．28．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2 C．±2D．±49．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+10．一束光线从点（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径长度是（）A．4 B．5 C．3 D．211．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=012．四面体P﹣ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．14．圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为．15．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β．④若l∥α，则l平行于α内的所有直线．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．如图2﹣①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2﹣②），则图2﹣①中的水面高度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．（1）求该几何体的全面积．（2）求该几何体的外接球的体积．19．已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．20．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x 上截得弦长为2；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题1．C．2．D．3．D4．D．5．C6．A．7．C．8．B．9．C 10．A．11．C12．B．二、填空题13．解：根据题意，得⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，R﹣r=2，则4＜5，即R+r＜O1O2，∴两圆相离．故答案为：相离．14．解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；15．解：①中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；②中，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；③中，若l∥α，l⊥β，则α中存在直线a平行l，即a⊥β，由线面垂直的判定定理，得则α⊥β，故③正确；④中，若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故④的错误；故答案：②③16．解：令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V则=正置后：V水=V则突出的部分V空=V设此时空出部分高为h，则h3：，∴故水的高度为：a﹣故答案为：a﹣三、解答题17．解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18．解：（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4+4×4×2=64cm2几何体的全面积是64cm2．（2）由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d=所以球的半径r=3因此球的体积v=，所以外接球的体积是36πcm3．19．解：（1）如图所示：l1：﹣y=0，过定点（0，0），=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，=﹣令y﹣1=0，x﹣2=0．得y=1，x=2，∴过定点（2，1），∵•=﹣1，∴直线与直线互相垂直，∴直线与直线的交点必在以（0，0），（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心（1，），半径r==，∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣）2=．即x 2+y 2﹣2x ﹣y=0；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．当P 点在定圆上移动时，△PP 1P 2的底边P 1P 2为定值2r ．当三角形的高最大时，△PP 1P 2的面积最大．故三角形面积最大为•2r•r=又与圆的交点为P （，），且OP 与P 1P 2的夹角是45°．∴|OP |==，即+=，解得：m=3或m=故当m=3或m=时，△PP 1P 2的面积取得最大值．20．解设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线y=x 交于AB ， ∵圆心C 在直线x ﹣3y=0上，∴圆心C （3a ，a ），又圆与y 轴相切，∴R=3|a |．又圆心C 到直线y ﹣x=0的距离．在Rt△CBD中，，∴9a2﹣2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．21．解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．22．解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…。
山东省青岛市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析
2019—2020年山东省青岛市2中高一第一学期第一次月考数学试卷 高二数学质量检测一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.题1—10为单选题，题11-13为多选题，多选题错选得0分，漏选得2分.）1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =（ ） A. 5 B. 25C. -5D. -25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的标准方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于基础题. 2.双曲线22412mx y -=20y -=，则m =（ ） A. 3B.C. 4D. 16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为2y x =， 所以124,3m m==.【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线方程求双曲线标准方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.命题“x R ∃∈，2440x x -+≤”的否定是（ ） A. x R ∀∈，2440x x -+> B. x R ∀∈，2440x x -+≥ C. x R ∃∈，2440x x -+> D. x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项正确. 故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 4.下列语句中，是命题的是（ ） A. 2230x x -->， B. π不是无限不循环小数 C. 直线与平面相交 D. 在线段AB 上任取一点 【答案】B 【解析】 【分析】ACD 三个选项不能判断真假，不是命题，B 能够判断真假，是命题.【详解】根据命题的概念，必须能够判断真假，其中ACD 均不能判断真假，B 选项满足题意是命题. 故选：B【点睛】此题考查命题的概念辨析，关键在于熟练掌握命题的概念，能够判断真假即是命题. 5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A. 双曲线 B. 射线C. 线段D. 双曲线的一支或射线【解析】 【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进行判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的距离为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况. 综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或射线.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题. 6.下列命题是全称命题且是真命题的是（ ）A. x R ∀∈，2210x x -+>B. 0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x < C. a ∀∈R ，in s (s in )a a π-= D. x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称命题的概念判断，根据函数关系判断真假.【详解】A. x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=，所以该命题是假命题；B. 0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π==，所以该命题是假命题； C. a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意；D. x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-，所以该命题是假命题. 故选：C 【点睛】此题考查全称命题的辨析和真假判断，关键在于熟练掌握命题概念，根据函数关系准确求解.7.如果方程22216x y a a +=-表示双曲线，则实数a 的取值范围是（ ）A. 6a <B. 6a <且0a ≠C. 2a >D. 2a >或3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线， 则2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.故选：B【点睛】此题考查双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握双曲线方程的形式.8.