椭圆的应用
(完整版)椭圆形状的应用总结
(完整版)椭圆形状的应用总结简介本文档主要总结了椭圆形状在各个领域应用的情况，探讨了其重要性以及应用中的一些注意事项。
椭圆形状的基本特征椭圆是一种平面上的几何形状，与圆形类似具有中心点和半径。
椭圆的特点在于它有两个主轴，即长轴和短轴，分别表示椭圆的长度和宽度。
椭圆的形状由其离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近于圆形。
椭圆形状在实践中的应用1. 天文学领域：椭圆轨道是描述天体运动的一种常见形式，如行星绕太阳运动的椭圆轨道。
2. 电子学领域：椭圆天线在通信系统中具有重要作用，可以实现天线的方向性控制和波束聚焦。
3. 工程领域：椭圆形状常用于设计和建造桥梁、隧道、船舶等结构，具有良好的抗震性能和稳定性。
4. 统计学领域：椭圆形状可以用于描述数据集的离散程度，如椭圆散点图可以直观地反映数据的分布情况。
5. 图形图像处理领域：椭圆形状在边缘检测、图像分割等任务中广泛应用，如椭圆拟合算法可以用于识别出图像中的椭圆对象。
椭圆形状应用中的注意事项1. 椭圆的参数选择：在应用过程中需要合理选择椭圆的参数，如长轴和短轴的长度、离心率的大小等。
2. 边界条件的考虑：在实际应用中，椭圆形状可能受到各种边界条件的限制，需要对边界条件进行适当的处理。
3. 精度要求的控制：部分应用场景中对椭圆的精度要求较高，需要采用精确的计算方法或增加采样点数量进行处理。
结论椭圆形状作为一种重要的几何形状，在各个领域具有广泛的应用。
它的独特特征和形状使得它在雷达、信号处理、图像处理、工程建筑等领域起到了重要的作用。
在应用中需要注意选择合适的参数、合理处理边界条件，并注意精度要求，以确保最佳的应用效果。
生活中椭圆的实例
生活中椭圆的实例：
1.鸡蛋：鸡蛋的形状接近椭圆形，一头钝另一头略尖。
由于钝端气室的存在，会使蛋
的重心向小头偏移发生滚动。
所以，一般情况下将鸡蛋放置于桌面上，鸡蛋很难保持站立不倒。
2.橄榄球：橄榄球的形状也是椭圆形，两头钝另一头略尖。
由于钝端气室的存在，会
使蛋的重心向小头偏移发生滚动。
所以，一般情况下将鸡蛋放置于桌面上，鸡蛋很难保持站立不倒。
3.卫星轨道：卫星的轨道形状也是椭圆形，地球位于椭圆的一个焦点上。
4.椭圆形的镜子：椭圆形的镜子在日常生活中也很常见，比如化妆镜、理发镜等。
5.椭圆形的车轮：椭圆形的车轮可以使汽车更加稳定地行驶，因为椭圆形的车轮可以
更好地适应路面的起伏和变化。
6.椭圆形的建筑：一些建筑物的设计也会采用椭圆形的形状，比如一些大型体育场馆、
会展中心等。
第1讲 椭圆的定义及其应用
第1讲 椭圆的定义及其应用整理：广东阳江曾广荣一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点． （一）椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定值2a ()122a F F >的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围． 二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 ABC ∆的底边16BC =，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程． 【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()x y ，，由20GC GB +=，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a =，8c =，有6b =，故其方程为()221010036x y y +=≠．【方法小结】由已知可得20GC GB +=，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点． 【例2】已知动圆P 过定点()30A -，，并且在定圆()22364B x y -+=：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即86PA PB PM PB BM AB +=+==>=．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆，P 的轨迹方程为：221167x y +=．【例3】已知圆()22:3100C x y -+=及点()3,0A -，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程。
【解析】如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线， ∴AQ PQ =．∴10AQ CQ PQ CQ CP +=+==，且10>6． ∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 且210a =，3c =，即5a =，4b =．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y+=．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是()1,0F c -、()2,0F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠．求点T 的轨迹C 的方程．【解析】当0PT =时，点(),0a 和点(),0a -在轨迹上．当0PT ≠0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥． 由12FQ a =，得12PF PQ a +=， 又122PF PF a +=，所以2PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点．连接OT ，则OT 为12QF F △的中位线，所以()1121122OT FQ PF PF a ==+=， 设点T 的坐标为(),x y ，则222x y a +=．故点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。
对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。
例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。
2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。
2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。
椭圆的性质及应用
第5讲 椭圆的性质及应用一、知识梳理1x 2y 2y 2x 22（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝，D 中＝，故选：B ．（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 12（3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝．故选：C ．（4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F 是椭圆＝1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （，），∴⇒，，⇒，e 2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．故选：A ．变式训练：1、美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．故选：C．2、己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e＝．故选：D．[题后感悟] (1)求离心率e 时，除用关系式a 2＝b 2＋c 2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2) 在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识． 