等式的基本性质.2 等式的基本性质
5.1.2等式的基本性质(教案)2021-2022学年北师大版数学七年级上册
1.理论介绍：首先，我们要了解等式的基本性质。等式是表示两个数或两个表达式相等的数学语句。它在我们解决数学问题中起着至关重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等式基本性质在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等式性质1和性质2这两个重点。对于难点部分，比如性质4中除数不为0的条件，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-举例：在解含有多项式的方程时，学生可能会不知道如何将等式的性质应用于简化方程，如x + 3 = 2x - 1。
-难点三：逆向思维的培养。等式性质的逆向应用是学生的另一个难点，如从a + c = b + c推导出a = b。
-举例：给出练习题，要求学生从变形后的等式中找出原始等式，如已知3x + 5 = 2x + 15，求原方程。
2.教学难点
-难点一：等式性质的理解与运用。学生对等式性质的理解可能停留在表面，难以灵活运用。
-举例：学生可能会在应用性质时忽略除数不为0的条件，或者在等式变形时忘记保持等式两边的等价性。
-难点二：识别并正确应用等式的性质解决复杂问题。在解决综合性的数学问题时，学生可能难以识别哪些步骤需要使用等式的性质。
我也观察到，在小组讨论和实践活动环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过合作解决问题，不仅加深了对等式性质的理解，还增强了团队协作能力。然而，我也发现有些小组在讨论时可能会偏离主题，因此在今后的教学中，我需要更明确地设定讨论的边界，并提供更具体的指导。
此外，我发现学生在分享讨论成果时，表达能力还有待提高。为了加强这一点，我计划在接下来的课程中增加一些专门的口语表达练习，如让学生模拟教师角色，向同学们解释等式性质的原理和应用，以提高他们的数学表达和交流能力。
等式的基本性质
反思小结： 1、等式的两个基本性质以及在解方程中的应用 2、解方程的一般性的步骤 3、检验
3
6
学习要求： 1、抽两名三号上黑板完成即时练习3，其余同 学独立完成即时练习3，时间2分钟 2、全班分析两学生的解答过程 3、集体评价订正并思考多种方法
星级达标 学习要求： 1、独立完成1-4和6，时间6分钟 2、分组展示 3、组内组间交流 4、集体订正 5、1-6组4号黑板展示5 6、小组改错，组间改错，评价加分
（1）解方程3x-3=2x-3 解法一：两边同时加上3,得：
3x=2x 两边同时除以x,得：
3=2 因此，原方程无解
解法二：两边同时加上3,得 3x=2x
两边同时减去2x,得 x=0
因此，x=0
总结：利用等式的基本性质2解方程时应注意：除数必须非零
即时练习3：
6x 2 2x
1 (x 1) 1
第2课时 等式的基本性质
十陵中学李艳
学习目标：
1、通过观察、实验，发现等式的基本性质 2、我会说出等式的基本性质 3、我能用等式基本性质解一元一次方程
学习要求：1、组长检查预习情况 2、小组内交流订正答案
录像3.lxe 观看录像3，完成性质探索一 录像4.lxe 观看录像4，完成性质探索二
典 例例2 展运示用：等式性质解方程： 3x 2 10
解：方程两边同时加2得：
x 3
12
方程两边同时乘以-3得：x 36
学习要求： 1、学生观察老师老师解方程的步骤 2、独立完成即时练习2，时间2分钟 3、展示两学生的练习 4、集体评价订正
拓展教材
5、利用等式性质解一元一次方 程
等式的基本性质1：等ห้องสมุดไป่ตู้两边同时加上 （或减去）相同的数，所得结果仍然是相 等的。用符号表示：若a=b,则a+m=b+m
5.1.2 第2课时 等式的基本性质
学习目标
1.理解等式的基本性质.（重点） 2.能利用等式性质解简单的一元一次方程.（难点）
1、什么是方程? 含有未知数的等式
2、什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数，且未知数的指数是 一次的整式方程
