衡水中学2021高三理科数学周测题含答案

B ． 2 AB - 1 AC

? ?

学 校 : 准 考 证 号:

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（在此卷上答题无效）

工作秘密★启用前

衡水市第二中学周测题4.13

理 科 数 学

本试卷共 5 页。满分 150 分。注意事项：

1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生

要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只

有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A ={x x ≥1} ， B = {x ( x - 4)( x + 2)≥0}

，则 A ． {x -2≤x ≤1}

B ． {x 1≤x ≤4}

C ．{x -2＜x ＜1}

D ．{x x ＜4}

2. 等差数列{a n } 的前 n 项和为

S n ，若a 4 = 4 ， S 13 = 104 ，则a 10 = A ．10 B ．12 C ．16

D ． 20

?x - y ≥0, 3. 设 x , y 满足约束条件?

x - 2 y ≤0, 则 z = 2x + y 的最大值是

? y -1≤0, A ．

0 B ．

3 C ．

4 D ．

5 4.

(2x -1)( x + 2)

5

的展开式中， x 3 的系数是 A ． 200

B ．120

C ． 80

D ． 40

5. 某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均 用

水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在8～12吨的家庭个数 X 的数学期望是 A ． 3.6

B ． 3

C ．1.6

D ．1.5

6．在△ABC 中， DC = 2BD ，且 E 为 AC 的中点，则 DE =

A ． - 2 A

B + 1 A

C 3 6 3 6 C. - 1 AB - 1 AC 3 6 D.

2 AB + 5

AC 3 6

7. 若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取

值范围是 A ． (1, 2

)

B ． (1, 3

)

C.

( 2, +∞)

D.

( 3, +∞)

R ( A B ) =

8.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2 ，高为3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱

体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是

A.16π

9 B.

8π

9 C.

16π

27 D.

8π

27

9.已知f (x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x)的结论：

①f (x)是周期函数；②f (x)满足f (x)=f (4 -x)；

③f (x)在(0, 2)单调递减；④f (x)= cos

πx

是满足条件的一个函数．

2

其中正确结论的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

10.设抛物线E：y2 = 6x 的弦AB 过焦点F ，AF = 3 BF ，过A ，B 分别作E 的准线的垂

线，垂足分别是A'，B'，则四边形AA'B'B 的面积等于

A．4 B．8 C．16 D．32

11.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代

高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的

密切联系. 图2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，

图3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬

图1至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）

的夹角等于黄赤交角．

由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：

黄赤交角23?41 23?57' 24?13' 24?28' 24?44'

正切值0.439 0.444 0.450 0.455 0.461

年代公元元年

公元前

2000 年

公元前

4000 年

公元前

6000 年

公元前

8000 年

A．公元前2000 年到公元元年B．公元前4000 年到公元前2000 年C．公元前6000 年到公元前4000 年D．早于公元前6000 年

12．在满足0

i i i i

x

1

+x

2

+???+x

n-1

< 3x

n

成立的正整数n 的最大值为

A．5 B．6 C．7 D．9

33 3 3

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 复数 z 的共轭复数 z 满足(2 + i ) z = 3+4i ，则 z= ．

14.

如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是

某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等于

．

15.

2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之

中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数 学、物理、化学、生物 4 门学科，每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿

者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．

16. 数列{a } 满足a + 4a + 9a + ? ? ? + n 2 a = 2n (n + 1) ．记不超过 x 的最大整数为[x ] ，如

n

1

2

3

n

[0.9] = 0 ， [-0.9] = -1．设b n = [log 2 a n ] ，数列{b n } 的前n 项和为

S n ，若 S n < 0 ，则n 的最小值为

．

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）

已知△ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为a ,b , c ，且c 2 + a 2 - b 2 = 2ab .

（1） 若sin C =

3 ，求 B ；

3

（2） 若 D 为 AC 中点，且 BD = BC ，求 a

．

b

18．(12 分)

如图 1，在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，BC = 3 ，点 E 在线段 BC 上，BE = 2EC ．把△BAE 沿 AE 翻折至△B 1 AE 的位置，B 1 ?平面 AECD ，连结 B 1 D ，点 F 在线段 DB 1 上，DF = 2FB 1 ， 如图 2．

（1） 证明： CF ∥平面 B 1 AE ；

（2） 当三棱锥 B 1 - ADE 的体积最大时，求二面角 B 1 - DE - C 的余弦值．

图 1 图 2

3 n

n

i

n n n 19．(12 分)

已知椭圆

E : x 2 +

y 2 = 1(a > b > 0) 的焦距为

l : x = 4 ，直线 与 x

轴的交点为G ，过 a 2

b 2

2 1

点 M (1,0) 且不与 x 轴重合的直线l 交 E 于点 A , B . 当l 垂直 x 轴时，△ABG 的面积为 3 3

．

2 2 2

（1） 求 E 的方程；

（2） 若 AC ⊥ l 1 ，垂足为C ，直线 BC 交 x 轴于点 D ，证明： MD = DG ．

20．(12 分)

为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至 2018 年底，按照农村家庭人均年 纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．2019 年 7 月，为估计该地 能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入，作出散点图如下：

根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关关

系（记 2019 年 1 月、2 月……分别为 x = 1, x = 2 ，…，依此类推），由此估计该家庭

2020 年能实现小康生活．但 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭 2020

年第一季度每月的人均月纯收入均只有 2019 年 12 月的预估值的 2

．

3

（1） 求该家庭 2020 年 3 月份的人均月纯收入；

（2） 如果以该家庭 3 月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a ，为使该家庭

2020 年能实现小康生活， a 至少应为多少?（结果保留两位小数）

6

参考数据： ∑ x i y i = 9310 ，

6x ? y = 8610 ， 62.81 ，1.1510 ≈ 4.05 ． i =1

∑( x i

- x )( y i

- y )

参考公式：线性回归方程 y ? = b ?x + a ? 中， b ? = i =1

， a ? = y - b ?x ；

∑ i =1

( x - x )

2

(1 + a )

n

≈ 1 + C 1 a + C 2 a 2 + C 3

a 3

(n ≥10, a < 0.15) ．

452 + 4?120? 4

? 2

21．(12 分)

已知函数 f ( x ) = x

- ln (ax ) ．

a

（1） 求 f (x ) 的极值；

（2） 若e x ln x + mx 2 + (1 - e x )

x+ m ≤0 ，求正实数m 的取值范围．

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做

的第一题计分。

22．[选修4 - 4 ：坐标系与参数方程]（10 分）

在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为?x = cos α,

(α为参数) ．以原点O 为极点，

1

? y = sin α

x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ 2

= （1） 求C 1 的普通方程和C 2 的直角坐标方程；

12 3 + sin 2 θ ．

（2） 若直线l 与C 相切于第二象限的点 P ，与C 交于 A , B 两点，且| PA | ? | PB |= 7

，

1

2

3

求直线l 的倾斜角．

23．[选修4 - 5 ：不等式选讲]（10 分）

已知函数 f (x ) = x - a + x + 2b ， a ， b ∈ R ．

（1） 若a = 1， b = -1 ，求不等式 f (x )≤5 的解集；

（2） 若ab > 0 ，且 f (x ) 的最小值为2 ，求 2 + 1

的最小值．

a b