例21、设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1解法一：由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P|，即2c ＝⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2.∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.故选D.2、已知椭圆的标准方程为，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使得21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率的取值范围 3、椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2若C 上的点P 满足21123F F PF =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是A.21≤eB.41≥eC.2141≤≤eD.410≤<e 或121<≤e【答案】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴，由三角形中，两边之和大于第三边得，故选C.点拨：（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.（3）整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式.题型二 直线与椭圆位置关系1、直线和椭圆位置关系判定方法概述①直线斜率存在时221y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-= 当0∆>时 直线和椭圆相交 当0∆=时 直线和椭圆相切当0∆<时 直线和椭圆相离②直线斜率不存在时22221x x y a bλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：1︒无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
椭圆的第一定义的应用
椭圆的极坐标方程
总结词
极坐标方程是另一种描述椭圆的方法，它通 过角度和距离来定义椭圆上的点，使得椭圆 的形状和位置可以通过角度和距离的变化来 调整。
详细描述
在极坐标系中，椭圆的一般极坐标方程可以 表示为：r=a×cos(θ)=b×sin(θ)r = a cos(theta) = b
sin(theta)r=a×cos(θ)=b×sin(θ)，其中 r 是 点到原点的距离，θ 是与极轴的夹角，(a, b) 是椭圆的长短轴半径。通过改变角度 θ 和距 离 r 的值，我们可以得到椭圆上不同的点，
04
椭圆第一定义的扩展应用
椭圆在经济学中的应用
描述市场供需关系
椭圆可以用来表示市场上的供需关系 ，其中长轴表示供应量，短轴表示需 求量，从而帮助分析市场均衡和价格 波动。
预测经济周期
通过分析经济数据，可以绘制出经济 活动的椭圆图，从而预测经济周期和 未来趋势。
椭圆在生物学中的应用
描述生物种群分布
从而全面描述椭圆的形状和位置。
椭圆的直角坐标方程
总结词
直角坐标方程是描述椭圆最常用的方法之一，它通过 x 和 y 坐标来定义椭圆上的点，使得椭圆的形状 和位置可以通过 x 和 y 的变化来调整。
详细描述
在直角坐标系中，椭圆的一般直角坐标方程可以表示为：x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1x2/a2+y2/b2=1，其中 (a, b) 是椭圆的长短轴半径。通过改变 a 和 b 的值，我们可以得到不同形状和 位置的椭圆。此外，根据不同的需求和条件，还可以推导出多种形式的椭圆直角坐标方程。
在生态学中，椭圆可以用来表示生物种群的分布范围和密度，帮助研究种群动态 和生态平衡。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
高考数学椭圆定义应用
椭圆定义的应用一．定义定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。
二．定义的运用（一） 直接运用定义例1（2005年四川高考题）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若 △F 1PF 2为等腰直角三角形 ，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1分析：椭圆定义、性质的直接应用是高考的常考点，求解时，应掌握椭圆第一、第二定义，参数a ，b ，c ，e ，2a c的几何意义及其相互关系。
解：如图1，设|PF 2|=m ，则由题设得|PF 1m ，2c =|F 1F 2|=m. 由椭圆第一定义，得2a =|PF 1|+|PF 21)m ∴e=1c a ==.故选D 。
例2：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点坐标1F )0,()0,(2c F c 和-，),(00y x P 是椭圆上的任一点，求证：0201||,||ex a PF ex a PF -=+=，其中e 是椭圆的离心率。
分析：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点1F )0,()0,(2c F c 和- ，相应的准线方程是c x c x =-=和 ，又椭圆的第二定义得，e x c a PF e c a x PF =-=+022201||||， 化简得： 0201||,||ex a PF ex a PF -=+=xA上面两个例题分别从圆锥曲线的第一定义或第二定义着手解决了问题，可见两种定 义在圆锥曲线中的重要性。
（二） 交错运用定义例3：P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，它到右焦点的距离为522，求P 到左准线距离。
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选修2-1第一节 椭圆的定义与标准方程的应用解析几何在日常生活中应用广泛，行星绕太阳的轨道、人造卫星绕地球的轨道是椭圆形，古希腊的音乐厅及现代化的美国国会议厅（U.S. Capitol ）和摩门教大礼拜堂（Mormon Tabernacle ）也是椭圆形。
如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过椭圆的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想【引例】 某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径是多少？简析：研究圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程。
解：设直径为3,2,1的三个圆的圆心分别为O,A,B.问题转化为求两个等圆P 、Q 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切。
建立如图坐标系，并设⊙P 的半径为r ，则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，其方程为22116()241253x y ++= ①同理点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2214()123x y -+= ② 由①②得P 912(,)1414，Q 912(,)1414，3327r ∴=-=故所求圆的直径为67。
一、椭圆的定义：1、 第一定义：平面里到2、 第二定义3、 椭圆的标准方程： 一、类型1：椭圆定义的应用例1.（2010·湖南高考文科·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。
考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10Km 的区域。
（I ） 求考察区域边界曲线的方程：（II ） 如图4所示，设线段12P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。
问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。
能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。