3、什么是方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值
3x=3y; 6x=5×6;
下列用等式变形中，那些是正确的，并说明理由
（1）若x=y，则5+x=5+y √ 两边同时加上5
（2）若x=y，则5-x=5-y √ 先两边乘-1然后两边加上5
（3）若x=y，则5x=5y √ 两边同时乘以5
（4）若x=y，则 x y √ 两边同时除以5
（5）若
x
y
（1）x - 9 = 8； （2）5 - y = - 16；
解：x - 9 +9= 8+9；
5–y-5 = - 16-5பைடு நூலகம்
x = 17；
-y= - 21 y= 21
（3）3 x + 4 = - 13； 3 x + 4-4 = - 13-4
3 x = - 17
x = - 17/3
(4) 2 x 1 5 3
小结 本节课你学到什么知识？
1、等式的基本性质。
2、运用等式的基本性质解方程。
注意：当我们获得了方程解的后还应
检验，要养成检验的习惯。
课堂小结
等式的基本性质
{ 等式的基本性质 利用等式的基本性 质解一元一次方程
(1) x- 5= 6;
(2) 0.3x =45;
(3) 5x+4=0;
(4) 2 1 x 3. 4
等式的基本性质1和2和3
等式的基本性质1和2和3
等式是一种数学表达形式，被广泛用于求解数学问题和描述数学概念。
因此，了解等式的基本性质对于掌握数学非常重要。
首先，对等比数列性质1，当两个等式中的各项有相等的成比例关系时，这两个等式就叫做等比数列。
例如：式中x：2；y：4，则x:y=2:4，这叫做等比。
其次，性质2为线性性质，当一个等式中的各项按一定的线性关系分布时，它就叫做线性方程式。
例如：式中x：3；y：2，则x:y=3:2，这就叫做线性的。
最后，等式的性质3为一致性质，当两个等式中的术语完全相同时，这两个等式就叫做一致的。
例如：式中x：2；y：2，则x=y，这就叫做一致。
综上所述，等式的基本性质包括等比性质、线性性质和一致性质。
掌握等式的基本性质，对把握数学原理、解决数学问题有重要意义，也是数学学习的基础。
等式的性质ppt课件
代数证明方法
01
02
03
定义法
通过定义等式的性质，利 用已知条件推导出结论。
反证法
假设等式不成立，通过推 导得出矛盾，从而证明等 式成立。
消元法
通过消去等式中的未知数 ，得到一个或多个等式， 再利用已知条件推导出结 论。
几何证明方法
面积法
通过比较两个图形的面积来证明等式 。
勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理证明 等式。
结合律
(a × b) × c = a × (b × c)
分配律
a × (b + c) = a × b + a × c
除法运算性质
除法定义
01
a ÷ b = a × (1/b)
除法的反运算
02
a ÷ b = a × (1/b)
商的运算性质
03
(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b × c)
04
等式的证明方法
通过等式可以证明两条平行线的 性质，例如平行线的交角性质、
平行线的传递性等。
相似三角形性质
通过等式可以证明相似三角形的 性质，例如相似三角形的边长比
例、角度相等等。
圆的性质
通过等式可以证明圆的性质，例 如圆的周长、面积、半径等。
三角问题中的应用实例
三角函数的性质
通过等式可以证明三角函数的性质，例如正弦、余弦、正切函数 的周期性、对称性等。
不等式
表示两个量不相等的等式
条件等式
在某些条件下成立的等式
03
等式的运算性质
加法运算性质
交换律
a+b=b+a
结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
等式的基本性质2
x 27
x 27
经过对原方程的一系列变形 (两边同加减、乘除)，最终把方 程化为最简形式：
x = a(常数）
即方程左边只一个未知数项、 且未知数项的系数是 1,右边只 一个常数项.
（1）、如果1 x 0.5，那么2 1 x 2x0.5 .
