基于带通滤波器的ZoomFFT算法研究

由图 2 可以看出， 由于频率成分间隔小于 2 Hz， 四 个谱峰完全叠加在一起形成了一个谱峰。 采用文献 ［ 11］ 中基于复解析带通滤波器 ZoomFFT 的三种方法进 其 中， 方 法 1 的 滤 波 器 带 宽 为 fS / D = 行频 谱 细 化， FFT 点数为 N = 1 024 ； 方法 20． 48 Hz， 选抽比为 D = 100 ， 2 的滤波器带宽为 f S / （ 2 D ） = 10． 24 Hz， 选抽比为 D = FFT 点数为 N = 1 024 ； 方法 3 的滤波器带宽为 f S / 100 ， （ 2D） = 10． 24 Hz， FFT 点数为 N /2 = 选抽比为 2D = 200 ， 512 。由图 3 所示的频谱结果可以看出， 各频率成分被 与信号中频率成分完全一致。 清晰地分开，
目前， 相关专家已对传统的 ZoomFFT 算法进行了很多 深入的研究
［5 － 7 ］
， 并在工程中广泛使用
［11 － 13 ］
［8 － 10 ］
。 基于复
解析带通滤波器 ZoomFFT 算法是最新提出的一种改 进的 ZoomFFT 算法 ， 它利用复解析带通滤波器的
图 1 ZoomFFT 原理框图 Fig． 1 Principle of ZoomFFT
基于复解析带通滤波器 ZoomFFT 算法具体过程 归结如下。 ① 选抽滤波
jω x （ n） ］ ， HBP （ ejω ） = DTFT ［ h（ n） ］ ， 设 X（ e ） = DTFT［
图2 Fig． 2
直接 1 024 点 FFT 的频谱图 Spectrum of direct 1 024point FFT
［14 ］ 。 即得复解析带通滤波器 h（ n）
修改稿收到日期： 2010 － 07 － 22 。 1982 年生， 第一作者尚海涛， 男， 现为电子科技大学电路与系统专业 在读硕士研究生； 主要从事振动信号采集与处理方面的研究 。
10
PROCESS AUTOMATION INSTRUMENTATION Vol. 32 No. 4 April 2011
基于带通滤波器的 ZoomFFT 算法研究
尚海涛， 等
基于带通滤波器的 ZoomFFT 算法研究
Study on the ZoomFFT Algorithm Based on Bandpass Filter
尚海涛
摘
薛红喜
（ 电子科技大学电子工程学院， 四川 成都 611731 ） 要： 针对密集型频谱分析受到采样率要求和器件限制的特点， 采用基于复解析带通滤波器 ZoomFFT 算法进行频谱分析。 在相同
0
引言
对密集型频谱信号进行频谱分析要求具有很高的
1
1． 1
算法原理及特点
算法原理
基于 复 解 析 带 通 滤 波 器 ZoomFFT 的 流 程 为： 采
频率分辨率 。FFT 算法只能通过降低采样率 f S 或者增 加 FFT 变换点数 N 来提高分辨率， 但是采样率须满足 FFT 还受 奈奎斯特采样定理， 不能无条件降低； 同时， 器件的限制， 如 TI 公司生产的 TMS320C67x 系列芯片 一次最多只能实现 32 000 次的 FFT 变换 。 工程中分析密集型频谱通常采用复调制移频的高
DTFT（ discrete time Fourier transform ） 为离散时间傅里 叶变换， 则滤波后的频谱为： X0 （ e jω ） = X （ e jω ） H BP （ e jω ） 设选抽比为 D， 则选抽后有： G（ e ） = DTFT［ g（ n） ］= 1 D －1 ej（ ∑ { X［ D i =0 。 式中： ω∈［ ωl ， ωh ］ ② 复调制移频 Y（ e jω ） = DTFT［ g（ n ） e － jω Dn］=
l ω D
ω∈［ ω1 ， ω h］
jω
－
2πi D
）
］ HBP［ ej（
ω D
－
2πi D
）
］} =
1 ej（ ） ］ X［ D
ω D
G［ e j （ ω + ω D） ］ =
l
1 X［ e j（ D
ω D
+ ω l）
］
（ 3）
0， 。 式中： ω∈［ ωh － ωl ］ 移频量 q = ω l D。从式（ 3 ） 可以看出， 经选抽滤波 、
jω 移频后 的 连 续 频 谱 Y （ e ） 即 是 原 始 信 号 样 本 序 列
x（ n） 的连续频谱 X（ e jω ） ， 其分辨率提高了 D 倍， 且频 。 率范围为［ ωl ， ωh ］ ③ FFT 及谱分析 Y （ k ） = Y （ e jω ）
ω=
2π N
k
=
1 X［ e j（ D
Spectrum of algorithm simulation
1． 3
算法统计分析
统计基于算法各参数相同的情况， 且 FFT 变换点数