已知1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.若1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ）A.B. C.D. 与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 故选：A【点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于熟练掌握椭圆基本性质和三角形相关定理公式.9.已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，若2BF C △是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角， 当角Cc =，即e =； 当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.所以离心率为3故选：D【点睛】此题考查根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.已知双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，则12F PF △内切圆的面积为（ ） A.211πB.83π C.649πD.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积.【详解】由题：1245cos F PF ∠=，则123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 则12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积.11.（多选题）下列命题中，是真命题的是（ ）A. 若a b a c ⋅=⋅，则b c =B. 正数,a b ，若2a b+≠，则a bC. 0x N +∃∈，使200x x ≤D. 正数,x y ，则1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】考虑0a =可判定A 选项是假命题，其余选项均为真命题.【详解】A 选项：若0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =，该命题为假命题；B 选项考虑其逆否命题“正数,a b ，若a b =，则2a b+=”是真命题，所以该选项为真命题；C 选项：当01x =满足题意，所以该命题为真命题；D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，则1xy=是lg lg 0x y +=的充要条件故选：BCD【点睛】此题考查判断命题的真假，涉及向量数量积，基本不等式，对数运算，特称命题真假性的判断，知识面广.12.（多选题）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，则双曲线1C 的离心率可能为（ ）A.B.C. 2D.3【答案】CD 【解析】【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =. 【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，c e a ===所以其离心率为2或3. 故选：CD【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进行等价转化，利用双曲线基本量之间的关系求解. 13.（多选题）下列说法正确的是（ ） A. 方程2x xy x +=表示两条直线B. 椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m =C. 曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D. 双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确.【详解】方程2x xy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A正确；椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则()1024m m ---=或()2104m m ---=，解得4m =或8m =，所以B 选项错误；曲线22259x y xy +=上任意点(),P x y ，满足22259x y xy +=，(),P x y 关于坐标原点对称点(),P x y '--也满足()()()()22259x y x y --+=--，即(),P x y '--在22259x y xy +=上，所以曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称，所以C 选项正确； 双曲线2222x y a b λ-=即0λ≠，其渐近线方程为b y x a=±正确，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】此题考查曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）14.方程22157x y a a+=--表示椭圆，则实数a 的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】 【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057a a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x y a a+=--表示椭圆， 则507057a a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考查根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于熟练掌握椭圆的标准方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.若“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <”是真命题，则实数m 的取值范围是________. 【答案】0m > 【解析】 【分析】根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x =即0m >. 故答案为：0m >【点睛】此题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，关键在于准确求出函数的最值，熟练掌握函数的单调性.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，则1PA PF +的最小值为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】将问题进行转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点距离之差的最值求解.【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时取得最小值. 故答案为：6【点睛】此题考查椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的距离之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进行等价转化，结合平面几何知识求解.17.已知点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.则线段AB 中点M 的轨迹方程为_________.【答案】22144-=y x ，0y >【解析】 【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程. 【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤相互垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)1212242x x -=，即124x x =-121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==-即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y >【点睛】此题考查求轨迹方程，关键在于根据已知给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题（本大题共6小题，满分82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.若A B =∅是假命题.求实数a的取值范围. 【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】 【分析】 将问题转化考虑AB =∅是真命题，求出实数a 的取值范围，即可得到若A B =∅是假命题，实数a 的取值范围. 【详解】考虑AB =∅是真命题，即2(3)0x a x a +-+=没有正根，①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =；③()23403020a a aa ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综上当A B =∅是真命题，(]1,9a ∈， 所以若AB =∅是假命题(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】此题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键在于准确求解二次方程根的分布问题，利用转化与化归思想和补集思想求解.19.已知对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的标准方程.【答案】221169x y +=或221169y x +=【解析】 【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的标准方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解. 