2
2
根据 等式性质2，在等式两边同时乘2 。
(2)、如果x-3=2，那么x-3+3=2+3 ，
根据 等式性质1，在等式两边同加3 。
(3)、如果4x=-12y，那么x= -3y ，
根据 等式性质2，在等式两边同时除以4 。
(4)、如果-0.2ｘ＝6，那么ｘ= -30 ， 根据 等式性质2，在等式两边同除-0.2或乘-5 。
2、下列变形符合等式性质的是（ D ）
A、如果2x-3=7，那么2x=7-3
b
等式的左边
等号
a
等式的右边
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
b
左
a
右
你能发现什么规律？
b
左
a
右
你能发现什么规律？
b
a
左
右
a=b
你能发现什么规律？
bc
a
左
右
a=b
你能发现什么规律？
a
bc
左
右
a=b
你能发现什么规律？
a
bc
左
右
a=b
cc
6、在学习了等式的性质后，小红发现运用等式的性质 可以使复杂的等式变得简洁，这使她异常兴奋，于是 她随手写了一个等式:3ａ+ｂ-2＝7ａ+ｂ-2，并开始运 用等式性质对这个等式进行变形，其过程如下：
著名机构六年级数学秋季班讲义13b 列方程解应用题
一、等式的基本性质等式基本性质1：等式两边同时加上同一个数或减去同一个数，等式仍成立； 即如果A ＝B ，那么A ±m ＝B ±m ．等式基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不等于零的数，等式仍成立；即如果A ＝B ，那么Am ＝Bm 或A Bn n=（m 、n 为两个数，n ≠0）．二、一元一次方程（1） 方程：含有未知数的等式；如：37x +=，2113a b+=，326255p q +=，… （2） 一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，214682m+=，… （3） 一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解，247q =是方程71539q +=的解，… 三、二元一次方程（组）（1） 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数均为1的方程；如：2318x y +=，713mn =-，… （2） 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起组成的方程组；如：58335x y x y +=⎧⎨+=⎩，27322a bb -⎧=⎪⎨⎪=⎩，…（3） 二元一次方程的解：适合于一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解；经典精讲第五讲列方程解应用题如：62xy=⎧⎨=⎩是2318x y+=的一个解；12173xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩也是2318x y+=的一个解；…（4）二元一次方程组的解：满足方程组中每一个方程的解就是这个方程组的解；如：41xy=⎧⎨=⎩是58335x yx y+=⎧⎨+=⎩的解；…（5）解二元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法四、不定方程（组）不定方程（组）：当未知数的个数多于方程个数的方程（组），我们称其为不定方程（组）1.一般情况下求不定方程的特殊解，首先要估算未知数的取值范围，一般从系数较大的进行估算2.当不定方程的系数含有5时，用个位数字特征解题较为方便，如果可以结合奇偶分析的话，还可以确定出个位数字的具体数值3.对于其他系数的，完全都可以根据等式两边除以某个未知数系数的余数相同来解丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：x y x y +=⎧⎨+=⎩2536 704W WW W，其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了.甲计算得出方程的解是x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是x=4，y=4.试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？按要求解下列方程（1）372041027x y zx y z++=⎧⎨++=⎩，求x y z++的值。
《等式的基本性质》课件
归纳法
归纳法是一种通过观察和实验，从特 殊到一般的推理方法。在等式证明中 ，归纳法常常用于证明一些具有规律 性的等式。
以上是三种常见的等式证明方法，每 种方法都有其适用范围和特点。在实 际应用中，可以根据具体的情况选择 合适的方法进行等式证明。
例如，对于一些具有递推关系的等式 ，可以通过归纳法逐步推导，从简单 的情形开始，逐步推广到更一般的情 形，最终得出结论。
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等式的可加性
总结词
等式的可加性是指如果a=b，那么a+c=b+c。
详细描述
这是等式的另一个基本性质，表明等式具有可加性。如果两个数相等，那么在等式的两边同时加上或减去同一个 数，等式仍然成立。
等式的可乘性
总结词
等式的可乘性是指如果a=b，那么 ac=bc（c≠0）。
详细描述
这是等式的另一个重要性质，表明等 式具有可乘性。如果两个数相等，那 么在等式的两边同时乘以同一个非零 数，等式仍然成立。
数学等式
总结词
数学等式是指用数学符号表示的 等式，通常用于描述数学对象之 间的关系。
详细描述
数学等式通常用于描述数学对象 之间的关系，例如“a+b=c”表 示两个数a和b的和等于数c。数学 等式是数学逻辑和推理的基础。
物理等式
总结词
物理等式是指用物理量表示的等式，通常用于描述物理现象之间的关系。
详细描述
物理等式通常用于描述物理现象之间的关系，例如“F=ma”表示力等于质量乘 以加速度。物理等式是物理学中描述物理规律和现象的重要工具。
02
等式的基本性质
等式的传递性
总结词
等式的传递性是指如果a=b且b=c，那么a=c。
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注意：1.等式两边都要参加运算,并且是作同一种运算.