【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。
不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。
第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。
【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P 的坐标为（x,y ），则由|PA|+|PB|=10知，点P 在以A,B 为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。
此时短半轴长34522=-=b .所以考察区域边界曲线（如图）的方程为192522=+y x .(2) 易知过点P 1,P 2的直线方程为04734=+-y x ，因此点A 到直线P 1P 2的距离为531)3(4|4716|22=-++-=d设经过n 年，点A 恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得53112)12(2.0=--n解得n=5，即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上。
例2 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和34m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该彗星与地球的最近距离 分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为22a x +22b y =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足∠xFA =3π（或∠xFA ′=3π）作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜FA ｜=32m ，故由椭圆的第二定义可得m =a c （c a 2－c ）① 且34m =a c（c a 2－c +32m ）②两式相减得31m =a c ·32m ，∴a =2c 代入①，得m =21（4c －c ）=23c ，∴c =32m ∴a －c =c =32m答：彗星与地球的最近距离为32m 万千米点评： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质例3 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m ，要求通行车辆限高45 m ，隧道全长25 km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S =4πlh ，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到01 m ） （1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （11，45），椭圆方程为22a x +22by =1将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得a =7744，此时l =2a =7788≈333 因此隧道的拱宽约为333 m（2）解法一：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b=1因为2211a +225.4b≥ab 5.4112⨯⨯，即ab ≥99，且l =2a ，h =b ，所以S =4πlh =2πab 2π99当S 取最小值时，有2211a =225.4b=21，得a =112，b l =2a =222≈311，h =b≈64故当拱高约为64 m 、拱宽约为311 m 时，土方工程量最小解法二：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b =1于是b 2=481·12122-a aa 2b 2=481（a 2－121+12112122-a +242）≥481（22121+242）=81×121，即ab ≥99，当S 取最小值时，有a 2－121=12112122-a 得a =112，b =229，以下同解法一二、类型二 构造椭圆的模型例1 解方程842++x x +2082+-x x =10．解：将原方程配方，得4)2(2++x +4)4(2+-x =10． 令y 2= 4，即有22)2(y x ++ +22)4(y x +-=10．根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆25)1(2-x +162y =1， 将y 2= 4代入椭圆方程中，解得x =1±235．经检验，x =1±235均是原方程的解． 例2 已知βα24sin cos +βα24cos sin =1 ，求证：α+β= 2π． 证明：由已知点A(cos 2α，sin 2α)、B( sin 2β ，cos 2β)都在椭圆β22sin x +β22cos y =1 上，过点B 的切线方程为 x + y = 1，而点A 又在此切点上，由切点的唯一性知 ，点A 与点B 重合．∴cos 2α= sin 2β ，且sin 2α= cos 2β， ∴cos α= sin β= cos(2π－β)， 又 α、2π－β∈(0，2π)，∴α=2π－β，即α+β=2π． 建模小结（小四黑体） 强化练习（小四黑体）1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于A 2))((R n R m ++ B))((R n R m ++ C 2mn D mn解析：由题意22R n m ++－c =m +R ， ① 22Rn m +++c =n +R ， ② ∴c =2mn -，2b =222)2()22(m n R n m --++=2))((R n R m ++ 答案：A2有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为45 cm ，灯丝距顶面距离为28 cm ，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC 是椭圆的一部分，设其方程为22a x +22by =1，灯丝距顶面距离为p ，由于△BF 1F 2为直角三角形，因而，|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2，由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ，所以a =21（p +224c p +），a =21（28+225.48.2+）≈405 cm ，b =22c a -≈337 m ∴所求方程为2205.4x +2237.3y =13 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km 已知地球半径R =6371 km （如图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为22a x +22by =1由题设条件得a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571， a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721 解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316，b 2=a 2－c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691∴所求椭圆的方程为441693162x +441636912y =1（注：由44163691≈66455768得椭圆的方程为226646x +226.6645y =1，也是正确的）（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s 减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），平均速度是74950600000≈8（km/s ） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s。