【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1，所以椭圆的标准方程为221169x y +=同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的标准方程为221169y x +=，所以椭圆的标准方程为221169x y +=或221169y x +=【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.已知命题：“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解”是真命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}32A m m =-≤≤；（2）()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】 【分析】（1）将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；（2）分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】（1）命题：“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解”是真命题. 即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈-即{}32A m m =-≤≤；（2）不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >；所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考查根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程.【答案】2214x y +=【解析】 【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =. 【详解】由题：()1F，)2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<，())()21222,,4x y x y F F x b P P y -⋅=-⋅=---+()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，取得最大值，即21b =，所以椭圆的方程为2214x y +=.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据椭圆上的点的坐标准确计算，结合取值范围求解最值.22.已知平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，若直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ， 若直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y ym x a x a，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ． 【点睛】此题考查曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.已知椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q （不与点A ，B 重合），设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .（1）求证：12916k k ⋅=； （2）求证：1234k k k k +++的值为定值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；（2）设直线:OP y kx =，0k ≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】（1）由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--；（2）根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠，联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫23144444k k k k +-+-=++++=+=+22181816061k kk k-=+= 所以1234k k k k +++的值为定值.【点睛】此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。
2022-2023学年山东省青岛二中分校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛二中分校高二（上）期中数学试卷一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣6＝0的圆心和半径分别是（ ） A ．（﹣1，﹣2），11 B ．（﹣1，2），11 C ．（﹣1，﹣2），√11 D ．（﹣1，2），√112．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．点P （2，0）关于直线l ：x +y +1＝0的对称点Q 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣1，﹣4）C ．（4，1）D ．（2，3）4．已知a →=(2，−2，−3)，b →=(2，0，4)，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．4√8585B ．−4√8585C ．0D ．15．已知两点A （﹣3，2），B （2，1），过点P （0，﹣1）的直线与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．[π4，3π4]B ．[0，π4]∪[π2，3π4]C ．[0，π2]∪[3π4，π] D ．[π4，π2）∪（π2，3π4]6．已知直线l ：x ﹣y +4＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，则C 上各点到l 距离的最小值为（ ） A ．√2−1B ．√2+1C ．√2D ．2√27．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．68．若实数x ，y 满足x 2+y 2+2x ＝0，则y x−1的最大值为（ ）A ．12B ．√33C ．√3D ．2二、多选题。
（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列说法正确的是（ ）A ．a →=(2，−1)是直线x +2y ﹣3＝0的一个方向向量 B ．点（0，2）关于直线y ＝x +1的对称点为（1，1）C ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．“ab ＝4”是“直线2x +ay ﹣1＝0与直线bx +2y ﹣2＝0平行”的充要条件10．已知C ：x 2+y 2﹣6x ＝0，则下述正确的是（ ） A ．圆C 的半径r ＝3B ．点（1，2√2）在圆C 的内部 C ．直线l ：x +√3y +3＝0与圆C 相切D ．圆C ′：（x +1）2+y 2＝4与圆C 相交11．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是（2√55，√55，0）C ．AB →和BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010C ．三棱锥G ﹣AEF 的体积为13D ．存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →三、填空题。
2019-2020学年山东省青岛二中高二(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分．选错得0分.） 1．椭圆2241y x +=的焦距为( )A B C ． D2．已知命题:0P x ∃>，0lgx …，则P ⌝是( ) A ．0x ∃…，0lgx >B ．0x ∀>，0lgx >C ．0x ∀>，0lgx <D ．0x ∃>，0lgx …3．已知双曲线222:1(0)x C y b b -=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为(( )A ．y =B ．y x =C ．3y x =±D ．y =4．若抛物线2x my =-的焦点到准线的距离为2，则(m = ) A ．4-B ．14C ．14-D ．14±5．在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为( ) A ．a c b +-B ．2a b c +-C ．c b a +-D ．2a c b +-6．椭圆的焦点为1F ，2F ，过点1F 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△2MF N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )A B ．35C ．45D 7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．2212016x y -= B ．2211620x y -= C ．2211224x y -= D ．2212412x y -=8．物线24x y =上的点到直线50y +=的距离的最小值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．09．已知直线:(1)(0)l y k x k =-<与抛物线2:4C y x =-相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足||2||AF BF =，则k 的值是( ) A．B．C．D．-10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12||||PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e -的最小值为( ) A ．2B ．2-C ．6D ．6-11．