2.等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个 数或同一个式子.
3.等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分 母.
例1 已知2x-5y=0,且 y 0，请
说明下列等式成立的理由.
(1)2x 5y
解：（1）
(2) x 5 y2
已知2x-5y=0, 两边都加上5y,得
a b = 左 示么两同边为一都：个果加如数仍上果或是（式等a或=，式都b所．减，得去结那）
右
a±ca=-bc±=c b-c
想一想、练一练
在下面的括号内填上适当的数或者式子：
（1）因为：2x 6 4
所以：2x 6 6 4 6
（2）因为：3x 2x 8
所以：3x 2x 2x 8 2x
你能发现什么规律？
b
左
右
b
左
右
b
左
右
a
左
b
右
a
左
b
右
a
b
左
右
a=b
ac
b
左
右
a=b
b
ac
左
右
a=b
b
ac
左
右
a=b
bc ac
左
右
a=b
ac
bc
左
a=b
右
a+c = b+c
ac
cb
左
a=b
右
ac
b
左
a=b
右
a
b
左
a=b
右
你能发现什么规律？
a
b
等等式式性的质性１质１用：式等子式可的表
（1）a=-b，两边都加上b.
（2）3a=2a+1，两边都减去2a.
（3）
a 3
b 2
，两边都乘以6.
（4） a b 1 ，两边都乘以6.
32
运用等式的性质我们能干嘛呢？
方程是含有未知数的等式，方程中的未知数与 已知数一起参与了运算.通过运算将一元一次 方程一步一步变形，最后变形成“x=a(a为已 知数)”的形式，就求出了未知数的值，即方程 的解.等式的性质是方程变形的依据.
(2) 1 x 3 32
(3) 4x 3 2x 9
通过这节课的学习 , 你学到了什么东西?
课堂小结
本节课你学到了什么？
（1）等式的性质。
等式性质1：等式两边加（或减）同一个数 （或式子），结果仍是等式。 等式性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同 一个不为0的数，所的结果仍是等式。
你能发现什么规律？
a
b
左
右
a=b
aa
bb
左
a=b
右
2a = 2b
aaa
3b
a C个 a a a a aa
bbbbbb b C个
左
a=b
右
ac = bc
你能发现什么规律？
a
b
等式性质２用式子可表示为：
a b a2如如左等或能果 果式 都 为b2aa的 ０除==性 ）以bba3，质 ，同(c２一所b3那：个得0么)=，等数结a那式或果cac么=的式仍b两（是acc 边除等bc都 数 式bc(乘 不 ．c右 0)
（2）等式性质的应用。
◣巩固◢ 作 业
课后作业题 作业本
判断下列变形是否正确,为什么?
⑴ 由x+5 = y+5,得到 x = y
对
⑵由2x-1=4,得到2x=5
对
⑶由2x=1,得到x=2
错
⑷由3x=2x,得到3=2
错
等式性质1：如果a b，那么a c b c． 等式性质2：如果a b，那么ac bc；
如果a bc 0 , 那么a b．
2x-5y+5y=0+5y(等式的性质1)，
2x=5y
例1 已知2x-5y=0,且 y 0，请
说明下列等式成立的理由.
(1)2x 5y
解：（2）
(2) x 5 y2
由第（1）题知2x=5y,而y 0,
两边都除以2y,得
x = 5 (等式的性质2) y2
当堂练习：
根据下列各题的条件，写出仍成立的等式。
例2 利用等式性质解下列方程
(1) 5x 50 4x
目标：X=a
(2) 8 2x 9 4x
(1)可将方程右边的未知数消去; (2)可将方程左边的数字消去; (3)把方程变形成 “x=a(a为已知数)” (4)检验是否是方程的解。
变式训练：
解方程 (1) 4x 3x 4