1． 2
算法仿真运算
根据复解析带通滤波器的通带宽度和选抽比的不
为 N、 细化倍数为 D、 滤波器半阶数为 M。为简单起见， 以 算法中复数乘法次数来统计运算量。运算量的统计结果 表 1 中最后一列的运算时间是在 D = 100、 如表 1 所示， M = 700、 N = 1 024 的条件下进行仿真运算的结果。
2Байду номын сангаас DN
k + ω l）
］
（ 4）
图3 Fig． 3 算法仿真频谱图
k = 0， 1， 2， …， （ N － 1） 从式（ 4 ） 可以看出， 第 0 条谱线对应角频率 ω l ， 即 Y（ k） 即为频带（ f l － f h ） 细化后的离散频 频率 f l 。因此， 谱， 不需进行任何频率调整 。
算法 方法 1 方法 2 方法 3 移频 （ 复乘法） N N N /2
尚海涛， 等 信号带宽， 即 f S / （ nD） = f h － f l 。 根据带通采样定理， 一个带限信号必须至少以两
运算时间 /s 0 ． 146 1 0 ． 143 6 0 ． 070 5
运算量统计表
Statistics of computation time
特性， 使 ZoomFFT 算法的性能大大提高 。 本文重点研究了基于复解析带通滤波器 ZoomFFT 算法， 推导出算法中滤波器带宽 、 选抽比 、 运算量和细 化频谱范围之间的关系， 从而提出一种具有自适应功 能的改进算法， 并通过仿真验证了算法的有效性 。
基于复解析带通滤波器 ZoomFFT 的核心模块是复 ， 解析带通滤波器。假定带通滤波器的通带为［ ωl ， ωh ］ 其中， ω l = 2 πf l / f S 为 滤 波 器 通 带 起 始 角 频 率， ωh = 2πf h / f S 为滤波器通带截止角频率， 令 ωD = （ ωh － ωl ） /2， ωe = （ ωh + ωl ） /2， 则将理想低通滤波器 h d （ n） 频移 ωe 后
［1 － 4 ］ 。 简称 ZoomFFT （ 或 ZFFT ） 分辨率傅里叶分析法，
样—复解析带通滤波 — 移频 —FFT。 利用复解析带通 滤波器将滤波和选抽相结合， 简化了流程， 大大降低了 计算量， 提高了运算速度 。将移频放在选抽滤波之后， 由于只需对选抽后的点数进行移频， 因此减少了需要 保存的中间数据量和运算量 。基于复解析带通滤波器 ZoomFFT 进行 FFT 和谱分析之后不再需要进行频 率 调整 。ZoomFFT 具体原理如图 1 所示 。
细化倍数条件下， 推导了算法中滤波器带宽、 选抽比、 运算量和频谱细化范围之间的关系， 提出了具有自适应功能的 ZoomFFT 改进算 此改进算法可根据参数选择运算量最小的滤波器带宽和选抽比 。 仿真结果表明， 改进算法为快速频谱 法。在保证频谱细化要求下， 细化分析的工程应用提供了解决途径 。 关键词： 信号处理 频谱分析 带通滤波器 FFT 自适应 中图分类号： TH825 ； TP206 文献标志码： A
基于带通滤波器的 ZoomFFT 算法研究 h d （ n） = sin（ ωD n） πn
e
尚海涛， 等
ʃ 1， ʃ 2， …… n = 0，
e
11］ 献［ 中的三种方法进行频谱细化 D 倍的仿真运算 。 对 x （ t ） = cos （ 2 π · 498 t ） + cos （ 2 π · 500 t ） + cos（ 2 π·502 t ） + 5cos（ 2 π·502． 7 t ） 进行频谱细化 100 倍的仿真运算； 采样率 f S 为 2 048 Hz， 加 Hanning 窗， FFT 点数 N 为1 024 ； 直接进行 1 024 点 FFT 变换频率分 辨率为 2 Hz， 则细化后的频率分辨率为 0． 02 Hz。直接 进行 1 024 点 FFT 频谱分析的仿真结果如图 2 所示。
h （ n ） = h d （ n ） e jω n
sin（ ωD n） jω n e = = πn
sin（ ωD n） ［ cos（ ωe n） + jsin（ ωe n） ］= πn 1 {［sin（ ωh n） － sin（ ωl n） ］－ 2 πn j［ cos（ ωh n） － cos（ ωl n） ］} 实部为 h r （ n） = 虚部为 h i （ n） = 1 ［ sin （ ω h n） － sin（ ω l n ） ］ （ 1 ） 2 πn 1 ［ cos（ ω l n ） － cos（ ω h n） ］ （ 2 ） 2 πn
同组合， 有多种方法对同一信号进行频谱细化， 且能够 得到相同的频谱细化倍数 。 设原信号的采样率为 f S 、 N 为 FFT 分析点数、 D 为细化倍数。 在此参照参考文