给出下列选项中，能成为x y >充分条件的是( ) A ．22xt yt >B ．(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点C ．110x y<< D ．(,)x y 是双曲线221x y -=上的点12．若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( ) A ．若15t <<，则C 为椭图 B ．若1t <．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则35t << 13．下列说法正确的是( )A ．椭圆22221x y a b +=上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B ．过双曲线22221x y a b -=焦点的弦中最短弦长为22b aC ．抛物线22y px =上两点1(A x ，1)y ．2(B x ，2)y ，则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为2124p x x =D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）14．若“0[4x ∃∈-，2]-，01()2x m <”是真命题，则实数m 的取值范围为 ．15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点为1F ，212(||2)F F F c =，以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形12F PF 的面积为2a ，则C 的离心率为 ．16．设A ，B 分别是直线2y x =和2y x =-上的动点，满足||4AB =，则A 的中点M 的轨迹方程为 ．17．卵形线是需见曲线的一种，分笛卡尔卵用线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设1(,0)F c -，2(,0)F c 是平面内的两个定点，212||||(PF PF a a =是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a c =，则曲线过原点；③若0a c <<，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题《本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握，）18．已知22{|430A x x ax a =-+>，0}a >，2{|60}B x x x =--…，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．已知p ：方程22240x y x m +-+=表示圆：q ：方程221(0)3y x m m+=>表示焦点在y 轴上的椭圆．（Ⅰ）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题p 、q 有且仅有一个为真，求实数m 的取值范围．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点(2,1)P -斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求弦AB 的长．21．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与准线交于点P ，设点D 为抛物线准线与x 轴的交点．（Ⅰ）若1k =-，求DAB ∆的面积；（Ⅱ）若AF FB λ=，AP PB μ=，证明：λμ+为定值．22．已知点P 到直线4y =-的距离比点P 到点(0,1)A 的距离多3． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程：（Ⅱ）经过点(0,2)Q 的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得MRQ NRQ ∠=∠？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.23．已知椭圆221:13x C y +=的左右顶点是双曲线22222:1x y C a b -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ． （Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ =-，求12||M M 的取值范围．四、附加题《本小题满分0分，计入总分）24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．2019-2020学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分．选错得0分.） 1．椭圆2241y x +=的焦距为( )A B C ． D【解答】解：因为椭圆2241y x +=，所以21a =，214b =，所以234c =，所以2c =故选：B ．2．已知命题:0P x ∃>，0lgx …，则P ⌝是( ) A ．0x ∃…，0lgx >B ．0x ∀>，0lgx >C ．0x ∀>，0lgx <D ．0x ∃>，0lgx …【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题:0P x ∃>，0lgx …，则P ⌝是0x ∀>，0lgx >．故选：B ．3．已知双曲线222:1(0)x C y b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为(( )A ．y =B ．y x =C ．3y x =±D ．y =【解答】解：双曲线222:1(0)x C y b b -=>的焦距为4，可得2c =，即214b +=，解得b =即有双曲线的方程2213x y -=，可得双曲线C 的渐近线方程为y =， 故选：B ．4．若抛物线2x my =-的焦点到准线的距离为2，则(m = ) A ．4-B ．14C ．14-D ．14±【解答】解：抛物线2x my =-，21y x m =-的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得1||22m=，解得14m =±，故选：D ．5．在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为( ) A ．a c b +- B ．2a b c +-C ．c b a +-D ．2a c b +-【解答】解：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，∴AO OB AB +=，DO OC AB +=， ∴DO OC AO OB +=+， ∴OD OA OC OB =+-，∴22BD OD OB OA OC OB a c b =-=+-=+-．故选：D ．6．椭圆的焦点为1F ，2F ，过点1F 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△2MF N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )A B ．35 C ．45D 【解答】解：设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由椭圆的定义，可得，12122MF MF NF NF a +=+=， 由于△2MF N 的周长为20，则420a =，即5a =，过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直于x 轴时，弦长最短，令x c =-，代入椭圆方程，解得，2b y a =±，即有22185b a =，解得，29b =，216c =， 则离心率45c e a ==．故选：C ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．2212016x y -= B ．2211620x y -= C ．2211224x y -= D ．2212412x y -= 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，渐近线被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d =，=，双曲线的右焦点为C 的圆心，即6c =，则b =，4a ===，可得双曲线的方程为2211620x y -=． 故选：B ．8．物线24x y =上的点到直线50y +=的距离的最小值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：设抛物线24x y =上一点为2(2,)m m ，点到直线50y ++=的距离d ==，∴当m =时，取得最小值为1，故选：C ．9．已知直线:(1)(0)l y k x k =-<与抛物线2:4C y x =-相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足||2||AF BF =，则k 的值是( ) A．B．C．D．-【解答】解：抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =， 直线(1)y k x =-和抛物线24y x =-联立，可得2222(24)0k x k x k --+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k +=-，121x x =，① 由抛物线的定义可得1||1AF x =-，2||1BF x =-， 由||2||AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入②可得21(12x =-舍去），12x =-，k =故选：C ．10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12||||PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e -的最小值为( ) A ．2B ．2-C ．6D ．6-【解答】解：设1||PF m =，2||PF n =，可设P 在第二象限，椭圆和双曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴长为1a ，实半轴长为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得12m n a +=，22m n a -+=， 由线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2n c =， 则2c a m c -<<， 可得11c e a =，22c e a =， 则2112222124(2)422222e a c c m c m m m e a c c m c c c c +-=-=-=+----=---…，当且仅当122mmcc=--即m c =时，上式取得最小值2-， 故选：B ．11．给出下列选项中，能成为x y >充分条件的是( ) A ．22xt yt >B ．(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点C ．110x y<< D ．(,)x y 是双曲线221x y -=上的点【解答】解：A ．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故A 对．B ．(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点，则(,)x y 满足323(1)x x y -+=，故必然有33x y >，即x y >．故B 对．11.0C x y <<，则由函数1y x=在区间(,0)-∞上单调递减，可得0y x <<，即x y >；故C 也对；D ．(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，221x y -=，22x y ∴>，但不一定有x y >，比如，当1x =-时0y =，所以x y <，故D 错． 故选：ABC ．12．若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( ) A ．若15t <<，则C 为椭图 B ．若1t <．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则35t << 【解答】解：A 当3t =时，表示圆，所以不正确； B 当1t <时，50t ->，10t -<，表示双曲线，正确； C 当0t =，时，表示双曲线，焦距不为4，所以不正确；D 若表示焦点在y 轴上的椭圆，则150t t ->->，即35t <<，所以正确；故选：BD ．13．下列说法正确的是( )A ．椭圆22221x y a b +=上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B ．过双曲线22221x y a b -=焦点的弦中最短弦长为22b aC ．抛物线22y px =上两点1(A x ，1)y ．2(B x ，2)y ，则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为2124p x x =D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【解答】解：A ．正确；设椭圆的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ， 椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，222PA PBn n n k k m a m a m a∴==+--①， 又点(,)P m n 在椭圆上，∴22221m n a b+=， 2222(1)m n b b∴=-代入①，得22PA PBb k k a∴=-，B ．正确；设双曲线22221x y a b -=右焦点(,0)F c 直线与双曲线右支相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22||b AB a =．当直线AB 斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，联立22221()x y a b y k x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=121200x x x x >⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，由焦半径公式可得12||||||()2AB AF BF e x x a =+=+-2222222222222222222222222c a ck ac k ac c b a a a a b a a k b a k b a a a k=-=-=->-=---， 所以当直线AB 与x 轴垂直时，||AB 的长最小，即最小值为22b a．C ．正确；充分性：当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为：y kx b =+，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩，得222(22)0k x bk p x b +-+=，2122b x x k ∴=，又22(0)y px p =>，2124p x x =， ∴2224b p k =， 2b k p ∴=，或2b k p =-， ∴直线AB 方程为2b y x b p =+（舍)或2by x b p=-+， 当0y =时，2p x =． 当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为1x x =，此时12x x =，又因为2124p x x =，所以122px x ==2124p x x ∴=⇒弦AB 经过焦点 必要性：当直线AB 经过抛物线的焦点(2pF ，0)时， 设过焦点的直线AB 的方程为2px my =+，代入22y px =，可得2220y pmy p --=， 由韦达定理得，212y y p =-．222212121222()444y y y y p x x p p === ∴弦AB 经过焦点2124p x x ⇒=． ∴抛物线22y px =上两点1(A x ，1)y ．2(B x ，2)y ，则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为2124p x x =．D ．错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系． 故选：ABC ．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）14．若“0[4x ∃∈-，2]-，01()2x m <”是真命题，则实数m 的取值范围为 4m > ．【解答】解：当0[4x ∈-，2]-时，01()[42x ∈，16]“0[4x ∃∈-，2]-，01()2x m <”是真命题4m ∴>故答案为：4m >．15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点为1F ，212(||2)F F F c =，以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形12F PF 的面积为2a ，则C【解答】解：不妨设P 为右支上一点，设1||PF m =，2||PF n =， 由双曲线的定义可得2m n a -=，由题意可得△12PF F 为直角三角形，且1290F PF ∠=︒， 可得2224m n c +=，且212mn a =，由222222()2444m n m n mn c a a -=+-=-=，即为c =，可得ce a==16．设A ，B 分别是直线2y x =和2y x =-上的动点，满足||4AB =，则A 的中点M 的轨迹方程为 22116y x += ． 【解答】解：设1(A x ，12x )，2(B x ，22x - )，(,)M x y ，则AB 中点12(2x x M +，12)x x - 所以122x x x +=，12y x x =-， 又因为2221212||()(22)16AB x x x x =-++=，即22(4)16y x +=，所以M 的轨迹方程为22116y x +=， 故答案为：22116y x +=． 17．卵形线是需见曲线的一种，分笛卡尔卵用线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设1(,0)F c -，2(,0)F c 是平面内的两个定点，212||||(PF PF a a =是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a c =，则曲线过原点；③若0a c <<，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是 ①② ． 【解答】解：由题意设(,)P x y ，2a =，即22224[()][()]x c y x c y a ++-+=， ①正确；因为把方程中的x 被x -代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称； 把方程中的y 被y - 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称； 把方程中的x 被x -代换，y 被y - 代换，方程不变， 故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形． ②正确；若a c =，(0,0)代入，方程成立则曲线过原点． ③错误；12(||||)2min PF PF c +=，（当且仅当，12||||PF PF c ==时取等号）， 212(||||)min PF PF c ∴=，∴若0a c <<，则曲线不存在．故答案为：①②．三、解答题《本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握，）18．已知22{|430A x x ax a =-+>，0}a >，2{|60}B x x x =--…，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：由题意得22{|430A x x ax a =-+>，0}{|a x x a >=<或3x a >，0}a >，{|(2)(3)0}{|3B x x x x x =+-=厖或2}x -…，若” x A ∈”是“x B ∈ “的必要不充分条件， 则B A Ü，则3320a a a <⎧⎪>-⎨⎪>⎩，解得01a <<； 故实数a 的取值范围是(0,1)．19．已知p ：方程22240x y x m +-+=表示圆：q ：方程221(0)3y x m m+=>表示焦点在y 轴上的椭圆．（Ⅰ）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题p 、q 有且仅有一个为真，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）命题p ：方程22240x y x m +-+=，222(2)4x y m ∴-+=-，240m ∴->，∴实数m 的取值范围：22m -<<．（Ⅱ）命题q ：方程221(0)3y x m m +=>表示焦点在y 轴上的椭圆． 03m ∴<<当p 为真，q 为假时，2203m m m -<<⎧⎨⎩或剠，解得20m -<…．当p 为假，q 为真时，2203m m m -⎧⎨<<⎩或剠，解得23m <…．综上，实数m 的取值范围为：(2-，0][2，3)．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点(2,1)P -斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求弦AB 的长．【解答】解：（1）由已知可得：2c =2b =，222a b c =+，联立解得：c =，2b =，212a =．∴椭圆C 的标准方程为221124x y +=． （2）直线l 的方程为：12y x -=+，即3y x =+．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：2418150x x ++=，1292x x ∴+=-，12154x x =，||AB ∴===． 21．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与准线交于点P ，设点D 为抛物线准线与x 轴的交点． （Ⅰ）若1k =-，求DAB ∆的面积；（Ⅱ）若AF FB λ=，AP PB μ=，证明：λμ+为定值．【解答】解：（Ⅰ）：由F 的坐标分别为(1,0)，直线PF 的斜率为1， 所以直线PF 的方程为(1)y x =--，设A ，B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ， 由直线与抛物线联立得2610x x -+=， 所以126x x +=，121x x =． 于是12||28AB x x =++=． 点D 到直线10x y +-=的距离d ==所以182S =⨯=（Ⅱ）证明：设直线:(1)l y k x =-．则(1,2)P k --， 联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2440ky y k --=，12124,4y y y y k+==-， AF FB λ=，AP PB μ=，所以1(1x -，12)(1y x λ-=-，2)y ，1(1x --，122)(1k y x μ--=+，22)y k +， 12y y λ∴=-，1222y k y kμ+=-+． 111212222222222()8802(2)(2)y y kk y y k y y y y k y y k y y k λμ+++-+∴+=--=-=-=+++（定值）． 22．已知点P 到直线4y =-的距离比点P 到点(0,1)A 的距离多3． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程：（Ⅱ）经过点(0,2)Q 的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得MRQ NRQ ∠=∠？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由，【解答】解：（1）因为点P 到(0,1)A 的距离比它到直线4y =-的距离小3， 所以点P 在直线4y =-的上方，点P 到(0,1)A 的距离与它到直线1y =-的距离相等 所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，1y =-为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为24x y =；（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为(0,)R t ， 设直线l 的方程为2y kx =+，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则124x x k +=，128x x =-，所以1212121221121212121()()()()(2)402RM RNx x x x t x x y t y t x y t x y t k t k k x x x x x x +-+---+-++=+====，因为0k ≠，所以2t =-，则(0,2)R -， 综上，R 的坐标(0,2)-．23．已知椭圆221:13x C y +=的左右顶点是双曲线22222:1x y C a b-=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ． （Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ =-，求12||M M 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆221:13x C y +=的左右顶点为(，0)，，0)，可得23a =，又椭圆1C 的上顶点(0,1)到双曲线2C 的渐近线0bx ay -=，=可得1b =， 所以双曲线2C 的方程为2213x y -=；（Ⅱ）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得222(13)6330k x kmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有22222130364(13)(33)0k k m k m ⎧-≠⎨---->⎩⇒22213013k m k⎧-≠⋯⎨+>⎩①， 设11(Q x ，1)y 、22(Q x ，2)y ，则有：122613kmx x k +=-，21223313m x x k +=--．又2212121212121212()()(1)()OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m =+=+++=++++， 又125OQ OQ =-，所以有22222221[(1)(33)6(13)]513k m k m m k k+--++-=-- 2219m k ⇒=-⋯②，将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：222(13)6330k x kmx m +++-=，要有两交点，则△222222364(13)(33)031k m k m k m =-+->⇒+>⋯③ 由①②③有：2106k <<． 设13(M x ，3)y 、24(M x ，4)y ，则有：342613kmx x k -+=+，23423313m x x k -=+．所以22222222122222364(33)(13)4(39)||1(13)(13)k m m k m k M M k k k --+--==+++，又2219m k =-，代入有：2221212222144||||1(13)13k M M M M k k k =⇒=+++12||M M ⇒=2t k =，则(0t ∈，1]9，令23(1)1()()(13)(13)t t t f t f t t t +-=⇒'=++，又(0t ∈，1]9，所以()0f t '>在(0t ∈，1]9内恒成立，故函数()f t 在(0t ∈，1]9内单调递增，故()(0f t ∈，5]72，则有12||(0M M ∈． 四、附加题《本小题满分0分，计入总分）24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了． 请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．【解答】解：远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．证明：不妨设抛物线方程为：22(0)y px p =>，焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反射光线为PN ， 如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ， 由光的反射性质可知FPM MPN ∠=∠，由22y px =，不妨设P 在第一象限，20(2y P p，0)y ，当00y =时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合， 当00y ≠时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：200()2y y k x y p=-+， 代入抛物线方程可得：2200220ky py ky py --+=， 令△220044(2)0p k py ky =--=可得0pk y =， 故法线PM 的斜率为0y p-． 不妨设P 在第一象限，设PMx α∠=，PFM β∠=，NPM θ∠=， 则0tan y p α=-，0022002tan 2y py p y p x β==--， 02222222000000023222000002202()2()tan tan tan()22()1y py py py y p p y y p y y FPM y py py p py p p y p p y p θαβ------+∴=∠=-====--+--．tan tan 0θα∴+=，故αθπ+=， //PN x ∴轴．。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
【精准解析】山东省青岛市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题
故选：A
【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.
4.下列语句中，是命题的是（ ）
A. x2 2x 3 0 ，
B. 不是无限不循环小数
C. 直线点
【分析】
ACD 三个选项不能判断真假，不是命题，B 能够判断真假，是命题. 【详解】根据命题的概念，必须能够判断真假，其中 ACD 均不能判断真假，B 选项满足题意 是命题. 故选：B 【点睛】此题考查命题的概念辨析，关键在于熟练掌握命题的概念，能够判断真假即是命题.
则
a a
2 0 6
0
，解得：
a
6
且
a
0
.
故选：B 【点睛】此题考查双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于熟 练掌握双曲线方程的形式.
8.已知
F1
，
F2
是椭圆
C
:
x2 a2
y2 3
1
a
3 的两个焦点， P 是 C 上一点.若 F1PF2 60 ，
则△F1PF2 的面积为（ ）
:
x2 a2
y2 b2
1
a 0, b 0
与双曲线 C2
:
y2 a22
x2 b22
1a2
0,b2
0 的渐近线将第一
象限三等分，
所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为 30°和 60°，其斜率为 b 3 或 b 3 ，
a
a3
e c a
a2 b2 a
1
b2 a2
所以其离心率为 2 或 2 3 . 3
D.
双曲线 x2 a2
y2 b2
的渐近线方程为 y b a
x
【答案】ACD
【20套试卷合集】山东省青岛市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知直线l 与直线032=+-y x 垂直，且过点)1,1(，则l 的方程为A ．032=-+y xB ．012=-+y xC ．032=-+y xD ．012=+-y x2．设抛物线的方程为24x y =，则其准线方程为A ．161-=x B ．1-=x C ．161-=y D ．1-=y3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点)2,1(的圆的方程为A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=4．设双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 的焦距为7，一条渐近线方程为x y 6=，则此双曲线的方程为A ．1622=-y xB ．124422=-y x C ．1622=-y xD ．132422=-y x 5．设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z -=2A ．有最小值5-，最大值0B ．有最小值0，无最大值C ．有最大值0，无最小值D ．既无最小值，也无最大值6．已知圆C ：02222=-+-y x x ，点)0,2(-A 及点),4(a B ，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是 A ．),1()1,(+∞⋃--∞ B ．),2()2,(+∞⋃--∞ C ．),334()334,(+∞⋃--∞ D ．),23()23,(+∞⋃--∞7．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一点，点A 在圆周上．把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时，点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线8．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两焦点分别为21,F F ，点A 在椭圆上，0211=⋅F F AF ， 4521=∠AF F ，则椭圆的离心率e 等于A ．33 B ．12- C ．13-D ．215- 9．设圆C 的圆心为双曲线)0(1222>=-a y ax 的左焦点，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：02=+-y x 截得的弦长等于2，则a 等于 A ．1B ．6C ．22D ．410．过抛物线x y 82=的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若3=BF ，则AOB ∆的面积为 A ．26B ．34C ．24D ．3211．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和公共的左焦点F ，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，设椭圆Ⅰ与Ⅱ的离心率分别为1e 和2e ，则 A ．21e e < B ．21e e >C ．21e e =D ．1e 和2e 大小关系不确定12．过椭圆141622=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线，切点为B A ,，过B A ,的 直线与两坐标轴的交点为N M ,，则MON ∆的面积的最小值为 A ．23 B ．32 C ．21 D ．2二、填空题(每小题5分，共20分)13．直线023=++y x 的倾斜角为________．14．AB 是过椭圆x y 2249131+=的左焦点的弦，且两端点A 、B 的横坐标之和为7-，则AB ＝_______．15．过点)0,3(P 的直线l 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则=⋅______．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①A 、B 为两个定点，k k =-，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，P 是AB 中点，则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点． 其中正确命题的序号为_________________． 三、解答题(共70分)17．(10分)已知直线062:1=++y ax l ，直线01)1(:22=-+-+a y a x l ．(1)若21l l ⊥，求a 的值； (2)若21//l l ，求a 的值．18．(12分)已知点()0,0O 和点()0,3B ，动点P 到B O ,的距离之比为1:2．(1)求点P 的轨迹方程； (2)求POB ∆面积最大值．19．(12分)已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线:1)l y x =+与椭圆相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点M 到原点的距离为1，且2AB =．(1)求点M 坐标； (2)求椭圆方程．20．(12分)已知直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 的左支．．交于不同两点A 、B ， 若另有一条直线l 经过)0,2(-P 及线段AB 的中点Q ． (1)求k 的取值范围；(2)求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．21．(12分)已知抛物线x y 42=的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点)0(0，x E ． (1)求k 的取值范围； (2)求证：30>x ；(3)PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求此k 的值； 若不能，说明理由．22．(12分)已知椭圆141222=+y x 及点)21,23(--M ，过点M 作直线l 交椭圆于Q P ,两点． (1)若M 是弦PQ 的中点，求直线PQ 的方程；(2)求证：以线段PQ 为直径的圆恒过椭圆上一定点A ，并求出定点A 的坐标．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案3、在ABC ∆中，︒===60,10,15A b a ，则B cos 等于（ ）A 、322-B 、322C 、36-D 、364、已知1,0-<<b a ，则下列不等式成立的是 （ ）A 、2b a b a a >>B 、a b a b a >>2C 、a b a b a >>2D 、2ba ab a >> 5、数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且11112n n na a a -++=(n∈N *，n≥2)，则a n 等于 ( ) A 、11n +B 、123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、23n⎛⎫⎪⎝⎭D 、21n + 6、设0,0>>b a ，若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（ ） A 、 8 B 、 4 C 、 2 D 、17、在等差数列{}n a 中,0>n a ,且30...1021=+++a a a ,则65a a ⋅的最大值是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、368、已知{a n }是首项为1的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 5＝a 13，则数列{1a n a n ＋1}的前五项和为 ( ) A 、1011 B 、511 C 、45 D 、259、在ABC ∆中，︒===45,2,B b x a ，若该三角形有两个解，则x 的取值范围是（ ）A 、2>xB 、2<xC 、222>>xD 、232>>x 10、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝2563，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 13＝83，则log 2(a 6a 8)的值为( ) A 、4 B 、5 C 、16 D 、3211、若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥,43,43,0y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则k 的值是 （ ）A 、37 B 、 73 C 、 34 D 、 43 12、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==)2()12(k n a k n n a kn （*N k ∈），设n n a a a a a n f 212321...)(+++++=-，则=-)2013()2014(f f （ ）A 、20124B 、20134C 、20144D 、20154二、填空题（每小题5分，共20分）13、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x 则目标函数y x z -=3的最大值为 。
山东省青岛第二中学高二数学上学期期中模块考试试卷 理
数学试题(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线2x y =的准线方程是（ ） A ．014=+xB ．014=+yC ．012=+xD ．012=+y2．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ） A ．1x ∀>，210x -> B ．1≤∀x ，210x -≤ C ．1>∀x ，210x -≤ D ．1x ∃≤，210x -≤3．右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间20[，)30内的概率为（ ）A ．2.0B ．4.0C ．5.0D ．6.04．已知命题p ：若y x >，则y x -<-；命题q ：若y x <，则22y x >． 在命题：①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中，真命题是（ ） A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆05422=--+x y x 相切，则p 的值为（ ） A ．10 B ．6 C ．4 D ．2 6．“21≠≠b a 或”是“3≠+b a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若双曲线0122=--y tx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则该双曲线的离心率为（ ）1 2 3 8 90 2 3 7 9 0 1 3A ．5B ．25 C ．23 D ．38．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据1(，)0和2(，)2求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆˆ， B ．a a b b '<'>ˆˆ， C ．a a b b '>'<ˆˆ， D ．a a b b '<'<ˆˆ， 10．已知点P 是椭圆)00(181622≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，则OM u u u u r的取值范围是（ ）A ．0(，)3B ．0(，)22C ．22(，)3D ．0(，)4第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．圆0222=-+x y x 与圆0422=++y y x 的公切线有_________条． 12．已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．13．若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的________命题．14．过抛物线24y x =焦点的直线l 的倾斜角为3π，且l 与抛物线相交于A B 、两点，O 为原点，那么AOB ∆的面积为 ．15．设椭圆12222=+b y a x 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>其中的离心率分别为1e ，2e ，有下列结论：①121<e e ；②22221=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ． 其中正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知：0>a ，02082>--x x p ：，01222>-+-a x x q ：，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．17．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．（Ⅰ）写出所有基本事件；（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．18．(本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在50[，)60的学生人数为6． （Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70≥”的概率．19．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：9)2()4(22=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ．（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．20．(本小题满分13分) 已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点．（Ⅰ）求弦AB 的长度；（Ⅱ）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标．21．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一x个顶点恰好是抛物线2x =的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 2(，)3， Q 2(，)3-在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 附加题：本题满分10分．已知21A A 、是平面内两个定点，且()02||21>=c c A A ，若动点M 与21A A 、连线的斜率之积等于常数)0(≠m m ，求点M 的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m 值的关系．青岛二中2014—2015学年第一学段模块考试高二数学（理科）参考答案一、选择题：三、解答题：16. 30≤<a ；17．3．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）；（Ⅱ）43；（Ⅲ）87． 【解析】试题解析：（I ）所有基本事件：（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）共8种．（Ⅱ）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同”为事件A ：则Ａ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），共６种，所以P(A)＝4386=； （Ⅲ）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件Ｂ：则Ｂ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白），共７种，所以P(Ｂ)＝87． 考点：列举法计算基本事件及事件发生的概率． 18．（1）03.0；（2）4.76；（3）7.0；19. 【答案】（1）()46121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-y x ；（2）02556=-+y x【解析】试题分析：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,21212|x x +-22121212()45251635,x x x x ++-=-= 法二：解方程得：x=1或4，∴A、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） 22(41)(42)35,-++=(Ⅱ)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则2425o o y y d --=,∴S △PAB =21·53·2425o o y y --=12，∴2482o o y y --=． ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． 考点：直线与椭圆的位置关系点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路21．（Ⅰ）2211612x y +=;（Ⅱ）①max 123S =；②21． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知b =2221,2c a c b a ==+，即可求出求解a ，b ，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．①设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t ，由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，可知当0=t ，max S ．②当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-，将其与椭圆方程联立整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ，可得2143)32(82k kk x +-=+同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得228(23)234k k x k++=+，2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++，12121212()4ABy y k x x kk x x x x -+-==--，化简即可求得AB 的斜率为定值．试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则b =．由2221,2c a c b a ==+，得4a = ∴椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t，max S =． ②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩L L L L L。